CC BY
23
О ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ НА СФЕРЕ
© А.В. Опимах
Пусть С - ортогональная группа 80(3), она действует вращениями в Е3. Пусть 5 - сфера а = 1, где а = х2 + у2 + г2, в Е3. Известно [1], что квазирегулярное представление К группы С на 5 (в пространстве 2>(5)) разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений 7} со старшими весами / (= N = {0,1,2,...}. Неприводимое подпространство V/, в котором действует 7), состоит из ограничений на 5 многочленов из Я/ - пространства гармонических многочленов от а:, у, г, однородных степени /.
Пусть и ^(Е3) - пространства дифференциальных форм с гладкими коэффициентами степени
к на 5 и на Е3 соответственно. Здесь Л: = 0,1,2 и к = 0,1,2,3 для 6’ и Е3 соответственно. Пусть Л(А ) и (/(*)
- представления группы О сдвигами в С1к(.$’) и ^‘(Е3), соответственно.
В [2] мы рассмотрели разложение представления Сейчас мы рассмотрим Поскольку
существует (т-инвариантная формам Е ^2(.$') - элемент площади на мы имеем = ^(|))(5) - и,
так что Я^2) эквивалентно Я(0) = Н (разложение указано выше). Однако, мы хотим выяснить, как И[г) взаимодействует с II^ и Эти построения будут полезными в более общих ситуациях (сфера в Е” и
др.).
Напомним [2], что разлагается в прямую сумму представлений 7} с кратностью 3 для / ^ 1 и с кратностью 1 для / = 0. В [2] указаны явные выражения для старших векторов в неприводимых подпространствах.
Представления и эквивалентны с помощью оператора *, отображающего ^^(Е3) на Г^2^(Е3):
*{Р(1х + (}(1у + Нх1х) = Р(1ус1г + Ц(12(1х + НЛх(1у В частности, вводя новые переменные и = х + 1у, й = х — г'у, имеем
*(1и = гс/гг/и, *(1й = = -Ливм.
Следовательно, (Л2) разлагается точно так же, как и Старшие векторы получаем из старших
векторов из [2] с помощью *, а именно, для / ^ 1 - это три формы
(а): 21и1~1 — (2/ + 1)г/*(*г/<т), (6): и1-1 г{(1гЛи — -и1 (1и(1й, (с): г/-1 гг/гг/м,
а для 1 = 0- это форма *г/<т.
Теперь ограничим 1^(2)(Е3) на сферу 5. На мы имеем: *г/<т = 2и>, (1г(1и = —ти>, (1иНй = —21ги>.
Следовательно, при ограничении на 5 форма (6) исчезает, а формы (а) и (с) совпадают с точностью до множителя: (а) есть —'2(1 + 1)14*0;, (с) есть и1 форма для / = 0 дает
В частности, композиция операторов 01 и из [2], оператора * и ограничения на таковы: *0\/ = 1/и для / £ Я/, *£)2 = 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.
2. Опимах А.В. Гармонический анализ в пространствах дифференциальных форм на сфере. Вестник Тамбовского ун-та. 2002, том 7, вып. 1, 57-58.
