К задаче аналитического продолжения одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

В случае произвольного расширения Галуа k С K сравнение норм простых идеалов расширения kab, где kab - максимальное абелево подрас-ширение расширения k С K, и норм соответствующих простых идеалов поля K позволило доказать следующее утверждение

Теорема 2. L-функция Артина L(s,^,K|k), где ф - простой характер группы Галуа G расширения k С K, аналитически продолжима на комплексную плоскость с возможными особенностями - полюсами, лежащими на критической прямой, которые являются нулями некоторых L-функций Дирихле поля k.

О ВЗАИМОСВЯЗИ ОСНОВНОЙ И РАСШИРЕННОЙ ГИПОТЕЗ РИМАНА ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ И L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ С ЧИСЛОВЫМИ ХАРАКТЕРАМИ

И СООТВЕТСТВУЮЩИХ ГИПОТЕЗ

__ «_» _ __ _ ___«_»

ДЛЯ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ1 В. В. Кривобок, В. А. Матвеев (г. Саратов)

E-mail: [email protected], [email protected]

Пусть k С K - абелево расширение Галуа числовых полей, где поле K является расширением Галуа поля Q и х - характер Дирихле поля k, отвечающий этому расширению. Тогда имеет место

Теорема. Если выполнены гипотезы Римана для дзета-функции и L-функций L(s,x), где х - числовой характер Дирихле, то нули L-функции L(s,x,k) лежат на критической прямой.

К ЗАДАЧЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЯДОВ ДИРИХЛЕ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ2

В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотрим ряд Дирихле вида

s = а + it

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).

2Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).

где h(n) — конечнозначный неединичный характер, имеющий ограниченную сумматорную функцию S(x), т.е.

S (x) = ^ h(n) = O( 1).

n^x

Для рядов Дирихле такого вида доказаны следующие утверждения

Теорема 1. Ряд Дирихле вида (1) определяет функцию, регулярную в полуплоскости я > 0, для которой все точки мнимой оси являются точками непрерывности в широком смысле.

Теорема 2. Линия Г(t) = f (it) является простой жордановой линией.

Последнее утверждение позволяет к функции f (s), определенной рядом Дирихле (1), применить известный принцип симметрии аналитического продолжения Римана-Шварца (см. [1]) и продолжить f (s) регулярным образом на комплексную плоскость. Этот результат имеет важное значение для решение известной проблемы обобщенных характеров (см.

[2, 3]).

Библиографический список

1. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М. : Наука, 1968. Т. 2.

2. Чудаков Н. Г., Линник Ю. В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74, № 2.

3. Чудаков Н. Г., Родосский К. А. Об обобщенном характере // Докл. АН СССР. 1950. Т. 74, № 4.

О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ РЯДОВ ДИРИХЛЕ С ОГРАНИЧЕННОЙ СУММАТОРНОЙ ФУНКЦИЕЙ

КОЭФФИЦИЕНТОВ1 В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов) E-mail: [email protected], [email protected]

Рассмотрим ряд Дирихле

inf

f (s) = E n' s = - + it- (1)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00399).