CC BY
27
Итак, все утверждения данной теоремы установлены.
Замечание. Необходимые условия Ф(М(х))=1 либо |Ф(М(х))|=1 существования решения системы (1) возникают при применении соответствующей однородной функции Ф к тождеству /' (х) = = Ф(/'(х))М (х).
Библиографический список
1. Журавлев И.В. О восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 5. С. 53-61.
2. Журавлев И.В. К задаче восстановления отображения по нормированной матрице // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 77-87.
3. Егоров В.В. О системах дифференциальных уравнений, возникающих в теории квазиконформных отображений. Волгоград, 1997. Деп. в ВИНИТИ № 2777-В97. 16 с.
4. Егоров В.В. Об интегрируемости одной системы дифференциальных уравнений с частными производными, возникающей в теории квазиконформных отображений. Волгоград, 1998. Деп. в ВИНИТИ № 1816-В98. 15 с.
5. Егоров В.В. О системе дифференциальных уравнений, описывающей отображения с ограниченным искажением // Вестн. ВолГУ. Сер. 1 (Математика). Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2004. Вып.8.
6. Шушков Д.В. Восстановление отображения по характеристике //(х) / ||//(ж)|| // Тр. по геометрии
и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат., 2003.
7. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во МГУ, 1986. 368 с.
8. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
9. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.
10. Буренков В.И. Интегральные представления Соболева и формула Тейлора // Тр. МИАН СССР. 1974. Т. 131. С. 33-38.
11. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.
12. Гольдштейн В.М., Кузьминов В.И., Шведов И.А. Дифференциальные формы на липшецевом многообразии // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 2. С. 16-30.
13. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.
УДК 517.984
О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ
В.П. Курдюмов, А.П. Хромов
Саратовский государственный университет,
кафедра дифференциальных уравнений и прикладной
математики
E-mail: [email protected]
Для дифференциально-разностного оператора переменной структуры с интегральными краевыми условиями доказана ба-зисность Рисса его собственных и присоединенных функций в пространстве L\ [0,1].
On Riesz Basises of the Eigen and Associated Functions of the Functional-Differential Operator with a Variable Structure
V.P. Kurdyumov, A.P. Khromov
For a functional-differential operator of a variable structure with integral boundary conditions the Riesz basisness of its eigen and associated functions in the space l2[0,1] is proved.
Рассмотрим функционально-дифференциальный оператор
/«iyi(x) + ßiyi(1 - x) + pii(x)yi(x) + pi2(x)yi(1 - x)\
Ly = 1[y] = «2^2(x) + в2У2(1 - x) + P2i (x)y2(x) + P22(x)y2(1 - x) , (1)
V y3 (x)+ p(x)y3(x) )
y(x) = (yi(x),y2(x),y3(x))T (T — знак транспонирования), x e [0,1], с граничными условиями:
i i i
yi(0) = Уз(1), y2(1) = Уз(0), J yi(t) W + y y2(t) d^2 W + У y3(t) d^3(t) = °- (2)
0 0 0
Предполагаем, что «2 = A2, Pj(x) e Ci[0,1] (i,j = 1, 2), p(x) e Ci[0,1], ci(x) (i = 1, 2, 3) —
функции ограниченной вариации, имеющие скачки в точках 0 и 1.
© В.П. Курдюмов, А.П. Хромов, 2007
Настоящей работой продолжаются исследования функционально-дифференциальных операторов с операторами отражения, которые интенсивно развиваются [1]-[2]. В работе рассматривается вопрос о базисах Рисса из собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) оператора (1)-(2). Эта задача для дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями изучалась в [3]-[4].
Пусть y = Ra/, где Ra = (L — АЛ)-1 — резольвента оператора L (Л — спектральный параметр, E — единичный оператор), /(x) = (/1 (x),/2(x),/3(x))T. Тогда у удовлетворяет системе
«1 у1 (x) + ві УІ (1 — x) + pn(x)yi(x) + pi2 (x)yi (1 — x) = Луї (x) + /1 (x), (3)
«2 y2 (x) + в2 y2 (1 — x) + P21(x)y2(x) + P22 (x)y2 (1 — x) = ЛУ2 (x) + І2 (x), (4)
У3(x) + P(x)y3(x) = аУз (x) + is(x) (5)
и условиям (2).
Введем краевую задачу
u' + P(x)u — ADu = m(x), (6)
MM0 u(0) + MM1u(1) = 0, (7)
i (u1 (t) + 61 u2(t)) d<71(t)+ i (u3(t) + &2u4(t)) d^2(t) + f ^(t) dCT3(t)=0, (8)
ooo
где u = (u1, ...,u5 )T, D = diag(D1 ,D2 ,D3), Dk = diag(iVdk, — ¿л/d*) (k = 1, 2), D3 = (1),
dk = в2 — «2 (k = 1, 2), P(x) = diag(B-1 Q^^x^ ,B-1 Q-1 P2(x)B2,B3“1 Q-1 P3(x)B3),
Bk = (bk б") (k = 1, 2), 6k = в-1 (¿Vdk + «k) (k = 1, 2), B3 = (1), Qk = (k = 1, 2),
Q3 = (1), pk(x) = ^pkp2(1(—^ pkp1(2(—^ (k = 12), P3(x) = (p(x)) m(x) = diag(B-1Q-1,
B-1 Q-1, B-1 Q-1)m(x), m(x) = (m1 (x),..., m5(x))T, m1 (x) = /1(x), m2(x) = /1(1—x), m3(x) = /2(x), m4(x) = /2(1 — x), m5(x) = /3(x), MM0 = M0B, MM1 = M1B, Mk (k = 0,1) — матрица размерности
л с (k) (0) (0) (0) (1)1 (0) (1) (1) (1) , (k) n
4 x 5 с элементами mj, шЦ = m34 = m44 = m22 = 1, m35 = m15' = m25 = m43 = —1, mj = 0
при остальных i, j и k = 0,1, B = diag (B1, B2, B3).
Лемма 1. Если y = Ra/, u(x, A) — решение задачи (6)-(8) и z(x) = Bu(x, А), то z1(x) = y1 (x),
Z3(x) = y2(x), Z5(x) = y3(x), где z(x) = (z1 (x),..., Z5(x))T.
Присутствие матрицы P(x) в (6) является серьезным препятствием в исследовании решения задачи
(6)-(8). Здесь мы приведем ее преобразование, заменяющее P(x) на матрицу с элементами O(A-1)
([5], с.48-58).
Пусть H0(x) = (H01(x),H02(x),H03(x)), где H01 (x) = diag (h1(x), h2(x)), H02(x) = diag(h3(x),
h4(x)), hj(x) = exp ^ — Jp?jj(t) dt^, pjj(x) — диагональные элементы матрицы P(x); H1 (x) =
= diag (Hn(x),H12(x),H13(x)), где H13(x) = 0, H1k(x) (k = 1, 2) — кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения H0 k (x) + Pk (x)H0k (x) + (H1k (x)Dk — —DkНц(x)) = 0, Pk(x) = B-1 Q-1Pk(x)Bk.
Теорема 1. При больших |A| неособое преобразование u = H(x, A)v, где H(x, А) = H0(x) + + A-1 H1(x), приводит систему (6)-(8) к виду
v' + PA(x)v — ADv = m(x, А), (9)
U (v) = U1(H(x, A)v) = M0av(0) + M1av(1) = 0, (10)
J1
U2(v) = U2(H(x, A)v) = /[(h. (t) + A-161p(t))v1(t) + (61 h2(t) + A-1r1 (t))v2(t)] dai(t)+
1 0 1 (11)
+ Л(^3(t) + A 162P4(t))v3(t) + (62h4(t) + А 1Г3(t))v4(t)] da2(t) + / h5(t)v5(t) da3(t) = 0,
00
где Pa(x) = A-1 H-1(x,A)(H1 (x) + P(x)H (x)), m(x, A) = H-1(x,A)m(x), M0A = M0H(0,A),
M1A = M1H(1,A), rk (t) (k = 1,2) — элементы матрицы H11(t), Pk (t) (k = 3,4) — элементы
матрицы H12(t).
Лемма 2. Если v(x, A) = (v1(x, A),..., v5(x, A))T является решением (9)—(11), то
Ra/ = ((h1(x) + A 161 P2(x))v1 (x, A) + (61^2(x) + A 1r1 (x))v2(x, A),
Известия Саратовского университета. 2007. Т. 7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2 (h3(x) + Л-162Г4(х))г>э(ж, Л) + (62^4(x) + Л-1 Гз(х))г>4(x, Л), h5(x)v5(x, A))T.
Введем еще такую краевую задачу
w' — ^-D w = m(x), (12)
U1(w) = Мол w(0) + М1л w(1) = 0, (13)
(14)
1 1
U2 (w) = /[tl(t, ^)wi (t) + Í2(t, ^)W2 (t)] dai(t)^/[Í3 (t,^)w3(í)+ Í4(t,^)w4(t)] d^2 (t) + 0 0 1
+ / t5 (t, ^) W5 (t) d^3 (t) = 0,
0
где m = (mi,..., m5)T, m, = m,(x) e C[0,1], д = ¿A/v^, D = diag (1, -1, d, —d, w), d = д/di/d2, w = \/dT/i, то есть AD = , t1 (t, д) = h1(t) + д-1^ r2(t), t2(t, д) = b1h2(t) + д-1 r1(t), t3(^д) =
= h3(t) + Д-1&2r4(t), t4(t, д) = &2^4(t) + д-1 Г3(t), t5(t, д) = ^5(t), rfc(t) = ¿ffc(t)/d (k = 1, 2,3,4). Предполагаем далее, что d1 > 0, d2 > 0.
/1 1 1 Обозначим через вектор-строку = ( J t1 (t^)e^(t-1) du^t),/12(^д)е-^ da1 (t),J t3(t, д) x
1 1 4
х е^^(^-1) d<т2 (£),/ £4(£, д)е—^ йст2(^)^ ¿5 (¿, д)е^^-1) йстз(^П, V (х,д) = diag(e^(x-1) ,е-^х ,е^^(х-1),
0 0 '
е—^,е^ш(х-1)); А(д) = (ит(V(х,д)),Мт)т = (ит(Н(х,А)У(х,д)),Мт)т; #(х,д) = ^(^(х,£,д), ...,д5(х,д)); дк(х,д) = е(х,£)е^^(х—£), если Ие д^к < 0; дк(х, ¿,д) = —е(£,х)е^^(х—£), если
Ие д^к > 0; е(х,£) = 1, если х > ¿, е(х,£) = 0, если х < ¿; ^1 = 1, <^2 = —1, <^3 = d, <^4 = —d, <^5 = Лемма 3. Если матрица А(д) обратима, то для решения и>(х) = ^т(х) задачи (12)—(14)
1
справедлива формула ^т(х) = / д(х,£, д)т(£) dí—V (х,д)А-1 (д)Ф(т, д), где Ф(т, д) = (Д1(д),...,
0
. ..,Д5(д))Т, (д) (г = 1,2,3,4) является линейной комбинацией с ограниченными по д (при |д|
достаточно больших) коэффициентами интегралов
111
У п(£)е—^ dt, У п(£)е—^ dt, Уп(^)е-^ш* dt, (15)
0 0 0
а Д5 (д) — интегралов
111
I ^(¿)е-^ dt, I ^ (¿)е—^ dt, I (¿)е-^ dt (г = 1,..., 5), (16)
0 0 0
1—£
где п(£) есть одна из функций тг(£), тг (1 — ¿) (г = 1,..., 5); ^1 (¿) = / т1 (т + ¿)^(т) dа1 (т),
0
1 1—£ 1
^2(¿) = / т2(т — ¿)^(т) dстl(т), ^з(¿) = / тз(т + ¿)^(т) dст2(т), ^(¿) = /т4(т — ¿)^(т) dст2(т),
£ 0 £
1—£
^5(¿) = / т5(т + ¿)^(т) dа3(т), ^(т) совпадает с одной из функций ^1(т), Ь1 Л,2(т), Л,3(т), 62Л,4(т),
0
^5 (т), п (т), 61Г2 (т), гз (т), 62Г4 (т).
Пусть в дальнейшем выполняется условие 6162(а1 + Ь1в1 + в3)(а2 + Ь2в2 + а3Ь2)(а1 Ь1 + в1 + Ь2в3) х х («2Ь2 + в2 + «3) = о, где «г = и*(+0) — ст*(0), вг = (1) — ^¿(1 — 0) (г = 1,2,3). Обозначим ^(д) = detАl(д), где А1(д) = (и^о(V(х,д)),МТо)т, (V(х,д)) = ^1(Яо(х)^(х,д)), М^о —
/1 1 1
вектор-строка, имеющая вид М^0 = ( / ^1(^)е^(£—1) dст1(í)^61 ^2(¿)е—dст1 (¿)^ ^3(¿)е^^(£—1) dст2(¿),
^0 0 0
1 1 N
/ Ь2^4(¿)е—d<т2(í), / ^5(¿)е^ш(£—1) dст3(í)
00
Далее рассматриваем область £ = {д| Ие д > 0, Ие д^ > 0} (остальные случаи рассматриваются аналогично). Через обозначим область, получающуюся из £ удалением всех нулей ^(д) вместе с
круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5 (считаем, что эти нули не находятся в 5-окрестности границы области £).
Лемма 4. Нули функции ^(д) находятся в двух полуполосах: вдоль мнимой и вещественной осей. Причем в любом прямоугольнике |1т д — ¿| < 1 первой полуполосы и любом прямоугольнике |Ие д — ¿| < 1 второй полуполосы число этих нулей ограничено при всех вещественных В £^ справедлива оценка |^(д)| > С, где С > 0 и не зависит от д.
Из леммы 4 сразу следует
Лемма 5. Для всех достаточно больших д в области £^ имеет место оценка | det А(д)| > С, где С > 0 и не зависит от д.
Обозначим через П полуполосу из леммы 4, расположенную вдоль мнимой оси, П(5) = £^ П П.
Лемма 6. Если д е П(5) и |д| достаточно велико, то существует единственное решение задачи (12)—(14), для компонент которого имеют место представления:
1
(Иит)1 = — / е^(х—£)т1 (¿) dí + И (т, д)е^(х—1),
X
X
(Иит)2 = / е—и(х—£)т2(£) dí + И2(т,д)е—их,
0
1
(Ит)3 = — / е^(х—£)т3(¿) dí + И(т, д)е^(х—1, (17)
X
X
(Иит)4 = / е—и^(х—£)т4(¿) dí + И4(т,д)е—и^х,
0
1
(Ит)5 = — / е^(х—^(г) dí + И(т, д)еиш(х—1),
х
где (т,д) (г = 1, 2,3,4) — линейные комбинации интегралов (15), а И5(т,д) — интегралов
(16) с ограниченными по д коэффициентами.
Пусть ^(¿,д) — одна из функций леммы 3, когда тг(х) (г = 1,..., 5) заменены на произвольную функцию д(х) е С[0,1].
Лемма 7. Если д(х) е С[0,1], то справедлива оценка ||^(£,д)|| < С||д||, где С > 0 и не зависит от д(х), || ■ || — норма в ¿2 [0,1].
По лемме 7 ^(¿,д) как оператор по д продолжается по непрерывности на все ¿2[0,1]. Это продолжение мы также обозначим через ^(¿,д). Тем самым мы можем рассматривать задачу (12)-(14), когда т(х) е ¿5 [0,1].
Лемма 8. Если д е П(5) и |д| достаточно велико, то для краевой задачи (12)—(14) при т(х) е ¿5 [0,1] существует единственное решение т(х) и для его компонент имеют место формулы (17), в которых (¿) из леммы 3 заменяются на соответствующие операторы ^(¿,д) в ¿2 [0,1].
Считаем, что функции /¿(х) (г = 1,2,3) в задаче (3)-(5) принадлежат ¿2[0,1]. Тогда т(х) из задачи (6)-(8) принадлежит ¿5[0,1].
Лемма 9. Если д то же, что и в лемме 8, то существует единственное решение задачи (9)—(11), причем г>(х, А) = Иид1 (х) + Л?2(х) — ЛМлд1 (х) + О ^, где д1 (х) = Н—1(х)т(х),
?2(х) = — Н—1(х)Н1(х)Н—1(х)т(х), Мл = Н2(х)(Е+М1Л)—1И, Н2(х) = Н-1 (х)[Н1 (х)+Р(х)Н1 (х)], М1лт(х) = Ии(РЛ(х)т(х)), || ■ || — норма в ¿3[0,1].
Лемма 10. Существуют непрерывные функции 7- (х), 5- (х) (г = 1,..., 5; ^ = 1,2) такие, что для 01 (х) и д2(х) из леммы 9 имеют место соотношения:
1 1 —х
(Ид-)1 = — /еи(х—^(*)Д(*) dí — / еи(х+£—1)5Ъ-(*)Д(*) dí + И- (д)еи(х—1),
х0 х 1
(Ид-)2 = /е—и(х—£)72-(*)Д(*) dt + / е—и(х+£—1)52-(¿)/1 (¿) dí + И2-(д)е—их,
0 1—х
1 1 —х
(Ид-)3 = — /е^(х—£)73-(¿)/2(*) dí — / еи^(х+£—1)53-(¿)/2(^) dí + И-(д)еи^(х—1),
х0 х 1
(Ид-)4 = /е—и^(х—£)74-(¿)/2(^) dt + / е—и^(х+£—1)54-(/(¿) dí + И-(д)е—и^х,
0 1—х
1
(И^ )5 = — / еи-(х—£) 751 (/ (¿) dí + И51(д)еи-(х —1), (И^Ь = ^52 (д)е^(х —1,
где Wj (д) = Wj (/, д) (i = 1,2,3,4) — линейные комбинации с ограниченными по д коэффициен-
11 11 тами интегралов f 0(t)/v(t)e-^ dt, / 0(t)/v(t)e-^(1-t) dt, / 0(t)/v(t)e-^dt dt, / 0(t)/v(t)e-^d(1-t) dt,
о о о о
11 1
/ 0(t)/v(t)e-^wt dt, / 0(t)/v(t)e-^(1-t) dt (v = 1,2,3), а W5j (д) = W5j- (/, д) — интегралов f ^(t) x
о о о
1 1
x e-^ dt, f ^(t)e-^dt dt, f ^(t)e-^wt dt, где ^(t) являются продолжениями по лемме 7 следующих,
оо рассматриваемых как операторы по /v (x), интегралов
1—t 1—t
/ /v(т + í)0(t + t)^(r) da¿(t), / /v(1 — т — t)0(1 — т — t)^(r) da¿(r),
1 0 1 0 (18)
//v(t — í)0(t — í)-0(t) da¿(t), //v(1 — т + t)0(1 — т + í)^(t) da¿(t) (v, l = 1, 2, 3),
tt
когда 0(x) являются произвольными функциями среди Yj (x), (x). Функции ^(т) те же, что и
в лемме 3.
і і
(V _
Рассмотрим операторы фл/ = / ^(ж,£, Л)/(і) dt, где ^(ж,£, Л) есть одна из функций / е^(х т) х
0 х
х 1 х
х 0(і)М(т, і, Л) dт, / е-^х-т)0(І)М(т, і, Л) dт, / е^(х—т)0(і)М(т,і,Л) dт, / е—^(х—т)0(і)М(т,і,Л) dт,
0 х 0
1
/ е^(х—т) 0(і)М (т, і, Л) dт, е^(х-1)ж (і, Л, д), е-^хЖ (і, Л, д), е^(х—^ (і, Л, д), е—^х N (і, Л, д), е^ш(х-1).
X
Здесь М(ж, і, Л) есть либо М- (ж, і, Л), либо М-(1 — ж, і, Л) при некоторых г,^. Функции М-(ж, і, Л) (г, = 1,..., 5) являются компонентами ядра интегрального оператора Мл; N(і,Л,д) есть одна из
1 1 1-т 1
следующих функций: / ег(^)тМ(т, і, Л)0(і) dт, / ег(^)т dт / М(в + т, і, Л)^(^)0(і) da1 (в), / ег(^)т dт х
0 0 0 о
1 1 1-т 1 1
х / М(в — т, і, Л)^(в)0(і) da■1(s), / ег(^)т dт / М(в+т, і, Л)^(в)0(і) d0■2(в), / ег(^)т dт / М(в — т, і, Л) х
т 0 0 0 т
1 1 —т
х ^(в)0(і) d<т2(s), / ег(^)т dт / М(в + т, і, Л)^(в)0(і) d<тз(в), и, наконец, г(д) есть одна из функций
00
—д, —дd, —д^.
Лемма 11. Каждая компонента вектор-функции ^Млд1 есть линейная комбинация всевозможных операторов ^л/ с ограниченными по д коэффициентами.
Обозначим через а(ж, д1, к) одну из функций е—(^+гк)х, е^1 +ік)(х—1), е—(т+гк)йх, е^1 +гкЖх—1) е(^1 +гк)ш(х —1); через ^(ж,і,д1,к) — одну из функций є(ж, £)0(£)е—(т+гк)(х—^, є(і, ж)0(і)е(^1 +ік)(х —О є(1 — ж,і)0(і)е(^1 +гк)(х+^—1), є(і, 1 — ж)0(і)е—(^1+гк)(х+^—1), є(ж, £)0(і)е—(^1+гк)й(х—^, є(і,ж)0(і)х хе(^1+гк)й(х—'0, Є(1 — ж, і)0(і)е(^1+гк)й(х+^ —1), є(і, 1 — ж)0(і)е —(^1 +гкЖх+^ —1), є(і, ж)0(і)е(^1 +гкМх —0 где 0(і) либо те же, что и в лемме 10, либо 0(і) = 1; М(ж, і,д1,к) = М(ж, і, Л)|л=—¿^¿7(^1+ік)
1
N(ж,д1 ,к) = N(і,Л,д)| л=-іуіТ(р1+ік). • Пусть А/ = ^(ж) / ст(ж, дь к)ст(і, д1 ,к)А/(і) dі (V = 1,2,3)
М = М1 +ік 0
1
где А/(і) — один из операторов 0(і)/(і) или операторов (18); Вк/ = ^(ж) /^(ж, і, д1, к)/^(і) dt
0
1 1
Мк /^ = / М (ж, і, д1, к)0(і)/(і) dí, Nk /^ = ^(ж)а(ж, д1, к) / N (і, д1, к)/^ (і) dí• 00 Пусть д є П(5), д = д1 + гк и д1 принадлежит ограниченной области. Для дальнейшего резольвенту Дл удобно обозначить Д(Л, д) и пусть Д(д) = Д(Л, д)|л=—/^.
Лемма 12. £сли /(ж) є Ь2[0,1] (V = 1, 2,3), то при больших |д| для каждой компоненты вектора Д(д)/ справедливо представление (Д(д)/)і = 0(ж, д1, к; /) + 0(), где 0(ж, д1, к; /) есть конечная сумма с ограниченными по д1 и к коэффициентами всевозможных операторов Ак /, Вк/^, кВк/^, 1 ВкМк/^, 1 Nk/^ причем коэффициенты при Вк/ не зависят от д1 и к, || ■ || — норма в ¿2 [0,1].
Так же как и в [6] представим полуполосу П в виде объединения конечного числа различных групп равных между собой прямоугольников, границы которых Гк (к = 1, 2,...) (при возрастании к контуры удаляются от начала координат) состоят из отрезков, лежащих на прямых Ие д = к (Л, — ширина полосы), Иед = 0 и из отрезков длины к, параллельных вещественной оси. Контуры Гк
Н.М. Медведева. Исследование устойчивости экстремальных поверхностей вращения
принадлежат П(5) и для каждого Гк конкретной группы существует натуральное ¿к, что Гк = Г + ¿¿к, где Г — некоторый фиксированный прямоугольный контур из этой группы. Аналогичное построение проводится и для второй полуполосы из леммы 4. Построенные в ней контуры обозначим через Гк (к = —1, —2,...).
Лемма 13. Пусть J — любой конечный набор достаточно больших по модулю целых чисел.
Тогда имеет место оценка
k£ J
Е /г. я(д)/Ф < C, равномерная по J.
Лемма 14. Система с.п.ф. оператора Ь полна в Ь2[0,1].
Из лемм 13 и 14 так же, как в [7], следует
Теорема 2. Система с.п.ф. оператора Ь образует базис Рисса со скобками в Ь3[0,1]. При этом в скобки следует объединять те с.п.ф., которые соответствуют собственным значениям Лт, для которых числа гЛтпопали внутрь контуров Гк области Б ив аналогичные контуры из оставшихся нерассмотренных областей.
Библиографический список
1. Хромов А.П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Доклады РАЕН. 2004. № 4. С. 80-87.
2.Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 1. С. 97-110.
3. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. 1982. № 6. С. 12-21.
4. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в гранич-
УДК 514.772.2+517.97
ных условиях // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1983. Т. 9. С. 190-229.
5. Рапоппорт И.М. О некоторых асимтотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР. 1954.
6. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием// Математика. Механика: Сб. науч.тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 80-82.
7. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с интегральным краевым условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С.61-63.
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
Н.М. Медведева
Волгоградский государственный университет, кафедра информатики и экспериментальной математики E-mail: [email protected], [email protected]
В данной работе вычисляются первая и вторая вариации функционала типа площади для поверхностей вращения; формулируется признак устойчивости и неустойчивости в терминах локальных координат на основе оценок специальных интегралов. Приводятся примеры нахождения областей устойчивости и неустойчивости, в том числе и для р-минимальных поверхностей.
Research of Stability for Extremal Rotation Surfaces N.M. Medvedeva
In this work we obtain the first and second variations of area type functional for rotation surfaces formulas. We proof the feature of stability and instability in the terms of the local coordinates and special integrals. We consider some examples by application our results for research if stability for rotation surfaces.
Рассмотрим С2-гладкую поверхность М С К3, заданную радиус-вектором г(и,^), где и, V — главные направления поверхности, и С2-гладкую функцию ф : К3 ^ К, £ е К3, ф(—£) = ф(£).
Если обозначить через £ = (£1, £2, £3) поле единичных нормалей к поверхности М, то для любой
С2
-гладкой поверхности М определена величина
ПМ) = У ф(£3 )<Ш, (1)
м
где dM — элемент площади на М. Заметим, что величина (1) не зависит от выбора нормали £.
Будем говорить, что поверхность М является экстремальной (или — экстремалью функционала (1)), если первая вариация функционала (1) равна нулю (ниже подробно приведено построение вариаций).
© Н.М. Медведева, 2007
