Гармонический анализ в пространстве дифференциальных форм первого порядка на сфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА СФЕРЕ

© А.В.Опимах

Пусть К = SO(р) - ортогональная группа матриц порядка р с определителем 1. Мы будем считать, что К линейно действует в Кр справа: х хк, в соответствии с этим будем писать вектор в виде строки. Пусть Q = xf + ... + Яр и пусть S обозначает сферу Q = 1. Для многообразия М обозначим через Л1 (М) пространство дифференциальных форм на М первого порядка с гладкими коэффициентами. Пусть

- представление группы К сдвигами в пространстве Л1 (5). Наша цель - разложить это представление на неприводимые, см. теорему 2 ниже. Мы будем считать, что р ^ 4. Случай р = 3 был рассмотрен нами ранее, см. [2], он имеет некоторые отличия от общего случая. Случай р = 4 несколько более подробно рассмотрен в работе [3].

Известно [1], что представление 7г(0' группы К сдвигами в пространстве C°°(S) функций на S разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений 7Г/, I 6 N = {0,1,2,...}, со старшим весом (Z, 0,0). Пусть Я; - пространство однородных гармонических многочленов в Кр степени I. Представление 7Г/ - это представление группы К сдвигами в Hi, оно же эквивалентно действует и в пространстве Я/(5) ограничений многочленов из Hi на S.

Сначала рассмотрим представление U^ группы К сдвигами в Л1(КР). Оно есть прямая сумма представлений 7Г/ <g> 7Г1, I е N, действующих в пространствах Hi ® dHi, здесь d - дифференциал, dH\ имеет

базис dxi,...,dxp. Представление 7Г; ® ж\ разлагается так, см. [4]:

7Г/ ®7Г1 = 717_1 +7Г|,1 +7Г/+1, р > 4, (1)

7Г1 <8>7Г! = 7Г/-1 + 7Г/,1 + 7Г/ _1 + 717+1, Р = 4, (2)

здесь 7Г/,г - неприводимое представление со старшим весом (/,£,0,

Алгебра Ли £ группы К имеет своим базисом матрицы Ly = Eij - Eji, i < j, где Еу - матричная

единица (1 на месте {i,j), 0 на остальных). Ранг алгебры 6 равен [р/2] (целая часть). В качестве карта-

новской подалгебры возьмем подалгебру а с базисом I/2*-i,2*i к = 1,..., [р/2]. Положительная корневая С

подалгебра п в г натянута на элементы

= 2 {^2*-1,2т-1 +t^2*-l,2m ± *(^2*-1,2тп + *Ь2*,2т)}

- при четном р, а при нечетном р надо к ним добавить Е* = Ь2к-\,р + гЬгь.р-

Укажем старшие векторы (формы, аннулируемые подалгеброй п) в правых частях (1) и (2). Для (1) -это, соответственно, формы

{xl+ix2)‘~idQ, (3)

(xi +гх2),_1|(хз +ix4)(dx\ + idx2) - (xi -Hx2)(dx3 +idx4)|, (4)

dj(xi +ix2)'+1}, (5)

для (2) первый и последний вектор - те же самые, а для 7T/t±i надо в (4) взять ±х^ вместо Х4.

Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 1. Представление U^ группы К сдвигами в пространстве Л1 (Кр) разлагается в прямую сумму неприводимых представлений 717, I ^ 0, 717,1, I ^ 1 - для р > 4 и 717, I ^ 0, 7Г|,±ь / ^ 1 - для р = 4. Кратности представлеутй 7Го, 717,i и ж^±\ равны 1, кратности представлений я7, I ^ 1, равны

2. Старшие векторы неприводимых представлений указаны выше, см. (3), (4), (5). Представления 717 действуют в пространствах HtdQ и dHi.

Представление 7г(1) получается из при ограничении форм из Л1(КР) на сферу S. Поскольку на сфере S мы имеем Q = 1 и, стало быть, dQ = 0, серия представлений 7Г/, 1^0, действующих в HidQ, исчезает. Мы получаем

Теорема 2. Представление ж^ группы К сдвигами в Л1 (5) разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений щ, 7Г;д для р > 4 и 7Г/, 7Г;,-ы для р = 4. Здесь I ^ 1. Старшие векторы указаны в (4) и (5), (в (5) надо заменить I + 1 на I).

ЛИТЕРАТУРА

1. Вхыенкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

2. Опимах А. В. Гармонический анализ в дифференциальных формах на сфере// Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, вып. 1, 57-58.

3. Опимах А.В. Разложения пространств дифференциальных форм первого порядка на сфере в R4 (см. настоящий том).

4. Levine D. Systems of singular integrals on spheres // Trans. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 144, 493-522.

РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА СФЕРЕ В I4

© А.В.Опимах

В работе [1] мы разложили представление 7Г(1) группы ЭО(р) сдвигами в пространстве Л1 (5) дифференциальных форм первого порядка на сфере 5 в Кр для р ^ 4. В настоящей работе мы даем некоторую дополнительную информацию для р = 4, (вообще, случай р = 4 несколько отличается от р > 4).

Напомним [1], что представление разлагается в прямую однократную сумму неприводимых представлений 7Г| и 7Гі'±х, I = 1,2,3,..., группы К = БО(4). Размерности представлений 7Г/ и ж^±і равны, соответственно, (I + I)2 и I2 + 21.

Вместо переменных Х\,Х2,Хз,Х4 в к4 нам удобно ввести переменные и = Хі + ІХ2,й = XI — ІХ2,Ь =

Хз + ІХ 4,ЇЇ — Хз — ІХ4.

Базис алгебры Ли Е группы К состоит из шести матриц 1<*т = Ект - Етк, 1 ^ к < т ^ 4, Ект -

С

матричная единица. Возьмем в 6 картановскую подалгебру с базисом Ь = -іЬ\2, М = -іЬ34. Корневыми векторами служат элементы

Е± = - ^.£аз -І- гЬгз ± і(£и + ^24)) >

F± = - ^Ь\з - 1L23 Т *(^14 - iL24)) ■

2

Положительным корням отвечают Е±. Напишем соответствующие операторы Ли:

г д - д м д -д Ь = и------и—, М = V----------Ут-,

ои ой ои ог1

д д _ _д д

Е+ = -',ш + ия’ +

_ д _ д д _ д

р+ = -уё; + иЖ,' Г- = -"Ж, + ит-

Старшими векторами (аннулируемыми Е±) для ж/, ж/^, Ж1-\ является соответственно формы:

е/ = и,~1с1и, // = и,~1ьс1и - и‘йи, /," = и1~1:й(1и - и'^и.

Для исследования представлений группы 80о(1,4), см. [2], надо знать, как действуют операторы д/дь - д/дг} = -1д/дх4 и V - V (умножение на V - V = 2г'х4) на формы из пространства представления 7Г(,±1 (оператор д/дь — д/дй понимается в следующем смысле: сначала применяем его к соответствующим формам в К4, а затем берем ограничение на 5). Эти операторы коммутируют с подгруппой К1 = БО(3), сохраняющей Х4, следовательно, сохраняют подпространства, инвариантные относительно К'. Пусть ж'т