Быстрые алгоритмы дискретных косинусных преобразований коротких длин с минимальной вычислительной сложностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.395.4, 621.372.542

БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНЫХ КОСИНУСНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КОРОТКИХ ДЛИН С МИНИМАЛЬНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТЬЮ

© 1999 В. М. Чернов, М. А. Чичева

Институт систем обработки изображений РАН, г. Самара

В работе рассматриваются быстрые алгоритмы дискретного косинусного преобразования (ДКП) коротких длин с минимальной вычислительной сложностью. Снижение вычислительной сложности достигается за счет применения нового подхода к синтезу алгоритмов ДКП коротких длин, связанного с интерпретацией вычисления ДКП как операций в ассоциированных алгебраических структурах. Исследуется применение разработанных алгоритмов в методе блочного кодирования изображений.

Введение

Дискретное косинусное преобразование (ДКП)1:

pm і

N-1

Cx (m) = Х m I x(n)cos

n=0 v

(m = 0, ’”, N-l)

где

(2n +1)'

2N

(1)

N-1

Cx (m) = X m I x(n)cos

n=0

V

pm(2n +1) 2N

J

специфики «коротких» длин: относительно небольшого числа различных значений базисных функций, высоких требований к структурной простоте, которая при небольшой длине преобразования является определяющей характеристикой быстродействия и т.д.

Например, в [1] предлагается метод сведения ДКП к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ) вещественной последовательности двойной длины:

- нормировочные коэффициенты [1], широко используется в обработке изображений. В частности, ДКП длины N=8 является основой целого ряда современных стандартов кодирования (JPEG, MPEG, ITU-T [2, 3]). Однако метод блочного кодирования с преобразованием (на котором базируются перечисленные стандарты) не в полной мере учитывает особенности конкретного изображения. Попытки построения адаптивных алгоритмов кодирования на основе ДКП [4, 5, 6, 7] связаны, обычно, с резким увеличением вычислительной сложности ДКП при возрастании длины преобразования. Это связано с тем, что быстрые алгоритмы (БА) ДКП при N>8 изучены в значительно меньшей степени, чем ДКП длины 8, которому посвящено множество работ [1, 2, 8, 9, 10].

Большинство из известных БА ДКП, синтезированных для преобразований произвольных длин обладают относительно низкой асимптотической арифметической сложностью, но не учитывают реализационной

k=0

(2)

где

y( k) =

c( k)

при 0 < k < N - 1

[х( 2 N - к - 1) при N < к < 2 N - 1'

Вычисление преобразования (2) для N=8 и при использовании одного из лучших БА ДПФ (сплит-радикс алгоритма вещественного ДПФ [11]) длины 16 требует согласно оценкам работы [12] 34 операции вещественного умножения и 56 операций вещественного сложения, в то время как специфический алгоритм работы [8] требует всего 12 умножений и 29 сложений. Алгоритмы косинусного преобразования «нестандартных» длин

N ф 2к [13, 14] также не ориентированы на работу с «короткими» ДКП.

Целью настоящей работы является разработка алгоритмической поддержки новых систем адаптивного блочного кодирования в виде высокоскоростных БА ДКП для обработки двумерных массивов малых объемов (ис-

пользование блоков NxN при 8 <N<16). Снижение вычислительной сложности БА ДКП (а, следовательно, и времени сжатия/восстановления изображения) достигается с помощью нового подхода к синтезу таких алгоритмов. Принципы такого подхода, связанного с интерпретацией вычисления ДКП как операций в ассоциированных алгебраических структурах (конечномерных алгебрах) были описаны в [15] (см. также [16, 17]). В настоящей статье на основе методики работы [15] авторы синтезируют алгоритмы ДКП с не-улучшаемыми оценками вычислительной сложности.

1. Алгебраические принципы синтеза БА ДКП коротких длин

Рассматриваемый метод синтеза быстрых алгоритмов дискретного косинусного преобразования базируется на следующих алгебраических идеях.

1. Матрица ДКП имеет блочную структуру. Результат умножения такой матрицы на входной вектор сводится к умножению векторов из подпространств сигнального пространства на матрицы меньших размеров со специфическими свойствами «симметрии».

2. Умножение этих подматриц на векторы соответствующих подпространств эквивалентно умножениям элементов некоторых конечномерных алгебр.

3. В большинстве (но не во всех) рассматриваемых случаев эти алгебры являются групповыми алгебрами циклических групп или их фактор-алгебрами. Умножение элементов таких алгебр эквивалентно умножению в полиномиальныгх кольцах (или циклической свертке). Это позволяет воспользоваться известными быстрыми алгоритмами циклических сверток с минимальным числом умножений.

2. Конечномерные алгебры, ассоциированные с БА ДКП

В работе рассматриваются ^-мерные алгебры А над Я с базисом {і, Єї еа-і} .

Типичный элемент а є А записывается в виде

а-і

а = ад • 1 + ^а jе і і=1

Сложение элементов выполняется покомпонентно, а умножение индуцируется заданными правилами умножения базисных элементов и определяет структуру алгебры на

векторном пространстве Р а .

В работе рассматриваются следующие конечномерные алгебры.

1. Двумерная алгебра АІ2 с базисом

{і, Єї} и правилами умножения базисных элементов:

12 = 1 , е? =-1 .

(Алгебра С комплексных чисел).

2. Двумерная алгебра А22 с базисом

{і, Єї} и правилами умножения базисных элементов:

1? = 1 , е? = 1 .

(Алгебра «двойных» чисел [18, 19], изоморфная прямой сумме Р © Р .)

3. Трехмерная алгебра А(с базисом

{і, Є1, е?} и правилами умножения базисных элементов:

е? = е2 , е? =-е1 , Є1Є? = е?е1 =-1 .

4. Четырехмерная алгебра А^ с базисом {і, Є1, е?, ез} и правилами умножения базисных элементов:

е2 = -е2 , е| =-1 , е2 = е2 , е1е2 = е2е1 = е3 ,

е2е3 = е3е2 =-е1, е1е3 = е3е1 =1.

5. Четырехмерная алгебра А24 с базисом {і, Є1, е?, ез} и правилами умножения базисных элементов:

е? = е2 , е2 = 1 , е| = е2 , е1е2 = е2е1 = е3, е2е3 = е3е2 = е1, е1е3 = е3е1 =1.

6. Четырехмерная алгебра АІ4^ с бази- ме С©С:

сом {і, Є1, е?, Є3} и правилами умножения базисных элементов:

е2 = -1 , е| = 1 , е| = -1,

с © с=

е1е2 = е2е1 = е3, е2е3 = е3е2 = е1,

е1е3 = е3е1 = е2 .

Утверждение 1

а) Умножение элементов

(а0 +а1е1) , (ро + р1е1) е А|2) равносильно умножению полиномов

(а0 + а1^)(ро + р^) (тоё^2 +1]] и требует 3 умножений и 3 сложений [20].

б) Умножение элементов

(а0 +а1е1) , (ро +р1е1) е А22)

равносильно умножению полиномов

(а0 +а1^)(р0 + р1?)(тоё(Г2 -1)) и требует 2 умножений и 4 сложений [20].

в) Умножение элементов

А (3)

(а0 + а1е1 + а2е2),(р0 + р1е1 + р2е2 )е А равносильно умножению полиномов

(а о +а^+а 2?2 )(Зо +Р1^+Р2^2 )(тоё(^3 +1)) и требует 4 умножений и 14 сложений [20].

г) Умножение элементов

(а0 + а^1 + а2е2 + а3е3) ,

(р0 + р1е1 + р2е2 + р3е3 ) е А14) равносильно умножению полиномов

(ао + а^-а2?2 -а3Г3)(ро + р^-р2Г2 -Рэг3)(mod(г4 +1)) и требует 9 умножений и 15 сложений [20].

д) Умножение элементов

(а0 + а^1 + а2е2 + азе3) ,

(р0 +р1е1 +р2е2 +р3е3 ) е А(24) равносильно умножению полиномов

(а о +а^+а 2?2 +а 3?3 )(ро +р^+р2?2 +р3?3 )(mod(f4 -1)) и требует 5 умножений и 15 сложений [20].

Утверждение 2

Алгебра А34^ изоморфна прямой сум-

( 21, 22 ) • 21 = а1 + ЪЛ,

22 = а2 + Ъ2^2, А = *2 = -1

а1,а2,Ъ1,Ь2 є Я

(3)

Доказательство

Элементы

Е0 = (1Д) , Е1 = (/1,-/?) , Е? = (-1,1) ,

Е3 = (/1, /?) є X©

образуют базис алгебры X© X над Я. Отображение фф, определенное для базисных

элементов алгебр АЗ4^ и X© X как ф: Є1 а (/1,-/?), ф: е? а (-1,1),

Ф: ез а (/ь і?), ф: 1 а (1,1)

продолжается Я -линейно до изоморфизма соответствующих четырехмерных пространств и сохраняет равенства (3).

Линейный оператор Ь, определенный на

пространстве алгебры X© X образами базисных элементов

і(Ео) = ? (Ео - Е?) , і(Е1) = 1 (Е1 + Ез),

і(Е?) = ? (Ео + Е?) , і(Ез) = ? (Ез - Е1),

преобразует базис {Ед, Е1, Е?, Ез } в «стандартный» базис {а0, С1, а2, 03 } алгебры X© X , рассматриваемой как четырехмерная Я-алгебра:

а0 = Фо) = (1 + 0 • i1, 0 + 0 •/?) ,

а1 = Х(Е1) = (0 + /1,0 + 0 • /?) , а? = £(е? ) = (0 + 0 • /1, 1 + 0 •/?), аз = Фз) = (0 + 0 • /1,0 +/?) .

Следствие 1

Умножение постоянного элемента а = а0 +а^1 +а?е? +азЄз на вектор

Ь = р0 + Р1Є1 + р?е? + рзез алгебры А34 ^ требует 6 вещественных умножений и 10 ве-

щественных сложении.

Доказательство

Сложность рассматриваемого умножения складывается из умножения двух пар комплексных чисел (элементов алгебры X© X

в базисе {а0, а2, аз} ) и сложности пре-

образования элементов при замене базиса (е0, Еь Е2, Ез} на базис {а0, а1? а2, а3} . Для умножения двух пар комплексных чисел достаточно 3+3 умножении и 3+3 сложении [20]. Для преобразования элементов переменного вектора достаточно 4 сложении.

3. Базовый пример: ДКП длины 8

В ненормализованной матричноИ форме ДКП (1) принимает вид X = Ех , где

a = cos

Xt = (X (0),K, X(7)) xt = (x(0),...x(7)),

T=

IІ І І І І І І І

g - g g - g g - g g - g

f - Є - f Є f - Є - f Є

Є f - Є - f Є f - Є - f

a c - d - ъ - a - c d ъ

c d - ъ a - c - d ъ - a

d ъ a c - d - ъ - a - c

к ъ - a c d - ъ a - c - dJ

HJ і I Зр) ъ = cosl — I ’ К Іб J Г Зр1 c = cosl — I ’ К Іб J

7 p! Іб J I б p) Є = cosl I ’ К Іб J f 12 p f = cosl — ’ К Іб

4 p)

Іб J

g = cos

Формирование из компонент вектора y вспомогательного массива:

z(4) = j(°)- j(4) > z(З) = У(І)- У(З) >

z(6)=У(2)- -У(б) ’ z(7)=-У(З)- у(7) ’

z(2)=(y(0)+y(4))- (У(2)+У(б)) •

z(3)=(у(і)+У(З))- (ЯЗ)+У(7)) >

z (б) = [(у (0)+у(4))+(у (2)+у (б))] -

- [(у(1)+у (5))+(у(з)+у(7))]

Е - матрица ДКП, £ - знак транспонирования.

После переупорядочивания компонент входного и выходного векторов

¥' = (У (о),..., У (7)) =

= (X (1) X (5) X (7), X (з), X (2), X (б), X (4), X (о)) у ‘ = (у у(7)) =

= (х(0), х (2), х(4), х(б), х(7), х (5), х(з), х(1))

матричное представление ДКП может быть записано в форме У=Ту, где

(4)

1 (7) =[(у(о)+у(4)) +(у(2)+у(б))]+

+ [(у (1) + у(5)) + (у (3) + у (7))]

требует 14 операции вещественного сложения. После этого выполнение косинусного преобразования сводится к следующим матричным вычислениям:

' Y(4)Л Л a c - d - ъ 4)!

Y(З) c d - ъ a z(4

Y(б) d ъ a c z(б)

Y(7)J К ъ - a c dJ z( 7)J

(З)

Y( 2) Y(З)

Є

f-

f

z

Кz

(2)'

(З)

Y( 0)=z( 0), Y(І)=gz(1)

(б)

(7)

Утверждение 3

а) Вычисление матричного произведения (5) эквивалентно вычислению произведения

элементов Б

P є A14) :

АХ = (а^! + Ь + у^2 +6^3 )(х + уву + 2^2 + ^^3 )

и, в соответствии с утверждением 1(г), требует 9 операций вещественного умножения и 15 операций вещественного сложения.

б) Вычисление матричного произведения (6) эквивалентно вычислению произведения

элементов q, г е А?) :

Чг = (/ + 1е1)(г (4) + ф)е1) и, в соответствии с утверждением 1(а) требует 3 операций вещественного умножения и 3 операций вещественного сложения.

в) Вычисление по формуле (7) требует одной операции вещественного умножения.

Суммарная сложность алгоритма ДКП длины 8 с учетом формирования вспомогательных переменных 20,..., 27 составляет

9+3+1=13 операций умножения и 14+15+3=32 операции сложения.

Замечание 1

Структура рассмотренного алгоритма не зависит от конкретных значений параметров а, Ь, ..., g. Пусть

g'=в-=С'=1, /'=/,/,

а' = а/с , Я' = й/с , Ь' = ъ/с .

Тогда умножение в (7) становится тривиальным, в матричном произведении (6) остается два умножения. Вычисление правой части соотношения (5) требует 8 операций умножения. А умножения на g, в, с объединяются с нормализацией компонент косинусного спектра (с умножениями на

1 ) в (1).

т ' 4 '

Таким образом, предложенный алгоритм ДКП длины 8 требует 2+8=10 операций умножения и 32 операции сложения.

4. Алгоритмы ДКП длины 9, 10, 12, 15

После перестановки ряда строк и столбцов матрицы ДКП длины 9, 10, принимают вид

T9 =

Ґ a c c - d d a d a -c -d -c --a d -c - a - a c d b -b -b -b b b 0" 0 0

e - -g -g - f e h h -1

g - e f f - e g - h -h 1

f g -e eg f -h -h 1

b - -b b b - b 0 0 0

h h h h h h -1 -1 -1

V1 1 1 1 1 1 1 1 J

a b c d - d - c - - a q - q 1

b d - a - c c a - d - b - q q

c - a d - b b - d a - c q - q

d - c - b a - a b c - d q - q

e f - f - e - e - f f e 0 0

f - e e f - f e - f 0 0

g - h - h g g - h - h g -1 -1

h - g - g h h - g - g h 1 1

q - q q q - q - q q - q - q q

1 1 1 1 1 1 1 1 1J

Утверждение 4

Матричные умножения

a c

c - d

d a

d Y z (o)

a

a - c

(і)

(2)

e

g

f

- f - g - e f g - e

V z (5) (б) (71

JV

эквивалентны умножению элементов алгебры A(3) :

(- ae2 - cei + d)(z(0)ei + z(l)e2 + z(2))

и

^./e2 - ge1 - e)(z(6)e2 - z(5)e1 + z(7)) соответственно и требуют согласно утверждению 1 (в) 4 вещественных умножений и 14 вещественных сложений каждое.

Следствие 2

ДКП длины 9 посредством умножения на матрицу T9 выполняется за 8 умножений и 44 сложения (то есть требует менее одного умножения и около пяти сложений на отсчет).

Утверждение 5

а) Матричное умножение

Л

Ту =

а

Р

Р 8

у -а 8 -у

у 8 -а -у 8 -Р -Р ау

У

z

V ну

(ах + Ру + уг + 8^л Рх + 8у -аг - уи7 ух - ау + 8г - Р^ V8x - уу - Рг + а^У

эквивалентно вычислению произведения элементов алгебры АІ4^

АХ = (Ов2 + ^ - ув3 + 8)^X6! + у^2 - 2 + п>в3 ).

и требует согласно утверждению 1 (д) 5 вещественных умножений и 15 вещественных сложений.

б) Вычисление матричного произведения

Vг (4)

■(5).

&

Н - g

- Н V г(б)

ния элементов

ством умножения на матрицу выпол-

няется за 9 умножений и 43 сложения.

Аналогичные утверждения справедливы для N=12, 15.

Утверждение 6. Умножение матрицы ДКП длины 12 на входной вектор эквивалентно

а) умножению переменного элемента ал-

на постоянный элемент этой же

эквивалентно вычислению произведения элементов алгебры А|2^ :

АХ=(ае1 +Р+у^2 +8ез)(х + уе1 + ге2 +

и, в соответствии с утверждением 1(а) требует 3 операций вещественного умножения и 3 операций вещественного сложения.

в) Вычисление матричного произведения

эквивалентно вычислению произведе-алгебры А22) :

АХ=(а^1 +Р+у^2 +8^з + уву + 2вг +

и, в соответствии с утверждением 1(б) требует 2 операций вещественного умножения и 4 операций вещественного сложения.

Следствие 3. ДКП длины 10 посред-

алгебры;

б) умножению переменного элемента алгебры А12) на постоянный элемент этой же алгебры;

в) умножению переменного элемента алгебры А(2 ^ на постоянный элемент этой

же алгебры;

г) дополнительным умножениям констант на переменные и вспомогательным сложениям.

Следствие 4. ДКП длины 12 посредством умножения на матрицу Т12 выполняется за 13 умножений и 55 сложений.

Утверждение 7. Умножение матрицы ДКП длины 15 на входной вектор эквивалентно

а) двум умножениям переменного элемента алгебры А24 на постоянный элемент

этой же алгебры;

б) умножению переменного элемента алгебры А12) на постоянный элемент этой же алгебры;

Таблица 1. Количество операций, необходимых для вычисления ДКП

N Предложенные алгоритмы Алгоритм работы [21]

* + * +

8 10 32 12 29

9 8 44 11 44

10 9 43 15 36

12 13 51 20 43

15 21 82 35 89

M(N)/N щ Предложенные алгоритмы □ Известные алгоритмы

10

12

15 N

Рис. 1. Удельная мультипликативная сложность алгоритмов

t /t N

2

8

8

10

11

12 1З

14

N

Рис. 2. Относительное время обработки изображения 1024ГГ1024 пиксела блочным ДКП

в) умножению переменного элемента алгебры А(,2) на постоянный элемент этой

же алгебры;

г) дополнительным умножениям констант на переменные и вспомогательным сложениям.

Следствие 5. ДКП длины 15 посредством умножения на матрицу Т15 выполняется за 24 умножений и 83 сложения.

В качестве основы для сравнительного анализа вычислительной сложности синтезированных алгоритмов был использован алгоритм работы [21] синтезированный для ДКП произвольных длин, оценки сложности которого при N=2к совпадают с оценками сложности лучших из известных алгоритмов ДКП [8-10].

В таблице 1 приведено количество операций необходимых для вычисления ДКП предложенным алгоритмом и известным способом. На рис.1 приводится зависимость удельной мультипликативной сложности алгоритмов от длины преобразования.

5. Результаты экспериментов

Целью экспериментального исследования было выявление зависимости времени

хN обработки изображения блочным ДКП от размера квадратного блока N.

На рис. 2 показана относительная характеристика хN /Х8 , где Х8 - это время обработки изображения блоками 8x8 ( х N / Х8 =1 при N=8), размер изображения - 1024x1024 пиксела.

Полученные результаты позволяют ут-

верждать, что предложенные алгоритмы ДКП гарантируют скорость обработки изображения близкую к скорости обработки лучшим из известных алгоритмов ДКП длины 8. Время обработки практически не возрастает с ростом N.

Заключение

В работе доказано, что синтезированные алгоритмы ДКП обладают минимальной мультипликативной сложностью. Методика синтеза таких алгоритмов может быть использована для построения одномерных ДКП ряда других длин, а также, с соответствующими изменениями, для синтеза алгоритмов двумерных ДКП. Разработанные высокоскоростные алгоритмы могут быть использованы при разработке новых быстродействующих адаптивных алгоритмов блочного кодирования, учитывающих спектральную неоднородность реальных изображений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахмед Н., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. Пер. с англ. М.: Связь, 248 с., 1980.

2. Rao K. R., Yip P Discrete Cosine Transform. Academic Press, San Diego, 1990.

3. Wallace G. K. The JPEG still picture compression standard. //Communications of the ACM, Vol. 34, No 4, pp. 31-44, 1991.

4. De Natale F. G. B., Desoli G. S., Giusto D. D., Vernazza G. Adaptive DCT for image-data compression. //Eur. Trans. Telecommun. and Relat. Technol., Vol. 3, No

4, pp. 359-366, 1992

5. Jeong J., Jo J. M. Adaptive Huffman coding of 2-D DCT coefficients for image sequence

compression. //Signal Processing: Image Communication, Vol. 7, Issue 1, pp. 1-11, 1995

6. Krupiczka A. Interblock variance as a segmentation criterion in image coding. // Mashine Graphics and Vision, Vol. 5, Nos 1/2, pp. 229-235, 1996

7. Sikora T Low complexity shape-adaptive DCT for coding of arbitrarily shaped image segments. // Signal Processing: Image Communication, Special Issue on Coding Techniques for Very Low Bit-rate Video, Vol. 7, Issue 4-6, pp. 381-395, 1995

8. Chan-Wan Y.-H., Siu C. On the realization of discrete cosine transform using the distributed arithmetic. //IEEE Transactions on Circuits and Systems - I: Fundamental Theory and Applications, Vol. 39, No 9, pp. 705-712, 1992

9. Hou H. S., Tretter D. K. Interesting properties of the discrete cosine transform. //J. Visual Commun. and Image Represent., Vol. 3, No 1, pp. 73-83, 1992

10. Suheiro N., Hatori M. Fast algorithms for the DFT and other sinusoidal transforms. //IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol. ASSP-34, No 6, pp. 642-644, 1986

11. Власенко В. А., Лаппа Ю. М., Ярославский Л. П. Методы синтеза быстрых алгоритмов свертки и спектрального анализа сигналов. М.: Наука, 1990. 160 с.

12. Duhamel P Implementation of split-radix FFT algorithms for complex, real, and real-symmetric data. //IEEE Trans. Accoust., Speech, and Signal Process., 1984, Vol.32, No 4, pp.750-761.

13. Heideman M. T. Computation of an odd-length

DCT from a real-valued DFT of the same length. //IEEE Trans. Signal Process., Vol. 40, No 1, pp.54-61, 1992

14. Чернов В. М. Алгоритмы двумерных дискретных ортогональных преобразований, реализуемые в кодах Гамильтона-Эйзенштейна. //Проблемы передачи информации, том 31, № 3, c.38-46, 1995.

15. Chichyeva M. A., Chernov V. M. «One-step» short-length DCT algorithms with data representation in the direct sum of associative algebras. //Proceedings CAIP’97, Springer, LNCS 1296, pp.590-596, 1997

16. Feig, E. Ben-Or M. On algebras related to the discrete cosine transform. //Linear Algebra and Its Applications, Vol. 266, pp. 81-106, 1997

17. Bazensky, G. TascheM. Fast polynomial multiplication and convolutions related to the discrete cosine transform. //Linear Algebra and Its Applications, Vol. 252, Issue 1-3, pp. 1-25, 1997

18. Jacobson N. Structure and representation of Jordan algebras. Provide^e, R.I., 1968

19. SchaferR.D. An introduction to nonassociative algebras. London: Academic Press, 1966

20. Nussbaumer H. J. Fast Fourier transform and convolution algorithms. Springer Verlag, 1971.

21. Chan S.-C., Ho K.-L. Fast algorithms for computing the discrete cosine transform. //IEEE Trans. on Circuits and Systems, Vol. 39, No 3, pp.185-190, 1992.

1 Работа выполнена при финансовой

поддержке Российского Фонда Фундаментальных

Исследований, (Грант № 97-01-00900)

FAST ALGORITHMS FOR DISCRETE COSINE TRANSFORMING OF SHORT LENGTHS WITH MINIMAL COMPUTATIONAL COMPLEXITY

© 1999 V.M. Chernov, M.A. Chichyeva

Image Processing System Institute of Russian Academy of Sciences, Samara

This paper considers fast algorithms for the discrete cosine transforming (DCT) of short lengths with minimal computational complexity. Decreasing of the computational complexity is achieved due to new approach of synthesis of the short lengths DCT algorithms. This approach is connected with interpretation of DCT calculation as operations within associated algebraic structures. The application of developed algorithms in block coding method is researched.