УСЛОВИЯ НЕПУСТОТЫ С_α-ЯДРА В АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГРАХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

s (А, в) = *(ker9) =*ф2 (*ст).

Так как е - инвариантная конгруэнция, мы заключаем, что -1 -1 ес*ф2 (е)с*ср2 (*<?) = б (А, 0). Следовательно, е <zE(K{е)).

С другой стороны, пусть tu t2e*W таковы, что t\ =t2 (е). Тогда для нормальной конгруэнции е существует 1еГЕ такое, что t\e*L и t2£*L. Отсюда, t\ =t2 (*Ol) для синтаксической конгруэнции aL [2] и автомат А = W/aL принадлежит К(е), так как по [2], в с *aL. Таким образом, (fb t2) г ЕЩЕ)). Мы заключаем, что е = Е(К(г)). Ясно, что Е и К являются функциями, удовлетворяющими условиям:

Мх с М2 => Е(М,) о Е(М2), е, с е2 => К{е,) => К(г2).

На основании этого утверждаем, что L и INCon* W являются дуально изоморфными полными решётками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Molchanov V.A. Nonstandard characterization of pseudovarieties // Algebra Universalis, 1995. Vol. 33. P. 533 - 547.

2. Molchanov V.A. Nonstandard congruences and lattices of pseudovarieties // Semigroups, automata and languages. (J.Almeida, Ed.) World Scientific, Singapore-New Jersey-London, 1996. P. 183 - 193.

3. Otryvankina Т. M. Lattice of pseudovarieties of finite algebraic automata // Summaries of talks, International Conference "Colloquium on semigroups". Szeged, 2000. P. 20-21.

УДК 519.8

М. В. Пасечник

УСЛОВИЯ НЕПУСТОТЫ Са -ЯДРА В АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГРАХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ

Как известно [1], в игре л-лиц её Са-ядро определяется как множество исходов игры, допустимых для всех коалиций. Цель данной статьи -нахождение условий непустоты Са -ядра в антагонистических играх с упорядоченными исходами. Антагонистическая игра с упорядоченными исходами задаётся в виде

0 = (Х,У,А, (1)

где X — множество стратегий игрока 1, У — множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, Г:ХхУ-> А - функция реализации, со - отношение порядка, характеризующее предпочтения игрока 1, предпоч-

тения игрока 2 выражаются обратным бинарным отношением со 1. Считаем, что | X |> 2, \Y\>2. Так как в антагонистической игре имеется всего 3 коалиции: {1}, {2}, {1,2} илюбой исход допустим для коалиции {1,2},тов антагонистической игре исход принадлежит Са -ядру тогда и только тогда, когда он допустим для обоих игроков. Если не накладывать никаких ограничений на компоненты игры G вида (1), ее Са -ядро может быть пустым.

1. Достаточные условия непустоты Са-ядра в антагонистических играх с упорядоченными исходами.

ТЕОРЕМА 1. Если в игре G = [X,Y,A,a,F) все цепи упорядоченного множества (А, со) конечны, то её Са-ядро непусто.

Доказательство. Рассмотрим 2 подмножества множества исходов игры U*( 1) и и'(2), которые определяются следующим образом: t/*(l) = ja б А: (Эх е Х)(х/у е Y) F(x,y) >ш a \ - множество исходов недопустимых для игрока 1; U*(2) = ja е А: (3у е Y)(Vx е X) F(x,y) <m aj -множество исходов недопустимых для игрока 2. Тогда (С/*(1))' есть множество исходов, допустимых для игрока 1, (U* (2))' есть множество исходов, допустимых для игрока 2 и Са = (£/*(1))'п(£/*(2))'.

Докажем, что в предположениях теоремы 1 Са= 0.

1 случай. U*( 1)^0 и и'(2)*0. Так как в упорядоченном множестве [А,со) все цепи конечны, то в нём выполнено как условие обрыва возрастающих цепей, так и условие обрыва убывающих цепей, поэтому каждое непустое подмножество имеет как максимальный, так и минимальный элементы. Пусть а* - максимальный элемент множества £/*(1), Ъ* - минимальный элемент множества U*(2). Так как а' е £/*(1), то выполняется

(Эх.еХХУуеУ) F(xuy)>* а . (2)

Так как b* е t/*(2), то выполняется

(3yieY)(VxeX) F(x,yO<ab'. (3)

Полагая в (2) у = ух, и в (3) х = хи получаем а <ш F(xltу,) <m b . Так как /-"(jc,,j/j) >ш а* я а - максимальный элемент множества £/*( 1),то ^(^»Л)е(^'(1))'- Так как /г(х1,1>'1)<<° Ъ* и Ь* - минимальный элемент множества í/*(2), то F(x^,yx) e(U* (2))'. Следовательно, (C/*(l))'n(í/*(2))'= Са , откуда Ca*0.

2 случай. í/*(l) #0 и U' (2) =0. Тогда для игрока 2 все исходы игры допустимы, поэтому Са =(U*( 1))'. Так как U*( 1)*0, то существует максимальный элемент а' множества (/*( 1). В виду того, что a'eí/*( 1), имеем

105

(3 х2 е Х)(\/ у е У) Р(х2,у) >т а'. Фиксируя произвольно у'е У, получаем Р(х2,УУ>ю а'. Следовательно, Р(х2,у')е(С/*(1))'= Са. Откуда Са*0.

3 случай. {/*(1) = 0 и и*(2)= 0 . В этом случае все исходы являются допустимыми для обоих игроков, так как Са = (£/*(1))'п({/*(2))'= А г\ А = = Аф0. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2. Игра (7 = {Х,У,А,а>,р), в которой множества стратегий игроков конечны, имеет непустое Са-ядро.

ЛЕММА. Пусть С? = {Х,У,А,со,Р) игра с упорядоченными исходами, С = (Х,У,А,со,р) - расширение игры (7. Тогда условие Са(в) * 0 влечёт Са (5") * 0.

Доказательство леммы. Если Са(С)Ф0, то существует исход а е А, допустимый для обоих игроков в игре С. Пусть <р: А -> А - изоморфное вложение упорядоченного множества (А,со) в упорядоченное множество (Л,со). Покажем, что исход ср(а) является допустимым исходом для обоих игроков в игре С .

Предположим, что ср(а) - недопустим для игрока 1, т.е.

(Зхе ХХУ уеУ) Р(х,у) ср(а). (4)

Учитывая, что F = ср ° Р и что ф - изоморфное вложение, получаем из (4) (Эхе У Р(х,у) ><" а . (5)

Соотношение (5) означает, что исход а недопустим для игрока 1 в игре Б в противоречие с предположением. Таким образом, исход ф(а) допустим для игрока 1 в игре (7. Двойственно получим, что исход ф(а)допустим для игрока 2 в игре б. Следовательно, Са(С)^0. Лемма доказана.

Доказательство. Положим = (^Х,У,А0,со0,Р^, где А0 = рггР

- множество значений функции Р, ш° - индуцированное отношение порядка на А0. В игре множество исходов конечно, следовательно в упорядоченном множестве (.4° ,со°) все цепи конечны. По теореме 1 выполняется Са(С°)Ф0. Так как игра О является очевидно расширением игры (7°, получаем по лемме Са ((7) * 0. Теорема доказана.

2. Необходимые и достаточные условия непустоты Са-ядра в играх с функциями выигрыша. Антагонистическая игра с функциями выигрыша рассматривается как игра с упорядоченными исходами вида

С = (Х,У,К,<Р), (6)

106

где R - множество действительных чисел, упорядоченное естественным порядком <, F - функция выигрыша. Положим

v = sup inf F(x,y), v = inf sup F{x, у). xeXy*Y yeyxeX

ТЕОРЕМА 3. Если в игре вида (6) выполняется vt <v2, то её Са-ядро непусто.

Доказательство основано на том, что всякий исход а, удовлетворяющий условию V] < а < v2, является допустимым для обоих игроков.

Определение. В игре, имеющей цену v, стратегию х0 игрока 1 будем называть его критической стратегией, если (VyeF) F(xQ,y)>v. Двойственно определяется критическая стратегия игрока 2.

ТЕОРЕМА 4. Пусть игра G вида (6) имеет цену. Тогда:

1) если ни один игрок не имеет критической стратегии, то v е Са (G), следовательно, Са#0;

2) если критическая стратегия существует только у одного игрока, то Са=0.

Следствие. В игре G вида (6) Са -ядро пусто, тогда и только тогда, когда игра имеет цену и у одного игрока существует критическая стратегия. Отметим, что в играх, в которых множество стратегий игроков и функция выигрыша обладают «хорошей» структурой, Са -ядро непусто, в частности справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5. Игра G = {X,Y,R,<,F), в которой множество стратегий игроков - компактные метрические пространства и функция выигрыша непрерывна, имеет непустое Са -ядро.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мулен Э. Теория игр. М.: Мир, 1985.

УДК 517.51

А. М. Родин

СВОЙСТВА М-ВАРИАЦИОННЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Данная статья посвящена обобщению результатов А. П. Терехина, приведённых в статье [1]. Здесь формулируются свойства обобщённых А/-вариационных модулей непрерывности, где М является TV-функцией, то есть М(и) допускает представление

м

М(и)= \p(t)dt,

о