Теоремы Джексона в пространстве L2(r) со степенным весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 100-116

Математика

УДК 517.5

Теоремы Джексона в пространстве Ь2(М) со степенным весом

Д. В. Чертова

Аннотация. В пространстве ¿2 на прямой со степенным весом доказаны точные неравенства Джексона.

Ключевые слова: прямая, степенной вес, пространство Ь%, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.

Пусть Г (г) — гамма-функция, Л ^ -1/2, у\(х) =

22Л+1Г(А+1) — степенной

вес на прямой К, (1ц\{х) = у\(х) с?ж, 1 ^ р ^ оо, Ьрд(М) — пространство комплексных измеримых по Лебегу функций /наКс конечной нормой

При А = —1/2 индекс А в обозначениях будем опускать.

Пространство 1/2,а(К) — гильбертово со скалярным произведением

Пусть -Ед(/)2,а — величина наилучшего приближения функции / целыми функциями экспоненциального типа Н > 0 в пространстве !/2;а(М). Нас интересуют точные оценки -Ед(/)2,а через модули непрерывности /, называемые неравенствами Джексона. В пространстве 1/2 (К) точное неравенство Джексона было доказано И.И. Ибрагимовым, Ф.Г. Насибовым [1] и В.Ю. Поповым [2]. В пространстве !/2,а(К), А > —1/2 точных результатов нет. Более изучен случай пространства 1/2;а(К+) на полупрямой М+. Функции из !/2;а(К+) можно считать сужениями четных функций из !/2;а(М), поэтому для их норм, скалярных произведений, величин наилучших приближений и т.д. будем использовать те же обозначения.

Введение

/||оо,а = уга1вир|/(ж)|, р = оо.

к+

Известно [3, 4], что любую функцию f Е !/2,а(К+) можно в среднеквадратичном разложить в интеграл Фурье-Ганкеля (Бесселя)

/(г) = 2/ 1{р)зх{рг)(1^х{р), 7(р) = 2/ 1{г)]х{рг)(11хх{г), (1)

</■*/

где

jx(z) = 2хГ(\ + 1)^

zл

Jx{z) — функция Бесселя 1-го рода порядка А.

Указанное разложение (1) при А > —1/2 является разложением по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора Бее-селя

Bf(r) = f"{r) + —

для которого

-Bjx(pr) = p2j\{pr).

Модули непрерывности в пространстве L2,a(R+) определяются с помощью оператора обобщенного сдвига на полупрямой [5]

Т|/(г) = сА J / (л/г2 + t2 - 2rt cos <р^ sin2A <pd<p, A > -1/2, (2)

где

Г(Л + 1)

TO

V?r(A + 1/2)'

Модули непрерывности можно определить двумя способами. Если г > О,

д;д*) = (/- Tty f{x) = ('г/2) (т;У fix)

k=0 ' '

— разностный оператор порядка г и

ur(ö,f)2,А = sup IIД*/(ж)||2,А- (3)

— модуль непрерывности функции / Е ¿2;а(М+) порядка г.

А.Г. Бабенко [6] (г ^ 1) и A.B. Московский [7] (г = 1) в пространстве !/2;а(М+) доказали точное неравенство Джексона

ErU) 2.A<W»-(^>/)2ä>

где t\ — наименьший положительный нуль J\(z).

Для f Е ¿2;а(М+) также положим

(рос \ 1/2

iTi\f(s) - /(р)|2) \в=р dpx{p)j =

рос /»7Г __________________________

с\ |/(л/р2 + t2 — 2pt cos <р) - f(p)I2 sin2A ip dip dfi\(p)

Jo Jo

1/2

w(S,f)2,\= sup il(i,/)2>x- (4)

Отметим [7], что

V2wi(5, /)2,л = w(5, /)2,л,

поэтому

адкл<^(^,//2л

В пространстве !/2;а(М), А > —1/2 гармонический анализ осуществлен с помощью оператора и преобразования Данкля. Дифференциал ьно-разност-ный оператор Данкля имеет вид [8, 9]

в Их) = Пх) + (Л +1/2) 'W .

Обобщенные экспоненциальные функции

е\(Ух) = 3\(ух) - i/x(yx)i 1ел(Уж)| ^ 1

являются его собственными функциями

Dex{yx) = iyex(yx).

Разложение функций из !/2,а(К) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля [9, 10]

/(ж) = [ f(y)ex(-y%)dpx(y), Т(у) = [ f{x)ex{yx)dßx{x). (5)

J R J R

При этом справедливо равенство Парсеваля

Il/Иг,а = \\fh,x- (6)

Оператор обобщенного сдвига Данкля имеет вид [9, 11]

/»7Г _____________________

т*/(ж) = сд{ / /е(л/ж2 + i2 — 2|ж*| cosip)he(x, t, ip) sin2A ipdip +

Jo

/»7Г ____________________

+ I /о(л/ж2 + i2 — 2|ж£| cos ip)h°(x, t, ip) sin2A ipdip}, (7)

Jo

где

{(ai+t)(l—sgn(ait) cos у) / ,n ,

Vx2+i2-2|xi|cosV ’ ’ ’ ’

0, (ж,*) = (0,0),

fe(x) = \(f(x) + /(-Ж)), /о(ж) = 1(/(ж) - /(-Ж))

— четная и нечетная составляющие /(ж).

Аналогично (3) с помощью оператора т* определяется модуль непрерывности шг (5, /)2 д. Е.С. Белкина [12] доказала неравенство Джексона с неточной константой

■Е’д(/)2,А < Ш2г ,гЄМ.

В работе строится другое разложение функций из пространства !/2,а(М), определяются новый положительный оператор обобщенного сдвига, модули непрерывности, доказываются точные неравенства Джексона. Результаты работы частично анонсированы в [13].

1. Операторы обобщенного сдвига в пространстве Х2,Л(М)

Теорема 1. Если А ^ —1/2, / є 1/2,а(М), то

Ну) = [ /(®)(Ы®У) -Іа(ж2/))Фа(ж) Є Ь2,х(Щ (8)

¿л

и Г ~

/(ж)=/ f(y)U\(xy) - ^(ху))йрх(у). (9)

¿л

Сходимость интегралов в (8), (9) понимается по норме пространства £>2,х{Щ- При этом выполняется равенство Парсеваля

ІІ/ІІ2,А = ||/|І2,А. (Ю)

Доказательство. Пространство 1/2, а (М) раскладывается в ортогональную сумму двух подпространств

¿2,а(М) = Ча(М)©Ча(М),

где Щ а(М) — подпространство четных, а Щ а(М) — подпространство нечетных функций. Поэтому равенства (8) - (10) достаточно доказать отдельно для четных и нечетных функций. Для четных функций

І(у) = [ /(ж)іа(жу)Фа(ж),

а для нечетных функций

Ну) = - [ /(ж)Іа(жу)^а(ж)-

¿л

Для четных функций равенства (8) - (10) вытекают из разложения функций в пространстве ¿2,а(М+) (1).

Если / Є Щ а(М)> то ё{х) = Є Щ А+1(М), поэтому по доказанному

Жу) = / §(х)зх+і{ху)(1рх+і{х) Є Ь\;А+1(М),

g(x) = / g(y)jx+i(xy)dnx+i(y), J R

||g1|2,A+l = ||S"||2,A+1 •

Так как [5, 14]

Л(2) = _2(ЩІш(Ф’

ж2

d/л а+і(ж) = + ^dPx{x),

Далее

yg{y) = - f f{x)j'x{xy)dpx{x) = /(у) G LI A(K),

J R

/(ж) = - f f{y)ix{xy)dfix{y).

R

[ Im+ Г f(x)fX(xy))dpX(x)\2dpX(y) =

R

= f Ig(y) - f g{x)jx+1{xy))dfix+1{x)\2dfix+1{y) -»■ 0,

R

[ I/(*)+ [Rf(y)j'x(xy))diix(y)\2diix(x) =

R

= 2(A + 1 )f \g(x)~ f g{y)jx+1{xy))dfix+1{y)\2dfix+1{x) ->• 0 (R ->• oo),

R

f \f(x)\2dfMX(x) = 2(A + 1) f \g{x)\2dpx+1{x) =

RR

= 2(A + 1) [ \g{y)\2dfix+1{y) = [ \f{y)\2dfix(y).

RR

Равенства (8) - (10) для нечетных функций также доказаны. Теорема 1 доказана.

Оператор обобщенного сдвига в пространстве L2,a(R) определим равен-

ством

rjlt

Ґ{х)= [ Іх(іу)іїх(ху)-?х(ху))/(у№ііх(у), і Є М. (11)

Зл

Так как |Іа(^)| ^ 1 [7], то оператор Т* : 1/2, а (М) —>• ^2,а(М) и имеет норму 1. При А = —1/2 он имеет вид

Т1і{х)=1-{і{х + і) + і{х-і)}.

Найдем интегральное представление для оператора (11) при А > —1/2.

Лемма 1. Оператор (3) действует из пространства LPj^(R+) в пространство LPj^(R+), 1 ^ р ^ оо и его норма равна 1.

Доказательство. В пространстве LPj^(R+) норма определяется равенством

||/Ир,а = |/(ж)|рФл(®)^

при 1 ^ р < оо и

||/||оо,А = vraisup |/(æ)|

R+

при р = оо. Мы докажем неравенства

К/Ир,л ^ ||/||Р,л (12)

при р = 1, оо. Для остальных 1 < р < оо они будут вытекать из интерполяционной теоремы Рисса-Торина [15].

Согласно (2) имеем очевидную оценку

/*7Г

|И/||оо,Л ^ СЛ / ll/lloo^sin^^d^ = ||/||оо,Л-

J о

Пусть р = 1. Если t = 0, то Tff(r) = /( г) и (12) верно. Если t > 0, то, делая в (2) замену переменной s = л/r2 + t2 — 2rt cos ip, получим для г > 0

rr+t

Tîf(r) = сх / f(s)V(t, r, s)s2X+1ds, (13)

J |r—1\

где

{(s + t + r)(s + t - r)(s - t + r){-8 + t + r)}X-l>2 22A-l(SÎr)2A

— функция, симметричная относительно r,t, s.

Пусть

Ut = {(г, s) G R+ : |r — i| ^ s ^ r + i}.

Если (r, s) G Ut, то (s, r) G Ut, поэтому для функции

y(t r s) - i1, ^r’ G Ut’

R

X{t,r, s) = x{t,s,r).

R

выполняется равенство

Отсюда и из (13)

pr+t

Г pr~t-t

Timw^x ^ cx / / \f{s)\V{t,r,s)s2X+1dsdfix{r

JR_|_ </\r—t\

= cXf [ \f{s)\V{t,r, s)x{t,r, s)s2X+1dsdfiX{r) =

■J R+ j R-l

= С\( [ 1/001 У{г,г,8)х^,8,г)г2х+1й8й[лх{я) ^

</ о М_|_

^ СА вир / У(г,Г, з)х^,Г, 5)г2А+1Сгг||/||1;А = в€М+ -/М+

р8~\~Ь

с\ вир / у(г, 5,г)г2Л+1сгг||/||1;А = (7^1)11/11!^ = ИЛЬ,а-век+ ¿\з-г\

8бМ+ </ ¡8 — 1

Неравенство (12) верно н при р = 1. Лемма доказана. Определим линейный интегральный оператор

71/0*0 = у + В) + /("^Х1 - В)}8[п2А (14)

где ж,£ €

д -----о---^ж — £ сое оз

Л = л/ж + * 2ж/ сое оз, Б = -------------

А

Так как

ж2 + ¿2 — 2ж£сО81р ^ (|ж| — |£|)2 + 2|ж||£|(1 — | СОв</?|),

•14) А = 0 для 0 < (р < тг только, если ж = £ = 0. В этом случае считаем В = 0. Во всех остальных случаях

1-в* = > о

А2

и

|£|^1. (15)

Проверим, что Т|/(ж) = /(ж). Пусть

ё = /(А)(1 + В) + /(-А)(1-В).

Если х = 0, то А = В = 0, g = 2/(0) и Т2/(0) = /(0). Если ж > 0, то В = 1,

.4 = ж. = 2/(ж) и Т2°/(ж) = /(ж). Если ж < 0, то В = -1, Л = -ж, ^ = 2/(ж)

и Т°/(Ж) = /(ж).

Так как

А(—1) = ж2 + /2 + 2x1 СО Я(р = ж2 + ¿2 — 2ж£С08(-7Г — 93),

Е)/ ^ Ж + £сОв</? X — I С08(тт — (р)

^= А{-€) = 1Й) ’

то, делая в (14) замену тт — (р = в, получим, что

Т2-‘/(ж) = 77|/(ж). (16)

Вычислим 7о/(0). Можем считать I > 0. Имеем А = I. b = — cos ip, g = %fe{t) - 2 f0(t) cos ip,

ТУ{®) = cafe{t) f sin2X (p d(p - caf0{t) f cos (p sin2X (pd(p = fe(t).

J 0 J 0

Так как

A(—x) = x2 + t2 — 2xt cos(7r — (p),

. æ + icosos x — t cosiir — (p)

B(-x) =-------—----— =-----------—----------,

A(—x) A(—x)

то, делая в (14) замену ir — (p = в, получим, что

Ti(-x) = Ц- [{fim - В) + f(-A)(l + В)} sin2X ip dip. (17)

Лемма 2. Оператор (14) действует из пространства LPjA(R) в пространство LPjx(R), 1 ^ Р ^ оо и его норма равна 1.

Доказательство. Согласно (16) достаточно рассмотреть 1^0. Если £ =

0, то ИТ^/Ирд = ||/||Р;А.

Для £ > 0 ||Т|/||Р;А, как и в лемме 1, оценим при р = оо и р = 1. Если р = оо, то в силу (14), (15)

\Т12

/||оо,А {||/||оо,а(1 + В) + ||/||оо,а(1 - B)}sm2X(pd(p = ||/||оо,А-

/0

Если р = 1, то в силу (14), (15), (17)

СА 1 />0°

d/л\{х) +

рос

+ /о

[ \T2Î{x)\dpx{.x) =

J R

Î {f(A)(1 + B) + f(-A)(1-B)}s'm2X(pd(p Jo

J {/(^X1 B) + /(^X1 + -B)}sm2A (pd(p d/xA(æ)j ^ {Jo J {\f(A)K1 + B) + \f(-A)\(l- B)}sm2X (pdipdnx{x) +

poo pit ^

+ J J {\f(A)\(l - B) + \f(-A)\(l + B)}sin2A (p d(pdfi\(x)> =

poo pit

= c\ / {I/(^4)I + I/(—^4)|} sin2A <p d(pdfi\(x).

Jo Jo

<0 Jo

Согласно лемме 1

pOO P'K poo

c\ / \f{A)\sin2X (pdipdpx{x) ^ / \f{x)\dfix{x) Jo Jo Jo

рос /*7Г рос

с\ / \f{-A)\sm2XipdipdßX{x) ^ \f{-x)\dßX{x)

J о J о J о

Ґ

= / |/(®)Има(®),

J—ос

поэтому

|т/

/•оо р0

2/Wl,X< \f(x)\dfJ,X(x) + |/(®)Ма1а(®) = ||/||l,A-

Jo J —оо

Остается применить интерполяционную теорему Рисса-Торина. Лемма доказана.

Лемма 3. Операторы (11), (14) совпадают па функциях из £2,а( Доказательство. Из теоремы умножения для функций Бесселя [5]

Т23\{ух) = T{j\(yx) = j\(yt)jx(yx). (18)

Дифференцируя обе части равенства

/»7Г ___________________

j\{yt)j\{yx) = сх j\{yVх2 +12 - 2xt cos ip) sin2A ip dip

Jo

no x, получим

j\{yt){-j\{yx)) = cx [ {-j'x{yA))В sin2X ip dip = Ti{-j'x{yx)). (19)

Jo

Пусть f E L2ja(R),

f(y)= [ f(x)(jx(xy)-j'x(xy))dßx(x).

J R

Тогда частичные интегралы

Sr/{x) = f f{y){j\{xy) - jx{xy))dßx(y)

J-R

сходятся в L2j^(R) к /(ж). Согласно (11), (18),(19), лемме 2

TiSRf(x) = f J{y)Tl{jx{xy) - jx(xy))dßx(y) =

J-R

= [ f(y)j\(ty)(j\(xy) - jx(xy))dpx(y) = TtSRf{x).

J-R

Остается заметить, что частичные интегралы ж) сходятся в 1/2д^)

в силу непрерывности оператора ті по лемме 2. Лемма доказана.

В дальнейшем будем использовать обозначение Тг и для оператора т\. Соберем вместе некоторые свойства оператора обобщенного сдвига Тг:

1) ТЧ = 1. (20)

2) если /(ж) ^ 0, то Т*/(ж) ^ 0; (21)

3) если / Є L2jx(R),TojTtf)(y) = jx(ty)f(y)-, (22)

4) если г > 0, носитель / С [—т, г], то носитель

Т‘/с[-т—|i|,r + |i|]; (23)

5) если f,g Є L2ja(R), то (T*f, g)x = (/, T*g)x,

т.е. оператор Tl является самосопряженным; (24)

6) если f Є L1jA(R), to [ Ttf(x)dfix{x) = [ /(ж)фА(ж). (25)

J R J R

Свойства (20), (21) вытекают из (14). Свойство (22) вытекает из (11). Свойство (23) вытекает из того, что, если |ж| > т + |i|, то ж2 + t2 — 2xt cos ip ^ (І ж J — |i|)2 > г2. Свойство (24) вытекает из обобщенного равенства Парсеваля и (22). Свойство (25) вытекает из того, что, если %R — характеристическая функция отрезка [—/?,/?], то

[ Tt(f(x)xR(x))xR(x)dfix(x) -»■ [ Т(/(ж)Фа(ж),

RR

[ f{x)xR{x)TtXR{x)dfix{x)^ [ f{x)dfix{x) {R ->• оо)

RR и согласно (24)

[ Тг(f (x)xr{x))xr{x) d[/,x{x) = f f{x)xR{x)TtXR{x)dpx{x).

RR

Оператор т* (7) как оператор из 1/2,a(R) в Z/2;a(R) может быть записан следующим образом [9, 11]

т*/(ж) = [ ex{-ty)f{y)ex{-xy)dnx{x). (26)

R

Покажем, что его интегральная запись (7) может быть несколько упрощена. Рассмотрим интегральный оператор

rif(x)=^ Г{ЦА)(1 + С) +f(-А)(1-С)}(1-cosip) Sin2x(p dip, (27) z J о

гДе _ , ,

* / О О s-1 X t

A = у ж2 + t2 — 2,rl cos ip, С = ---

у ж2 + t2 — 2xt cos ip

и считаем С = 0, если ж = t = 0.

Лемма 4. Оператор (27) является ограниченным линейным интегральным оператором из LPja(R) в LP;\(R), 1 ^ р ^ оо.

Доказательство. Так как согласно (15)

(ж + i)(l — cos if)

^2 +

(1 ± C')(l — cos ip)I ^ 2 + ж — і cos

д/ж2 + i2 — 2жі cos ip

+

л/х2 + t2 — 2xt cos ip t — ж cos

д/ж2 + t2 — 2жі cos ip

^4,

TO

[/(ж)К2сА Г(|/(Л)| + |/(-Л)|)8іп2А^. J о

/о

Далее, как и в лемме 1, получаем оценки

|И/||Р,А ^ 4||/||Р;а

сначала при р = 1, оо, а затем, опираясь на интерполяционную теорему Риееа-Торина, и для 1 < р < оо. Лемма доказана.

Лемма 5. Операторы (26), (27) совпадают на функциях из L2,a(R).

Доказательство. Согласно лемме 4 и рассуждениям в лемме 3 достаточно проверить совпадение операторов т* и г| на функциях j\{yx), 3\(УХ) = ~ 2{\+i)h+i{yx)yx. Пользуясь их выражениями через ех(ух), получим

Тгзх(ух) = ^т\ех(ух) + е\(—ух)) = ^(ex(ty)ex(yx) + e\(-ty)e\(-yx)) = = 3\(ty)j\(yx) - ^ 1^2j\+i(ty)3\+i(xy)xty2, (28)

% % т*3\{ух) = 2ТЧе\(Ух) - еА(-уж)) = ~{e\(ty)e\(xy) - ex{-ty)ex{-yx)) =

= ?x(ty)j\(yx) + j\{ty)jx{xy). (29)

Согласно теореме сложения Гегенбауэра для функций Бесселя [5],

(!8), (19)

3\{ty)j\{xy) = са jx{A) sin2A ip dip,

J о

/*7Г

j\+i(ty)tyj\+i(xy)xy = 4(А + 1)2са / jХ{А) cos ip sin2X ip dip,

Jo

/»7Г

j\(xy)j\{ty) = ca j'x{A)B(x, t) sin2A ip dip,

Jo

/»7Г

j\(ty)j\(xy) = ca j'x{A)B(t, x) sin2A ip dip,

Jo

где

.. /—о------о---^„ / Ч Ж — t COS (D

А = уж2 + t2 — 2xt cosip, B(x,t) =---------------—------

Подставляя правые части этих равенств в (28), (29), получим

/*7Г

т*3\{ух) = са / j\{А)(1 - cos (p)sin2X (pd(p, Jo

П'К

Л3\{УХ) = са j'x(A)C( 1 - cos ip) sin2A ip dip,

Jo

>0

где С = (ж + t)/A. А это и есть r\j\(yx), T*j'x(yx). Лемма доказана.

Таким образом, оператор (7) имеет интегральное представление (27).

2. Теоремы Джексона в пространстве L2,a(R)

С помощью оператора обобщенного сдвига Тг модуль непрерывности в пространстве L2ja(R) определим двумя способами. Следуя Х.П. Рустамову [16] для г ^ 1 положим

ur(5,f)2,А = sup ||Д£/(ж)||2,а,

ГД6 оо

Artf(x) = {1-Т*)г/2Цх) = ¿(-1)"(г/2)(Т‘Г/(ж)

п=О 4 J

— разностный оператор, I — тождественный оператор.

Согласно (10), (11)

(Т*)(”)/(ж)= [ nymty)Ux(xy)-fx(xy))dpx(y),

J R

дг/м = [ /ыЕ(-1)”(^2)й(»э)0л(1э)-Л(ч))^лы =

Jr п=0 '

= [ (1 - j\{ty))r/2f{y){j\{xy) - j\{xy))dfiX{y),

J R

llAt/(®)ll!,A = [ (! - h{ty)T\f{y)\2 dp\{y)

R

n г

U}2(SJ)2, A=sup / (1 - j\(ty))r\f(y)\2 dfiX(y)- (30)

Этот модуль непрерывности использовался в [6] и [7] (г = 1) для четных функций.

Второй способ, применявшийся в [7], состоит в следующем (см. (14))

/Г \ 1/2

и(6, /)2,А= йир ( / (Т*|/(у) - /(ж)|2) \у=х df^А(ж)

\,/к

= вир (Ц- [ Г{|/(Л)-/(ж)|2(1 + Б) +

\ ^ ./к ./о

\ 1/2

+ |/(—^4) — /(ж)|2(1 — В)} вт2А (р (1^рс1рх{х)

Согласно (10), (11), (20), (22), обобщенного равенства Парсеваля

[ (Ty\f{y) — /(ж)|2) \у=х dß а(ж)= [ (Т‘|/(ж)|2 + |/(ж)|2Т‘1-./R JK

—2Rßf(x)Ttf(x)) dß\(x) = 2Ц/Ц! д — 2Re [ 7(х)Т* f(x) dßx(x)

R

и в силу (30) Согласно (10)

1 j\{ty))\f{y)\2 dßX{y) (31)

R

ш2(<5, /)2,а = 2wf(5, /)2,а- (32)

(/) 2,А=/ |/(у)|2Фа(|/). (33)

Так как для любой / G !/2;а(М) /е — четная, а /0 — нечетная функции, то согласно (30), (31), (33)

E%(f)2, а = [ Шу)\2 + Шу)|2)Фа(у),

[ (l-jx(ty)r\f(y)\2dßx(y)= [ (l-jx(ty)n\fe(y)\2+\fo(y)\2)dßx(y)-

RR Поэтому существует четная функция F Е !/2;а(М), для которой

\Е(у)\2=\Ш\2 + \То(у)\2

и для всех R, 6, г

^д(/Ь,а = Er(F)2,\, u>r(S, /)2,а = wr(f>, -^)2,а, ^(¿,/)2;а = ш(5, F)2;a.

Таким образом, задачи о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения и модулями непрерывности функции на всем пространстве 1/2, а (К) и подпространстве четных функций эквивалентны. Поэтому из результатов А.Г. Бабенко [6] и A.B. Московского [7] вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Если X > —1/2, Н > 0, г ^ 1, то для любой фукции / Е -^2,а(^) справедливы точные неравенства

Ец(Л2,а^шг(Ц±Л

V л / 2,А

е^Ь,л«7г(^,//2д

Определим модули непрерывности с помощью оператора обобщенного сдвига г*. Для / Е 1/2, а (К), г ^ 1 положим

йг(5, /)2,А = йир ЦДГ/112,А,

где

Д?/(*) = (/ - Tt)r>2f{x) = ¿(-1)" fr/2) (т*)п/(

„-П \ п J

п=О

разностный оператор порядка г для оператора г*.

Применяя равенство Парсеваля (6), получим

ur{8,f)2,а= sup f \1-ex{ty)\r\f{y)\2dfix{y). (34)

JR

Далее положим

ЭД/)2, А= sup f f (r*|/(y) - /(ж)|2) |y=iB Фа(ж)1 \,/r /

Так как

Ш2(<5,/)2,А = 2 sup {||/||2,а - Re [ /(ж)г*/(ж)Фа(ж)},

./R

Ш2(й,/)2,а = 2 sup /(1 - ^а(*ж))|/(ж)|2Фа(ж). (35)

Jr

Таким образом, модули непрерывности 0Ji(S,f)2 \ и oj(S,f)2 \ существенно различные.

Для / Е L2,a(R)

E2R(fh,x= [ \f(y)\2dpx(y). (36)

R

Сравнивая (33) и (36), (31) и (35), как и в теореме 2 получим точное неравенство Джексона

Ея(/Ь,л<^а 0р/)2л-

ТО

Так как

|1 - ex(ty)\ = 1 - j\(ty))2 + Uxity))2 > 1 - jx(ty),

то согласно (34)

ur(S,f)2,x^ sup ( /(1 - jx{ty))r\f{y)\2dfix{y)] • (37)

O^t^S \JR J

Сравнивая (33) и (36), (30) и (37), как и в тереме 2 получим неравенство Джексона

ErU) 2,x^Zr№,f) • (38)

2,А

Покажем, что это неравенство также точное.

Имеем для любого т > 0, R > 0

D2(R,t)= sup ERUh,x

sup

‘■’“JK ~2/ £\

R

Ir \f(y)\2dvx{y)

R

(Ki^T

= _________Ir dp{y)_________

SpP sup |1 - ex{ty)\rdp(y) ’

0<i<r

где p(y) — неубывающие функции ограниченной вариации на [Л, оо). Рассматривая неубывающие ступенчатые функции ограниченной вариации с разрывами в точках фиксированной возрастающей последовательности Ук, У к ^ Ук °° {к °°) и скачками ^ 0, получим

ОО

{Е Рк ос "j

-----------------------5 Рк^0,^Рк < ооУ.

sup Е|1“еА (tyk)\2Pk *=1 У

0<i<rfc=l

Из асимптотического поведения j а (ж), j х(х) ПРИ ж —>■ оо [5, 14] вытекает, что для любого 5 > 0

sup |1 — |1 — ex(tyk)\r\ ->• 0 (к ->• оо),

t^S

поэтому по лемме В.В. Арестова [17] получаем оценку

D2(R,t) ^ 1.

Это и доказывает точность неравенства (38).

Таким образом, справедлива теорема.

Теорема 3. Если X > —1/2, R > 0, г ^ 1, то для любой функции f 6 ^2,a(R) справедливы точные неравенства

Ек(/Ь,л<2,.^,/^, (39)

Ед(/Кл<^|5 (^./)2л-

Неравенство (39) есть точный вариант неравенства Джексона, доказанного Е.С. Белкиной.

Список литературы

1. Ибрагимов И.И., Насибов В. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194, №5. С.1013-1016.

2. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. JV® 6. С.65-73.

3. Левитан Б.М., Саргасян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

5. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

6. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды МММ УрО РАН. Екатеринбург. 1998. Т. 5. С.183-198.

7. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и LPia(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, Вып.1. С.44-70.

8. Dunkl C.F. Differential difference operators assosiated to reflection groups // Ttans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311. P. 167-183.

9. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V. 1817. P. 93-135.

10. Salem N.B., Kallel S. Mean-periodic functions assosiated with the Dunkl operators // Integral Transforms and Special Functions. 2004. V. 15, №2. P. 155-179.

11. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on R // Probability Measures an Groups and Related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Would Scientific, 1995. P. 292-304.

12. Белкина Е.С. Гармонический анализ Фурье Данкля и приближение функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Петрозавдоск. 2008. 92 с.

13. Chertova D. V. Jackson theorems in Lp-spaces, 1 ^ p ^ 2 on the line with power weight II Труды Межд. летней матем. Школы С.Б. Стечкина по теории функций. Tula: ТулГУ, 2007. С.160-161.

14. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979.

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965. 538 с.

16. Рустамов Х.П. О приближении функций на сфере // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 57, №5. С. 127-148.

17. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в ¿2 // Изв. вузов. Сер. Матем. 1995. №8. С.13-20.

Поступило 01.09.2009

Чертова Дарья Вячеславовна ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Jackson Theorems in L2(R)-space with power weight

D. V. Chertova

Abstract. The exact Jackson inequalities in Z/2-spaee on the straight line with power weight are proved.

Keywords: straight line, power weight, /,2-space. best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.

Chertova Darya ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.