ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ $L_p$ НА СФЕРЕ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ, СВЯЗАННЫМ С АБЕЛЕВОЙ ГРУППОЙ $Z_2^d$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 5-27 = Математика

УДК 517.5

Оценка снизу константы Джексона в пространствах Ьр на сфере с весом Данкля, связанным с абелевой группой *

Р. А. Вепринцев

Аннотация. Получена оценка снизу константы Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2, на единичной сфере в М, & ^ 3, с весом Данкля, связанным с абелевой группой или группой перемен знаков. Эта оценка совпадает с оценкой сверху, полученной автором в случае произвольного веса Данкля. Таким образом, установлена точность константы Джексона в случае абелевой группы Ъ^. Аналогичный результат при & =2 получен автором ранее.

Ключевые слова: евклидова сфера, вес Данкля, к-сферические гармоники, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, константа Джексона, абелева группа

Введение

Неравенства между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в пространствах Ьр, 1 ^ р < то, называют неравенствами Джексона. Наименьшая (или минимальная) константа, при которой неравенство Джексона выполняется для всех функций из пространства Ьр, называется константой Джексона, или точной константой в неравенстве Джексона. Исследование константы Джексона проводят в два этапа: получение оценки сверху и получение оценки снизу. Задача о константе Джексона является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Точные неравенства Джексона (или неравенства Джексона с точной константой) не известны в пространствах Ьр, р > 2.

Будем рассматривать неравенства Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ ^ р < 2, на единичной сфере в евклидовом пространстве М с весом

Данкля. В [1] получена оценка сверху константы Джексона, аналогичная оценке Д. В. Горбачева в безвесовом случае [2]. В случае, когда вес Данкля

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-00045), Министерства образования и науки Российской Федерации (госзадание № 1.1333.2014Х).

инвариантен относительно группы диэдра, в [3] получена оценка снизу константы Джексона, которая доказывает точность неравенства Джексона в [1].

Цель работы — получение аналогичной оценки снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2, на единичной сфере Sd-1 в Rd, d ^ 3, с весом Данкля, связанным с абелевой группой Z^, или группой перемен знаков.

Поскольку абелева группа Z^ совпадает с группой диэдра I2, то поставленная проблема решена при d = 2 в [3]. Используя результаты работы [3], мы решаем проблему и при d ^ 3.

Исследование константы Джексона использует развитый гармонический анализ Данкля на единичной евклидовой сфере, основы которого вместе с необходимым алгебраическим аппаратом изложены в [4-6].

В рассматриваемом случае нет необходимости обращаться к общим определениям и понятиям. Вместо этого мы даем соответствующие спецификации (т. е. частные определения и понятия) для случая абелевой группы Z^ (см. [5, Chap. 7], [6, Sect. 7.5]).

1. Предварительные обозначения и сведения

Пусть N — множество всех натуральных чисел, No = N U{0}, Nd = {а = = (а1,..., ad): aj € N0,1 ^ j ^ d} (d € N), |а| = а1 + ... + ad, R (соответственно C) — поле действительных (соответственно комплексных) чисел,

R+ = {c € R: c ^ 0}, Rd (d € N) — d-мерное действительное евклидово

d

пространство со стандартным скалярным произведением {u,v} = ujvj,

j=i

j _

{u,v}(j) = UiVi (1 ^ j ^ d), ||u|| = у {u,u} — норма (или длина) век-i=1

тора u, {u} = {cu: c € R} — линейная оболочка, натянутая на вектор u, {ej}dj=1 — стандартный ортонормированный базис в Rd, Ix^l = Xj + ... + xd для X = (x1,...,xd) € Rd и 1 ^ j ^ d, Sd-1 = {x € Rd: ||x|| = 1} (d ^ 2) — единичная сфера в Rd, dw — лебегова мера на Sd-1, Bd = {x € Rd: ||x|| ^ 1} — единичный шар в Rd, r(x) — гамма-функция. Символ Похгаммера определяется для t € R по формулам

(t)o = 1, (t)n = t(t + 1)... (t + n - 1), n € N.

Вектор £ € Rd \ {0} назовем положительным, если первая его ненулевая координата £i в разложении по базису e1,... ,ed положительна:

£ = £1e1 + ... + £ded, £i > 0, £j = 0, 1 < j <i < d.

Пусть nd — пространство полиномов от d переменных с комплексными коэффициентами, РП — подпространство однородных полиномов степени n € € No.

Учитывая замену переменных (x^x2) = (sin ф, cos ф), ф € [0, 2п), т.е. полярные координаты на сфере S1, функции, заданные на S1 и одномерном торе T = [0, 2п), можно отождествить. Справедлива следующая формула:

г г2ж

/ f (x) dw(x) = / f (sin ф, cos ф) ёф.

JS1 J 0

В пространстве Rd, d ^ 2, введем сферические координаты (г,ф, в) (при d = 2 такие координаты (r, ф) называются полярными), в = (9i,... ,Qd-'¿), где 0 ^ r < то, 0 ^ ф < 2п, 0 ^ 0j ^ п, j = 1,... ,d — 2. Переход от декартовых координат точки x = (x1,...,xd) € Rd к сферическим координатам будем обозначать через x = x(r, ф, в) (при d = 2 — через x = x(r, ф)):

'x1 = r sin ed-2... sin 91 sin ф, x2 = r sin в-2. .. sin 91 cos ф, ... (1) xd-1 = r sin dd-2 cos dd-3, xd = r cos dd-2-

Очевидно, что для каждой точки x € Rd найдется система параметров (г,ф, в), связанная с ней формулами (1). Если же точка x = (x1 ,...,xd) такова, что (x1,x2) = (0, 0) (или x2 + x2 > 0), то такая система параметров однозначно определена. Таким образом, для почти всех x € Bd, а также для почти всех x € Sd-1, однозначно определяются их сферические координаты (см. [7, с. 431]).

Для вектора x = (x1,...,xd) € Rd, d ^ 3, который выражается через сферические координаты по формулам (1), через ж будем обозначать вектор (r sin ф,г cos ф) € R2:

Ж = (ж1, Ж2) = Ж( r, ф) = (r sin ф,Г cos ф).

При r = 1 используем следующие записи, в которых указание на параметр r опускается:

x = x(1, ф, в) = ж(ф, в), Ж = Ж(1, ф) = Ж(ф) = (sin ф, cos ф).

Мера Лебега dw в сферических координатах принимает вид

d-2 d-2 dw(x) = JJ(sin 9j )j d91 dd2... dвd-2dф = Ф(в) ёвёф, Ф(в) = JJ(sin 9j )j. j=1 j=1

Интеграл по сфере Sd-1 можно записать следующим образом:

г г2ж г

/ f (x) dw(x) = / / f (ж(ф, в)) dф Ф(в) dв. JS- Jo J[0,n]d-2

Каждой функции / на торе Т (или на сфере 81) можно поставить в соответствие следующую функцию Ff на сфере §^-1, < ^ 3:

Ff(х) = Ff(*1,...х) = {) *1+Х2-0,

Ц (ф), иначе.

(2)

Очевидно, что в этом случае

г2п

Г Г2П {•

/ Ff (х) ёи(х)=/ !(ф) ёф •/ Ф(в) ёв. (3)

Пусть Л > 0. Введем весовые пространства Ьр,\[-1,1], 1 ^ р < ж, ком-плекснозначных измеримых по Лебегу функций д на отрезке [-1,1] с конечной нормой

//■1 \ 1/р

\\д\\р,{-1,1],х = (у |д(*)1р¿тх(г)) , ётх(г) = Ьа(1 - г2)х-1

где ЬА = ^/-1(1 — ¿2)А 1 ё^ — нормировочная константа, пространство

,а[—1,1] измеримых по Лебегу, существенно ограниченных функций д на отрезке [-1, 1] с нормой

\\д\и,[-1,1],А = евввир 1д(Ь)1,

-ЫМА

и пространство С [—1,1] комплекснозначных непрерывных на отрезке [—1,1] функций.

При 1 ^ р ^ ж имеем [8, с. 184]

-11

1

\\д\\р,{-1,1],А = вир М Н(1) g(í) ётА(г): Н € С[—1,1], \\Цр,-1АА = 1}, (4)

где рр = р/(р — 1) — показатель, сопряженный с р (1' = ж и ж' = 1).

Если функция д(-) € Ьр,а[—1, 1], где 1 ^ р ^ ж, и неотрицательна на отрезке [—1,1], то ввиду плотности пространства всех многочленов на отрезке [—1,1] в С[—1,1] верхнюю грань в (4) можно брать только по неотрицательным многочленам на отрезке [—1,1]:

Ыр,[-1,1],А = ^1/ Н(1) д(1) ётА(г): Н € П1, Н(1) > 0, I € [—1,1],

1 -1 } (5)

р', [-1 ,1], А = 1

Пространство 1,1] — комплексное гильбертово пространство со

скалярным произведением

Г1

(f,g)x,[-i,i] = f (t) g(t) dm\(t).

-1

Многочлены Гегенбауэра {C^O): n € N0} ортогональны на отрезке [-1,1] относительно скалярного произведения (•, •)л+1/2,[-1,1|-

Обозначим через (•), > -1, многочлен Якоби индекса (7,5) и

степени n € No. Обобщенные многочлены Гегенбауэра Л > -1/2,

ц ^ 0, определяются следующим образом [6, Sect. 1.5.2]:

c2V>(x) = Й+Цк р(Л-1АМ-1/2)(2Х2 - 1), (Ц + 2 )n

С2Л+)(X) = ((Л + Ц\n+1 хр(Л-1/2^1/2)(2х2 - 1).

(ц + 2 )n+1

Многочлены [Cn'^t): n € N0} ортогональны на отрезке [-1,1] с весом |x|2^(1 - х2)Л-1/2.

2. Абелева группа Z^ и теория Данкля

Отражение вдоль вектора ej, 1 ^ j ^ d, (или отражение относительно координатной плоскости Xj = 0) обозначим через Sj. Результат отражения вдоль ej состоит в том, что j-я координата вектора x € Rd в разложении по базису ei,... ,ed меняет свой знак на противоположный:

Sj (x) = Sj (xiei + ... + Xj-iej-1 + Xj ej + Xj+iej+i + ... + x^d) =

= xiei + ... + Xj-iej-i - Xj ej + Xj+i ej+i + ... + Xded, x € Rd.

Каждое отражение Sj является ортогональным преобразованием, т. е. содержится в ортогональной группе 0(Rd) пространства Rd.

Набор векторов R = {±ej : 1 ^ j ^ d} образует систему корней. Действительно, выполнены следующие два условия:

(1) R П {±ej) = {±ej}, 1 < j < d;

(2) Sj(R) = R, 1 < j < d.

Так как векторы ej положительны, то R+ = {ej: 1 ^ j ^ d} есть положительная подсистема в R и R = R+ U (-R+).

Абелевой группой Zd, или группой перемен знаков, называется группа, порожденная отражениями {Sj: 1 ^ j ^ d}. Она содержит 2d элементов. Набор отражений, содержащихся в Z^, есть в точности {Sj: 1 ^ j ^ d}.

Пусть X С Rd. Функция f: X — C называется инвариантной относительно группы Zd, если f (•) = f(,Sj (•)), 1 < j < d.

Функция к: R ^ R+, инвариантная относительно абелевой группы Zd, называется функцией кратности (на R).

Таким образом, функция кратности к имеет следующий вид:

K(±ej) = Kj, Kj € R+, 1 ^ j ^ d.

Иначе говоря, каждая функция кратности к задается набором (к1,...,к^) неотрицательных действительных чисел по указанному выше правилу.

Для функции кратности к, определяемой набором (к1, к2,..., Kd), d ^ 3, функцию кратности, связанную с Z2 и определяемую набором (к1, к2), будем обозначать через к.

2.1. Операторы Данкля и лапласиан Данкля. Операторы Данкля Dj, 1 ^ j ^ d, на nd определяются по формуле

DjP(x)= + 4 EjP(x),

где

Е3p(x) = P(X) -p(s(X)).

xj

Предложение 1 [9]. Операторы Dj, 1 ^ j ^ d, отображают в V¿-1, n € N, и коммутируют, т. е. DiDj = Dj Di, 1 ^ i,j ^ d.

Лапласиан Данкля Ак задается по формуле

Ак = Dj2 + ... + Di

Если все Kj равны нулю, то лапласиан Данкля переходит в обычный лапласиан А. Имеет место следующая явная формула [5, Lemma 7.1.3]:

dd

Ак = А + 2£ 'j dXj Ej■

j j j

3=1 3=1

2.2. Вес Данкля и весовые пространства Lp на сфере. Вес Данкля wk (на сфере Sd-1), связанный с абелевой группой Zd, задается равенством

d

w«(x) = n \Xj\2к>, X € Sd-1. j=1

С каждой функцией кратности к связывают два параметра:

d - 2

Yk = к1 +... + ^, \к = Yk +—. В сферических координатах вес Данкля записывается в виде Wk(x) = WK(x(<p, в)) = WK1,K2 (ф) WK(6),

где

Wki,k2 (ф) = \ sin ф\2к1 \ cos ф\2к2 ,

d-2

WK (в) = Ц \ sin dj\2(к1+■■■ ^j^1^cos dj\2к1+2. j=1

Определим нормировочные константы [6, p. 228]:

aK1,K2 = ( J Wk1,k2 (ф) d^ ,

ак =([ wK(e^(e) d^-1-

KJ[0,n]d-2 J

Тогда

*к — "К1,К2 ™ — ( [ \x1\2k1 ... \xd\2Kd = ^ ГЛ TV ГТТ •

\Jsd-1 J 2Г(к1 + i)... Г(кd + 1)

Введем вероятностную меру ёак на сфере 8й 1 ёак(х) = (х) ёш(х) =

= (аК1,к2 Ык1,к2 (ф)) ёф (ак wк(в)) Ф(в)ёв, х = х(ф, в) € (6)

весовые пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на сфере

Ьр,к(Ба-1) = {/: ^ С: \\ / у^-^ = (} I/ 1р ^ < ж), 1 < р< ж.

Пространство Ь2,к(8а-1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

(/,д)к,$— = !(х) д(х) ё°к(х). (7)

Очевидно, что

■Ык(х) = wк (ф) = wKl,K2 (ф), ал = аК1,к2 (8)

и

ёстк(х) = ёак(х) (ак wк(в)) Ф(в)ёв. (9)

2.3. к-сферические гармоники. Полином Р € П называется к-гармоническим, если ДКР = 0. Сужение однородного к-гармонического полинома степени п на сферу называется к-сферической гармоникой степени п. Пространство к-сферических гармоник степени п обозначим через АП(к), п € N0.

Предложение 2 [5, 10]. Предположим, что / и Н — к-сферические гармоники различных степеней. Тогда -1 /(х)Н(х) ёак(х) = 0.

Из предложения 2 следует, что пространства АП(к), рассматриваемые как подпространства в L2K(Sd-1), ортогональны относительно скалярного произведения (•, •)K,Sd-i (7):

АП(к) ±Лт(к), n = m.

Методами стандартной теории гильбертовых пространств показывается, что пространство L2,K(Sd-1 ) разлагается в ортогональную сумму подпространств ЛП(к) [5]:

те

L2K(Sd-1) = E0 Adn (к).

n=0

Ортогональный базис подпространства АП(к) записывается в терминах обобщенных многочленов Гегенбауэра сП?'^. В полярных координатах x = (sin ф, cos ф) ортогональный базис подпространства АП(к) состоит из следующих функций [6, Theorem 7.5.1], [11, Theorem 3.1]:

УП,~Лх) = сПК1'К2) (cos ф),

Y2k(x) = sinфСП-\+1'К2)(cosф), n G N.

Для того чтобы выписать базис при d ^ 3 (см. [5, Proposition 7.1.7], [6, Theorem 7.5.2]), используем сферические координаты (1).

Предложение 3. Пусть d ^ 3, функция кратности к определяется набором (к1,..., Kd). Тогда ортогональный базис подпространства АП(к) состоит из следующих функций/.

Ya1(x) = Cid-fd-lj(cosф) Ф£(в), « g Nd-1, |а| = n,

УПа:1(х) = sinфС{К--Т-1)(cosф) Фа(в), a G Nd-1, «d-1 G N, |a| = n,

где для а = (а1;..., а^_1) С 1 имеем

Фа (В) = ]>т 3 в3),

3 = 1

ха_3_1 = \а(1_з)\ + \к(1_з)\ + 2,

\а(1_3)\ = а_ + ... + аа_1, \к(1_3)\ = кЛ_з + ... + ка.

2.4. Оператор сплетения Данкля. Для каждой функции кратности к существует единственный линейный оператор Ук, называемый оператором сплетения Данкля, на П1 такой, что

д_ дх3

Ук(ТП) CVd, n G No, VK1 = 1 и DjVK = , 1 < j < d. (12)

Из (12) непосредственно следует, что AKVK = VKA и, как следствие, если P — обычный гармонический полином, т. е. AP = 0, то VKP является уже к-гармоническим.

Для каждой точки x € Rd существует единственная борелевская вероятностная мера цК на Rd, такая, что

VKp(x) = / p(y) dvZ(y), (13)

J Rd

причем носитель меры цХ располагается в выпуклой оболочке множества {w(x): w € Zd}. Этот результат в самом общем случае доказала М. Реслер в [12, Theorem 1.2].

Используя формулу (13), оператор сплетения Данкля VK продолжается до линейного оператора на пространстве непрерывных в Rd функций [13, Sect. 5]. Здесь также уместно отметить, что вопрос построения оператора сплетения из весового пространства Li на единичном евклидовом шаре в пространство L1;K(Sd-1) исследовался автором в [4].

Если p(x) € nd — неотрицательный полином в шаре Bd, то из (13) следует оценка

VKp(x) ^ 0, x € Bd. (14)

Пусть

i1 о 1 М ^ ' 2 ,

cß = (1 - t2y-1{1+1) dt = v / , ß> 0

г( Ц + i)

1

Vn ВД

В случае абелевой группы Z2 для оператора VK справедливо следующее интегральное представление [5, Theorem 7.2.2], [14, Theorem 5.1]:

~ d VKp(x) = cK p(xi ti,xdtd)X\{1 - j -1(1 + tj) dt, (15)

J[-hi]d j=i

где cK = cK1 ...cKd. Если некоторое Kj равняется нулю, то формула имеет место в пределе:

lim cJ1 f (rt)(1 - t2)ß-1(1 + t) dt = f (t). J-1

Введем на пространстве полиномов nd семейство операторов {Vd,jj=i, где ß ^ 0, по правилу:

Vi (x) f P(x ), ß = 0,

d,jP(x) | cß p(xi,...,xj-i,txj ,xj+i,...,xd)(1 - t2)l-1(1 +1) dt, ß> 0.

Отсюда и из интегрального представления VK (15) немедленно следует,

что

d

гк

vk = П VK. (16)

j=1

При n ^ 0 имеем [6, Lemma 1.5.2]

Vdj(xn) = c(p,n) xn, (17)

где

((2) /(.. i 1 c(P,n) = j( i

= j( 1 )r/(p + 1 )r, n = 2r, r € No, (1 )r+1/(p + 1 )r+1, n = 2r + 1, r € No.

Если р(х) € П1 — неотрицательный полином в шаре В , то

ул,]Р(х) > 0, х € В1, (18)

что следует из справедливости представления (16) и неравенства (14) при произвольной функции кратности к.

Лемма 1. Пусть & ^ 3, к — функция кратности, связанная с абелевой группой Ъ1, х = х(ф1, В1), у = у(ф2, В2) € 81_1, ж = ^(ф1), у = у(ф2) € 81. Тогда при п € N0 справедливо равенство

п ( !

[{х(ф\ В1), Г] (y(ф2, В2)) = 5=0| т!(пп- т)! [{х^1) -Г] (у(Ф2)) X

х( Е (n, П c(«j ,aj) П Т(ш; a^-.-adj X, (19

аз+... +ad=n-m 3 d' j=3 j=1 )

где

d-3 j a d-2 d-2 m

Y(m;аз,...^;в) ^(sinв^)^+2 П(cosв3р+2 (Ц sinв^(20 j=1 j=1 j=1

Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем

(ж1б+x2{2)m = Е ^гЧ xa1 xa2ea1 ea2,

a1+a2=m

(х1^1+х2 6 + хз£з + ... + хЛрЛ)п =

= ((х1б + х2б) + (хз£з + ... + хЛ£Л))п = п

п!

= Е т!(^т)! (х1^1 + х2&т(хз£з + ... + хЛ£Л)П~

т=0 Л ''

п ( ! !

= Е „ п! л Е -гЧ хТхТРТРГ) х

^ т!(п — т)! V ^ —1! —2! 1 2 1 2 У

т=0 К «1+«2=т

V ( (п — т)! ха3 хаа ¿аз ¿аЛ I

х1 аз!...^! хз рз ...рЧ .

аз+. . . +аЛ=п-т )

(21)

Отсюда и из (16), (17) получаем

[х г] (у) = Е -г-1 с(к1 ,«1 )с(к2,«2) ха1 ха2 уа1 уа2 ?—' — 1! —2!

а1+а 2=т

п ( !

К^"] (») = Е{ х

Е т' I с(к1, —1)с(к2, —2) ха 1 х^ уа 1 у2а2) х *—' —1! —2! /

а1+а 2=т

х ( Е IIс(к,—)ха3...хаауа3...у?)}.

аз+. .. +аЛ=п-т з а' j=3 )

В полярных ж = ^(ф1), у = у(ф2) и сферических х = х(ф1, в1), у = у(ф2, в2) координатах последние два выражения для операторов сплетения Данкля принимают следующий вид:

22

УК [<Ж(ф1), Г] (у(ф2)) = £ -^П с(к3—) Д^П ф j )а1 (сов ф j )а2,

—' — 1! —2!

а1+а2=т j=1 j=1

Ук[<х(ф1,в1), -)п] (у(ф2, в2)) =

п Г ! й-2

= Е т!(пп1 т)! К^) -)т] (ж(ф2^вШ■ втх

т=0 ^ ^ ' j=1

а

( Е пт, П**.—)

а3+. . . +аа=п-т j=3

а-з Х а-2

П(в1п01+1 втв]+1У=1аг+2П (совсов02)а'+2) . j=l j=l )

j=l j= Сравнение полученных формул с (19), (20) и дает настоящую лемму.

х

Лемма доказана. Из (21), (17) следует

vn ■■■Vid [(x, Г](у) =

^ m!(n - m)! ( ^ aA a,! ^^ ^Уа*) X

, m!(n - m)! V ai! a,! 1 2 1 2 / (22)

m=0 ^ ai+a2=m ^^

x ( E a—md П a) xa3 ■ ■ ■ xad ya3 ■ ■ ■ yad)} ■

аз+. . . +ad=n-m 3 d j=3 )

Напомним, что для произвольных векторов x, y € Rd (x, y)j = xiyi + ■ ■ ■ + Xjyj, 1 < j < d■ Непосредственно из формул (19)-(22) получаем

Следствие 1. Пусть d ^ 3, к — функция кратности, связанная с абеле-вой группой ZÍ,, x = x(^1, в1), y = у(ф2, в2) € Sd-i, У = ^(ф1), у = У(ф2) € S1. Тогда при n € No справедливо равенство

К[Мф\ в1), ГШф2, в2)) =

n n! [ ]( )

= Е m!(nni m)! К1 va Ыф^ вl), m (y^ в2)) X

m=o

х( E an—m5. П c(Kj a) П T(°; aз, ■ ■ ■, ad; ej ))■

аз+. .. +ad=n-m 3 d j=3 j=1

Сравнение последнего равенства с (19) приводит к соотношению VK1 vdK2 [(x(ф1, в1), •)тп2)](у(ф2, в2)) =

d-2

= V*[(У(ф1), Г] (У(ф2)) (Пsin^sinjm

j=1

Лемма 1 и вытекающее из нее следствие 2 служат ключевым инструментом при получении оценки снизу константы Джексона. При доказательстве следствия 2 используется

Предложение 4 [15]. Пусть f € Ь1>Хк+1/2[—1,1]. Тогда

í VK[f ((x, •))](y) daK(y) = С f (t) dmXK+1/2(t), x € Sd-1 ■ Jsd-1 J-1

Следствие 2. Для каждого многочлена р(£) степени п, п € N0, найдется такой многочлен д(Ь) степени п, что

2

J 2){V, [p«x(^\ в1), •))] (у(ф2, в2))} Д{ (aKwK(ej))Ф(в'')} de1de2 =

= VK [q«^1), ))](у(ф2)).

Если p(t) — неотрицательный многочлен на [—1,1], то q(t) — неотрицательный многочлен на [-1,1] и

llpll1,[-1,1],AK + 1/2 = IIq N 1,[-1,1],AK+1/2- (23)

Доказательство. Первую часть утверждения ввиду линейности оператора сплетения Данкля достаточно доказывать на степенях p(t) = tn. Но этот факт непосредственно следует из соотношения (19), если только его обе части домножить на выражение

(aKwK(e1)) (aKwK(e2)^(e^(e2),

а затем проинтегрировать по переменным в1, в2.

Перейдем к доказательству второй части утверждения. Пусть

p(t) = A0 + A1t + ... + Antn

— неотрицательный многочлен степени n € No на отрезке [—1,1]. Тогда полином p({x, •)), где x € Sd-1 — произвольный фиксированный вектор, неотрицателен в шаре Bd:

p({x, С)) = Ао + A1{x,£) + ... + An{x, 0n > 0, С € Bd. (24)

Согласно лемме 1 имеем

{n i

EA^ {mUi'~ mV ^1 Г X

i=0 m=0 '( )'

x( E О:* -""J'' П a) П T(m; аз,..., ad', в' ))j | (У(ф2)).

a3+. . . +ad=i-m '=3 '=1 )

Здесь оператор Vk действует (по переменной С) на следующий полином от переменной С € R2:

h(C; кз,..., Kd, ф1, в1, в2) = h(C; кз,..., Kd) =

n i .'

= £ Ai^{ {-У<ф1)С)т X

i=0 m=0 v '

d2

( E a3\.тал'.П с(к ,a ) Пт(т; аз,..., ad,в')]

аз+. . . +ad=i-m j=3 j=1

причем отсюда вытекает формула интегрирования

^ [Уц \Ч( ■; «а,--., ф1, в1, в2)](у(ф2))} х 2

Ц{(акмк(в'))Ф(в'')} ёв1 ёв2 =

Ч( ■; кз,..., ка; ф1, в1, в2) х

'=1 = V

/[0п]2(^-2)

хЦ{(а^к(в'))Ф(в'')} ёв1 ёв

'=1

(у(ф2)).

Поскольку

д((Х(фГ),0)= Ч С; к3,...,ка; ф1, в1, в2) х

][0,ж]2(а-2)

2

х {а^к(в'))Ф(в')} ёвЧв2, '=1

где д(Ь) — многочлен из первой части утверждения, соответствующий 'р(Ь), то теперь для доказательства неотрицательности д(£) на отрезке [—1,1] достаточно показать, что

Ч(С; кз,...,ка) ^ 0 при С € В2. (25)

При этом параметры ф', в', ] = 1, 2, считаем также фиксированными, поскольку таковыми являются векторы х, у € 8а-1. По формулам (18), (24) и следствию 1 имеем

УКз ...УКя \р((х, Шп) > 0, п € Ва, (26)

Ук [р((х(ф\ в1),•))] (у(ф2, в2)) =

= УК1 , = У ,1 У ,2

{и I

Е^Е{

¿=0 т=0

г!

... ■ (х(ф1, в1), Ж х . т!(г — т)! (2)

< £ . а—.О! П с(К' а) П т(0; аз,...,аа; в)) [ \ (у(ф, в2)).

«з+. . . +ал=1-т

'=з

'=1

Здесь оператор У^1УК действует (по переменной £) на следующий полином от переменной £ €

Н((; кз,..., ка; ф1, в1, в2) = Н((; кз,..., к а) =

и

n i .j

= Е mii-rn)'.<xfe1' e'u *"2)х

i=0 m=0 v '

( Е i—S Пск) Пт(°;«3,...,«d;ej))}.

аз+. ■ ■ +ad=i-m j=3 j=1

Следовательно, при произвольных 0 ^ r ^ 1, 0 ^ ф < 2n и Z € Rd таком, что

Z1 = r sin 0\-2... sin sin ф, Z2 = r sin Q2d-2... sin cos ф,

Сз = ... = Zd = 0,

получаем

h(£; кз,...,кd)= h(Z; кз,...,кd), £ = (r sin ф,г cos ф) = <f. (27)

Так как Zl + Zl = r2(v| + vl), У € Sd-1 и 0 ^ r ^ 1, то точка Z € Bd. Имеет место равенство

h(Z; кз,..., Kd) = VK3... V^i [V(<x^\ в1), •))] (v) (28)

при v1 = Z1, v2 = Z2, V = yi, i = 3,..., d. Поскольку v € Bd:

\\vII2 = Zl + Zl2 + yi +... + vi = r2(vl + vl) + vl + ... + vl <

< v2 + vl + vl +... + vl = 1,

то из (26), (28) следует

h(Z; кз,..., кц) ^ 0.

Соединяя последнее равенство и (27), учитывая произвольность параметров 0 ^ r ^ 1, 0 ^ ф < 2п, приходим к требуемому неравенству (25) для доказательства неотрицательности многочлена q(t) на отрезке [—1,1].

Используя предложение 4, получаем равенство (23) следующим образом:

М1,[-1,1],\к+1/2 =/ P(t) dmXK+1/2(t) = í Vк[p(<x, •))](v) (v) = .У-1 Jsd-1

= / / Vk [p(<x, •))](v) aw^v)) du(v)( ак wK (x)) dw(x) =

JSd-1 J Sd-1

fin pin r r

= / Vk [p(<x^, в1), •))] (y(ф2, в2)) X

J0 J0 J[0,n]d-2 J [0,n]d-2

х^^в1)^^1^1 ^"(в^Ф^^в2 x

x (аК1,к2 WK1,K2 (ф1)) dф1 (аК1,к2 wKuK2 (ф2)) dф2 =

rin rin

= / V.[^(ф1), •))] (W)) х

J0 J0

х (аК1,к2Wk1,k2 (ф1)) dф1 (аК1,к2wK1,k2 (ф2)) dф2 =

= [ [q((x, -))](y0 d^(y0 = / q(t) dmA__+i/2(t) = ||qH i,[-i,i],ak+1/2-JS1 J-1

Следствие доказано.

3. Неравенство Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2, на сфере с весом Данкля

3.1. Оператор обобщенного сдвига. Пусть т € [—1,1]. Оператор обобщенного сдвига MK из L2,K(Sd-1) в себя определяется по формулам (сравните с [5, Definition 7.4.6])

Ргп(к; MKf ) = Ргп(к; f ), n € Nq.

Ct (t ) Ct (1)

Имеет место (сравните с [5, Proposition 7.4.7])

Предложение 5. Пусть t € [—1,1], h — сферический полином от d переменных. Тогда

(i) MK1 = 1;

(ii) если h ^ 0, то M?h ^ 0;

(iii) при 1 ^ p < œ имеем

WMKhWp,sd-\K < llhNp,sd-i>« и Дт \\MKh — h\\P;§d-iK = 0.

Из последнего предложения следует, что оператор MK (на пространстве nd) можно продолжить по непрерывности до линейного непрерывного оператора на пространстве LPK(Sd-1), где 1 ^ p < œ, который также будем обозначать через Mf.

3.2. Наилучшее приближение и модуль непрерывности. Пусть 1 ^ p < œ, L € N.

Величина наилучшего приближения функции f € LPK(Sd-1) линейными комбинациями к-сферических гармоник порядка не выше L — 1 и модуль непрерывности функции f определяются соответственно по формулам

L-1

EL(f )P,sd-i,K = inf {\\f — h\\P)§d-lK : h € Y, Adn(K)}

n=Q

^(0, f)p,Sd-l,K = SUP (f MC0s в [fx,pO](x) P, ô € (

где fx,p(0 = \f(•) — f(x)\p.

и

В гильбертовом пространстве Ь2К(*Л 1) имеем, согласно [1] и учитывая [5, (10.1.4)], что

те

Е1 (IЬ,*-!* = £ ЦРгп(«;I)Н2,а-1к>

п=Ь

и(6,1)2^-1,к = «пр (2 ¿(1 - в) ) ЦРгп(к; 1)12^-1,«)1/2

п=0 Спк (1) у у

= ^2 8пр ||(1 - М^,)1/21

О<0<й

где I — тождественный оператор.

3.3. Одно замечание о модуле непрерывности при 5 = п. Пусть I € Ьр,к(§а-1), 1 ^ р < то, Н(£) — произвольный неотрицательный многочлен на отрезке [-1,1] с нормой |^|1)[-11] лк+1/2 = 1. Тогда при каждом х € функции Н((х,у)) и Ук \Н({х, -))](у) есть неотрицательные полиномы в шаре

от переменной у € М^. Следующее равенство получается так же, как и в соотношении (43) из [1]:

/ / I (х) - I (у)\р УкЩх, .))1(у) (х)дак(у) =

= /1 (М !х'р(')1 (х) ёстк(х)) ¿тЛк+1/2(^).

Отсюда по формуле (5) и определению (29)

)р^-1,к = впр / М^ [Ух,р(-)(х) ¿ак(х) = -1^1 7§—

= 8пр| / / \1 (х) - I (у)\р УкЩх, -))1(у) Шак(у): Н € П1, Н(1) > 0, I € [-1,1], ||Д|1,[-1,1],Лк+1/2 = ^.

(30)

3.4. Константа Джексона в пространствах Ьр на сфере с весом Данкля и формулировка основного результата. Константа Джексона в пространствах Ьрк(*Л-1), 1 ^ р < то, определяется равенством

К(5,Ь)р*Л-^к = апр( ^ : I € ¿РЖ-1)| • (31)

[ ш(6, I)р,)

Сформулируем в теоремах 1, 2 результаты, полученные автором в более общем виде, относительно константы Джексона в пространствах Ьрк(§а-1),

1 ^ p < 2, с функцией кратности к, инвариантной относительно абелевой группы Zd, d ^ 2.

Обозначим через tkll наибольший нуль многочлена CLK. В [1] доказана

Теорема 1. Пусть d ^ 2, функция кратности к задается набором (к1,..., Kd), L € N. Тогда

K(25k,l, 2L — 1)p,Sd-1,K < 21/p-1, 1 < p< 2, (32)

где ók,l = arccos tk,l-

Теорема 2 [3]. Пусть функция кратности к задается набором (к1, к2), L € N, ó € [0, п]. Тогда

K(5,l)psI7í > 21/p-1, 1 < p< 2.

Основной результат работы представляет собой следующая

Теорема 3. Пусть d ^ 3, функция кратности к задается набором (кь...,кД L € N, ó € [0,п]. Тогда

K(S,L)p>Sd-1K > 21/р-1, 1 < p< 2.

Таким образом, при всех d ^ 2 оценка (32) точная.

Теоремы 2, 3 анонсированы в [16].

4. Доказательство теоремы 3

Напомним, что ранее мы условились функции, заданные на сфере S1 и одномерном торе T = [0, 2п), отождествлять, учитывая переход к полярным координатам x = (x1 ,x2) = (sin ф, cos ф) на сфере S1.

Пусть f € Lpk(S1), 1 ^ Р < ж. Тогда функция Ff, определяемая по формуле (2), принадлежит пространству Lp,K(Sd-1) и \\Ff \\p,Sd-1 >к = \\f \\р,§1,к. Действительно, используя формулы (3), (8), (9), получаем

\\Ff \\p gd-1 к = \Ff (x)|p daK(x) >к /gd-1

c2n

\p{акW~K(ф)) ёф • I (ак*пк

/0 J [0 , n]d—2

fin

hp

¡■in (■

/ \f (ф)\р(акт(ф)) ёф • (а^к(в))Ф(в)ёв = (33)

J0 J [0 , n]d—2

= / \/(ф)\*(акт(ф)) ёф = \/\рёок = \\/\\рр§1 к-Jo '' '

В следующих двух леммах исследуется вопрос о том, как связаны между собой модули непрерывности и наилучшие приближения для функций / и

Р!.

Лемма 2. Пусть й ^ 3, 1 ^ р < ж, функция кратности к задается набором (к\,..ка), / € Ьр>к(§1)- Тогда

)р ,к ^ и)р ,§1к-

Доказательство. Пусть Н(Ь) — произвольный неотрицательный многочлен на отрезке [-1,1] с нормой ||Н||1)[-1)1] лк+1/2 = 1. Согласно следствию 2 найдется неотрицательный многочлен д(Ь) такой, что

/ / {Ук[Н((х(ф\ в1), -))1(у(ф2, в2))} х 2

X П{ (а^к(в3))Ф(в3)} ёвЧв2 = УК [д((х(ф1), •))] (у(ф2))

3 = 1

11,[-1,1],Лк+1/2 = ||д||1,[-1,1],Лк+1/2 = 1. (34)

Отсюда и из (6), (8) следует равенство

/ / Р (х) - (у)\р Ук[Н((х, -))](у) ёак(х)ёак(у) =

Jsd-1 J Б-

п2п г2п г г

= / Р (х(ф1, в1)) - ^ (у(ф2, в2))|р х

X Ук[Н((х(ф\ в1), -))](у(ф2, в2)) X ( 2 ( ) ( ) )

X (П (ахшъф)) (акадк(в3))Ф(в3)) ёф1 ёф2ёвЧв2 = 3=1

г-2п 2п 2

о2) |Р /И (п~чп~(ф)

I(ф1) - I(ф2)\Р(Ц (атф))) х

/0 70 3=1

X [ {Ук[Н((х(ф\ в1), -))](у(ф2, в2))} X

2

X П{ (ак^к(в3))Ф(в3)} ёв1ёв2ёф1ёф2 =

3=1

г2п г2п , 2 .

= / I(ф1) - I(ф2)\Р(П ))) [д((х(ф1), •))] (у(ф2))ёф1ёф2 =

0 0 3=1

= / [ \№) - I (у )\Р У~к[д((х, -))](у) ёа~к(х )ёа~к(у).

Ли в1

Последнее равенство, равенство (34) и формула (30) доказывают утверждение.

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть ( ^ 3, 1 ^ р < то, функция кратности к задается набором (к1,..., к^), I € Ьр,^(Б1), Ь € N. Тогда

ЫР!)р,Бл-1,к ^ Еьи

и

L-1 L-1 _

Доказательство. Поскольку подпространства Y1 АП(к) и Y1 Аг(к)

n=0 n=0

конечномерны, то существуют элементы вида (см. (10), (11)) L-1

T(x) = Е ( Е ЛпЛ1^) + ^ Bn,avna;l(x)) = T(ф, в) =

n=0 |a|=n |a|=n

L-1

= E(E <aCÍTKd-1)(cos ф)+ £ B?e sin фС^-1 )(cos ф))

n=0 |a|=n |a|=n

(35)

id-1, = ^>аФа(в), в®а = вПаФа(

(a € N0-1, Ag¡a = Л^Ф^в), B®a = Bn,aФ£(в)),

L-1

T(x) = £ (AnY1~K(x) + BnV¿z(30) = Г(ф) =

n=0 (36)

L-1 v '

■,(«1+1,K2) / TnCn (cos ф) + Bn sin фсп-1

n=0

]T(AnCnK1'K2)(cos ф) + Bn sin фС^1'«^ (cos ф)),

записанные в сферических х = х(ф, В) и полярных х = т(ф) координатах, такие, что

Еь(р!)p,sd 1,к = \\Р! - Т\\р'§—к и Еь(/)р,з1,я = \\/ -

т. е. Т и Т — элементы наилучшего приближения для функций р- и / соответственно.

Поскольку каждый обобщенный многочлен Гегенбауэра вида С'т'^ равен некоторой линейной комбинации многочленов С(А,у), I = 0,-.. , т, то полином Т(х) (35) примет следующий вид:

Ь-1

Т(х) = Т(ф, В) = ^ (Ага(В)СПК1'К2)(ес8 ф) + Бп(В) 81пфС^1'^(совф)).

п=0

, (37)

Так как Т — элемент наилучшего приближения для функции /, то, сравнивая выражения (36), (37), при каждом В € [0,п]а-2 получаем

Ерь(/)р,з1,я = \\/- = / \/- Трёок =

= \/(ф) - Г(ф)\р(аяюк(ф)) ёф ^ \/(ф) - Т(ф, В)\р(ак wк(ф)) ёф 00

и, как следствие,

EL (Ff = \\Ff - T\F = f \Ff - T\p daK =

/ / \Ff(x&, в)) - T(ф, в)\p (ая WK(<p)) ёф (а^к(в) Ф(в))ёв =

JO J [0,n]d—2

= / (Г \f (Ф) - TФ в)\р (актШ ёф) awK(e) Ф(в)) ёв

./[0,n]d—2 JO J

с2ж х

^ / (Г V (Ф) " ^(Ф)!" ^Ы) (а"ш"(в) Ф(0)) ёв =

г2п ^ г

= I/(Ф) - Т(ф)|р (а'щ"(ф)) ёф • а"ш" (в) Ф(в) ёв = (/)Р;§1;'.

./0 ./[0,п] —

Лемма доказана. Из лемм 2, 3 вытекает, что

^ L)p)sl)й, 1 < Р < (38)

поскольку для каждой функции / € Ьр"(81) функция Ff € Ьрк(§а-1) (см. (2), (33)) и

Eb(Ff)

p,Sd 1, к . Eb(f )p , S1, к

U(n,Ff )p,Sd-1,K U(n,f )p,S1,K

Теперь, основываясь на определении константы Джексона (31), теорема 2 в соединении с оценкой (38) дает теорему 3. Теорема 3 доказана.

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность В. И. Иванову за постановку задачи.

Список литературы

1. Вепринцев Р.А. Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27-49.

2. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 50-62.

3. Вепринцев Р.А. Оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля, связанным с группой диэдра // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. Вып. 3 (55). С. 95-123.

4. Вепринцев Р.А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 6-26.

5. Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. Springer: New York, 2013. 440 p.

6. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge University Press, 2014. 420 p.

7. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

8. Хьюитт Э, Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Том I. М.: Наука, 1975. 656 с.

9. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311. P. 167-183.

10. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V. 197. P. 33-60.

11. Xu Y. Orthogonal polynomials for a family of product weight functions on the spheres // Can. J. Math. 1997. V. 49. P. 175-192.

12. Rosier M. Positivity of Dunkl's intertwining operator // Duke Math. J. 1999. V. 98. P. 445-463.

13. Trimeche K. The Dunkl intertwining operator on spaces of functions and distributions and integral representation of its dual // Integral Transform. Spec. Funct. 2001. V. 12. № 4. P. 349-374.

14. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Can. J. Math. 1991. V. 43, № 6. P. 1213-1227.

15. Xu Y. Integration of the intertwining operator for ^-harmonic polynomials associated to reflection groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1997. V. 125. P. 2963-2973.

16. Вепринцев Р.А., Иванов В.И. Точное неравенство Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2, на сфере со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междун. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2013. С. 38-43.

Вепринцев Роман Андреевич ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Lower estimate of Jackson's constant in Lp-spaces on the sphere with Dunkl weight function associated with the abelian group Z^

R. A. Veprintsev

Abstract. The lower estimate of Jackson's constant in Lp-spaces, 1 ^ p < 2, on the unit sphere Sd-1 in Rd, d ^ 3, with Dunkl weight function associated with the abelian group Zd, the group of sign changes, is obtained. This estimate coincides with the upper estimate obtained for arbitrary Dunkl weight function by the author. Thus, the sharpness of Jackson's inequality is established in the

considered case. For d = 2, the analogous result was established earlier by the author.

Keywords: Euclidean sphere, Dunkl weight function, K-spherical harmonics, best approximation, modulus of continuity, Jackson inequality, Jackson constant, abelian group Zd.

Veprintsev Roman ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 01.05.2015