ОБОБЩЕННОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА СТЕЧКИНА В ПРОСТРАНСТВЕ $L_2(R^d)$ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 63-82

= Математика

УДК 517.5

Обобщенное неравенство Джексона — Стечкина в пространстве с весом Данкля

Ха Тхи Минь Хуэ

Аннотация. В пространстве Ь2(ШЛ) с весом Данкля доказано точное неравенство Джексона - Стечкина с эффективным аргументом в обобщенном модуле непрерывности. В безвесовом случае оно было установлено Д.В. Горбачевым. Модуль непрерывности определяется сверточной последовательностью {^я}яег, для которой выполнено условие (Г): 5^1=1 ик ^ 0,1 € N.

Условие (Г) доказано для последовательности Туе - Морса.

Ключевые слова: вес Данкля, преобразование Данкля, целые функции экспоненциального типа, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона - Стечкина, последовательность Туе - Морса.

Введение

Пусть ^ € М, — ^-мерное действительное евклидово пространство

со скалярным произведением (х,у) и нормой |ж| = л/(ж, ж), а > 0, Ба = = {ж € : |х| ^ а} — евклидов шар,

V* (ж) = П 1(“>ж)Га> (1)

— обобщенный степенной вес или вес Данкля, определяемый положительной подсистемой К+ системы корней К С и функцией к (а) : К ^ М+, инвариантной относительно группы отражений С (К), порожденной К,

Ск = / е |х|2/2и* (ж) (1ж

Jжd

— интеграл Макдональда - Мета - Сельберга, йц,к (ж) = ск V* (ж) ^ж, Ь2 * — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу

на М“ функций / с конечной нормой

^ 1/2

* = 1 ' 1 / (ж)| Л"- (ж

|/(ж)|2 (1"к (ж) )

Гармонический анализ в пространстве £2,* (Мй) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля

/ (у) = / (ж) е* (ж, у) Л"* (ж), / (ж) = / (у) е* (ж, у) Л"* (у),

■У Rd .У Rd

где е* (ж, у) — обобщенная экспонента, определяемая с помощью

дифференциально-разностных операторов Данкля, многие свойства которой аналогичны свойствам экспоненты ег(ж,у). Для преобразований Данкля выполнено равенство Парсеваля (см. [1]).

Пусть Сь(Х) — пространство непрерывных ограниченных функций на локально компактном множестве X, вирр/ — носитель функции /.

Для функции / € £2,*

Еа(/)2,* = ^ {||/ - 0112,* : 9 € £2,* М , йиррд С Ба}

— величина наилучшего приближения целыми функциями экспоненциального сферического типа а > 0.

Пусть М = {"«}«€2 — ненулевая последовательность комплексных чисел, для которой

= 0, ^ 1"«1 < (2)

«€2 «€2

Посредством свертки образуем новую последовательность

^«(М ) = = ^ "г+«"г- (3)

1€2

Для нее

= ^2и2, = 0, 2^ (4)

1€2 «€2 «€2

Для произвольной последовательности М: V« = V—, для действительной — v_^i = ^. Нам понадобится также последовательность

в1 (М) = — ^ Ие V*, 1 € N. (5)

*=1

Будем говорить, что последовательность М удовлетворяет условию (Г), если выполнены неравенства

вг(М) ^ 0, 1 € N. (6)

Будем также говорить, что последовательность М удовлетворяет условию (I), если

Re v1 < О, Е 1 ^є^1 ^ I Re v1|.

l=2, vi >0

(7)

Определим функцию

Рм(t, y) = E Vsek(st, y), t,y Є Rd.

s€Z

Используя интегральное представление обобщенной экспоненты [2]

ek (x,y) = / e^’v)d^x(0,

где "X — вероятностная борелевская мера, носитель которой лежит в выпуклой оболочке со{0ж : 9 € С(К)} орбиты ж относительно группы С(К), получим

2

^м (t,y)^/ Е Vseis<?,v)d^fcсо = /

Rd s€Z Rd

E^se

s€Z

is(5,v)

Для ^м (£, у) выполнены также свойства

(£> у) € С(М х Мй), (£, у) = (у, ■£), (0, у) = 0.

Перечисленные свойства ^м(£, у) позволяют для функции / € £2)* определить обобщенный модуль непрерывности [3]:

^м (т, f )2,k = SUP

P (t,y) !,f(y)|2d^k (y)

1/2

т > О.

Если Vk(x) = І (k(a) = О) — единичный вес и

дм f (x) = Е ^sf (x+st)

s€Z

бесконечно-разностный оператор, то обобщенный модуль непрерывности

Шм(T,f)2 = sup ||Д* f (x) ІІ2

|t|^r

совпадает с обычным модулем непрерывности, определяемым оператором

дм.

Далее с помощью некоторых действительных последовательностей M (2) определим четыре модуля непрерывности. Для последовательности M будем указывать только ненулевые члены, для четной последовательности {vs(M)} (3) — ненулевые члены при s Є Z+.

d

Пусть r(x) — гамма-функция Эйлера,

' r Л Г(г + І)

r(s + І)Г(г — s + І) ’

Для произвольного r > О рассмотрим последовательность

Mr = {(—1)‘ (s )}<а+

Ряд £s=o(—1)s (S) сходится абсолютно, так как при r целом (S) =0 при s ^ r + 1, а при r не целом по формуле дополнения и асимптотике гамма-функции при s ^ то

r ^ sin n(r — s + 1)Г(г + 1)r(s — r) о

-sJ nr(s + І) \s1+r

Для последовательности Mr последовательность (3) имеет вид

Vs = (-L)S Е (s + І) (Г ) = (-L)S (r-s) , s Є Z+.

(8)

Модуль непрерывности Шмг (т, /)2,к является обобщением на весовой случай классического модуля непрерывности порядка г, определяемого разностным оператором

дм'f (x) = £(-!)’(s) f (x + st). (9)

s=0 s

При г не целом имеем модуль непрерывности дробного порядка г, при г целом все слагаемые в (9) равны нулю при в ^ г + 1 и сумма (9) — конечная.

Пусть г € N и последовательность N. = {(—1)« : в = 0,..., 2г — 1}. Для последовательности (3) при в = 0,..., 2г — 1

2Г_1 тт(2г— 1,2г—1+«)

^ = Е =Х/( — 1)1"г+5 = ( —1)5 X/ 1 = ( —1)5(2г — в).

1€2 1=0 1=тах(0,«)

(10)

Соответствующий модуль непрерывности обозначим (т, /)2,*. В периодическом одномерном безвесовом случае он был определен

Н.А. Барабошкиной [4] с помощью разностного оператора

2г— 1

Д"'f (x)= £(-І)7 (x + st).

s=0

Пусть г(в) обозначает количество единиц в двоичном представлении числа в € ^+, = 0, если г(в) = 0(шоё2) и = 1, если г(в) = 1(шоё2).

Последовательность известна как последовательность Туэ - Морса. Для

г € N рассмотрим последовательность Рг = {(—1)7в : в = 0,..., 2Г — 1}. С нею связан разностный оператор Туэ - Морса

2г—1

Др / (ж)= Е(—1)7(5)/(ж + в*).

s=0

Члены последовательности {vj : s = 0,..., 2r — 1} (3) могут быть найдены из соотношения (см. [5])

2r-1 r—1

х0 +2^ vj cos sx = 2r (1 — cos2k x), v0 = 2r. (11)

s=1 fc=0

Модуль непрерывности обозначим шрг (т, /)2,*. В периодическом одномерном безвесовом случае он использовался в работах Н.А. Барабошкиной [6] и

А.И. Козко, А.В. Рождественского [5].

Если Д/(ж) = /(ж + *) — /(ж), то

^Г—1

Afr / (x) = П A2fc* / (x)-

н

чк=0

Разностный оператор Туэ - Морса является частным случаем (а = 2) обобщенного разностного оператора Туэ - Морса [5]:

Afr(а)/ (x) = m AakA / (x), a € N. (12)

\fc=0 J

При a = 1 получаем разностный оператор AM. Последовательность (3) {vj(a) : s = 0,..., mr(a)}, mr(a) = 1 + a + ... + ar—1 для (12) находится из соотношения [5]

mr (a) г— 1

v0 (a) + 2 E vj (a) cos sx = 2r (1 — cos akx), v0 = 2r. (13)

s=1 fc=0

Соответствующий модуль непрерывности обозначим Wpr(а)(т, /)2,fc. Таким образом, модули непрерывности ш«г (т, /)2,fc, wpr (т, /)2,fc являются частными случаями Wpr (а) (т, /)2,fc.

Определим обобщенную константу Джексона

Dm (o’, т)2,fc = sup { (/)2’fc : / € L2,fc (Rd) 1 (14)

(т, J )2,fc J

как наименьшую константу в неравенстве Джексона

E(/)2,fc ^ Dwm(т, /)2,fc.

Константы Dm,(a, т)2,k, D^r(a, т)2,k, Dpr(a)(a, т)2,k назовем обобщенными константами Джексона — Стечкина.

Для обобщенной константы Джексона установлены следующие свойства:

1. ^м(а, т)2 * = ^м(1, ат)2 *, поэтому в дальнейшем можно считать, что а = 1 [7].

2. Пусть

А* = ^/2 — 1 + Е к(а), гм = шах {г ^ 0 : вм |[_.,.]= 0} , (15)

а€Я+

где вм(*) = Е«€2 "«е“*, * € М. Если А* > —1/2, 0 < т ^ гм, то ^м(1, тЬ,* = = то, а если т > гм, то (1, т)2,* как функция т конечна и непрерывна [7].

3. Если ^ определено в (4), то для произвольного веса Данкля (1), последовательности М (2) и любого т > 0 справедлива нижняя оценка [7]

£м(1,т)2,* ^ —= .

V ^0

4. Для произвольного веса Данкля (1), последовательности М (2) и некоторого т* = т*(^, к,М) справедлива верхняя оценка [8]

£м(1,т*)2,* ^ —= . (16)

В случае единичного веса неравенство (16) доказано С.Н. Васильевым

[9].

Постоянная т * в неравенстве (16) не является эффективной. Ее наименьшее значение называется оптимальным аргументом. По определению, оптимальный аргумент

тм,* = шт|т> 0: (1,т)2,* = —= | . (17)

Существование минимума вытекает из непрерывности и невозрастания константы Джексона - Стечкина при т > гм и ее неограниченности при т ^ гм + 0.

Наиболее полно оптимальные аргументы исследованы только для первого модуля непрерывности. Первый оптимальный аргумент был найден в периодическом случае Н.И. Черных [10, 11]. В пространстве ^2(МЙ) оптимальные аргументы найдены А.В. Московским [12] (^ = 3) и Д.В. Горбачевым [13] (произвольное ^) Отметим также работу Е.Е. Бердышевой [14]. В пространстве £2,*(Мй) оптимальные аргументы найдены в работах А.В. Иванова [15, 16] (см. также работу А.В. Иванова и

В.И. Иванова [17]):

тм1,* = 29лк,

где ^л — наименьший положительный нуль функции Бесселя 7л, А* определено в (15).

Точное вычисление оптимальных аргументов в случае модулей непрерывности более высокого порядка является сложной задачей.

Поэтому наряду с нахождением оптимальных аргументов важными задачами становятся их эффективные оценки сверху и снизу. Пусть тм ,й — оптимальный аргумент в константе Джексона - Стечкина (14) для пространства £2(Мй) и модуля непрерывности, определяемого последовательностью М. До последнего времени верхние оценки оптимального аргумента тм,^ были известны только для последовательности М. и в одномерном периодическом случае. Н.И. Черных [18] доказал, что при г целом тмг,1 ^ 2п = 2^1/2. С.Н. Васильев [19] обобщил и улучшил эту оценку для произвольного г > 0: тмг,1 ^ 1, 4п. В недавней работе [20] Д.В. Горбачев для оптимального аргумента получил первую общую верхнюю оценку. Он доказал, что если последовательность М удовлетворяет условию (Г) (6), то тм,^ ^ 2^/2. Легко проверяется, что при целом г последовательность М. удовлетворяет условию (Г), поэтому результат Н.И. Черных [18] получает естественное обобщение на многомерный случай, как периодический, так и непериодический [20]. В [20] также задан вопрос о справедливости условия (Г) для последовательности Р..

В настоящей работе мы переносим результат Д.В. Горбачева [20] для пространства Р2(Мй) на случай весового пространства Р2,*(Мй) и доказываем выполнение условия (Г) для последовательности М. при произвольном г > 0 и последовательностей N., Р.(а) при г € N а € N а ^ 2.

Теорема 1. Если вес Данкля (1) произвольный, для последовательности М (2) выполнено условие (Г) (6), А* определено в (15), то для оптимального аргумента (17) справедлива верхняя оценка

тм,* ^ 29лк+ь

Теорема 2. Для последовательности М., г > 0, выполнено условие (Г)

и

тмг,* ^ 29лк+1.

Теорема 3. Для последовательностей N., Р.(а), г € N а € N а ^ 2, выполнено условие (Г) и

тМг,* ^ ^к + Ъ тРг(а),* ^ 2^лк+1.

А.И. Козко и А.В. Рождественский [5] в одномерном периодическом случае доказали лучшую оценку трг (а) д ^ п = 2^_ 1/2. Из теоремы 3 вытекает только оценка Н.И. Черных: трг(а)д ^ 2п = 2^1/2. Для последовательности N. оценка Н.И. Черных в одномерном периодическом случае доказана в [4].

А.В. Иванов и В.И. Иванов [21] доказали следующее утверждение:

Предложение 1 [21]. Если А* = 1/2 и для последовательности М выполнено условие (I) (7), то для оптимального аргумента (17) справедлива оценка

тм,* ^ 2^ = 2п.

В [21] условие (I) доказано для последовательности М.. Мы доказываем выполнение условия (/) и для последовательностей N., Р. (а) при г € N а € € N а ^ 2.

Теорема 4. Для последовательностей N., Р.(а), г € N а € N а ^ 2, выполнено условие (I) и при А* = 1/2

тмг,* ^ 29л^, трг(а),* ^ 29л^.

Результат А.И. Козко и А.В. Рождественский [5] и теорема 4 позволяют высказать гипотезу, что оценка трг(а),* ^ 2^лк справедлива для произвольного веса Данкля или, по крайней мере, во всех безвесовых пространствах Р2(Мй) .

1. Редукция к одномерному случаю

В [3] доказано, что обобщенная константа Джексона в пространстве £2,* М совпадает с обобщенной константой Джексона в пространстве £2 (М+) со степенным весом.

Пусть А > —1/2, /л(ж) — функция Бесселя порядка А,

Ых)=2лГ(А + 1)

хл

— нормированная функция Бесселя, Ьл = 2лГ(А + 1), Р2,л(М+) —

пространство комплексных измеримых по Лебегу на М+ функций / с конечной нормой

\ 1/2

2,A = (ЬЛ / I/(r)|VA+1dr )

0 / f ГО

/(s) = b- / / (r)jA(rs)r2A+1 dr (18)

0

— преобразование Ганкеля (см. [22]).

Рассмотрим непрерывную на R+ функцию

ГО

ам (r) = Е vjA(lr) = Vo + ^ERe V jA(lr). (19)

leZ l=1

Для нее выполнены условия [7]:

ам(r) € Cb(R+), ам(r) ^ 0, ам(0) = 0.

Пусть

E (/)2,A = inf (||/ - g||2,A : g € L2,a(R+), supp" С [0,ст]} =

/ fГО _ \ 1/2

= V-1 X If(s)|2 (20)

— величина наилучшего приближения функции / € L2,a(R+),

/ Г ГО _ \ 1/2

WM(6,/)2,A = sup ( b- / а^)^)^2^^ 1 (21)

0<r<<5 \ JO /

— ее обобщенный модуль непрерывности,

Dm(^, £)2,a = sup { (/n’A : / € L2,a(R+)1

l^M (0j/ )2,A J

— обобщенная константа Джексона в пространстве L2,a(R+) (см. [12]).

Предложение 2 [3]. Если А^ определено в (15), то для произвольного веса Данкля (1) и произвольной последовательности M (2)

Dm (^т )2,fc = Dm (a,r )2,Ak.

Пусть TM’A — оптимальный аргумент в L2,a(R+), то есть

TM’A = minjт> 0: Dm(1,т)2

Согласно предложению теорема 1 будет вытекать из следующего утверждения.

Теорема 5. Если А ^ -1/2, для последовательности M (2) выполнено условие (Г) (6), то для оптимального аргумента (21) справедлива верхняя оценка

TM,A ^ 29A+1.

А.Г. Бабенко [22] и А.В. Московский [12] в случае первого модуля непрерывности, определяемого последовательностью M1, доказали точное неравенство Джексона с оптимальным аргументом в модуле непрерывности:

E(/)2’A < —WmJ — ,А , TMi’A = 2qA.

V2 V / 2’A

Для этого они построили весовую функцию Va(x). Для произвольной последовательности M с условием (Г) весовая функция va(x) уже не годится. Оказалось, что всегда можно использовать весовую функцию va+1 (ж) [20].

VV0

(22)

1

2. Доказательство теоремы 5

Схема доказательства точных неравенств Джексона в пространствах £2 предложена Н.И. Черных [10]. В нашем случае она предполагает построение специальной весовой функции с носителем на отрезке [0,1].

Следуя Д.В. Горбачеву [20], покажем, что в качестве весовой функции можно взять функцию 1л+1 (ж), построенную в [12, 23]. Для нее и ее

преобразования Ганкеля г>л+1(ж) в пространстве £1,л+1(М+) выполнены свойства:

1л+1 € С(М+), 8ирр 1л+1 С [0,1], 1л+1(ж) ^ 0, ж € М, (23)

72 (ж/2)

гл+-(ж>=1 —л+/2^>+1)2 < 0-ж > (24>

Обозначим 1(ж) = 1л+1 (ж), г(ж) — ее преобразование Ганкеля в пространстве £1,л(М+). Свойства (23) запишутся так:

1 € С(М+), 8ирр 1 С [0,1], 1(ж) ^ 0, ж € М. (25)

Так как [24]

ж

7 (ж) = — 2(А+1) ;'>+l(ж)■

то

Ь 1 ж /*<Ю

г'(ж) = - , л , 1л+1(г)7л+1(гж)г2л+3^г = —жг^л+1(ж) (26)

2(А + 1) Jo

и

г (ж) = / £гл+1(£) (27)

^ X

Согласно (24), (26), (27), асимптотике 7л+1 (ж) = 0(ж-2л-3) (ж ^ то) [23] для г(ж) выполняются свойства:

г € £1,л(М+), г(ж) < 0 и возрастает при ж ^ 2дл+1. (28)

В силу (25), (28) 1(ж) и будет искомой весовой функцией.

Закончим доказательство теоремы 5. Для / € £2,л(М+) согласно (20), (21)

СЮ

Е(/)2,л = Ь-1 ^ |,/(ж)|2ж2л+1 ^ж,

1

СЮ

(5,/)2,л = йир Ьл / ам(^ж)|У(ж)| ж + ^ж,

0

поэтому при 5 = 2^л+1 из (18) получим

1 СЮ

^М (5,/ )2,лгл(0) ^ Ьл^ I ам ^ж^Дж^ж2^1 ^ж-и^2^1 ^ ^

00

1 СЮ

^ Ь-2 у У ам^ж^Дж^ж2^1 ^ж-и^)^^1 ^ ^

01

^ £2(f )2Л inf Ьд1 [ ам(^ж)-и(^2Л+1 dt. (29)

x^1 J

o

Согласно (18), (19), (28) при ж ^ І

1

b-1^ ам (^ж)-и(^2Л+1 dt =

o

ю 1

= ^0?л(О) + 2^Rev«b-W іл(^ж)<5л(t)t^+1 dt =

о

ГО

= ^оїїл(О) + 2 ^л (51ж). (30)

і=і

Применяя преобразование Абеля и учитывая условие (Г) (6), (5), (27), для х ^ 1 получим

ГО ГО

Е^еVСл(^х) = — Е5і(М)(Сл(^/х) — Сл(£(/ + 1)х) ^ 0.

1=1 1=1

Отсюда и из (29), (30)

(^, /)2,л^л(0) ^ Е2(/)2,л^оїїл(0), поэтому 1

Е1(/)2,Л ^ (25л+1,/Ь,Л) ТМ,Л ^ 29Л+1 •

\/^0

Теорема 5 доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Согласно теоремам 1, 4 для последовательности Мг достаточно доказать выполнение условия (Г) (6) для не целого г > 0 .

Из (5) и (8)

Si(Mr) = — Е vk = У^( — І) k=1 k=1

k+1

r — k

При 1 ^ к ^ [г] + 1 sgn = (—1)к и последовательность |^к | убывает, поэтому «г(Мг) > 0 при 1 ^ I ^ [г] + 1. Здесь [г] — целая часть числа г.

При к ^ [г] + 2 sgn= (—1)И+1 по формуле дополнения для гамма-функции, поэтому (Мг) ^ 5[Г]+1(МГ) > 0, если I ^ [г] + 2 и [г] — четное, а если [г] — нечетное, то (Мг) ^ ^Ю=1 = ^0/2 > 0.

Свойство (Г) и теорема 2 доказаны.

1

4. Доказательство теоремы 3

Согласно теоремам 1,4 для последовательностей Nr, Pr(а), а ^ 2, r € N достаточно доказать выполнение условия (Г) (6).

3.1. Случай последовательности Nr. Из (5) и (10) имеем

l l

Sl(N) = - Е Vfc = E(-1)k+1(2r - k). k=1 k=1

Можно считать, что l ^ 2r - 1. При l ^ 2r si(Nr) = s2r-1(Nr). Если l = 2n,

то sl (Nr) = n, а если l = 2n + 1, то sl(Nr) = 2r - (n + 1)/2 ^ r. Условие (Г)

выполнено.

3.2. Случай последовательности Pr = Pr(2). Равенство (11) запишем в виде

r— 1 2г —1

2Г ГГ (1 - c°s2kж) = E а[ cos lx. k=0 l=0

Начальные условия а^ = 2, а1 = -2.

Из равенства

2r+1 —1 2r — 1

а[+1 cos lx = 2(1 - cos 2rж) E а[ cos lx l=0 l=0

выводим рекуррентные соотношения:

а0+1 = 2а0,

ак+1 = 2ак - а^г—k, k € [1, 2r - 1],

а2+1 = -2а0,

ак+1 = -ак—2r, k € [2r + 1, 2r+1 - 1]. (31)

2г-

Отсюда а0 = 2r, а2г-1 = -2r

Полагая §0 = 0, ^к=1 а£,, из рекуррентных соотношений для

набора {ак} получаем §1 = 2,

«[+1 = 2„[ + -г-1 — з2г-11 1 € [1,2Г — 1],

„г+1 = „г , 2г+1

„>2г — „2г-1 + 2 ,

4+1 = ^-1 + 2Г+1 — в[-2,. , I € [2Г + 1,2Г+1 — 1].

Из последнего равенства -1 = 2Г+1 при I = 2Г+1 — 1 и §2+1 =3 ■ 2Г.

Поэтому

4+1 = 2й[ + -г-1 — 2Г, I € [1, 2Г — 1],

„г+1 = 3 2Г

„2г — 3 2 ,

5[Г1 = 3 ■ 2Г — 8[_2г , I € [2Г + 1, 2гГ1 — 1].

Полагая

4= *■г

получим ж0 = —2Г, ж1 = 0,

жГ = „Г — 2Г, (32)

ж[Г1 = 2жГ + ж^г-г-1, I € [1, 2Г — 1],

жГ+1 = 2Г,

ж[Г1 = — ж[-2,, I € [2Г + 1, 2ГГ1 — 1].

ж2++11-1 = —ж2г-1 = • • • = (—1)Г ж1 = 0-

Отсюда Пусть

уГ = ж2,-1 + ж21, 1 € [1, 2Г 1 — 1], г ^ 2. (33)

Из рекуррентных соотношений для набора {жГ} выводим рекуррентные соотношения для набора {у,Г}:

УГ+1 = 2уГ + у2г-1-г, I € [1,2Г-1 — 1],

у2+-11 = 0,

УГ+1 = —УГ-2Г-1, I € [2Г-1 + 1, 2Г — 1].

Так как у0 = 0, то по индукции

уГ = 0, I € [1, 2Г-1], г ^ 2. (34)

Таким образом, ж^ = — ж2г-1 для I € [1, 2Г-1 — 1]. Далее будем изучать свойства набора {г,Г = ж2г-1}, опираясь на равенство г^г-1 = ж2,-1 = 0 и рекуррентные соотношения

г[+1 = 2^[ — ^2г-1-г, 1 € [1,2Г 1 — 1],

гГ+1 = — 2Г г2г_1 2 ,

■г^1 = — 2[-2г-1 , I € [2Г-1 + 1, 2Г — 1].

Методом математической индукции докажем неравенства:

|гГ| < 2Г-1 = |4г-2 |, I € [1, 2Г-1 — 1], г ^ 2. (35)

Для г = 2, I = 1 г2 = —2 и (35) верно. Пусть (35) верно для всех ггга, п ^ г.

Если I € [2Г-1 + 1,2Г — 1], то |г2+111 = 2Г и по индуктивному предположению

Ю = |г,Г-2г-11 « |4-21 = 2Г-1 < 2Г = |г2+_\ |

и (35) верно.

Пусть I € [2Г-к-1, 2Г-к — 1], к € [1,г — 1]. Тогда согласно рекуррентным соотношениям

4+ = 2гГ — г-2,-,-, = 2(2гГ-1 — г^-,) + ^-Л-, = 22г,Г-1 — (2 — ^-Л-, =

= ... = 2kzr—k+1 - (2k—1 - 2k—2 + ... + (-1)k — 1)zr"k+1l =

= 2k z[—k+1 - 1 (2k + (-1)k — 1)zr-k+1l. (36)

Если l = 2r—k — 1, то согласно (36) и индуктивному предположению

К+Л-11 = (2k - 3(2k + (-1)k — ^ |zr-kt11 = 3(2k+1 + (-1)k)2^k <

1 / ~ k / _.\k__1\ \ i r__k—I— 1 i 1

, 31

1

^ (2r+1 + 2r—k) ^ 2r.

3

Если l € [2r—k — 1 + 1, 2r—k - 1], то согласно (36), рекуррентному соотношению и индуктивному предположению

Zlr+1 = 2k Zlr—k+1 - 1 (2k + (-1)k—1)zr-k+1l =

_ ok^r—k 1 fr,k,r I\k—1\ r—k+1

= -2 zl — 2r-fc —1 - 3(2 + (-1) )z2r-fc — l

11

|г[+1| < 2к ■ 2Г- к-1 +— (2к + (—1)к- 1)2Г- к = -(5 ■ 2Г -1 + (—1)к-12Г - к) < 2Г.

, 3 3

Неравенства (35) доказаны.

Согласно (32) — (35)

2Г-1 < в[ < 3 ■ 2Г-1, I € [1, 2Г — 1], г ^ 2.

При I ^ 2Г в[ = в^, _ 1. Свойство (Г) для последовательности РГ доказано.

3.3. Случай последовательности РГ(а), а ^ 3. Равенство (13) запишем в виде

Г -1 т, (а)

2r ГГ (1 - cos а^1 ж) = Е br cos lx,

k=0 l=0

где mr(а) = 1 + а + ... + а7-—1 = (а7- - 1)/(а - 1). Начальные условия bg = = 2, b1 = -2. Так же, как и при а = 2, выводим рекуррентные соотношения:

b0+1 = 2b0,

bk+1 = 2bk, k € [1,mr(а)],

bk+1 = -b^r—k, k € ^r - mr(а),аr - 1],

ba+1 = -260,

bk+1 = -bk—ar, k € [ar + 1^ + mr(а) = mr+1 (а)]. (37)

При k € [mr (а) + 1, ar - mr (а) - 1] полагаем bk+1 = 0 (при а = 3 этот отрезок отсутствует). Имеем b0+1 = -b^+1 = 2r+1.

Пусть в[ = — ^к=1 Ьк, „0 = 0. Тогда в1 = 2, „Г+1 = 2в[, I € [1,тГ(а)],

’I

„Г+1 = „т, (а)+„а, - ,-ъ 1 € [аГ—тГ(а),аГ —1],

„Г+1 = „Г + 2Г+1

„а^ = вт, (а) + 2 ,

„Г+1 = „т,(а) + 2Г+1 — „г"-а, , 1 € [аГ + 1,тГ+1(а)].

„т, (а)

При I € [тГ (а) + 1,аГ — тГ (а) — 1] полагаем „Г+1 = „т^). Имеем „т^^) =

= 2Г+1, „а+1 =3 ■ 2Г.

Методом математической индукции докажем неравенства:

2Г-1 < „Г < 3 ■ 2Г-1, I € [1,Шг(а)], г ^ 1. (38)

При г = 1 (38) верно. Пусть (38) верно для всех „Г.

Если I € [1,тГ(а)], то по рекуррентному соотношению и индуктивному предположению

2Г ^ V =-,

Если I € [тГ (а) + 1,аГ — тГ (а) — 1], то

2Г < „Г+1 = 2„Г < 3 • 2Г.

Если I € [аГ — тГ(а), аГ — 1], то

2Г <г „г+1 = „г + „г ^ о 2Г

2 ^ вг = вт, (а) + вaг - , -1 ^ 32

Если I € [аГ + 1, шГ+1(а)], то

2Г < 3 ■ 2Г — 3 ■ 2Г-1 < „Г+1 =3 ■ 2Г — в^ а, < 3 ■ 2Г — 2Г -1 < 3 ■ 2Г.

Неравенства (38) доказаны. При I ^ тГ(а) + 1 „Г = „т (а) и неравенства (38) также выполнены.

Свойство (Г) для последовательности РГ(а), а ^ 3 доказано. Теорема 3 также полностью доказана.

5. Доказательство теоремы 4

Для последовательностей N., РГ (а) при г € N а € N а ^ 2 проверим выполнение условия (/) (7).

4.1. Случай последовательности N.. Согласно (10)

го I -г, I 2г -1 _ , го ..

£ 1^ < £ ^ * (2г — !) £ 1 к (2г — 1) = |Ее „|.

1=2, ^;>0 1=2 1=2

Условие (I) выполнено.

4.2. Случай последовательности РГ = РГ(2). Установим некоторые свойства набора ак из раздела 3.2.

Лемма 1. Если г ^ 3, к € [1, г — 2], I € [0,2Г 1 к — 1], то

а2к(2,+1) = (—2) а2,+1.

Доказательство. Достаточно доказать равенство

а2, = (—2)а. -1, I € [1, 2Г -1 — 1], I = 2Г -2. (39)

При г = 3 (39) верно. Пусть (39) верно для всех а^,.

Если I € [1,2Г -1 — 1], то из рекуррентных соотношений (31) и

индуктивного предположения

2,

Если I € [2Г -1 + 1, 2Г — 1], то аналогично

аг+1 = аг = 2аг -1 = 2аг

а2, = —а2,_2r = = —2аг.

Равенство (39) и лемма 1 доказаны.

Лемма 2. Если г ^ 2, I € [0, 2г-2 — 1], то

а4,+1 + а4,+3 = °. (40)

Доказательство. Пусть у,Г = а4,+1 + а4,+3, I € [0,2г-2 — 1]. Согласно (31) для I € [0, 2г-2 — 1]

у[+1 = а4г+1 + а41+э = 2(а41+1 + а41+3) - (а2г — (41+1) + а2г-(41+3)) =

= 2у[ - ^Гг-2-1-1,

а для І є [22-2,22-1 - 1]

у[+1 = а4і+1 + а4++3 = а4г+1-2г — а4і+3-2г = —у[-2г-2 •

Итак, для последовательности у[ справедливы рекуррентные соотношения у[+1 = 2у[ — ^2г-2-1-гі 1 є [0,22 2 — 1],

»Г+‘ = -У-2Г-2, І є [22-2,22-1 - 1].

Отсюда и из начального условия уд = 0 вытекает (40). Лемма 2 доказана. Лемма 3. Если г ^ 2, І є [1, 22-1 — 1], то

Киї« і»; і = 3(22+МГ1) •

Доказательство. Пусть = »2г+;, І є [0,22 1 - 1]. Из (31) выводим рекуррентные соотношения

г[+; = 2^[ - ^2г-і-і-і, 1 є [0,22 1 - 1];

г[+; = -^[-2г-і, 1 є [22 1,22 - 1].

Так как = —2, = — ^Гг-1-1, то гГг-1-1 = 2(—1)Г, поэтому

20Г+1 = 2^0 — 22,-1^ = 2^0 + 2(—1)Г+1.

Отсюда

20 = 220-1 + 2(—1)Г = ... = 2г-120 + 2Г-1(—1)2 + 2Г-2(—1)3 + ... + 2(—1)Г =

Г-1 2

= 2( —1)Г £(—2)к = — - (2Г + ( — 1Г1) . (41)

к=0 3

Отметим, что последовательность 1201 возрастает.

Методом математической индукции докажем неравенства:

2

|2Г| < |201 = 3 (2Г + (—1)Г-1) , I € [1, 2Г-1 — 1], г ^ 2. (42)

Для г = 2, 3, 4 (42) проверяется непосредственными вычислениями. Пусть (42) верно для всех 2™, п ^ г.

Если I € [2Г-1, 2Г — 1], то по рекуррентному соотношению и индуктивному предположению

К+1| = 1 < |*51 < |20+1|

и (42) верно.

Пусть I € [2Г-к-1, 2Г-к — 1], к € [1, г — 1]. Можно считать к ^ г — 3, г ^ 5. Пользуясь рекуррентными соотношениями, аналогично (36) выводим

2Г+1 = 2к<-к+1 — 3(2к+(—^-^-‘г1!-, =

= — 2к<-к — 3 (2к + (-1)kл1)z2-k+_1l_1• (43)

Применяя индуктивное предположение, получим

12[+1| < 3 ^2к(2Г-к + (—1)Г-к+1) + 1(2к + (—1)к-1)(2Г-к+1 + (—1)Г-к^ =

2

= - (5 ■ 2Г + (—1)Г-к+12к+1 + (—1)к-12Г-к+1 + (—1)Г-1) . (43)

9

Если к = 1, то из (43)

2

| 2Г+1| < 3(2Г + 1 +( — 1)0 = 125+1|.

Пусть 2 ^ к ^ г — 3. Согласно (43)

2

* 1 9

Так как при г ^ 5

2к+1 + 2г-к+1 ^ тах(23 + 2Г-1, 24 + 2Г-2) = 23 + 2Г-1,

2

12,Г+1| < 2 (5 ■ 2Г + 2к+1 + 2Г-к+1 + 1) .

то

2 2 |г,Г+1| < 9 (5 ■ 2Г + 2Г-1 + 9) < 3 (2Г+1 — 1) < |20+1|.

Неравенства (42) и лемма 3 доказаны.

Проверим условие (I) для последовательности РГ = РГ(2). Известно [25],

что

го 1 1 / 2 \

§ (¥+1)2 = 2 [о + у) = 1,074833-■ ■ • <44>

где О = 0, 915965... — постоянная Каталана.

Согласно (41) для к € [0, г — 1], г ^ 2

2к|а1-к| = 2Г + (1)Г-к-12к < 2Г + 2к < 2|аЦ. (45)

Используя леммы 1, 2, 3, (44), (45), получим

| r, 2r—1 -1 | r i r-2 2r-k-1-1 |ar I

К1 ^ К1 , |a2/+1| , , 1 k(2/+1)1

2r-1 | r, , rl 2r—1 -1 I r i r-2 2r-k-1-1 |ar

Е|й/ | tto v—> |a2/+1 1 \^ \^

< ”9” + 2 (2/ -I-1)2 + + 2 X! (2k(2/ + 1))2

=2,a[>0 /=1, «2г+1 >0 k=1 /=0,a2fc(2;+1)>0 V V ''

<

I rl 2Г 2-1 lar I r-2 2r k 2-1 2^1 ar-k I

< |fl1| I |Ц4/+1| , , 2 |a4/+1| <

< + ^ (4/ + 1)2 + + ^ Z_> ."<

9 ' <4' + 1)2 Й ,=3 (2к<41 + 1»2

< 1а11 + ^ К| + + у22'--'- 2к |а;-к| <

"9 + ^ (4( + 1)2 ^ ^ (2к (41 + 1»2"

< О—,+(,*=£ а)!™) «<

< (— 9 + 6 (° + т)) |а1| < 0, 91|а1|.

Условие (/) выполнено.

4.3. Случай последовательности РГ(а), а ^ 3. Из рекуррентных соотношений (37) вытекает, что Ь1 = —2Г и |Ьк | < |ЬЦ при к ^ 1, поэтому

mr (a) . . mr (a)

£ ^ <"£ ® < |Ь1|£ 1 < |ЬГ|-

,=2,Ь[ >0 ,=2 ,=2

Условие (/) выполнено. Теорема 4 полностью доказана.

Список литературы

1. Rosier M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math. 2002. V. 1817. P. 93-135.

2. Rosier M. A positivity radial product formula or the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. V.355. P. 2413-2438.

3. Хуэ Ха Тхи Минь. О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах Ь2 со степенными весами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 114-123.

4. Барабошкина Н.А. Неравенство Джексона - Стечкина с неклассическим модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7. № 1. С. 62-66.

5. Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в L2 с обобщенным модулем непрерывности // Матем. сб. 2004. Т. 195. № 8. С. 3-46.

6. Барабошкина Н.А. Неклассические модули непрерывности и минимальные константы Джексона - Стечкина // Современные проблемы теории функций и их приложения: тез. докл. 11-ой Саратовской зимней школы, посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова (Саратов 28 января — 4 февраля 2002 г.). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002.

7. Иванов А.В., Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Изв. ТулГУ. Естеств. науки. 2013. Вып. 3. С. 74-90.

8. Иванов В.И., Хуэ Ха Тхи Минь. Обобщенное неравенство Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 109-118.

9. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в L2(RN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 4. С. 93-99.

10. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 71-74.

11. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. intern. conf., Gdansk. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25-43.

12. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и LPia(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 4. Вып. 1. С. 44-70.

13. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68. № 2. С. 179-187.

14. Бердышева Е.Е. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 3. С. 336-350.

15. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26-44.

16. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29-58.

17. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 338-348.

18. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Матем. заметки. 1967. Т. 2. № 5. С. 513-522.

19. Васильев С.Н. Неравенство Джексона - Стечкина в L2[-п,п] // Труды ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7. № 1. С. 75—84.

20. Горбачев Д.В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном Ь2-неравенстве Джексона - Стечкина // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 83-91.

21. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальный аргумент в обобщенном неравенстве Джексона в пространстве Ь2(М^) с весом Данкля и задача Логана для целых функций // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. С. 22-36.

22. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1970. 672 с.

23. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве Ь2(Мт) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 183-198.

24. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.

25. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

Хуэ Ха Тхи Минь ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Generalized Jackson — Stechkin inequality in the space L2

with Dunkl weight

Ha Thi Min Hue

Abstract. Sharp Jackson - Stechkin inequality in the space L2 with Dunkl weight and with effective argument in generalized module of continuity is proved. In non weighted case this inequality was established be D.V. Gorbachev. The module of continuity is defined by convolution sequence |vs}seZ, for which (r) condition: X]fc=i Re ^ 0, l € N is fulfilled. (r) condition for Thue - Morse

sequence is proved.

Keywords: Dunkl weight, Dunkl transform, entire functions of exponential type, best approximation, module of continuity, Jackson - Stechkin inequality, Thue - Morse sequence.

Hue Ha Thi Min ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.12.2013