О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и интегральными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

УДК 517.984

О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА С ИНВОЛЮЦИЕЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

В. П. Курдюмов

Курдюмов Виталий Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией в производных и интегральными краевыми условиями доказана базисность Рисса со скобками собственных и присоединенных функций. Для доказательства осуществляется сведение спектральной задачи исходного оператора к спектральной задаче для оператора первого порядка в пространстве вектор-функций размерности четыре, не содержащего инволюцию. Для преодоления трудностей, связанных с присутствием в уравнении четырехмерной задачи ненулевого коэффициента при неизвестной функции используется преобразование, зависящее от спектрального параметра, и позволяющее свести этот коэффициент к допускающему оценку 0(А-1/2). Доказанное при выполнения некоторого условия регулярности утверждение о расположении собственных значений исходного оператора и полученное представление его резольвенты через интегральные операторы простой структуры вместе с полнотой системы собственных и присоединенных функций оператора, сопряженного к исходному, позволили доказать сформулированный результат.

Ключевые слова: базис Рисса, резольвента, инволюция.

DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-4-392-405

Рассматривается функционально-дифференциальный оператор L:

ay"(x) + у''( 1 - x) + pi(x)y'(x) + p2(x)y'( 1 - x), x e [0,1],

(1)

с интегральными краевыми условиями:

i

U*(y)^y> У(т) dat(t) = °, (i = 1, 2). (2)

0

Предполагаем, что a2 = 1, pi(x) e C 1[0,1] (i = 1, 2), Ui(x) (i = 1, 2) — функции ограниченной вариации, имеющие скачки в точках 0 и 1.

Оператор (1) содержит инволюцию 6(x) = 1 — x. В настоящее время дифференциальные и интегральные операторы с инволюцией интенсивно изучаются [1-6]. В данной работе рассматривается вопрос о базисности Рисса собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) оператора (1), (2). Для дифференциальных и интегродифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями такая задача изучалась в [7-9]. В [6] доказана базисность Рисса со скобками с.п.ф. оператора первого порядка:

ay' (x) + y' (1 — x) + pi (x)y(x) + p2 (x)y(1 — x) (3)

и интегральными краевым условиями вида (2). Оператор (1), (2) — более сложный, чем (3), применяемый теперь метод является дальнейшим существенным развитием метода из [6].

1. Пусть y = R\f, где R\ = (L — AE)-1 — резольвента оператора (1), (2) (А — спектральный параметр, E — единичный оператор). Тогда у удовлетворяет уравнению

ay'' (x) + у'' (1 — x) + Pi (x)y' (x) + p2 (x)y' (1 — x) = A y(x) + f (x) (4)

и условию (2). Оператор лярная функция, то Sf

отражения S

= f(1 — x) ,

нирования), то Sf = (f1 (x),f2(1 — x))T, если f(x) =

определим следующим образом: если f(x) — ска-если f (x) = (f1(x), f2(x))T (T — знак транспо-

f11(x) f12(x) ... f1m(xA то

f21(x) f22(x) ... f2m(x) /

Sf (x)

f11(x) f12(x) ... f1m(x)

f21 (1 — x) f22 (1 — x) ... f2m (1 — x)

© Курдюмов В. П., 2015

В. П. Курдюмов. О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора

Рассмотрим краевую задачу:

v''(x) + P\(x)v'(x) — \D\v(x) = ni(x), (5)

i

J S(Tiv(t)) d<Ji(t) = 0 (i = 1, 2), (6)

0

где v = (vi,V2)T, Pi (x) -

p2 (x) = S

, P2 (x)

Pi (x) P2 (x) Pi (x)

= DiriiP2(x)ri, Di = diag(di, d2), di = (a + 1) i

, ri = fj —1 j , ni(x) = DiГ" s(f(x), f(x))T.

d2

(a — I)"1,

Лемма 1. Имеет место формула

R\f = vi(x,A) + v2(x, A), (7)

где vj(x, A) — компоненты решения задачи (5), (6). Обратно, если v(x, A) удовлетворяет (5), (6) и соответствующая однородная краевая задача имеет только нулевое решение,то Я\ существует и выполняется (7).

Доказательство. Положим z(x) = S(y(x),y(x))T, тогда из (2), (4) получаем:

Az"(x) + P2(x)z'(x) = Az(x) + S(f (x), f (x))T, (8)

i

J Sz(t)dji(t) = 0 (i = 1,2), (9)

0

где A =

a1

1a

Полагая в (8), (9) z(x) = riv(x), получим систему (5), (6), и тем самым (7) установлено. Обратное получается, как и в [5, лемма 1]. □

Лемма 2. Пусть A = р2. Преобразование

vi(x) = yi(x), vi (x) = PP2(x), v2 (x) = ys(x), v2 (x) = РУ4 (x)

приводит задачу (5), (6) к виду

(10)

Y '(x) + .P1(x)Y (x) — pi) i Y (x) = -n i (x),

р

i

J ^(ГiY(t)) dji(t) = 0 (i = 1, 2),

0

(11)

(12)

где

Y (x)

Pi (x)

(yi (x), У2(x), У3(x),y4(x))T,

0 0 0 0

0 Pll (x) 0 Pl2 (x)

0 0 0 0

0 P2i (x) 0 P22(x)/

SPY (x) = (yi(x),y2(x),y3(1 — x),y4(1 — x))T,

pij (x) (i = 1, 2) — элементы матрицы Pi (x),

D i

ni(x) =

0 1 0 0 1 0 1 0

di 0 0 0 , г i = 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 —1 0

0 0 d2 0 0 0 0 0

(0, nil (x), 0, ni2(x))T, (nil (x), ni2(x))T = ni(x).

Математика

393

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

Доказательство. Из (5) и (10) сразу следует (11), из (6) и (10) получим:

1

У S(ri(yi{t),V3(t))T)dat(t) (i = 1, 2),

0

это и есть (12).

Лемма 3. Преобразование Y = TZ приводит систему (11), (12) к виду

Z' (x) + P (x)Z (x) — pDZ (x) = -m(x),

p

1

[ S(rZ(t))dai(t) = 0 (i = 1, 2),

□

(13)

(14)

где Z(x) = (zi (x),z2(x),z3(x),z4(x))T, P(x) = Г21Pl(x)Г2, D = Г2 1DiГ2 = diag(qi, —qi, — q2), m(x) = Г221n1(x), Г = Г1Г2,

Г2 =

x), z4 (x))T, P(x) =Г

(1 1 0 0

q1 —qi 0 0

0 0 1 1

0 0 q2 — q2

qi = y/di (i = 1, 2)

Доказательство очевидно.

Приведем преобразование задачи (13), (14), чтобы матрица P(x) перешла в матрицу с элементами, допускающими оценку 0( М [10, с. 48-58]. Пусть H0(x) = diag(h1 (x),h1(x),h2(x),h2(x)),

где hi(x) = exp ( — Ifpii(t) dt ) (i = 1,2); pii(x) — диагональные элементы матрицы P1(x), а

H1 (x) = (rij(x))4 j=1 — матрица, имеющая нулевые диагональные элементы и являющаяся решением матричного уравнения H0(x) + P(x)H0(x) + H1 (x)D — DH1 (x) = 0.

Лемма 4. При больших |p| неособое преобразование Z = H(x,p)W, где H(x,p) = H0(x) + + p2i H1 (x), приводит систему (13), (14) к виду

W' + Pp(x)W — pDW = m(x, p),

Ui(W) = S(H(t, p)W(t))dcn(t) =0 (i = 1, 2),

(15)

(16)

где Pp(x) = p 1H 1 (x,p)(H'(x)+ P(x)H1(x)), H(x,p) — матрица, состоящая из первой и третьей строк матрицы rH(x,p), m(x,p) = p21H21 (x, p)m(x).

Доказательство устанавливается простой проверкой, если учесть, что вторая и четвертая строки матрицы Г состоят из одних нулей, поэтому из одних нулей состоят такие строки и у матрицы rH (x, p).

Лемма 5. Если W(x,p) = (w1(x, p),w2(x,p),w3(x, p), w4(x, p))T является решением задачи (15), (16), то

1 4

Rxf = hi (x)(wi(x, p) + w2 (x,p)) + h2(x)(ws (x, p) + w4(x, p)) + ~^2/ri(x)wi (x,p),

p i=1

где ri(x) = y, rji(x) (ij =1C2,3,4).

j=i

1

394

Научный отдел

В. П. Курдюмов. О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора

Доказательство. Из лемм 1 и 2 следует, что R\f = y1(x,p) + y2(x,p). Тогда из леммы 3 следует

4

что Rxf = Е zi(x, p). Отсюда и из леммы 4 получаем утверждение леммы. □

i= 1

В дальнейшем рассматриваем полуплоскость Re pq1 ф 0, которую разобьем на 2 сектора: S1 = {p| Repq1 ^ 0, Repq2 ^ 0} и S2 = {p| Repq1 ^ 0, Repq2 ф 0}, и для определенности будем

рассматривать сектор S1 (сектор S2 рассматривается аналогично). Рассмотрим еще краевую задачу:

T'(x) — pDT(x)= m(x), Ui(T) = 0 (i = 1, 2), (17)

где m(x) = (m1(x), m2(x), m3(x), m4(x))T и mi(x) G C[0,1]. □

Лемма 6. Для решения T(x) = Tpm(x) задачи (17), справедлива формула

1

Tpm(x) = Jg(x,t,p)m(t) dt — V(x,p)A-1(p)^T(m,p), фТ(m,p))T,

0

где g(x,t,p) = diag(g1(x,t,p),g2(x,t, p),g3(x,t, p),g4(x,t,p)), g1 (x,t,p) = —e(t,x)epqi(x-t\

g2(x,t,p) = e(x,t)e-pqi(x-t), g3(x,t,p) = —e(t,x)epq2(x-t), g4(x,t,p) = e(x,t)e-pq2(x-t), e(x,t) = 1 при

t ф x, e(x, t) = 0 при t> x; V(x,p) = diag (epqi(x-1),e-pqix,epq2(x-1) ,e-pq2x), A(p) = (U1 (V(x,p))T,

1

U2(V(x,p))T)T, Фi(m,p) = Ui(f g(x, t, p)m(t) dt) (i = 1, 2).

0

Это утверждение получается, как и лемма 3, из [11].

Лемма 7. Имеет место представление

ф (m p) = (Ri1 (p), Ri2(p))T (i = 12), (18)

где Ris (s = 1,2) являются линейными комбинациями с ограниченными по p (при |p| до-

1

статочно больших) коэффициентами интегралов J pik(t)e-pqjt dt (i,j = 1, 2; k = 1,2,..., 8),

0

1-t 1 1

Pn(t) = f m1(r + t)^(r) dOi(r), (Pi2(t) = J m1 (1 — t + фф(т) dai(t), Vi3(t) = J m2(r — t)^(r) da^r),

0 t t

1-t 1-t 1

<Pi4(t) = J m2(1—r—t)ф(т) dai(r), (t) = f m3(r +фф(т) da^r),ifi6(t) = j m3(1—r +фф(т) da^r),

0 0 t

1 1-t

p>i7(t) = J m4(r — фф(т) dai(r), <p>i8(t) = J m4(1 — r — фф(т) dai(т), ф(т) совпадает с одной из

t0

функций hi(r), Shi(r) (i = 1, 2); rk(т), Srk(т) (k = 1,2,3,4); rk(т) — те же, что и в лемме 5; rk (r) = Е aik rik (т), aik — числа, равные 1 или —1.

i=k

Доказательство. Положим

1 x

F = F (xp) = —/ePq,(x-t)mi (t) dt F = ъые = S (t dt

x0 1 x

F3 = F3(x, p) = — [ epq2(x-t)m3(t) dt, F4 = F4(x, p) = [ e-pq2(x-t)m4(t) dt.

Тогда

g(x, t, p)m(t) dt = (F1 ,*2, F3, F4)J

Поэтому

H (x, p)(F1 ,F2, F3, F4)T = (Q1 ,Q2 )T + - (Q3, Q4)T,

p

1

Математика

395

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

где

Q1 — h1 (x)(F1 + F2) + h2 (x) (F3 + F4),

4

Q2 — hi(x)(Fi + F2) - h2(x)(F3 + F4), Q3 — ri(x)Fi,

i=i

4

Q4 — ^2 ri(x)Fi.

i= 1

Значит,

Фi(m, p) — (Ui(Q1) + 1 Ui(Q3), Ui+2(Q2) + 1 Ui+2(Q4))T (i — 1, 2), (19)

P P

где Ui (i — 1, 2) определяется из (2), Ui(y) — U— 2(Sy) (i — 3,4).

Далее, в Fi(x,p) (i — 1, 2,3,4) выполним замену переменных так, чтобы соответствующая экспонента всегда была e-pqj *. Теперь, подставляя эти выражения для Fi в Qj и проводя в Ui(Qj) надлежащие перестановки порядков интегрирования, из (19), получаем (18). Лемма доказана. □

2. Следующая лемма очевидна.

Лемма 8. Если f (x) е C[0,1], v(x) — функция ограниченной вариации и v(+0) — v(0), mo

1

lim

Re p^ + ж

f (x)e px dv(x) — 0.

Представим матрицу H"(x,p) в виде

H(x, p) — Ho(x) + -H 1(x), P

тогда

h1 (x) h1(x) h2(x) h2(x) h1 (x) h1(x) —h2(x) —h2(x)

HZ'0 (x) —

Пусть выполняется условие

«1^2 — «2 в1 — 0,

где a — o'i(+0) — а(0), в — oi(1) — oi(1 — 0) (i — 1, 2).

(20)

Обозначим p(p) — det A1 (p), где A1(p) — (U^(V(x,p))T, U2(V(x,p))T)T, U'(V(x,p)) — / S(Ho(t)x

0

x V(t, p)) doi(t) (i — 1, 2), и через Ss обозначим область, получающуюся из p-плоскости удалением всех нулей ^(p) вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5. Считаем что arg q1 — arg q2 + kn (k — 0,1) (противоположный случай приводит к упрощению последующих рассуждений).

Лемма 9. Нули целой функции ^(p) находятся в некоторых полосах | Re pqj | ^ h (j — 1, 2), причем число нулей в каждом прямоугольнике {| Repqj| ^ h, |Impqj —1| ^ 1} (j — 1, 2) ограниченно при всех вещественных t. В Ss справедлива оценка

|<p(p)| ^ C(1 + |e-2pqi | + |e-2pq21 + |e-2p(q1 +q2}|), где C > 0 и не зависит от p.

Доказательство. Имеем:

h1 (t)epqi (t-1) h1 (t)e-pqi* h2(t)epq2(t-1)

(21)

S (Ho(t)V (t,p)) —

h2(t)e-pq2 *

h1 (1 — t)e-pqi* h1 (1 — t)e-pqi(1-t) —h2(1 — t)e-pq2 * —h2(1 — t)e-pq2 (1-t)

Тогда по лемме 8

P(p) — d1 (p) + d2 (P),

(22)

396

Научный отдел

В. П. Курдюмов. О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора

где

di(p)

hi(0)e pqiai + hi(1)Pi hi (0)ai + hi (0)e-pqi в hi (0)e-pqi «2 + hi(1)^2 hi (1)«2 + hi (0)e-pqi @2

hi (0)«i + hi(1)e-pqi ei hi (1)e-pqi «i + hi (0)^i hi (0)«2 + hi(1)e-pqi ^2 hi (1)e-pq2 «2 + h2 (0)^2

h2(0)e-pq2 «i + h2 (1)^i -h2(1)«i - h2(0)e-pq2ei h2(0)e-pq2 «2 + h2 (1)^2 -h2(1)«2 - h2(0)e-pq2^2

h2 (0)«i + h2 (1)e-pq2 ei -h2(1)e-pq2«i - h2(0)^i h2 (0)«2 + h2 (1)e-pq2 ^2 -h2(1)e-pq2«2 - h2(0)^2

a d2(p) = o(1) при Repqi ^ +ro, Repq2 ^ +ro ; d2(p) = o(1)e-pq2 при Re pqi ^ +ro, Re pq2 ^ -ro; d2(p) = o(1)e-2pqi при Repqi ^ -ro, Repq2 ^ +ro; d2(p) = o(1)e-2p<qi +q2) при Re pqi ^ -ro, Repq2 ^ -ro.

Далее, имеем di(p) = Y(e-2pqi - 1)(e-2pq2 - 1), где y = 4hi(0)h2(0)hi(1)h2(1)(«iв2 - «гв)2•

В силу условия регулярности (20) нули di(p) находятся в некоторых полосах | Repqj| ^ |hi| (j = 1, 2), и вне d-окрестностей этих нулей имеет место очевидная оценка:

|di(p)| ^ C(1 + |e-2pqi| + |e-2pq21 + |e-2p(qi +q2}|). (23)

Поэтому из (22) и (23) получаем, что существуют 0 < h < h2 такие, что ^(p) ограничена в полуполосе {p| | Repqi| ^ h2, Repq2 ^ h2}, нули ^(p), расположенные в полуплоскости Repq2 ^ h2, лежат в полуполосе {p| | Repqi| ^ h, Repq2 ^ h2}, и на линиях {p| | Repqi| = h, Repq2 ^ h2} ее модуль отделен от нуля. А функция ^(p)e2pq2 ограничена в полуполосе {p| | Repqi| ^ h2, Repq2 ^ -h2}, нули ^(p)e2pq2, расположенные в полуплоскости Repq2 ^ -h2, лежат в полуполосе {p| | Repqi| ^ h, Repq2 ^ -h2} и на линиях {p| | Repqi| = h, Repq2 ^ -h2} ее модуль отделен от нуля. Применяя теорему из [12, § 2.3, с. 27] к функции ^(p) в полуплоскости Re pq2 ^ h2 и к функции ^(p)e2pq2 в полуплоскости Re pq2 ^ -h2, получаем утверждение леммы для нулей ^(p), расположенных в полосе | Re pqi | ^ h. Аналогично доказывается это утверждение и для нулей ^(p), расположенных в полосе | Repq21 ^ h. Оценка (21) легко следует из [12, § 2.3, с. 27]. Лемма доказана. □

Лемма 10. Для всех достаточно больших |p| в области Ss П Si имеет место оценка

detA(A) ^ C,

где C > 0 и не зависит от p.

Доказательство. Имеем A(p) = Ai(p) + A2(p), где A2(p) — матрица, у которой все элементы есть O(p-i). Утверждение леммы теперь легко следует из леммы 9.

В дальнейшем считаем выполненным условие (20), и пусть Re ^ > 0. Обозначим через П' (j = 1,2) полуполосы ni = {pqi | | Re pqi | ^ h, Impqi ^ hi},

П2 = {pq21 | Repq2| ^ h, Impq2 ^ -hi}, где h — то же, что и в лемме 9, и пусть pk — нули ^(p) из леммы 9. Удалим из П' (j = 1, 2) все точки pkqj вместе с круговыми окрестностями радиуса А Получившиеся области обозначим П' (d) и через П7>1(5) обозначим часть П' (d), когда Re pqj ^ 0.

Лемма 11. Если pqi G Щд (d) или pq2 G n2)i(d) и |p| достаточно велико, то существует

единственное решение задачи (17), для компонент которого имеют место представления:

i

(Tp^i = -/*""<x-‘)mi(t> dt + Ti(m,p)epq‘<x-i>, (24)

x

x

(Tpm)2 = J e-pqi<x-t)m2(t) dt + T2(m,p)e-pqix, (25)

0

Математика

397

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

1

(трт)з = -/в^-<>тз«Л + ^-К^-X (26)

x

x

(Tpm)4 = j e—pq2(x—1}m4(t) dt + T4(m, p)epq2x, (27)

0

где Ti(m,p) (i = 1,2,3,4) — линейные комбинации тех же интегралов, что и в лемме 7 с ограниченными по p коэффициентами.

Доказательство. Нетрудно видеть, что указанные p принадлежат сектору S1, и тогда утверждение леммы следует из лемм 6 и 7, если учесть, что в силу леммы 10 элементы матрицы A-1 (p) ограниченны по p. □

Пусть p(t, f) — одна из функций (t) из леммы 7, когда mi(x) (i = 1,2,3,4) заменены на

произвольную функцию f (x) e C[0,1].

Лемма 12. Если f (x) e C[0,1], то справедлива оценка

Mt,f)|| ^ cIlf II, (28)

где C > 0 и не зависит от f (x), а || ■ || — норма в L2[0,1].

1-t

Доказательство. Пусть для определенности p(t,f) = f f (t + т)ф(т)da1 (т) и а1(т) не убывает.

0

Тогда

1 1 — т

IHt,f)l|2 \ф(т)\d°1(т) J \P(t,f)\\f(t + т)| dt- (29)

00

Внутренний интеграл по теореме Коши - Буняковского оценивается сверху величиной Цфф, f )|| х х |f ||. Поэтому из (29) получаем:

11

lk(t,f)f ^ lk(t,f)llllf \ф(т)\d^1(т)- (30)

0

Так как ||p(t,f)|| < ж, то из (30) получаем (28). Лемма доказана. □

По лемме 12 p(t, f) как оператор по f продолжается по непрерывности на все L2 [0,1]. Это продолжение мы также обозначим через p(t,f). Тем самым мы можем рассмотреть задачу (17), когда m(x) e L4[0,1].

Имеет место

Лемма 13. Если pq1 e П1;1 (8) или pq2 e П21 (8) и \p\ достаточно велико, то для краевой задачи (17) при m(x) e Ljf [0,1] существует единственное решение Tpm(x) и для его компонент имеют место формулы (24)-(27), в которых pij (t) из леммы 7 заменяются на соответствующие операторы p(t, f) в L2 [0,1].

3. Считаем, что f(x) в задаче (5), (6) принадлежит L2[0,1], тогда m(x) e Ljf[0,1].

Лемма 14. Если p — то же, что и в лемме 13, то существует единственное решение задачи (15), (16), причем

1 1 1 | f|

W (x,p) = -TpP1(x) + -2 TpP2 (x)---2 Tp MpP1 (x) + O(-^), (31)

p p p p

где p1 (x) = H— 1(x)m(x), p2(x) = — H— 1(x)H1 (x)H—1 (x)m(x), Mp = H2(x)(E + M1p)—1 Tp, H2(x) =

= H—1 (x)(H1 (x) + P(x)H1(x)), M1)Pm(x) = TpPp(x)m(x), || ■ || — норма в L2[0,1].

398

Научный отдел

В. П. Курдюмов. О базисах Рисса т собственных функций дифференциального оператора Доказательство. Имеем из (15):

W(x,p) = Tp(m(x, p) - Pp(x)W(x,p)). (32)

Так как Pp(x) = O(1), то оператор E + Mip ограниченно обратим. Поэтому из (32) получаем:

W(x,p) = (E + Mi,p) 1 Tpm(x,p) = Tpm(x, p) - Mi,p(E + Mi,p) 1 Tpm(x,p) =

= Tpm(x, p) - TpPp(E + Mi,p) 1Tpm(x, p).

(33)

Но

1 1 /II/II

m(x, p) = - pi (x) + -r- P2 (x) + O ~ тг~

p p2 V p

Pp (x) = H(x) + o(\

p \p2

Поэтому с учетом того, что Tp ограничен по p, из (33) получаем (31). Лемма доказана.

□

Лемма 15. Существуют непрерывные функции yij (x), Sij (x) (i = 1, 2,3,4; j = 1, 2) такие, что Для pi (x) и p2 (x) из леммы 14 имеют место соотношения:

i-x

(TpPj )i = -J epqi(x-t)7ij (t)/(t)dt - j epqi <x+t-i» Sij (t)/(t)dt + Tij (J,p)erpqi <x-i'!

x 0

i x i 1

(T„p j )2 =f e-“<‘l(x-t>~,2, (t)/(t)dt + ( e-pqi <x+*-i>S2 j (t)/(t)dt + T2j (/, p)e-pqi x,

0 1- x

i i-x

(Tp Pj )з = -J epq2(x-‘>Y3, (t)/(t)dt - J epq2 <x+t-i> S3, (t)/(t)dt + Tj (/,p)epq2 (x-i),

x0

1 x i 1

(TpPj)4 = f e-pq2(x-t)74j(t)/(t)dt + f e-pq2(x+t-i)S4j (t)/(t)dt + Tj (/,p)e-pq2x,

(34)

(35)

(36)

(37)

0 1-x

где Tij (/, p) — линейные комбинации с ограниченными по p коэффициентами интегралов

i

/ p(t)e-pqjtdt (j = 1, 2), где p(t) являются продолжениями в L2 [0,1] по лемме 12 следующих, 0

рассматреваемых как операторы по /(x) интегралов

i-t

i-t

/(т + t)6(r + t)ф(т)dok(т), / /(1 - т - t)0(1 - т - t)ф(т)dok(т),

0

0

i i

J /(т - t^)6(r - t)ф(т)dak(т), J /(1 - т + t)6(1 - т + -ЪЩт)dak(т),

tt

(38)

когда 6(x) являются произвольными функциями среди yij (x), Sij (x) и k = 1, 2. Функции ф(т) — те же, что и в лемме 7.

Доказательство. По определению компоненты вектор-функций pj(x) можно представить в виде

(Pj (x))i = Yij (x)/(x) + Sij (1 - x)/(1 - x) (j = 12),

где yij(x) и Sij(x) — непрерывные функции. Взяв в лемме 13 в качестве mi(x) = yij(x)/(x) + + Sij(1 - x)/(1 - x), получим (34)-(37). Лемма доказана. □

i

Рассмотрим операторы Qp/ = J Q(x,t,p)/(t) dt, где Q(x,t,p) есть одна из функций:

epqi(x-T)6(t)M(т, t, p) d^ J e-pqi(x-T)6(t)M(т, t, p) d^

0

l

l

x

Математика

399

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

J epq2(x-T)6(t)M(т, t, р) dr, J e-pq2(x-T)6(t)M(r, t, p)dr,

x 0

epqi(x-1) N (t,p), e-pqi x N (t,p), epq2(x-1)N (t,p), e-pq2 x N (t,p).

Здесь M(x,t,p) есть либо Mij(x,t,p), либо Mij(x, 1 — t, р) при некоторых i,j. Функции Mij(x,t,p) (i,j = 1, 2,3,4) являются компонентами ядра интегрального оператора Mp. Наконец, N(t, р) — одна из следующих функций (i,j = 1, 2):

1 1-T

-,-pqj т

1 11 - T

-pqj т

e pqjT dr M(r + s,t, р)ф(,в)6(ф dai(s), / e pqjT dr M(1 — r — s,t, р)ф(,в)6(ф dai(s),

00 11 11

00 1 11

e pqjT dr M(s — r,t, р)ф^)6(ф dai(s), / e pqjT dr M(1 + r — s,t, р)ф^)6(ф dai(s). □

Лемма 16. Каждая компонента вектор функции TpMpp1 есть линейная комбинация всевозможных операторов Qp f с ограниченными по р коэффициентами.

Доказательство. Каждая компонента вектор-функции Mpp1 есть линейная комбинация инте-1

гралов jM(x,t^)6(t)f (t)dt при всевозможных M(x,t, р) и 6(t), и утверждение леммы следует

из (24)-0(27). □

Обозначим через a(x^1,k) одну из функций

e-(pi +ik)x e(pi +ik)(x-1) e-(pi+ik)q2 qi1 x e(pi +ik)q2 q^1 (x-1).

через ,k) — одну из функций

e(x, t)6(t)e-(pi +ik)(x-t), £(t, x)6(t)e(p1 +ik)(x-t), £(x, t)6(t)e-(p1 +ik)q2q-i(x-t),

~-i (x-t

s(t, x)6(t)e(pi +ik)q2qi (x-t), £(1 — x,t)6(t)e(pi +ik)q2qi (x+t-1), £(t, 1 — x)6(t)e-(pi +ik)q2qi (x+t-1), где 6(t) — либо те же, что в лемме 15, либо 6(t) = 1;

M(x, t, р1, k) = M(x, t, р)|pqi =pi +ik, N(x, р1, k) = N(x^)^ =pi +tk.

Пусть

11

Ak f = ф^) J a(x, р1, k)a(t, р1, k)Af (t) dt,

0

где Af — один из операторов (38),

11 11

Bk f = ф^) J w(x, t, р1 ,k)f (t) dt, Mk f = j M(x, t, р1 ,k)6(t)f (t) dt,

00

11

Nk f = ф^)а^, р1, k) J Nф,р1 ,k)f (t) dt.

0

Пусть ру1 e Щд(S), ру1 = р1 + ik, k > 0 и р1 принадлежит ограниченной области.

Лемма 17. Если f(x) e L2[0,1], то при больших |р|

рЯ^ f 1 \=(pi +ik)2 q-2 = n(x р1,К. f) + o(^ ^Pj ,

(39)

где Q(x, р1, k. f) есть конечная сумма с ограниченными по р1 и k коэффициентами всевозможных операторов Ak f, Bk f, 1 Bk f, 1 BkMk f, 1 Nk f , причем коэффициенты при Bk f не зависят от р1 и k.

1

x

400

Научный отдел

В. П. Курдюмов. О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора

Доказательство. По лемме 15 из (34)-(37) следует, что каждая компонента вектор-функций ф(x)Tppj (x) (j = 1, 2) является линейной комбинацией операторов Bk f с постоянными коэффициентами и операторов Akf с ограниченными по р\ и к коэффициентами. Из леммы 16 следует, что каждая компонента вектора p-1 ф(х)ТрMpp\ (x) является линейной комбинацией операторов kBkMk f, kNkf с ограниченными по р1 и к коэффициентами. Отсюда и из лемм 5 и 14 следует (39).

4. Так же, как в [13] представим каждую полуполосу П7- (j = 1,2) в виде объединения ко-

нечного числа различных групп прямоугольников, границы которых Ykj (к = 1, 2,... для j = 1 и к = —1, -2,... для j = 2) (при возрастании |к| контуры удаляются от начала координат) состоят их отрезков, лежащих на прямых Repqj = ±h, и из отрезков, параллельных вещественной оси длины 2h. Контуры ykj принадлежат области nj(5) (считаем, что отрезки {pq11 | Repq11 ^ h, Impq1 = h1}, {pq2| | Repq21 ^ h, Impq2 = —h1} расположены соответственно в П1 (5), П2(5)) и для каждого ykj одной конкретной группы полуполосы П существует целое tkj, что ykj = Yj + itkj, Yj — некоторый фиксированный прямоугольный контур из этой группы, и tk1 > 0, tk2 < 0.

Пусть rkj — образ контура ykj/qj (j = 1, 2) при отображении A = p2. Занумеруем в каком-нибудь порядке все контуры rkj, когда j = 1 или j = 2, одним индексом к = 1, 2,...

Лемма 18. Пусть J — любой конечный набор достаточно больших номеров к. Тогда справедлива оценка

(40)

равномерная по J.

Доказательство. Докажем (40) для тех rk, которые являются образами контуров Yk1 /q1, когда Yk1 принадлежат конкретной группе одинаковых прямоугольников. Так как в области П1(5) при Repq1 < 0 для RAf справедливо преставление, аналогичное (39), то докажем (40) лишь для контуров rk, где каждый Rk является образом при отображении A = p2 контура Yk 1/q1, а Yk 1 образован частью Yk1, лежащей в правой полуплоскости, и отрезком на мнимой оси. Считаем, что Yk 1 ^ П1(5) (в противном случае, так же, как в [14, с. 55], переходим к смещенной полуполосе). Тогда если pq1 G Yk 1, то p1 = pq1 — itk1 принадлежит фиксированному контуру y', причем, без ограничения общности считаем, что Y — один и тот же для всех наборов J. Имеем:

W Ra f dA

keJr,

1 k

J $(f p1 )dp1,

i'

где Ф(f,pl) = E (p1 +itk1 )Raf |A=(P1 +itk1 )2q--2. Пусть Pk — любой из операторов леммы 17. Тогда по

kG J

лемме 17 Ф(^ p1) представима в виде конечной суммы (число слагаемых не зависит от J) операторов:

£ a(p1 ,tk1)ptkif = a(p1,к)р^^f (41)

kG J kG J1

где J1 = {tk1 |к G J}, a(p1, к) ограниченны по p1 и к и ядра операторов Pk состоят из одних

и тех же функций, отличающихся лишь параметром к, то есть, например, все Pk в (41) есть 1

Akf = ^(х)ст(х, p1, к) j a(t,p1, ^Af (t) dt, где ^(x) — одна и та же функция, Af (t) — один и тот

о

же оператор, о^х^^к) = e-(pi +ik)x, ^(t, p1, к) = e(pi+ik)(t-1).

Если Pk = Bk, то а^^к) — константы, не зависящие от p1 и к, и поэтому в этом случае

/Е dp1 = 0.

Y'

Если Pk = Ak, то Pkf = Akf = ^(x)o(x, pb ^bk(Af,p1), где bk(Af,p1) = E «(pb^^x) x

k G Ji

x o(x, p1 ,k)bk(Af, p1).

Математика

401

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

Покажем, что

||Е|| Ф C||/1|, (42)

причем константа C не зависит от J и р\. Пусть u(x) G L2[0,1]. Тогда

(Е,и) = ^2 a(Pi,k)bfc(иф, p\)bk(A/, pi).

k G J i

Так как a(x, p1 , k) = a(x, p1,0)^(x, 0, k), то

1

bk (A/,pi) = J a(t, 0,k)/i (t,pi) dt, 0

где /i(t,pi) = CT(t,pi,0)A/ и ||A/II ф C|/||. Поэтому

|(Е,и)| Ф C

те

5^|bk (uф,p1)|2

k=1

1/2

те

5^|bk (A/ p1)|2

k=1

1/2

< ro.

Значит, по теореме Банаха - Штейнгауза функционалы (Е, и) имеют нормы, ограниченные константой, не зависящей от J1 и p1. Теперь, применяя опять теорему Банаха - Штейнгауза к операторам Е, получим оценку (42). Если Pk = kBk, то оценка (42) следует из [11, лемма 6].

Если Pk = kBkMk, то

(Е, и) = £ ^— (Mk/,Bkи),

kGJi

где Bt — оператор, сопряженный к оператору Bk. Так как ядра операторов Mk ограниченны, то отсюда получаем оценку

|(Е,и)| ф C||/||£ 1 ||B

t u|

(43)

kGJ 1

Аналогично лемме 6 из [11] можно показать, что

те

EllBtu||2 Ф C|

k=1

Поэтому из (43) следует оценка | (X), и) | ф C||/||||и|| и (42) справедлива. Если Pk = 1 Nk, то

(Е, и) = £

kGJ 1

a(p1, k) k

a(t, 0, k)^ (t, p1 )dt / N(t, p1 ,k)/(t) dt,

где ^(t, p1) = a(t,p, 0)ф^)и^). Отсюда, учитывая ограниченность ядер N(t, p1 ,k), получаем оценку (42). Лемма доказана. □

Лемма 19. Система с.п.ф. оператора L* является полной в L2[0,1].

Доказательство осуществляется стандартными рассуждениями, если учесть, что в силу лемм 5

и 14-16 справедлива оценка R\/ = O ^ppj.

Для простоты считаем, что пересечением полос {p| | Re pqj | ф h} (j = 1,2) также является прямоугольник, граница которого y0 не пересекает 4-окрестностей точек pk (считаем также, что числа h и h1 из определения nj (j = 1, 2) совпадают). Через Rk (k = 1, 2,...) обозначим объединение уже построенных контуров rk (k = 1, 2,...), образа при отображении А = p2 контура y0 и образов прямоугольных контуров из сектора S2, аналогичных контурам Ykj/qj из S1.

Так же, как в [15, с. 62-63], получим основной результат.

2

и

1

1

402

Научный отдел

В. П. Курдюмов. О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора

Теорема. Система с.п.ф. оператора L образует базис Рисса со скобками в L2[0,1]. При этом в скобки нужно объединять те с.п.ф., которые отвечают собственным значениям оператора L, которые попали в контуры Rk.

Доказательство. Покажем сначала, что базис Рисса со скобками образуют с.п.ф. оператора L*.

Обозначим E*(k)

2hi R dX

*

и покажем, что ряд

го

E*(kj)f (x) сходится к f (x), где

\ Rk ) j=1

ki, k2,... — какой-то наперд заданный порядок целых чисел. По лемме 19 система с.п.ф. [фк} оператора L* полна в L2[0,1]. Зададим е > 0. Тогда существуют номер r и числа ak, k = 1, 2,..., r, такие,

r

что Ilf - £ akфк || ф е.

k=1

q

Пусть Sq = E*(kj). Тогда по лемме 18 при q достаточно Больших

j=i

If - Sq f || Ф

f - E ak^k

k=1

+

y^gfe^k - Sq E akФk

k= 1

\k=1

+

Sq ( f - E ak^k

k=1

ф е + Ce.

Взяв теперь систему, биортогональную к системе {^k}, получим утверждение теоремы.

Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект № 1.1520.2014k).

Библиографический список

1. Андреев А. А., Саушкин И. Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инво-лютивным отклонением в бесконечной области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2005. Вып. 36. С. 10-16. DOI: 10.14498/vsgtu332.

2. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Матем. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 33-50. DOI: 10.4213/sm601.

3. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Смешанные задачи для гиперболических уравнений первого порядка с инволюцией // ДАН. 2011. Т. 441, № 2. С. 156-159.

4. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // ДАН. 2011. Т. 439, № 6. С. 733-735.

5. Хромов А. П., Хромова Г. В. О сходимости метода М. М. Лаврентьева для интегрального уравнения первого рода с инволюцией // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. С. 289-297.

6. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функционально-дифференциального уравнения с оператором отражения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 196-204.

7. Шкаликов А. А. О базисное™ собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов е интегральными краевыми условиями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, матем., мех. 1982. № 6. С. 12-21.

8. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений е параметром в граничных условиях // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1983. Т. 9. С. 190-229.

9. Баскаков А. Г., Кацаран Т. К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов е нелокальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 8. С. 1424-1433.

10. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев : Изд-во АН УССР, 1954.

11. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора е переменным пределом интегрирования //Матем. заметки. 2004. Т. 76, вып. 1. С. 97-110. DOI: 10.4213/mzm92.

12. Седлецкий А. М. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, I // СМФН. Т. 5. М. : Изд-во МАИ, 2003. С. 3-152.

13. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора е многоточечным краевым условием // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. унта, 2004. Вып. 6. С. 80-82.

14. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969.

15. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора е интегральными краевыми условиями // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 61-63.

403

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

On Riescz Bases of Eigenfunction of 2-nd Order Differential Operator with Involution

and Integral Boundary Conditions

V. P. Kurdyumov

Kurdyumov Vitalii Pavlovich, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

Riesz basisness with brackets of the eigen and associated function is proved for a 2-nd order differential operator with involution in the derivatives and with integral boundary conditions. To demonstrate this the spectral problem of the initial operator is reduced to the spectral problem of a 1-st order operator without involution in the 4-dimensional vector-function space. The equation of the new spectral problem contains a difficult non-trivial coefficient of the unknown function, but after a transformation, depending on the spectral parameter A, this coefficient can be estimated as O(A-1/2). This makes it possible to get under some regularity conditions the location of eigenvalues of the initial operator and to present its resolvent by integral operators of simpler structure. These facts together with completeness of the eigen and associated functions of the operator, adjoint to the initial one, underlie the proof of the result formulated.

Key words: Riescz basis, resolvent, involution.

The results have been obtained in the framework of the national tasks of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 1.1520.2014k).

References

1. Andreev A. a., Saushkin I. N. Ob analoge zadachi Trikomi dlia odnogo model’nogo uravneniia s in-voliutivnym otkloneniem v beskonechnoi oblasti [An analog of the Tricomi problem for a model equation with involutive deviation in an infinite domain]. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2005, iss. 34, pp. 10-16 (in Russian).

DOI: 10.14498/vsgtu332.

2. Kornev V. V., Khromov A. P. Equiconvergence of expansions in eigenfunctions of integral operators with kernels that can have discontinuities on the diagonals. Sb. Math., 2001, vol. 192, iss. 10, pp. 1451-1469. DOI: 10.1070/SM2001v192 n10ABEH000601.

3. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. Initial-boundary value problems for first-order hyperbolic equations with involution. Doklady Math., 2011, vol. 84, no. 3, pp. 783-786. DOI: 10.1134/S106456241107 0088.

4. Kurdyumov V. P., Khromov A. P. On riesz bases of eigenfunctions of integral operators with kernels discontinuous on diagonals. Doklady Math.,

2011, vol. 84, no. 1, pp. 548-550. DOI: 10.1134/

S1064562411050097.

5. Khromov A. P., Khromova G. V. On the convergence of the Lavrent’ev method for an integral equation of the first kind with involution. Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 2013, vol. 280, suppl. 1, pp. 88-97. DOI: 10.1134/S0081 543813020089.

6. Kurdyumov V. P., Khromov A. P. Riesz bases

formed by root functions of a functional-differential equation with a reflection operator. Differential Equations, 2008, vol. 44, no. 2, pp. 203-212. DOI: 10.1134/S0012266108020079.

7. Shkalikov A. A. O bazisnosti sobstvennykh funk-tsii obyknovennykh differentsial’nykh operatorov s integral’nymi kraevymi usloviiami [On the basis of its own functions of ordinary differential operators with integral boundary conditions]. Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1, Mat., Mech., 1982, no. 6, pp. 12-21 (in Russian).

8. Shkalikov A. A. Kraevye zadachi dlia obyknoven-nykh differentsial’nykh uravnenii s parametrom v granichnykh usloviiakh [Boundary problems for ordinary differential equations with a parameter in the boundary conditions]. Trudy Sem. I. G. Petro-vskii, 1983, vol. 9, pp. 190-229 (in Russian).

9. Baskakov A. G., Katsaran T. K. Spektral’nyi analiz integro-differentsial’nykh operatorov s nelokal’nymi kraevymi usloviiami [Spectral analysis of integral-differential operators with nonlocal boundary conditions]. Differentsial’nye uravneniia [Differential equations], 1988, vol. 24, no. 8, pp. 1424-1433 (in Russian).

10. Rapoport I. M. O nekotorykh asimptoticheskikh metodakh v teorii differentsial’nykh uravnenii [On some asymptotic methods in the theory of differential equations]. Kiev, Ukrainian Academy of Sciences, 1954 (in Russian).

11. Kurdyumov V. P., Khromov A. P. Riesz Bases of Eigenfunctions of an Integral Operator with a

404

Научный отдел

И. С. Ломов. Оценки скорости сходимости и равносходимости спектральных разложений

Variable Limit of Integration, Math. Nates, 2004, vol. 76, iss, 1, pp. 99-102. DOI: 10,1023/B:MATN, 0000036745,53704,08,

12, Sedletskii A, M, Analytic Fourier transforms and exponential approximations, I, Journal af Mathematical Sciences, vol, 129, iss, 6, pp, 4251-4408, DOI: 10,1007/s10958-005-0349-y,

13, Kurdyumov V, P,, Khromov A, P, O bazisakh Rissa iz sobstvennykh i prisoedinennykh funkt-sii differentsial’no-raznostnogo operatora s mnogo-tochechnym kraevym usloviem [The Riesz bases consisting of eigen and associated functions for a differential operator with multi-point difference boundary condition], Matematika. Mekhanika : sb. nauchn. tr. [Mathematics, Mechanics : a collection

of scientific works], Saratov, Saratov Univ, Press,

2004, iss, 6, pp, 80-82 (in Russian),

14, Naimark M, A, Linear Differential Operators, New York, Ungar, 1967; Moscow, Nauka, 1969,

15, Kurdyumov V, P, , Khromov A, P, O bazisakh Rissa iz sobstvennykh i prisoedinennykh funkt-sii differentsial’no-raznostnogo operatora s inte-gral’nymi kraevymi usloviiami [The Riesz bases consisting of eigen and associated functions for a differential-difference operator with integral boundary conditions], Matematika. Mekhanika : sb. nauchn. tr. [Mathematics, Mechanics : a collection of scientific works], Saratov, Saratov Univ, Press,

2005, iss, 7, pp, 61-63 (in Russian),

УДК 517.927.25

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ И РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

И. С. Ломов

Ломов Игорь Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, и.о. заведующего кафедрой общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, [email protected]

Настоящий обзор содержит анализ результатов, полученных В. А. Ильиным и его учениками, по вопросу оценки скорости сходимости и равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектральных разложений функций по корневым функциям линейных обыкновенных дифференциальных операторов как самосопряженных, так и несамосопряженных, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Приведена первая теорема В. А. Ильина о равносходимости спектральных разложений для дифференциального оператора произвольного порядка. Формулируются теоремы о скорости равносходимости спектральных разложений сначала для произвольных самосопряженных расширений одномерного оператора Шредингера. При этом потенциал оператора может иметь любые особенности на границе интервала. Это позволяет получить новые результаты даже для всех классических ортогональных полиномов. Далее формулируются результаты для несамосопряженных операторов. Завершается обзор теоремой о скорости равносходимости для так называемых нагруженных дифференциальных операторов. Оценки скорости равносходимости разложений получены как на любом внутреннем компакте интервала, так и на всем интервале. Установлена зависимость оценки скорости равносходимости разложений на произвольном компакте основного интервала от расстояния этого компакта до границы интервала.

Ключевые слова: обыкновенный дифференциальный оператор, собственные значения, спектральные разложения, скорость сходимости, формула среднего значения.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-4-405-418

Светлой памяти моего Учителя Владимира Александровича Ильина посвящается

Тригонометрические ряды Фурье, их свойства, условия сходимости исследованы весьма подробно, Многие математики, изучая спектральные разложения функций, занимались вопросом о равносходимости разложений функций по собственным функциям операторов и в тригонометрический ряд

© Ломов И. С., 2015