CC BY
39
(i < r < n - i) with values in the space of homogeneous tensors on (M g) (see Zbl 0484.53039). If we denote by D* the operator formally adjoint to the third basis operator D then the second order operator D*D: Qr (M) ^
^ nr (M) is elliptic (see also Zbl 1239.53058).
УДК 512.64
А. Я. Султанов1, И. А. Гарькина2
1 Пензенский государственный университет 2Пензенский государственный университет архитектуры и строительства [email protected]; [email protected]
Неприводимые четырехмерные алгебры с единицей, получаемые методом Кэли — Диксона
Найдены все четырехмерные неприводимые ассоциативные алгебры с единицей над полем действительных чисел, которые можно получить методом Кэли — Диксона удвоения действительных двумерных алгебр с единицей.
Ключевые слова: линейные алгебры, неприводимые алгебры, ассоциативные алгебры, алгебры с единицей, процесс Кэли — Диксона удвоения алгебр.
В 1908 году Э. Штуди и Э. Картан опубликовали обзорную статью [1], в которой они в частности привели классификацию всех четырехмерных неприводимых ассоциативных алгебр с единицей над полем Я действительных чисел. Приведем эту классификацию по книге [2]. Алгебры эти обозначим символами А4т {т = 1,2,...), а базисные элементы этих алгебр символами е0,е1,е2,е3, причем е0 во всех случаях является символом
© Султанов А. Я., Гарькина И. А., 2015 144
единицы алгебры. Поскольку е0ек = еке0 = ек (к = 0,1, 2, 3), то эти соотношения в таблице указывать не будем. Представим лишь произведения е¡е,- (¡,- ^ 0).
е12 е2 е32 е1е2 е2е1 е1е3 е3е1 е2е3 е3е2 Примечание
А4,1 е2 0 0 е3 е3 0 0 0 0
А4,2 ео 0 0 е2 - е 2 е3 е3 0 0
А4,3 е3 Ле3 0 е3 - е 3 е3 е3 е3 е3 Л — постоянная
А4,4 е3 е3 0 0 0 0 0 0 0
А4,5 е3 " е3 0 0 0 0 0 0 0
А4,6 е2 0 0 0 0 0 0 0 0
А4,7 " ео " ео - ео е3 - е3 - е2 е2 е1 - е1
А 4,8 ео ео " ео е3 - е3 е2 - е2 - е1 е1
А4,9 ео 0 0 е3 - е3 - е2 е2 0 0
А4,10 ео 0 0 е3 - е3 е2 - е2 0 0
А4,11 0 0 0 е3 - е3 0 0 0 0
А4,12 ео 0 0 е2 - е3 е3 - е3 0 0
А4,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0
В настоящей работе перечислим все четырехмерные неприводимые ассоциативные алгебры с единицей, которые получим методом удвоения Кэли — Диксона.
1. Метод удвоения Кэли — Диксона
Пусть Р — некоторое поле, и А — конечномерная линейная алгебра над этим полем. Линейность алгебры означает, что операция умножения в ней линейна по каждому аргументу, то есть выполняются тождества
{аа + /Ь)с = а{ас) + /3{Ье), с{аа + /Ь) = а{еа) + /{сЬ)
для а,/еР;а,Ь е А.
Предположим, что выбрана инволюция алгебры А, то есть линейное отображение р: А ^ А , удовлетворяющее условиям
р{аЬ) = р{Ь)р{а) и р2 {а) = а
для любых элементов а, Ь е А . Кроме того, зафиксируем произвольный скаляр а е Р . На прямом произведении А х А , которое стандартным образом снабдим структурой векторного пространства над полем Р , зададим операцию умножения формулой
{а1, а2 ){а3, а4 ) = {а1а3 +аа4а2,01 а4 + а3а2), (1)
где а2 = р{а2), а1 = р{а1). Элемент а = р{а) называется сопряженным элементом для элемента а относительно инволюции р. Операция умножения на А х А, определенная по формуле (1), служит линейной по каждому аргументу, следовательно, векторное пространство А х А, снабженное этой операцией умножения, является линейной алгеброй над полем Р. Обозначим эту алгебру как набор {А,р,а). Элемент {1,0) этой алгебры — ее единица. Множество А' = {(а, 0) а е а} выступает подалгеброй алгебры {А,р,а), изоморфной алгебре А . Алгебра {А,р,а) называется удвоением алгебры А, полученным процессом Кэли — Диксона [3]. Элемент {0,1) = у обладает следующим свойством: у2 =уу = а {1,0). По формуле (1) находим, что у{а,0) = {0, а) для любого элемента а е А . В силу этого каждый элемент {а,Ь) алгебры {А,р,а) можно представить как
{а, Ь) = {а,0) + у{0, Ь).
Отождествим (а,0) алгебры (А,р,о) с элементом а алгебры А. Тогда предыдущее равенство можно представить следующим образом:
(а,Ь) = а + уЬ .
По формуле (1) получим тождествоак = ка (здесь а отождествили с парой (а,0), а а = р(а)).
Отметим некоторые свойства алгебры (А,р,о).
1°. Если размерность алгебры А равна п, то размерность алгебры (А,р,о) равна 2п .
2 . Если инволюция р является тождественной и алгебра А — коммутативна, то алгебра (А,р,о) является коммутативной.
3 . Если алгебра А — коммутативна и ассоциативна, то алгебра (А,р,о) ассоциативна.
4 . Если инволюция р не является тождественной, то алгебра (А,р,о) некоммутативна.
5 . Если алгебра А некоммутативна, то алгебра (А,р,о) неассоциативна.
6 . Алгебра (А,р,о) = В обладает двумя инволюциями: тождественной инволюцией в = гйА и инволюцией в , определенной условием в (а + ) = а -уЬ .
7 . Пусть алгебра А задана над полем Я действительных чисел. Тогда имеют место изоморфизмы:
(а) (А, р,о) = (А, р,1), если о > 0;
(б) (А,р,о) = (А,р,-1), если о< 0.
В заключении этого раздела заметим, что если алгебра конечной размерности коммутативна, обладает единицей и содержит нетривиальный идемпотент, то эта алгебра является приводимой.
2. Четырехмерные вещественные линейные алгебры
с единицей, получаемые процессом Кэли — Диксона
В этом разделе мы считаем, что полем Р стало поле действительных чисел.
Каждая четырехмерная алгебра с единицей, полученная процессом Кэли — Диксона, возникает из двумерной алгебры с единицей. Всякая вещественная двумерная алгебра с единицей изоморфна одной из следующих алгебр Я(г) = {а + Ьт\ а,Ь е Я,
г2 = /, где /и = -1,0,1 [3; 4]. Алгебра Я (г) получается удвоением алгебры действительных чисел: Я (т)=(Я,в,/). Эти алгебры коммутативны и ассоциативны, поэтому их удвоения будут ассоциативны. При г2 = 0 алгебра Я (г) называется алгеброй дуальных чисел и обозначается Я (г), при г2 = 1 алгебра Я (г) обозначается Я(е) и называется алгеброй двойных чисел; при г2 = -1 алгебра Я (г) обозначается Я (/) и является алгеброй комплексных чисел. Каждая из перечисленных алгебр Я (г) обладает только двумя инволюциями: в и в .
В силу этого и свойства 7° при перечислении вещественных четырехмерных алгебр с единицей, получаемых методом Кэли — Диксона, возникает ряд случаев.
Случай 1. Алгебры (Я(г),в,0) = В4/, / = г2. Элементы
этой алгебры представляются в виде а + уЬ , где а, Ь е Я (г), а у = (0,1) и у2 = 0 . Операция умножения определяется формулой (а + уЬ)(с + уё) = ас + у(аё + Ьс).
Элементы е0 = 1, е1 = г, е2 = у, е3 = уг составляют базис алгебры В4 . В зависимости от значения / возникают следующие подслучаи.
1.1. г = 0 . Тогда алгебра В4 0 задается следующими соотношениями:
2 2 2
е1 — е2 — е3 — 0, е^е2 — е2е^ — е3, е^е3 — е3е^ — 0, е^е3 — е3е2 — 0 . Алгебра В4 0 изоморфна алгебре А4 5, приведенной в таблице. Действительно, перейдем в алгебре В40 к новому базису е0,е1,е2,£3 по формулам
£0 = е0,£1 = {е1 + е2 ),£2 = {е1 _ е2 ),£3 = е3 .
Тогда получим, что е0 — единица алгебры В4 0,
— 53, ¿>2 — 5 — 0, &1&2 — — 0,
ехеъ — ¿3^1 — 0, ¿2^3 — ¿3^2 — 0 .
1.2. г2 = 1. В этом случае базисные элементы алгебры В41 удовлетворяют соотношениям
е1 — е0, е2 — е3 — 0, е1е2 — е2е1 — е3, е1е3 — е3е1 — е2, е 3 — е2 — 0 . Элемент е = 2 {е0 + е1) — нетривиальный идемпотент этой
алгебры: е2 = — {е{ + 2е0е1 + е12)= {е0 + е1) = е . Следовательно,
алгебра В41 — приводимая алгебра. Ее можно представить в виде прямой суммы двух отличных от нуля идеалов.
1.3. г2 = —1. Базисные элементы алгебры В4—1 удовлетворяют следующим соотношениям:
е12 = е2 = е3 = 0 е1е2 = е2е1 = e3, е1е3 = е3е1 = —e2, е2е3 = е3е2 = 0 .
Эти соотношения определяют операцию умножения алгебры А4,14 .
Случай 2. Алгебры (Я(г), в,1). Операция умножения в этих алгебрах коммутативна и определяется равенством
(а + уЬ\с + уё ) = (ас + Ьё ) + у(аё + Ьс), у2 = 1.
Базис этих алгебр составляют элементы ео = 1, е1 = г,
е2 =у, е3 = уг (г2 = 0,±1), элемент е0 — единица алгебры, а
е^ = у2 = 1. Поэтому элемент е = -2- (е0 + е2) является нетривиальным идемпотентом. Следовательно, все рассматриваемые алгебры — приводимые.
Случай 3. Алгебры (Я(г), 9,-1) = С4/. Эти алгебры коммутативны. Если / = 0, то есть г2 = 0, то алгебра С4 о оказывается изоморфной алгебре А414 . При / = г2 = 1 получаем алгебру
С41. Элемент е = (е0 + е1) является нетривиальным идемпо-тентом алгебры С4,1. Соответственно, алгебра С4,1 — приводима.
Если / = -1, то элемент е = 2 (е0 + е3) будет нетривиальным идемпотентом алгебры С4 _1. Значит, она будет приводимой.
Случай 4. Алгебры (я(г),в,о)= Б4/, / = г2. Операция умножения в Б4 определяется равенством
(а + уЬ)(с + уё) = ас + у(аё + сЬ), у2 = 0 . Если / = 0, то алгебра Б4 0 изоморфна алгебре А411. Если / = 1, то получаем алгебру Б41, которая оказывается изоморфной алгебре А410.
При / = -1 приходим к алгебре В4-1, которая изоморфна алгебре А4 9. Эта алгебра является алгеброй полукватернионов Э. Штуди.
Случай 5. Алгебры (я(г),0,1)=Е4/ . Операция умножения в них определяется условием
(а + уЪ\с + К) = (ас + ёЪ )+ к(аё + сЪ),
где а, Ъ, с, d е Я (г), а к2 = 1.
При и = 0 приходим к алгебре Е4 0, которая изоморфна алгебре А410.
Если и = 1, то алгебра Е41 является изоморфной алгебре
А4,8 .
При / = -1 получаем алгебру Е4-1, которая также изоморфна алгебре А4,8 .
Случай 6. Алгебры (я(г),0,-1)= Б4и. Эти алгебры ассоциативны, и операция умножения в них определяется условием (а + кЪ)(с + К) = (ас - ёЪ )+ к(аё + сЪ), к2 = -1.
Если и = 0, то, выбрав в алгебре Б4 0 подходящий базис, мы получим, что алгебра Б4 0 изоморфна алгебре А4 9.
При и = 1 получим, что алгебра Б4 ] изоморфна алгебре
А4,8 .
Если и = -1, то получаем, что алгебра Б4 -1 изоморфна алгебре А4 7 и является алгеброй вещественных кватернионов Гамильтона.
Полученные результаты позволяют сформулировать следующие две теоремы.
Теорема 1.
(1) В классификации Штуди — Картана четырехмерных вещественных ассоциативных алгебр с единицей только семь алгебр могут быть получены процессом удвоения Кэли — Диксона.
(2) Имеют место следующие изоморфизмы:
А4,5 = (r (s), 0,0);
А47 = (Rr ),0 ,-i) ;
А48 = (r (e),0,i)= (r (e),^,-i)= (R (e), #,l) ;
А49 = (R (i ), 0,0) = (r (s),0 ,-i);
А410 = (r (e), 0,o) = (r (s),0,i);
А 4,ii = (R (s\e,0);
А4Д4 = ( (i ),0,0) = (r(s),0,-1).
Теорема 2. Алгебры (R(e),0,O), (R(r),0,i) (r2 = 0,±i),
((e),0,-i), ((i),0,-i), полученные процессом удвоения Кэли — Диксона, являются приводимыми.
Замечание. Алгебра А4 5 изоморфна тензорному произведению R (s) ® R (s) двух экземпляров алгебры дуальных чисел и является алгеброй А. Вейля высоты 2 и ширины 2. В приведенной классификации есть еще четыре алгебры А. Вейля: алгебры А41, А4 4, А4 6, А4 13 . Алгебры Вейля лежат в основе построения и изучения расслоений А. Вейля [5—iO].
Список литературы
1. Stude E., Cartan E. Nombres complexes // Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliqués. 190s. T. i, vol. i. P. 329—468.
2. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань, i985.
3. Жевлаков К. А. Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативности. М., i978.
4. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М., i962.
5. Weil A. Theories des points sur les varietetes differentiables // Co-loq. Internat. Centre nat. rech. sci. Vol. 52. Strasbourg, i953. P. iii—ii7.
6. Morimoto A. Prolongation of connections to tangent bundles of near points // J. Different. Geom. i976. Vol. ii (4). P. 479—498.
7. Шурыгин В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и многообразия Вейля // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 73 : Современная математика и ее применения. Тематические обзоры. М., 2002. С. 162—236.
8. Kolar I. Affine structures on Weil bundles // Nagoya Math. J. 2000. Vol. 158. P. 99—106.
9. Султанов А. Я., Мошин А. К. О сумме Уитни расслоений Вейля // Труды институты системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. М., 2007. Т. 31(1). С. 215—223.
10. Султанов А. Я. Гомоморфные аффинные векторные поля на расслоениях Вейля // Математические заметки. М., 2012. № 91(6). С. 896—899.
A. Sultanov, I. Garkina
Irreducible four dimensional algebras with identity obtained by the Cayley — Dickson doubling
We obtain all the irreducible four dimensional associative algebras with identity over the field of real numbers, which can be obtained by the Cayley — Dickson doubling of real two dimensional algebras with identity.
УДК 514.76
Г. А. Султанова
Пензенский государственный университет [email protected]
О группах движений в касательных расслоениях со связностью полного лифта над двумерными максимально подвижными пространствами аффинной связности
Исследуются группы движений в касательных расслоениях со связностью полного лифта в случае, когда база расслоения является максимально подвижным пространством аффинной связности.
© Султанова Г. А., 2015
