Представления обобщенной группы Лоренца в дифференциальных формах первого порядка на конусе Текст научной статьи по специальности «Математика»

обозначает неприводимое представление группы К' со старшим весом т (и размерностью 2т + 1). При ограничении на К' мы имеем следующие разложения:

7ГI = 7С[ + ... + 7Гд, 7Г/1±1 = 7г/ + ... + тг[. (1)

Для изучения действия операторов д/ду - д/дь и V - її достаточно проследить за старшими векторами относительно К' (аннулируемыми повышающим оператором X = Е+ + Е-). Рассмотрим сначала 7Г/Д. Обозначим через е\к) и старшие векторы в представлениях п'к соответственно для тгі и 7Г; і в разложениях (1). Мы имеем:

'"Д (*_- 1)М{к + 1)[г1,

о

(л - /)М*м

^ = Е (2) г=0 ' '

г(к) _ \ 4 I) К t 1ЛГ1— irr t

fl - Ъ (_|_|ЛИг! - F+/b

г=0 ' '

(3)

где мы используем обозначение а!т1 = а(а + 1)...(а + т — 1). Отметим очевидную связь формул (2), (3) с гипергеометрическими многочленами F(A: — I, к + 1; — і, —і), F(/¡: — I, к; —I — 1; —£).

Теорема. Имеют место следующие формулы:

- Ае1к)+и№ ду)/і _АЄ'

(и - її)/,(А:) = р//*і + де}** + где А,/і,р, д, г -коэффициенты, зависящие от I и к, а именно,

х к{к + 1) (/- 1)(/- Л)(* + * + 1)

/(/+1) ’ /

1 2 х 1

р = -? 4 = ~Т+2 ' г = -гг^-

Таким образом, операторы д/ду-д/дЪ и и-їїзацепляют 7Г/,1 соответственно с 7Г/, и с 717+1,1, л/, .

Аналогичные формулы справедливы для 7Г/?_і.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Опимах A.B. Гармонический анализ в пространстве дифференциальных форм первого порядка на сфере (см. настоящий том).

2. Опимах A.B. Представления обобщенной группы Лоренца в дифференциальных формах первого порядка на конусе (см. настоящий том).

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА КОНУСЕ

© А.В.Опимах

Пусть С - псевдоортогональная группа 80о(1,п - 1), сохраняющая билинейную форму

[я, г/] = -ХіУі + Х2У2 + ••• + Хпуп

в К”. Мы будем считать, что Є действует линейно в К" справа: і и Ї = хд, в соответствии с этим мы записываем вектор в виде строки. Пусть Х0 - конус (верхняя пола) [і,і] = 0, її > 0. Группа Є действует на нем транзитивно.

Для многообразия М обозначим через Л1 (М) пространство дифференциальных форм на М первого порядка с гладкими коэффициентами.

Группа (7 действует в Л1 (ЛЬ) сдвигами: элемент д Є Є переводит форму и> = ^и>*(і)(іхк, в форму ш = ^ Шк{х)с1хк, в качестве координат на ЛЬ можно взять Х2, хп. Пусть А*(Ло), о € С, - подпространство в Л1 (До)) состоящее из форм степени однородности ст:

и\х>-Ых = І > 0.

Группа С сохраняет это пространство. Пусть - соответствующее представление группы С. Наша задача - выяснить его структуру.

Пусть 5 - сечение конуса плоскостью її = 1, это - сфера размерности п — 2, она состоит из точек в = (1, вг,..., вп)і + ... + = 1. Введем на ЛЬ полярные координаты: х = г«, где г = х\ >0, в Є 5.

Всякая форма и из Л^(ЛЬ) имеет вид

и = с!/ + гаС, (1)

где / = гаір, Є Р(5), С € Л1 (5). В функциях / = гаи, стало быть, в их дифференциалах действует

представление Та, описанное в [1]. Следовательно, (1) дает разложение представления на два слагаемых: ТІ’* = Та + Я<7, где действует в Л1 (5) следующим образом. Возьмем в качестве локальных координат на 5 переменные вг,..., вп без какой-нибудь одной из них. Тогда если С — ^ 0(а)^3л то

длж = (*<?)? £ Сф)<%

где ? = (я<7)/(в<7)і. Остается исследовать Іїа.

Пусть К - подгруппа в С, сохраняющая координату її. Это - максимальная компактная подгруппа, она изоморфна 80(п — 1). Она действует сдвигами на 5 транзитивно.

Алгебра Ли д группы Є имеет своим базисом матрицы = Ец — \iEji, і < і, где - матричная единица (1 на месте (г,и 0 на остальных), Аі = — 1, Аг = = А„ = 1. Алгебра д распадается в прямую

сумму 0 = 6 + р, где Е - алгебра Ли группы К, р - подпространство, ортогональное Е в смысле формы

Картана. Базис в р состоит из Ь\^ і = 2, ...,п.

Ограничение представления Я„ на К есть представление 7Г*1* группы К сдвигами в А1 (5), оно не зависит от а. Разложение я*1* на неприводимые было сделано в [2] для п = 4 и [3] для п ^ 5.

Случай п = 3 - самый простой, здесь 11а = Та-\.

Случай п = 4 несколько более сложен. Здесь я^1* разлагается в прямую двукратную сумму представлений 7Г/, / ^ 1. В этом случае 11а распадается в прямую сумму двух экземпляров представлений Та-1 : На = Та-1 +Та-х.

Пусть теперь п > 5 (так что п—1 > 4). Тогда я-*1) разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений я/ и 717,1 со старшими весами (1,0,..., 0), и (1,1,0,..., 0), соответственно, здесь I = 1,2,... Пусть V} и \Уі обозначают пространства представлений я/ и ячд, соответственно. Обозначим через V и IV их суммы по I.

Теорема 1. Пусть п > 5. Операторы Я„(Х), X Є р, зацепляют указанные К-типы следующим образом:

11*(рщ = {О + п - 4 + /)Ж,_1 + (а + 1)У, + [а - I - 1)Ж/+ь На(9)4 = (а + п - 4 + ІЩ-1 +о\Уі + {о-1- 1)У/+1.

Барьерные функции сг + п — 4 + /, <7 + 1, <т, а — I — 1 дают полную информацию о структуре Яа. А именно, мы имеем

Теорема 2. Пусть п > 5. Представление Яа неприводимо за исключением случаев о = —1,0,1,... и о = 3 — п, 2 — п, 1 — п,... В случае о = 1,2,3,... пространство А1 (5) имеет неприводимое конечномерное инвариантное подпространство Х)(^ + И''/), I ^ а~ фактор-пространство по которому неприводимо. В случае о = 3 — п, 2 — п,... ситуация двойственная: пространство Л1 (5) имеет неприводимое бесконечномерное инвариантное подпространство -Н И^|), I ^ А — п — а, фактор пространство по которому конечномерно и неприводимо. При а = 0 и /г = — 1 имеется одно неприводимое подпространство V и\У, соответственно, (¡»актор-пространство по которому неприводимо.

Для п = 5 представление 7Р1' разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений 7Г/, 717,1 и 7Г/ _1, I ^ 1, действующих в пространствах V),W^,Wt~. Формулы из теоремы 1 изменяются соответственно:

R*(p)W± = (а +1 + 1 )Wt, +(о + 1)V/ + (а - I - 1 )И£,,

RAPW = (ст +1 + 1)^-1 + aW+ + aWf + (а - l - l)Vl+l.

Отсюда получаем теорему, аналогичную теореме 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

2. Опимах A.B. Гармонический анализ в дифференциальных формах на сфере // Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, вып. 1, 57-58.

3. Опимах A.B. Гармонический анализ в пространстве дифференциальных форм первого порядка на сфере, (см. настоящий том)

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА АЛГЕБРАХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ

© С. В. Цыкина

Алгебра ]Уп циклических чисел размерности п есть пространство многочленов над К от переменной і степени ^ п — 1 с соотношением іп = 0. В данной работе мы находим аффинные связности на алгебрах \-V-2 и \У3, инвариантные относительно группы «движений», а также в пространстве М3, инвариантные относительно неоднородной группы Гейзенберга.

Пусть М - многообразие с аффинной связностью V. Пусть я(£) - кривая на М. Производную по < (і - время) будем обозначать точкой. Касательный вектор есть і. Определим ускорение: х = У±х. Геодезическая - это кривая с нулевым ускорением. В локальных координатах х, ускорение имеет вид

•J

Теорема! Если аффинная связность на К" инвариантна относительно группы параллельных переносов, то символы Кристофеля постоянны.

Показательная функция ехр на W„ определяется с помощью стандартного ряда. В частности, ехр(г'<£>) = 1-1- ¿v?, (п = 2), exp(i<p + i2rp) = 1 + iip + i2ip + \i24>2 (n = 3).

Определим вращение пространства Wn вокруг начала координат как умножение на экспоненту от чисто мнимого числа (см. выше). Это - косая деформация пространства R”. Например, указанная выше экспоненты дают матрицы:

1 0 0

¥> 1 0

■ф + <р2/2 1

Движением пространства Wn назовем линейное преобразование tu aw + b, где а - экспонента от чисто мнимого числа. Любое движение есть либо параллельный перенос (если а = 1), либо поворот с центром в точке с = Ь/(\ — а) (если а ф 1). Множество всех движений пространства W„ образует группу.

с:)-