О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциальных операторов переменной структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

В.П. Курдюмов, А.П. Хромов

О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ

Настоящая статья продолжает исследования функционально-дифференциальных и интегральных операторов с операторами отражения, которые интенсивно развиваются.

Рассматривается функционально-дифференциальный оператор

азу/(х) + &У'(!з-1 + 1з - х) + Рз 1(х)у(х) + Рз2(х)у(7з-1 + 1з - х) (1)

х е Ъз-1,7?], О' = 1, 2,3), 0 = 7о <71 <72 < 7з = 1, у у(^а(*) = 0. (2)

о

Нам удобно заменой отрезков [7з-1,73] на [0,1] привести очевидным образом (1), (2) к следующему оператору в пространстве вектор-функций размерно-3

Ьу = 1[у] = а1У1 (х) + в1У1(1 - х) + Р11(х)У1 (х) + Р12(х)У1(1 - х) (з) У [У] «2^2(х) + в2У2(1 - х) + Р21(х)у2(х) + Р22(х)у2(1 - х), ()

у3(х) = Р(х)уз(х)

У1(0)= Уз(1), У2 (1)= уз(0), 1 1 1

J + I + I узМ^зй = 0. (4)

ооо Здесь у(х) = (у1(х),у2(х),уз(х))т (Т — знак транспонирования), а?, вз(х) имеют новый смысл. Предположим, что «2 = в|? вз = 0 р(х) и (х) е С 1[0,1], а?(х) = 1, 2,3) — функции ограниченной вариации, имеющие 01

Пусть у = Яд/, где Я\ = (Ь - АЕ)-1 — резольвента оператора ь (А — спектральный параметр, Е — единичный оператор), /(х) = (/1(х), /2(х), /з(х))т Тогда у удовлетворяет системе

«1у1 (х) + в1У1 (1 - х) + Р11 (х)у1 (х) + Р12(х)у1(1 - х) = Ау1(х) + Л(х), (5)

«2У2(х) + в2у2(1 - х) + Р21 (х)у2(х) + Р22(х)у2(1 - х) = Ау2(х) + /2(х), (6)

уз(х) + Р(х)уз(х) = Ауз(х) + /з(х) (7)

1

и условиям (4). Введем краевую задачу:

и' + В(ж)и — ЛВи = ш(ж), (8)

ММои(0) + Мхи(1) = 0, (9)

1 1 1

У(их(^)+ &1и2(^))^а1(^)^(из(^)+ б2и4(г))^2(г) + У иБ^^) = 0, (10) ооо где и = (и^ ..., и5)т, В(ж) = 1Р1(ж)В1,

В—^—1 Р2(х)В2,Вз—1д—1Рз(х)Вз) В* = 1*) ^ = 1, 2),

Ь* = + а*) (к = 1,2), Вз = (1) О* = —^ )

(к = 1, 2),°з = (1) Р*(х) = = рир*1-)х) ) (к = М),

Рз(ж) = (р(ж)), В = ¿ш0(ВьВ2,Вз), В* = , -¿\/4)

(к = 1, 2), Вз = (1) 4 = - а2 (к = 1, 2), ш(ж) = ^(В^О;"1, В—1О—1 ,В—1О—1)ш(ж) ш(ж) = (ш^ж),... ,Шб(ж))т, Ш1(ж) = Л(ж), т2(ж) = /1 (1 — ж), шз(ж) = /2(ж), Ш4(ж) = /2(1 — ж), Шб(ж) = /з(ж),

ММ = М0В, Мр1 = М1В Мк (к = 0,1) — матрица размерности 4 х 5 с элемен-

(*) (0) (0) (0) (1)1 (0) (1) (1) (1) ч тами ш- , шЦ = тз4 = ш44 = ш22 = 1 шз5 = ш15 = ш25 = ш4з = —1,

т(к) = 0 при остальных к = 0,1, В = ¿т#(В1, В2, Вз).

Лемма 1. Если у = Яд/ и(ж,Л) — решение задачи, (8) — (10) и 2(ж) = Ви(ж,Л)7 то 21 (ж) = уДж)7 2з(ж) = У2(ж)7 25(ж) = уз(ж)7 где 2(ж) = (21 (ж),. . . , 25(ж))Т.

Присутствие матрицы В (ж) в (8) является серьезным препятствием в исследовании решения задачи (8)-(10). Здесь мы приведем ее преобразование, заменяющее В(ж) та матрицу с элементами 0(Л—1) [1, с. 48-58].

Пусть #0(ж) = (Я01(ж),Я02(ж),Я0з(ж)^^е Я01(ж) = ¿200(^1 (ж), ^(ж)),

Я02 (ж) = ¿тд(^з(ж), ^4(ж)), ^(ж) = ехр( — / , рм(ж) ^диагональные

0

элементы матрицы В(ж); Я1(ж) = ¿¿а0(Я11(ж), Я12(ж), Я1з(ж)), где Я1з(ж) = 0 Я1* (ж) (к = 1,2) — кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения Я0* (ж) + Р* (ж)Я0* (ж) + (Я1* (ж) В* — В*Я1*(ж)) = 0 Р*(ж) = В—1О—1Р*(ж)В*.

Теорема 1. При, больших |Л| неособое преобразованиеи = Я(ж,Л)-и7 где Я (ж, Л) = Я0(ж) + Л"1Я1(ж^7 приводит, систему (8) — (10) к виду

V + Рд(ж)^ — ЛВ-и = ш(ж, Л), (11)

и^) = и1(Я(ж, Л)^) = М0д^(0) + М1д^(1) = 0, (12)

и2(г>) = и1(Н(х, А)г>) = 1

= ЛМ*) + А-1&1Г2(^))^1(^) + (б^*) + А-1Г1(*Ы*)]^1(*) +

о

+ / [(Нз(*) + А^ЗДМ*) + (62 Н4 (*) + А-1гз(*))^4(*)]^а2(*)+ (13)

0

1

+ / ^в(*)^в(*)^аз(*) = 0, о

где РА(х) = А-1Н-1(х,А)(Н1 (х) + Р(х)Н1(х)), т(х,А) = Н-1(х,А)ш(х)7 М0А = М0Н(0, А); М1А = М^хН(1, А); гк(*) (к = 1, 2^ — элементы матрицы Н11 (*) гк(*) (к = 3,4) — элементы матрицы Н12(*).

Лемма 2. Если, ^(х,А) = (^1(х, А),..., г>5(х, А))Т является решением (11) - (13), то ЛА/ = ((^1(х) + А-161г2(х))^1(х, А) + (&1^2(х) + А-1Г1(х))^2(х, А^ (Нз(х) + А-162Г4(х))^з (х,А) + (&2^(х) + А-1ГБ(Х))^4(Х, А), НБ(х)^б(х, А))Т.

Предположим далее, что > 0 > 0 и считаем выполненным условие б1&2(аю+б1«11 +«з1)(«2о+б2«21+&2азо)(&1аю+аи+&2аз1)(&2а2о+«21 +«зо) = 0, где «¿о = аг(+0) - аг(0), ай = аг(1) - аг(1 - 0) (г = 1, 2,3).

Лемма 3. При, отображении д = гА/^1 собственные значения задачи (11) - (13)

Причем в любом прямоугольнике |Тшд - *| < 1 первой полосы и любом прямоугольнике |Лед - *| второй полосы число этих нулей ограничено при, всех вещественных

Удалим из этих полос собственные значения вместе с их ^-окрестностями и полученные области обозначим П1(^) (для области вдоль мнимой оси) и

П2(Я).

Также, как и в [2] представим полосу из леммы 3, расположенную вдоль мнимой оси в виде объединения конечного числа различных групп прямоугольников, границы которых Г^д (к = ±1, ±2,...) (при возрастании |к| контуры удаляются от начала координат) состоят из отрезков, лежащих на прямых Лед = Н (Н — ширина полосы), Лед = 0 и из отрезков длины Н, параллельных вещественной оси. Контуры Г^д принадлежат П1(^) и для каждого Гк,1 конкретной группы существует целое что Г^д = Г + Г

пы. Аналогичное построение проводится и для второй полосы из леммы 3. Построенные в ней контуры обозначим Гк,2 (к = ±1, ±2,...).

Лемма 4. Пусть Гк — любой из кон туров Гк,1? Гк,2 и J — любой конечный набор достаточно больших по модулю целых чисел и Л(д) =

Тогда имеет место оценка

< с,

равномерная по J.

Лемма 5. Система собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) полна в Ь2[0,1].

Теорема 2. Система с.п.ф. функций оператора Ь образует базис Рисса со скобками в Ь2[0,1]. При этом в скобки следует объединять те с.п.ф., котюрые соответствуют собственным значениям ЛТО7 для которых' числа ¿Лто/\/^! попали, внутрь кон туров Г*.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта, Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Раппопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений, Киев: Изд-во АН УССР, 1954,

2, Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2004, Вып. 6,

С. 80-87.

УДК 517.984

Ю.В. Курышова

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ УЗЛОВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В статье приводится формула восстановления потенциала д £ Ь2(0,п) интегродифференциального оператора Ь(д, М), заданного выражением

X

+ д(ж)у + /М(ж,» ж е [М,

0

и краевыми условиями

у(0) = у (п) = 0,

по так называемым узлам, — нулям собственных функций (СФ). Суммируемая функция М(ж,£) полагается известной.

Узлы как спектральные данные (ОД) были введены в работе Джойс Ма-клахлин [1], где доказывалась единственность восстановления классического