Разложения пространств дифференциальных форм первого порядка на сфере в R4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. Представление 7г*1) группы К сдвигами в Л1 (5) разлагается в прямую однократную сумму неприводгилых представлений ni, 7Г/д для р > 4 и щ, ni,±i для р = 4. Здесь 1^1. Старшие векторы указаны в (4) и (5), (в (5) надо заменить I + 1 нal).

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

2. Опимах A.B. Гармонический анализ в дифференциальных формах на сфере// Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, вып. 1, 57-58.

3. Опимах A.B. Разложения пространств дифференциальных форм первого порядка на сфере в К1 (см. настоящий том).

4. Levine D. Systems of singular integrals on spheres // Trans. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 144, 493-522.

РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА СФЕРЕ В I4

© А.В.Опимах

В работе [1] мы разложили представление группы 30(р) сдвигами в пространстве А*(5) дифференциальных форм первого порядка на сфере Б в Кр для р ^ 4. В настоящей работе мы даем некоторую дополнительную информацию для р = 4, (вообще, случай р = 4 несколько отличается от р > 4).

Напомним [1], что представление эт*1* разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений я-; и 7Г/,±1, I = 1,2,3,..., группы К = БО(4). Размерности представлений 7Г/ и тг/^ равны, соответственно, (I + I)2 и /2 + 21.

Вместо переменных 11,12,131^ В К'1 нам удобно ввести переменные и = Х\ + ІX2,й = XI — {Х2,У —

Хз + = Хз — 1хц.

Базис алгебры Ли Е группы К состоит из шести матриц Ькт — Ект ~ Е1Пк, 1 ^ к < т ^ 4, Ект ~

С

матричная единица. Возьмем в 6 картановскую подалгебру с базисом Ь = —1Ь\2, М = -¿£34. Корневыми векторами служат элементы

-

2

Е± = - ^¿13 + ¿¿23 ± *(¿14 + ¿¿24)) I

F± = - ^Li3 - iL-хз Т і(Ьі4 - iLwŸj.

2

Положительным корням отвечают Е±. Напишем соответствующие операторы Ли:

г д - д ы д - д

1 = иа^-иач' м = '’д^-уШ'

а а „ _а а

£+ = -”й + “да' Е- = -',№ + иа,?

.в .8 „ а _а

ґ+ = -,,л+“в;' Е- = -',аї+иаї

Старшими векторами (аннулируемыми Е±) для 7Г/, яуд, является соответственно формы:

е/ = и,~1Ии> // = и,~1ус1и — и1(1ь, = и,-1її<ііі — и1вЮ.

Для исследования представлений группы 80о(1,4), см. [2], надо знать, как действуют операторы д/дь — д/дЛ = —ід/дхц и и — її (умножение на V — її = 2114) на формы из пространства представления тг/,±1 (оператор д/ду-д/дхі понимается в следующем смысле: сначала применяем его к соответствующим формам в К1, а затем берем ограничение на 5). Эти операторы коммутируют с подгруппой К' = 80(3), сохраняющей 14, следовательно, сохраняют подпространства, инвариантные относительно К'. Пусть п'т

обозначает неприводимое представление группы К' со старшим весом тп (и размерностью 2т + 1). При ограничении на К' мы имеем следующие разложения:

7Г, = 7г/ + ... + По, 1Г1)±1 = Л+ ... + 7Г^. (1)

Для изучения действия операторов д/дь — д/дь и V — V достаточно проследить за старшими векторами относительно К' (аннулируемыми повышающим оператором X = Е++Е-). Рассмотрим сначала 7Г/д. Обозначим через е\к) и старшие векторы в представлениях тг'к соответственно для 7Г| и 7Г|,1 в разложениях (1). Мы имеем:

г—О

(2)

ft йн(_1) F- F+fh (3)

r=0 v '

где мы используем обозначение atml = а(а + 1)...(а + m- 1). Отметим очевидную связь формул (2), (3) с гипергеометрическими многочленами F(k — l,k+ 1; -l\ -t), F(k - I, к; —І - 1; -і).

Теорема. Имеют место следующие формулы:

( — - —\ f{k) - Хе{к) + и f{k)

\dv dv)fl ~Ае' +

(v - v)tfk) = pf}*\ + qe\k) + rfjk\, где \,p.,p,q,r -коэффициенты, зависящие оті и k, а именно,

Л k(k + 1) (I — 1)(/ — k)(l + k + 1)

1(1 + 1)’ I

1 2 х 1

Р = -Т- q = -TT2а’ г = -ггі^

Таким образом, операторы d/dv—d/dv и v—v зацепляют 7Г/,і соответственно с 7Г|, 7Г/ _ 111 ис7Г/+і,і, щ, 7Tj-i,i. Аналогичные формулы справедливы для яг/,_і.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Опимах A.B. Гармонический анализ в пространстве дифференциальных форм первого порядка на сфере (см. настоящий том).

2. Опимах A.B. Представления обобщенной группы Лоренца в дифференциальных формах первого порядка на конусе (см. настоящий том).

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА КОНУСЕ

© А.В.Опимах

Пусть Є - псевдоортогональная группа 80о(1,п - 1), сохраняющая билинейную форму

[і, у] = -хі 2/і + х2уг + ... + хпуп

в К". Мы будем считать, что (? действует линейно в К" справа: х н* х — хд, в соответствии с этим мы записываем вектор в виде строки. Пусть ЛЬ - конус (верхняя пола) [х,х] = 0, хі > 0. Группа С? действует на нем транзитивно.