НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВЕ $L_p(R^d)$ СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 45-66 = Математика

УДК 517.5

Неравенство Джексона в пространстве

Ьр(Ма) со степенным весом

В. И. Иванов, О. И. Смирнов

Аннотация. В пространстве Ьр(Ма), 1 ^ р < 2, со степенным весом П^=1 \хз \2Х' + 1, ^ —1 /2, доказано точное неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции целыми функциями экспоненциального сферического типа и ее модулем непрерывности, определяемым с помощью положительного оператора обобщенного сдвига.

Ключевые слова: евклидово пространство, степенной вес, пространство Ьр, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, наилучшее приближение, неравенство Джексона.

Введение

Пусть д € М, МА — д-мерное действительное евклидово пространство со скалярным произведением {х,у} = ^х3у3 и модулем \х\ = л/(х, у), Г(г) -гамма-функция, Л = (Л1,..., Ла), Лз ^ —1/2, = д — 1 + <А=1 Лз,

^(х) = _+1гт^ , 1, П х\2л+1 (1

2^+^ 4=1 ГЛ + 1)

3 = 1

— степенной вес в МА, йц,л(х) = гл(х) дх, 1 ^ р ^ то, Ьр(МА, — банаховы пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций с конечными нормами

рА^л = (1 \1'\Р йРл) , 1 < Р< то, ||/||те = 8ируга1 \1'\, р = то,

Сь(МА), Б(МА), С°(МА) — пространство непрерывных ограниченных функций, пространство Шварца и пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на МА соответственно.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

Пространство ¿2(Ма, З/л) гильбертово со скалярным произведением

(/,д) = Ш/л.

Вес (1) является частным случаем более общего веса Данкля [1], определяемого системой корней и группой отражений, порожденной системой корней. В случае веса (1) система корней есть {±в\,..., ±ва}, а группа отражений изоморфна Здесь {в\,..., ва} — стандартный ортонормированный базис в Ма.

Нас интересуют точные неравенства Джексона в пространствах Ьр(Ма) с весом Данкля между величиной наилучшего приближения функции целыми функциями экспоненциального сферического типа и ее модулем непрерывности.

Наиболее изучен случай пространства ¿2. Точные неравенства Джексона в пространствах Ь2(Ма) с весом Данкля получены в работах [2-16].

Случай пространств Ьр менее изучен. Точные неравенства Джексона известны только при 1 ^ р < 2 (см. [17-26]). Точное неравенство Джексона в пространствах Ьр (Ма) с весом Данкля было доказано только при d = 1. В [23] получена оценка сверху, а в [24, 26] установлена ее точность.

Наша цель — доказать точное неравенство Джексона в пространствах Ьр(Ма), 1 ^ р < 2, с весом (1) для произвольного d.

Пусть Е2 = {1, —1}, е = (е\,...,£й) € #2, х € Ма, ех = (е\Х\,еаха). Для функции / на Ма через /е обозначим ее составляющую, четную по всем переменным, то есть положим

/е(х) = 1(ех).

Для множества функций М введем обозначение Ме = {/ € М : / = /е}.

1. Гармонический анализ в пространствах со степенным

весом

Пусть а ^ —1/2, За(х) — функция Бесселя порядка а,

За(г) = 2а Г(а + 1)-

— нормированная функция Бесселя.

Гармонический анализ в пространстве , З/л) осуществляется с по-

мощью операторов и преобразований Данкля [1]. Дифференциально разностные операторы Данкля Dj, ] = 1,..., d, имеют вид

) / (х) = д/(х) + (\ + 1 (х) — 1 ^^ ...,х,-1, —xj ,xj+l, ...,ха) / ( ) дх< I j 2 х,

Система

^ / (х) = гу3 / (х), / (0) = 1

имеет единственное решение, определяющее обобщенную систему экспонент

а

ех(х,у) = П (хзУз),

3 = 1

где

% (хз Уз) = Зъ (хз Уз) - З'х; (хз Уз 3 = 1,...,(1. Для них выполнены свойства:

е\(х,у) = ех(у,х), ех(0,у) = 1, \ех(х,у)\ ^ 1, ех(-х,у) = ех(х,у),

\ех(г,у)\ < е1у11тх1, х,у € Ма, г € С, !тг = (\rnzi,..., !тга).

Разложение функций из Ь2(М.а, d^х) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля

/(у) = /(х)ех(х,у) йух(х), /(х)= /(у)ех(х,у) йух(у)- (2)

Равенства (2) понимаются в среднеквадратичном, при этом справедливо равенство Планшереля

\\/\\2,а,х = \\fhdK. (3)

Основные свойства преобразования Данкля можно найти в [1]. Преобразование Данкля распространяется на пространства Ьр(Ма, д^х), 1 ^ Р < 2, и справедливо неравенство Хаусдорфа-Юнга

\\Л\р',а^ < \\/\\р^х, 1/Р + 1/Р = 1.

Если /, д € 12(Ма, дрх),

то из равенства Парсеваля (3) вытекает обобщенное равенство Парсеваля

(/,д) = (Т,д). (4)

Пусть

1) = {/ : /, /€ Ь1(Жа, д^х) П Сь(М.а)}.

Лемма 1. Если / € Ьр(Ка, 1 ^ р ^ 2, а д € Л(Жа), то равенство

(4) верно.

При й = 1 лемма 1 доказана в [23]. При й> 1 доказательство аналогично. Если / € 5"(Ма), то / € 5(Ма). Если / € Л(Ма), то равенства (4) справедливы поточечно.

Для £ € Ма определим оператор обобщенного сдвига

/(х) = ех(г,у)Т(у)ех(х,у) йух(у)- (5)

Он действует из L2(Rd, d^x) в L2(Rd, d^x) и его норма равна 1. Если все Xj = -1/2, то T*f (x) = f (x +t). Если f e S(Rd), то т*f € S(Rd) [1].

Пусть cA = cXl ...cXd, cXj = ^j^), dpx(0) = c^d=i(sin % )2Xj dd — вероятностная мера на [0,^]d,

Aj = Aj (xj ,tj ,dj) = ^ x2 +- 2xj tj cos %, A = (Ai,..., Ad),

Bj = Bj(xj,tj) = tj j, Cj = Cj(xj,tj,9j) = tj,

Aj Aj

причем считаем Bj = Cj = 0, если xj = tj = 0.

Лемма 2. Для оператора обобщенного сдвига (5) справедливо интегральное представление

- d d

т*f (x) = 2d E П(1+ £jCj)f - cos 0,-) dpx(d). (6)

2 seEd j=i j=i

Оператор (6) действует из Lp(Rd, d^x) в Lp(Rd, d^x), 1 ^ p ^ то, и

||т*f WP'd»x < 4dHfyP'dMA. Доказательство. Рассмотрим оператор

Ti*f (x) = / f (A) dpx(0).

J [0'П]'

Для него справедливы оценки

iTf Wp^x < Wf Wpd^, / |TffI \f | (7)

./R+ ./R+

получающиеся итерацией известных одномерных оценок (см., например, [23]). Здесь R+ = {x € Rd : %j ^ 0}. Так как [23]

|(1+ £jCj)(1 - cos63)| < 4,

то

dd

E П(1+ jCj)f (£A^(1 - cos 0j)

seEdj=i j=i

< 4^ f (eA)|.

seEd

Отсюда и из (7)

WT*f llpd^ < 2d £ W4f(ex)Up4,x < 2d £ Wf(ex)WP,d^ = 4d||fWp4,x.

seEd seEd

При d = 1 в [23] доказано, что для оператора (6) Ttex(x,y) = ex(t,y)ex (x,y).

Из определения обобщенных экспонент это равенство верно и для й > 1. Поэтому для оператора (6) на пространстве Б(Ма), плотном в Ь2(М.а, ),

т*/(х) =

а

11'

2а I ЕП(1 + £зС) [ Т(у)ех(еЛ,у) й^(у) П(1 - соввз) йрх(в)

£&Е%з=1 з=1

= /(у)т*ех(х,у) й^х(у) = / /(у)ех(£,у)ех(х,у) й^х(у)-

Jм.d Jм.d

Лемма 2 доказана.

Таким образом, оператор (6) является распространением оператора (5) на пространства Ьр(М.а, д^х).

Отметим следующие свойства оператора обобщенного сдвига т* [1, 27]:

т0/(х) = /(х), т*1 = 1, т*/(х) = тх/(£), (т/)(у) = ех(г,у)Т(у),

(т*/,д) = (/,т-*д), [ т*/(х) й^х(х) = ! / (х) йрх(х), / € Ьг(Ша, д^х). Jм.d Jм.d

(8)

Например, последнее свойство для / € 3(Ка) получается из равенства

[27]

/ т*/(х)е-£Х2 й^х(х)= [ /(хУ-^+^ех^ех, -г^Гег) й^х(х) ./к* ЗК

предельным переходом при е ^ 0+.

Однако оператор обобщенного сдвига т* не является положительным и он неудобен для определения модуля непрерывности в пространстве ¿р(Ма, фх).

Для £ € Ка определим другой оператор обобщенного сдвига Т*. Пусть

а

Зх(х,у) = П Эх^ (хзуз). з=1

Положим

Т*/(х)= ! 3х(г,у)Т(у)ех(х,у) й^х(у). (9)

Он действует из Ь2(М.а, в Ь2(М.а, и его норма равна 1. Если все = -1/2, т Так как

2а

Аз = -1/2, то т*/(х) = (/(х + £) + /(х - 1))/2.

Тс» ъг ъга ъг

Зх(£,у) = 7^^ eх(еt,У),

то 1

Т-/ (х) = 2А Е ^£tf (х).

Следовательно, если / € Б(МА), то Т-/ € Б(МА).

Лемма 3. Для оператора обобщенного сдвига (9) справедливо интегральное представление

1 Г 4

т-/ (х) = ^ Е П(1+в)/(еА) йрл(°)- (10)

2 -П]Л еЕ 3=1

Оператор (10) действует из Ьр(МА, ё/л) в Ьр(МА, ё/л), 1 ^ Р ^ то, и

11Т*1 ^РА^л ^ У ЬА^л ■ при интегрировании и по х, и по Ь.

Доказательство. В силу интерполяционной теоремы Рисса-Торина достаточно получить соответствующие оценки норм при р = 1, то. Так как \Вз\ ^ 1, то

1 Г 4

ЦТ/< 2А ЕП(1 + £3Вз) ЛрлШ!||^ИЛ1~-24 -По,п]! ^ 3=1

е&Е% 3 =

[О , п|!

Для е € Е4 положим еМ+ = [ех : х € М+}. При интегрировании по х

ЦТ||1,< Е / / Е П(1+ езВз)\/(еА)\ дрл(в) й/л(х).

2 ГТ,^¿к! До,п]!

[0 >П]Л е£Е! 3=1 Делая замену переменных интегрирования

П

хз = 5з Уз, вз = 2(1 — 63) + 63 Фз,

получим

Аз = ^у2 + з — 2узЬз СС8 ф;, Вз (вз) = ^ (Уз ^ Фз) = 5зВз ф)

следовательно, согласно (7),

ЦТ-/1|1,< 2а Е [ ! Е П(1 + з ез Вз )\/(еА)\дрл(ф) й/л(у) =

2 6&Е1][0 'п|! еЕ з = 1 Е/ [ \/(еА)\йрл(ф) й/л(у) < Е / \/(ех)\й/л(у) = Ц/Ц^л■

е^ЕГ [0 'П]л е&Е^ ж'+

При интегрировании по -

вир \\Т* / (х)\\^х

= вир { ^Т*/(х)д(-№х(-) : \\/< 1, \\д\\< 1, /,д € Б(Ма)|

= йиР 1 4 Е т£/(х)д(-) й^х(-) : 12 £%

\\/< 1, \\д\\~ < 1,/,д € б(Ма^ =

= тр\^ I Е тх/(е-)д(-) (1^х(-) : 12 ^ ^

\\/Ум^ < 1, \\д\\~ < 1,/,д € Б(Ма^ =

= ёир\^ тх/(-)У] д(е-) йрх® ■ 1 2

\\/\\1< 1, \\д\\~ < 1,/,д € Б(Ма^ =

= 8пЛ / тх/(Ш-№х(-): \\/< 1, \\д\\~ < 1,/,д € б(ка) 1л

= 8пр{I /(-)т-хде(1)йц.х(1) : \\/\\1,< 1, \\д\\те < 1, /,д € Б(Ма^ < < 8ир{\\т-хде(£)\\ж : \\д\\те < 1}.

Согласно (10)

-I г а а

т-хде(£) = та Е П(1 + езСз)де(еЛЩ(1 - С08вз) йрх(в),

'[0 , п]

£&Е!} 3=1

з=1

где

Л = (Л1,...,Ла), Лз = у! х2 + -2 + 2хз -з сов вз, Сз = 1-з--Хз

Так как

де(еЛ)= де(Л), ^ Е № + езСз) = 1,

££Е*з=1

то

4

Г-Х9е(Ь) = I де(А) П(1 — СС8 вз) (рл (в), АопГ =

||т-Хде(Ь)Цж 5 П(1 — СО«вз) (рл(в)ЦдеЦ^ = Цде||

Нужные оценки для норм оператора Т- при р = 1, то получены. При ( = 1 в [23] доказано, что для оператора (10)

Т*вл(х,у) = ]л (Ь,у)ел(х,у).

Из определения ..л(х,у) это равенство верно и для (> 1. Поэтому для оператора (10) на пространстве Б(М4), плотном в Ь2(М4, ё/л),

Т-/(х) = 2а / Е П(1 + ез Вз) / Т(у)ел(еА,у) (/л(у) (рл(в) =

24

[0-п|! еЕ з=1

= /(у)Тьел(х,у) й/л(у)= /(у)Зл(Ь,у)ел(х,у) (/л(у)■

Лемма 3 доказана.

Таким образом, оператор (10) является распространением оператора (9) на пространства ЬР(М4, ё/л).

Отметим следующие свойства оператора обобщенного сдвига Т

Т°/(х) = /(х), Г-1 = 1, (Т/)(у) = .ЫЬ,у)/(у), Т-/(х) ^ 0, х ^ 0,

(Т-/,д) = (/,Т-д), [ Т-/(х) (/л(х) = / /(х) (/л(х), / € Ь^М4, ё/л)■

Jкd Jкd

- (11) Они вытекают из (9), (10), свойств оператора т- и его связи с оператором Т-. Для нас важно, что оператор обобщенного сдвига

Т-

положительный.

Определим свертку функции д и четной по всем переменным функции /

(д * /)(х) = Туд(х)/(у)(/л(у).

Js,d

Отметим, что эта свертка не является коммутативной.

Для свертки справедлив следующий аналог неравенства Юнга.

Лемма 4. Если 1 5 р 5 то, 1 5 д 5 то, 1 = р + 1 — 1 ^ 0, то д * / €

1 1 i 1

ма 4. Если 1 р 5 то, 1 д 5 то,

€ Ьг(М4, ё/л) и

Цд * /Цт4^л 5 ЦдЦр4^л Ц/Ця4^л

для любых д € ЬР(М4, ё/л) и / € Ье(М4, ё/л).

Доказательство. Доказательство следует стандартной схеме. При й = = 1 оно опубликовано в [23]. При й> 1 оно легко вытекает из неравенств

\\д * /\\г4,х ^ I \/(у)\([ \туд(х)\рй^х(х))/Рй^х(у) < \\д\\р4,х \\/\\1 , \\д * /\и < \\д\\р,\\/\\*, 1/р + 1/р' = 1,

которые получаются применением неравенства Минковского, неравенства Гельдера и леммы 3. Пусть

а

р(х,У,г) = ПЗ (хзгз3 (Уз) + з'хз (хзгз)з'хз (Узгз))■

з=1

Рассмотрим следующую конструкцию для действительной функции / € € Ле<

/(х,у)= (х,у,г) й»х(г). (12)

./к*

Лемма 5. Для функции /(х,у) (12) выполнены следующие свойства: /(х, у) € Ле(Ма) по х и по у, /(х, у) € Сь(Ка х Ма); для любой д € Ьр(М.а, 1 ^ р ^ 2,

/ д(у)/(х,у) й^х(у) = ТУд(х)/(у)й^х(у) = (д */)(x), /0) = /(х).

./к* Л*

Доказательство. Пусть сначала /,д € Б(Ма), / действительная и четная по всем переменным. При доказательстве леммы 3 было установлено,

что Г г

/ Туд(х)/(у№х(у)= д(у)т-х/(у) й^х(у).

Л* Л*

Таким образом,

/(х, у) = т-х/(у).

Так как

т-х/(у)= Т(г)ех(-х,г)ех(у,г) й^х(г)

и / € Бе(Ма), то

а

р(х,у,г) = (ех( x, z)eх(У, г))е = П(Эхз(хзгз)3хз(Узгз) + 3\з (хзгз)3\з(Узгз)),

з=1

/(х, 0) = /'(г)ех(-х, г) й^х(г) = /(-х) = /(х).

Применяя леммы 1, 2, 3, плотность б'(М^), получим все утверждения леммы 5.

Симметричную непрерывную функцию У (х,у) (У(х,у) = У (у,х)) назовем положительно определенной на М^ х М^, если для любой д € Ь\('иа, ё/х)

f (х,у)д(х)д(у) й/х(х) й/х(у) > 0.

Лемма 6. Если действительная функция f € Ае(М"), f ^ 0, f ^ 0, то для функции У(х, у) (12) выполнены следующие условия:

f (х,у) ^ 0 на М^ х М^;

f (х,у) — положительно определенная на М^ х М^.

Доказательство. Для любой неотрицательной функции д € € Ь\(М'1, ё/х) и любого х € М^ согласно лемме 5 и (11)

/ д(у)У (х,у) й/х(у)= / TУg(x)f (у) й/х(у) > 0.

Рассуждая от противного, отсюда легко получаем неотрицательность f(х,у) (см. [23]).

Далее, для любой функции д € Ь\(М^, ё/х) согласно леммам 1, 5

f (х,у)д(х)д(у) й/х(х) й/х(у) =

J^Ш.d J ^

= ?(г) д(х)ех(-х,г)д(у)вх(у,г)й/х(х) й/х(у)й/х(г) =

7 Rd Rd

= [ ТШ(г)|2й/х(г) > 0.

Лемма 6 доказана.

2. Основная теорема. Формулировка

Пусть 1 ^ р ^ 2, Я > 0, Би = {х € М^ : х ^ Я}, Е^ — множество целых функций д € Ьр(Ма, ё/х) экспоненциального сферического типа не выше Я, для которых носитель вирр С Б и,

ЕК(У)р = Ы{\\У - д\\р4,х : д € Е^} — величина наилучшего приближения функции У

€ Ьр(М^, ё/х). На пространстве Ьр(М^, ё/х) определим функционал

\ 1/р

)р = ТУ (■) - У(х)1р(х) й/х(х) =

■ 1/Р

1 Е / / П(1+ езВз)\/(еЛ) - /(х)\Р йрх(в)й^х(х)

и модуль непрерывности

ш(5,/)р = 8ирП(-,/)р, 5 ^ 0.

Так как Т* — линейный положительный интегральный оператор, то

П(-,/ + д)р < П(-,/)р + П(-,д)р. (13)

Так как \/(у) - /(х)\Р < 2Р-1(\/(у)\Р + \/(х)\Р), то

Т*\/(•) - /(х)\Р(х) < 2Р-1(Т*\/(х)\Р + \/(х)\Р)

и

П(-,/)р < 21-1/р( [ Т*\/(х)\Р йрх(х)+ [ \/(х)\Р й»х(х)) = 2\\/\\р,.

./к* /

(14)

Лемма 7. Если 1 ^ p ^ 2, f £ Lp(Rd, то

Ш+ u(5,f )p = 0. (15)

Доказательство. При p = 2 (15) доказано в [28]. Пусть 1 ^ p < 2. В силу (13), (14) свойство (15) достаточно доказать для функций из CQ°(Rd). Так как

dd \A\2 = £ Ad = И2 + \t\2 - 2^2 Xjtj cos 0j > (\x\- \t\)2, j=i j=i

то для функции f £ C^°(Md) с носителем в шаре Br и \t\ ^ 1 Q(t,f)p = (i Tt\f (■) - f (x)\p(x) d^x(x)) 111 <

\J Br+1 /

1/2

< (Vx(Br))llp-ll2(f T1 \f (■) - f (x)\2(x) d^x(x))

WBr+1 /

= (M.Br )flp-112 n(t,f )2.

Отсюда для 5 ^ 1

u(5,f )p < (M.Br))llp-112 U(5,f )2.

Лемма 7 доказана.

Лемма 8. Если действительная функция У € Ае(М^), У ^ 0, У(0) = 1, функция д € Ь1(Ма, ё/х), 1 ^ р ^ 2, то

/ / 1д(х) - д(у)1р У(х,у)й/х(х)й/х(у) =

■) Мd

= [ Пр(у,д)рУ(у)й/х(у). (16)

Jмd

Доказательство. При й = 1 (16) доказано в [23]. Для полноты приведем доказательство и при й > 1. Пусть

Ь(д) = (1 [ 1д(х) -д(у)1рУ(х,у)й/х(х)й/х(у)) ,

■)Мd /

ш=(^ Пр(у,д)рУ(у) й/х(у)^ /Р . Так как У(х) ^ 0, У(х,у) ^ 0 (лемма 6), то

к(д1 + д2) < ¿1 (дг) +12(32), 12(91 + д2) < 12(91) +12(д2).

Для всех х согласно (8)

/ у(х,у) й/х(у)= Т-ху(у) й/х(у)= у(у) й/х(у) = 1,

Js,d Js,d Js,d

поэтому

¿1(д) <([ I 1д(х)1р У (х,у) й/х(х)й/х(у))] + \.Ум^ мd /

+ ( [ I 1д(у)1ру(х,у)й/х(х)й/х(у))) =2\\д\\р^х-

■)Мd /

Аналогично в силу (14) 12(д) ^ \\д\\р,фл, поэтому (16) достаточно доказать для кусочно-постоянных функций.

Пусть в1,...,вм-1 — измеримые ограниченные непересекающиеся в М^ множества,

N-1

вм = У вг, С1,..., СN-1 € C,CN = 0,

г=1

д(х) = сг, х € вг, г = 1,... М,

— характеристические функции множеств вг. Имеем N N-1

1д(х) - д(у)1р = Е С - с31р XЧ (х)Хе1 (у) = £ С - с31р XЧ (х)Хе1 (у) +

1,3=1 г,3=1

N-1 N-1

+ £ ^ Хъ (х)Хем (у) + £ 1с31р Хек (х)Хвз (у) =

г=1 3=1

N -1

= £ (1сг - сз 1р - 2 1ЫП Хег (х)Хе, (у) + 1У (х)р + У (у)р .

г,3=1

Здесь мы воспользовались тем, что

N-1 N-1

Хек (х) =1 - Е Хе1 (х), Е Iс% 1рХе{ (х) = У (х)р.

г=1 г=1

Согласно лемме 5

^1 С с

%(У) = £ (с - с3 1р - 2 1сг1р) / Хе1 (х)Хе3 (у) У (х,у) й/х(х)й/х(у) +

г=1 Jмd .1Мd

+ / 1д(х)1рУ (х, у) й/х(х)й/х(у) + / 1д(у)1рУ (х,у) й/х(х)й/х(у) =

■)Мd ■)Мd

N-1 г г

= 52 (с - сз 1р - 2 1сг1р) У (у) Хег (х)ТУ Хе, (х) й/х(х)й/х(у) + 2\\д\\р^х.

.1мd Jм,d

Далее

тУ 1У(■) - У(х)1р (х) =

N-1

= 52(1сг - сз 1р - 2 1сг1р) Хег (х)ТУХе^ (х) + ТУ У (х)р + 1д(х)р,

г=1

N-1 ..

пр(у, У)р,х = £ (с - сз 1р - 2 1сг1р) Хег(х)ТУХе,(х) й/х(х) + 2\\д\\р^х

Jмd

и

N-1

1р(х) = Е (с - сз 1р - 2 1сг1р) [ У (у) [ Хег (х)ТУ Хе> (х) й/х(х)й/х(у) +

Мd ■)Мd

+2\\д\\р^х.

Таким образом, 11(д) = 12(д). Лемма 8 доказана.

Пусть да — наименьший положительный нуль функции Бесселя ,1а(г).

Теорема 1. Если X = (Х1,..., Ха), Хз ^ -1/2, ах = й - 1 + +^=1 Хз, 1 ^ р < 2, Я > 0, то для любой функции У € Ьр(Ма, ё/х) справедливо точное неравенство Джексона

Е2и(У)р < 21/р-1и( Я У . (17)

3. Основная теорема. Оценка сверху

Методика доказательства точных неравенств Джексона в пространствах Ьр, 1 * р * 2, была предложена первым автором [18] как развитие схемы Н.И. Черных [17]. Для пространства ЬР(М.а, при й = 1 она была реализована в [23].

Вначале построим метод приближения. Рассмотрим функции

Ф(У) = 3(тяу)■ * Я

10, \-\ > Я,

где тя = дах/Я,

щю (Ф * ф)(0)

Для них справедливы свойства:

Ф, ф € Сь(ка), Ф, ф ^ 0, ф(0) = 1, 8ИРРФ С Вя, 8иррф С В2Я, поскольку

ТхФ(у)= I Ф(Л(х,у,в)) йрх(х), ф(у)= I ТхФ(у)Ф(х) йух(х) ■)[0,п]л

и \Л(х,у,в)\ ^ \у\ - \х\ > Я, если \у\ > 2Я. Положим К(х) = ф(х). Так как

ф(у) = с / 3х(х,г)зх(у,г)Ф(г)Ф(х) й^х(г)й^х(х) =

.Ук^ к*

= С Зх(У,г)\ф(г)\2 ), ./к*

то К(х) = ф(х) = с\(р(г)\2. Преобразование Данкля радиальной функции Ф(у) = Ф(\у\) сводится к преобразованию Ганкеля [5, 6]

Ф(х)= Ф(у)]х(х,у)(1^х(у) = ./к*

1 Г

Ф(т)3ах (\х\т)т2^+1 йг = Иах (Ф)(\х\).

2ахГ(ах + 1) Л Последний интеграл вычислен в [3], поэтому

... , ¡1,(Я\х!)

К (х) =схя й-х?.

В силу оценки

\3ох(г)\ < т-ах-1/2, г ^ (18)

К € Ь\(М.а, ё^х). Таким образом, К — целая радиальная функция экспоненциального сферического типа 2Я,

к, К € Ле(ка), к, К ^ о, К(0) = 1, 8ирр К с Б2е. (19)

Кроме этого, справедливо неравенство [3, 18]

К (у) > (ТкУ 2 = С (у). (20)

Ш " 1 - (\у\/Я)2 Ш 1 }

Применяя конструкцию (12), определим функцию

К(х,у)= [ К(г)Е(х,у,г)й»х(г). (21)

По леммам 5, 6 она неотрицательная, положительно определенная и принадлежит Ле(М^) по х и по у.

Рассмотрим линейный положительный интегральный оператор

Л! (х)=1 / (у)К (х,у)й»х(у). (22)

Согласно леммам 4, 5 оператор Л/(х) = (/ * К)(х) действует из Ьр(М.а, в Ьр(Ма, д^х), 1 ^ Р ^ 2, Л/ — целая функция экспоненциального типа не выше 2Я и Л/ € Е^е.

Для оператора Л с неотрицательным, положительно определенным ядром, справедлива следующая оценка (см. [29, 30]).

Лемма 9. Если / € Ьр(М.а, д^х) и оператор Л определен в (22), то

Е2Я(/)р < \\/ - Л/\\р4,х <

< 21/р-1( [ [ \/(х) - /(у)\рК(х,у№х(х№х(у))1/Р .

Функция С (20) — радиальная целая функция экспоненциального сферического типа 2ти и согласно оценке (18) С € Ле(М^). Если С (у) = С(\у\), то для ее преобразования Данкля

С(х) = иах (д)(\х\).

Преобразование Ганкеля вычислено в [2, 3]. Отсюда и из теоремы Пэли-Винера [31, 32] для функции С(х) вытекают следующие свойства:

С € Ле(М^), С ^ о, С(0) = 1, эиррС с Б2тп. (23)

Пусть

С(х,у)= I С(г)Е(х,у,г) й»х(г). (24)

Согласно (19), (23)

К (х) - С(х) € Ле(М^), К (г) - С(г) ^ 0, К (г) - С(г) = 0,

поэтому из леммы 6 функция М(х, у) = К(х, у) - С(х, у) — симметричная, положительно определенная и ^ М(х, у)й/х(у) = 0 для всех х.

В [29, 30] установлено, что для симметричной, положительно определенной функции М(х,у), для которой /к* М(х,у)й/х(у) = 0 для всех х, и произвольной функции / € ЬР(М.а, ), 1 * р * 2,

/ / \ /(х) - /(у) \Р М(х,у)й/х(х)й/х(у) * 0.

Таким образом, справедлива следующая лемма.

Лемма 10. Для любой функции / € ЬР(М.а, д/х), 1 * Р * 2, и функций К(х,у) (21), С(х, у) (24)

/ / \ /(х) - /(У) \Р К(х,у)й/х(х)й/х(у) * ./к* Л*

* / \/(х) - /(у) \Р С(х,у)йрх(х)йрх(у).

.Ук^ к*

Теперь нетрудно получить оценку сверху в теореме 1. В силу лемм 8-10, (24) для произвольной функции / € ЬР(М.а, д/х), 1 * р < 2, имеем цепочку неравенств:

ЕРря(/)р * \\/ - Л\\р,^х *

* 21-Р [ [ \/(х) - /(у)\РК(х,у)й/х(х)й/х(у) *

./ к* .У к*

* 21-Р [ [ \/(х) - /(у)\РС(х,у)й/х(х)й/х(у) = = 21-Р [ ПР(у, /))РС(у)й/х(у) * 21-ршр(2тя, /У

Jb2.tr

Оценка сверху в теореме 1 получена.

4. Основная теорема. Оценка снизу

Оценку снизу получим на множестве радиальных функций. Нам понадобятся некоторые факты из работы [26].

Пусть а ^ -1/2, уа(г) = г2а+1 /2аГ(а + 1) - степенной вес на полупрямой М+, йиа(г) = уа(г) йг, 1 * р < то, ЬР,а(М+) - пространство действительных измеримых по Лебегу функций / на М+ с конечной нормой

( гж \ 1/Р

\Р' а =11 \ /(г) \Р V (г)) .

Через Ер,,а, а > 0, обозначим множество функций / € Ьр,а(М+), являющихся сужениями на М+ четных целых в С функций /(г), удовлетворяющих оценке

\/(г)\ < cfcf > 0.

Таким образом, Ера - класс четных целых функций экспоненциального типа не выше а из Ь

р, а V

Величину наилучшего приближения функции / € Ьр,а(К+) четными целыми функциями экспоненциального типа не выше Я, Я > 0, определим равенством

Ея(/)р,а = 1Ш{\\/- д\\р,а : д € Е*а}.

В пространстве Ьр, а(К+) действует ограниченный линейный положительный оператор обобщенного сдвига

гп

М/(г) = Са /(Л) 8Ш2а фдф, 8 € к+, ■)о

где

Г(а + 1)

Са = ^77 7/п\' a = ^r2 + s2" 2rs cos Ф,

^/пГ(а + 1/2) позволяющий определить модуль непрерывности

u(S, f )p,a = sup{Q(s, f )p,a : 0 ^ s ^ S}, S > 0,

где n

en

^I f (.) _ f (r) \Р(

rn

w(s,f)p,a = Ts\f (•) - f (r)\p(r) dva(r) Jo

0<X> fK

ca

Са / \f (A) - f (r)\p sin2a Vd^dva(r). oo

Константу Джексона определим равенством Т>(Я, 6)р,а = йир

ER(f )р,а

р ,а = sup /г м •

f&Lp>a(R+) J )Р,а

В [26] доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Если а > -1/2, 1 ^ р < 2, Я> 0, 5 > 0, то

^(Я, 6)р,а > 21/р-1.

Доказательство теоремы 2 основано на построении специальной последовательности кусочно-постоянных функций. Пусть N € М, т = N 1/4\, п = Nm, аN выбрано так, что

гам

Va([0,aN ]) = / dva(r) = m, o

отрезки Ai,..., Ап с [0,aN], va(Ai) = 1/N, \Jni=l \ = [0,aN], c(i) € {-1,1},

(ci, r € Ai, i = 1, ...,n, 9N(r) = < , , (25)

[0, r € (aN, x>).

Из результатов [26] вытекает

Лемма 11. Если 1 ^ p ^ 2, а > -1/2, 5 > 0, то для всех N ^ N0 существует функция qn (25), для которой при всех s € [0,5] выполнены следующие свойства

er (f)pa > ™ (1 - Jm), г gN {r)MSgN (r)d^a(r) > -

Покажем, что последовательность радиальных функций fN(x) = Qn( Ix|) при а = o\ является искомой.

Лемма 12. Если f (x) = g(|x|), то Er(J)p = ER(g)p,ax.

Доказательство. Будем использовать следующую формулу повторного интегрирования

/ f (x)d^x(x) = l / f (rx') dw\(x')dvax(r),

JRd J0 JSd-1

где Sd-i = {x € Rd : IxI = 1} — единичная евклидова сфера, dwx(x') — весовая вероятностная мера на Sd-i. Для любой функции h € ERax

ER(f)p < \\g(IxI) - h(IxI)\\p4,x = \\g - h\\p>ax,

поэтому Er(f )p ^ Er(g)p,ax. Для любой h € ER, применяя неравенство Гель-дера, получим

i/p

/ r<x r \ 1/p

Er(q)p,ox < (J Ig(r) - J 1 h(rx') dux(x')Ip dvax(r)j <

( ГЖ f- \ 1/p

\Jo Js— Ig(r) - h(rx')Ip d^(x')dv°x(r)) = \\f (x) - h(x)\\p,d,x,

поэтому Ех(д)р,ах ^ Е^,(/)р. Лемма 12 доказана. Из леммы 12 вытекает, что

Ея(/м )р = Еп(дИ )р, ах. (26)

Для радиальной функции

пр(г,1)р = I / | /(А) - /(х)|рйрх(в)й»х(х).

.] [0 ,

Если Щ ^ 5, то при

1x1 ^ ам - 5 1А1 ^ 1x1 + |Щ| ^ ам,

а при

\х\ ^ ам + 5 \Л\ ^ \х\ - \£\ ^ ам,

поэтому

Пр(Ь,/м)р = [ [ \/м(Л) - /м(х)\р йрх(9)й^х(х)+

j\x\^aN[0 ,п]л

+ [ [ \/м(Л) - /м(х)\р йрх(д)й^х(х) +

JaN—¿<\x\<an [0,п]^

+ ( [ \/м(Л) - /м(х) \р йрх(9)йц.х(х) <

< 2р—2[ [ \/м(Л) - /м(х)\2 йрх(9)йц.х(х) +

+ ( [ \/м(Л) - /м(х) \р йрх(9)йц.х(х) <

JaN — ¿<\x\<an [0,п]^

< 2р—1{т + 2ц.х(ам - 5 < \ х \ < ам + 5) - ^ /м(х)Ть/м(х^х(х)} . (27) Отметим, что

цх(ам - 5 ^ \х\ ^ ам + 5) =

{(ам + 5)2ал+2 - (ам - 5)2ал+2} < N8°л+8. (28)

2рл+1г(ах + 2)

Пусть \í\ = 8, í = 8^. Так как

Тм (у) = Ирл (дм)(\ у \),

то применяя обобщенное равенство Планшереля, формулу [1]

/ 3x8', ту') ¿Шх(у') = Зал (8Г),

получим

/ /м (х)Т1 /м (х)йух(х)= / Зх^,у) \ Тм (у) \ 2 йух(у) =

гж г

= ИРл (дм)(т) Ш,ту) ^х(у' )^ал (т) =

30 л

гж гж

= \ Ирл(дм)(т)3ал(\I\т) dvрл(т)= дм(т)МЗдм(т)(1^х(т). 00

Отсюда и из (27), (28), леммы 11

р—1тI 1 + о(

1п п

Пр(1,/м)р < 2р—1т{ 1 + О^П-)}. (29)

Применяя (26), (29), лемму 11, получим

Шр(0, fN)

Нижняя оценка получена.

lim ER(fN > я-1.

lim

Список литературы

1. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V. 1817. P. 93-135.

2. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 183-198.

3. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(M") и Lp,\(R+) // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 44-70.

4. Чертова Д. В. Теоремы Джексона в пространстве L2(R) со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.

5. Иванов А. В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26-44.

6. Иванов А. В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.29-58.

7. Иванов А. В., Иванов В. И. Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Математические заметки. 2010. Т.88. №1. С.148-151.

8. Иванов А. В., Иванов В. И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16. №4. С.180-192.

9. Иванов А. В., Иванов В. И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Математические заметки. 2013. Т.94. №3. С.338-348.

10. Иванов А. В., Иванов В. И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып.3. С.74-90.

11. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах L2 со степенными весами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.114-123.

12. Иванов В. И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 109-118.

13. Горбачев Д. В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном L2-неравенстве Джексона - Стечкина // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 83-91.

14. Иванов А. В., Иванов В. И. Оптимальный аргумент в обобщенном неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd) с весом Данкля и обобщенная задача Логана //

Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып.1. С. 22-36.

15. Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып.1. С. 63-82.

16. Иванов В. И., Иванов А. В. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона -Стечкина в L2(Rd) с весом Данкля // Математические заметки. 2014. Т.96. №5. С.674-686.

17. Черных Н. И. Неравенство Джексона в Lp(0, п), 1 ^ p < 2, с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

18. Иванов В. И. О приближении функций в пространствах Lp // Математические заметки. 1994. Т.56. №2. С.15-40.

19. Виноградов О. Л. О константе в неравенстве Джексона для пространств Lp(-œ, œ) // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 3. С.15-22.

20. Горбачев Д. В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 50-62.

21. Чертова Д. В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2, с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.

22. Иванов В. И., Лю Юнпин. Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2, с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59-69.

23. Чертова Д. В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2, на прямой со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 94-109.

24. Иванов В. И., Чертова Д. В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2, на прямой со степенным весом // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 81-93.

25. Вепринцев Р. В. Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27-49.

26. Иванов В. И. О точности неравенства Джексона в пространствах Lp на полупрямой со степенным весом // Математические заметки. 2015. Т.98. №5.

27. Thangavelu S., Xu Y. Generalized translation and convolution operator for Dunkl transform //J. d'Analyse Mathematique. 2005. V. 97. P. 25-56.

28. Иванов А. В. Константы Джексона в пространствах L2 с весом и задача Логана для целых функций многих переменных: дис...канд. физ.-мат.наук. Тула. 2011. 121 с.

29. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и ихприложения. Тула.: ТулГУ, 2005. 192 с.

30. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и ихприложения: дис. ... д-ра физ.-мат.наук. Тула. 2006. 200 с.

31. de Jeu M. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. V. 358. №10. P.4225-4250.

32. Trimeche K. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13. №1. P.17-38.

Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Смирнов Олег Игоревич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный институт.

Jackson inequality in the space Lp(Rd) with power weight V.I. Ivanov, O.I. Smirnov

Abstract. The sharp Jackson inequality between the value of the best approximation of function by entire functions of exponential spherical type and its modulus of continuity is proved in the space Lp(Rd), 1 ^ p < 2, with power weight.

Keywords: Euclidean space, power weight, Lp-space, generalized translation operator, modulus of continuity, best approximation, Jackson's inequality.

Ivanov Valerii ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.

Smirnov Oleg ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 29.06.2015