О двоичных базисных сплайнах Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Eilenberg S. Automata, Languages and Machines, V, B, Academic Press, N. Y,, 1976. 403 p.

2, Almeida J. On pseudovarieties, varieties of languages, filters of congruences, pseudoidentities and related topics // Algebra Universalis, 1990, Vol, 27, P. 333-350,

3, Альбеверио С., Фепстад И., Хеэг-Кроп Р., Липдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике, М, : Мир, 1990, 616 с,

4, Molchanov V. A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis. 1995. Vol. 33. P. 533-547.

5. Molchanov V. A. Nonstandard congruences and lattices of pseudovarieties // Semigroups, automata and languages / ed. J. Almeida. Wold Scientific. Singapore ; New Jersey ; London, 1996. P. 183-193.

6. Molchanov V.A. Nonstandard free objects over pseudovarieties of finite algebraic systems // Contributions to General Algebra 16, Proceedings of the Dresden Conference 2004 (AAA68) and the Summer School 2004. Verlag Johannes Heyn. Klagenfurt, 2005. P. 145-154.

7. Almeida J. The algebra of implicit operations // Algebra Universalis. 1989. Vol. 26. P. 16-32.

8. Almeida J., Azevedo A. On regular implicit operations // Portugaliae Mathematica. 1993. Vol. 50. № 1. P. 35-61.

УДК 517.51

М.Д. MyiTTKO О ДВОИЧНЫХ БАЗИСНЫХ СПЛАЙНАХ

При практических вычислениях сплайн-функции удобно представлять как линейную комбинацию базисных сплайнов(В-сплайнов). Возможность такого представления доказывается в теореме Карри-Шенберга [1]. Мы докажем это утверждение для двоичных сплайнов второй степени. Подробнее о сплайнах второй степени можно посмотреть в [2]. Рассмотрим функцию Уолша W3. Проинтегрировав эту функцию один раз, мы получим функцию Мартенса-Терехина С(х) = 4 /0 W3(t)dt. При помощи функции Мартенса-Терехина образуем функцию р следующим образом:

пX

р(х) = 4х[о,1](х) С(t)dt, (1)

Jо

где Х[о,1](х) - это характеристическая функция отрезка [0,1]. Рассмотрим систему сдвигов функции {рк(ж)}к€^, где (х) = ^р(х — |).

Теорема 1. Для любого х € [0,1] выполняется следующее условие:

3

Е Рк(х) = 1. (2)

к=—3

Следствие 1. Для любого х Е К выполняется следующее условие:

Е ^ (х) = 1. (3)

кЕ Z

Следствие 2. Функция ^>(х) линейно выражается через свои сдвиги.

В силу следствия 2 мы можем выбросить из системы функцию при к = 0. Будем рассматривать следующую систему сдвигов:

{^к (х)}кЕ^к=0. (4)

Рассмотрим сплайн порядка 2 дефекта 1 с узлами в точках к, к Е Ъ.

На каждом отрезке длины 4 сплайн-функция Б(х) представляет собой полином второй степени. При этом в узлах сетки выполнены условия непрерывности функции и ее первой производной.

Теорема 2. Для любого х Е [0,1] сплайн порядка 2 дефекта 1 Б(х) с узлами сетки в тючках |, к Е Ъ7 представим в виде линейной комбинации функций из системы {^к(х)}кЕЪ,к=0 :

3

Б (х) = Е ак ^к (х). (5)

к=-3

Доказательство. Для доказательства этого утверждения выразим коэффициенты в (5) через свободные переменные сплайн-функции Б(х). Будем рассматривать линейную комбинацию (5) на отрезках длиной 4.

1)Пусть х Е [0, 4]. Тогда линейная комбинация (5) будет иметь вид

Б (х) = а_з^_з(х) + а_2^-2(х) + а_х^_х(х). (6)

При х Е [0,1 ] сплайн-функ ция Б (х) имеет в ид ахх2 + Ьхх + сх. Таким образом:

ахх2 + бхх + Сх = а_з^_з(х) + а_2^_2(х) + а_х ^>_х(х). (7)

Распишем подробнее с учетом вида функций ^>_3(х), ^>_2(х), ^>_х(х) на отрезке [0, 4]:

ахх2+Ьхх+сх = а_3(4х2_2х+1)+а_2(_4х2+1)+а_х(_4х2+2х+1). (8)

4 2 4

Сгруппируем коэффициенты при соответсвуюгцих степенях в (8) и получим систему линейных уравнений:

4а_3 _ 4а_2 _ 4а_х = ах,

_2а_3 + 0а_2 + 2а_х = Ьх, (9)

х а_3 + х а_2 + 4 а_х = Сх.

Определитель системы (9) будет отличен от нуля. Следовательно, система будет иметь единственное решение:

ах Ьх ( ,

а_3 = + ^ + cх, (Ю)

а_2 = _ -4 _ "2~, (п)

а 3

а_х = -4 + 4 Ьх + 2сх. (12)

2) Пусть х Е [х, 2]. Тогда сплайн-функция Б(х) будет записываться в виде линейной комбинации

а2х2 + Ь2х + с2 = а_2(4х2_4х + 1)+а_х(_4х2 + 2х + 1) + 4ах(х_ 1)2. (13)

В силу того что на отрезке [4, 2] (13) справедливо при любых х, продифференцируем (13) дважды

а2 = 4а_2 _ 4а_х + 4ах. (14)

В уравнении (14) а2, а_2, а_х являются известными. Найдем ах

ах = -4 _ а_2 + а_х. (15)

Проводя аналогичные рассуждения в отношении отрезков [2, |] и [!, 1], мы выразим а2 и а3. Что и требовалось доказать.

Следствие 3. Для лобого х Е К сплайн порядка, 2 дефекта 1 с узлами сетки в точках |, к Е Ъ7 представим в виде линейной комбинации функций из системы {^к(х)}кЕЪ,к=0

Б(х) = Е "к^к(х). (16)

кЕЪ,к=0

Следствие 3 есть аналог теоремы Кирри Шенберги для двоичных сплайнов второй степени. Другой способ построения базисных сплайнов при помощи интегрирования можно найти в [3].

Работа подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00152).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ДеБор К. Практическое руководство по сплайнам. М, : Радио и связь, 1985. 304 с.

2. Алберг Дж., Нильсен Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М, : Мир, 1972. 320 с.

3. Кашин Б., Саакян А. Ортогональные ряды. М. : АФЦ, 1999. 560 с. УДК 519.7

В. Е. Новиков

ИЗОТОННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ОДНОЗНАЧНОМ КОНТЕКСТЕ

В работе рассматриваются изотопные отображения как инструмент, с помощью которого можно упростить однозначный контекст с действительными множествами атрибутов с тем, чтобы наиболее существенная информация об объектах в исходном контексте сохранилась.

Формальным контекстом называется тройка К = (О, {М^},р), где О - конечное множество объектов, |О| > 2, {М^} - семейство конечных множеств атрибутов с множеством индексов 1 < г < п, |М^| > 2, Р некоторое (п + 1)-арное отношение. Если (^,ш1, ...,тп) € р, то говорим, что объект д то атрибуту 1 имеет значение ш1? по атрибуту 2 имеет значение m2 и т.д. Когда любой объект по каждому атрибуту имеет точно одно значение, контекст называется однозначным. В однозначном контексте отношение р определяет семейство отображений рj : О ^ Mj, 1 < . < п, по правилу рj (д) = т^ Ядро каждого отображения рj является разбие-О

. (пли коротко с .-концептами). Обозначим это разбиение на .-концепты О/-. Таким образом, для любого mj € М^^ ^^^жество р—1(mj) является некоторым блоком разбиения ОД и некоторым .-концептом.

Обозначим % = {л,.72, ...,Зк}, где 1 < .1 < .2 < ... < Зк < п, П = = {1, 2,...,п} Щк = Мл х М?2 х ... х Щк, Щк = {тл ,mj2 ^..^к} € € М^, %к ^ п. Отношение р однозначного контекста К также определит более широкое семейство отображений р^ : О ^ М^к, % ^ п, по