Действия групп автоморфизмов алгебр Вейля на расслоениях Вейля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

ДЕЙСТВИЯ ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБР ВЕЙЛЯ НА РАССЛОЕНИЯХ ВЕЙЛЯ

А.Я. Султанов

Аннотация

В работе доказана неприводимость алгебры Вейля, введено понятие суммы Уитни алгебр Вейля. Доказано, что если т - ширина, к - размерность радикала, г - индекс алгебры Вейля, то размерность группы автоморфизмов этой алгебры равна тк — г. Построены левое и правое действия группы автоморфизмов алгебры Вейля на расслоении Вейля.

1. Алгебры Вейля

В этом параграфе приведем определение алгебр Вейля и автоморфизмов, опишем способ получения из двух алгебр Вейля новой алгебры Вейля, называемой суммой Уитни этих алгебр.

Определение 1.1. [1]. Линейная алгебра А конечного ранга над полем К называется алгеброй Вейля, если выполнены следующие условия:

(1) А - коммутативна, ассоциативна, обладает единицей;

(2) существует идеал I такой, что Р = {0}, а Р+1 = {0};

(3) факторалгебра А изоморфна К.

Число р называется высотой алгебры А число то, равное размерности фак-торалгебры I, называется шириной алгебры А. В идеале I можно выбрать то элементов е1, е2,..., ет, которые порождают этот идеал. Одномерная подалгебра, порожденная единицей 6 алгебры А изоморфна К Отождествляя 6 с 1 поля действительных чисел К алгебру А можно представить в виде полупрямой суммы К и I: А = К + I. Идеал I называется радикалом алгебры А. Базис в алгебре А можно построить из элементов е0 = 1, и е^1 е^2 ... ет, где а^ > 0 и а1 + а2 + ■ ■ ■ + ат = 0. Для обозначения элементов базиса удобно ввести муль-тииндексы а = (а1, а2,..., ат), где а^ > 0 и |а| = а1 + а2 + ■ ■ ■ + ат < р. Тогда базисные элементы можно записать следующим образом еа = е^1 ...е^" - Мульти-индекс 0 = (0,..., 0) соответствует 1. Количество всевозможных мультииндексов а таких, что 0 < |а| < р равно (р+т) ~ числу сочетайий из р + то элементов по то элементов.

Если А < (р+т)' т0 не все мультииндексы будут соответствовать базисным элементам. Обозначим через Л - множество мультииндексов, соответствующих базисным элементам алгебры А, а чеРез Л* - множество всех остальных мультииндексов.

Для каждого мультииндекса р* € Л*, имеем

„А

е

(1.1)

где € К, а по мультииндексу А € Л \ {0} ведется суммирование. Соотношения (1.1) А

м

е

= а

А

Если dim A = (p+„m), то Л* = 0. В этом случае алгебра A не имеет определяющих соотношений и называется свободной алгеброй Вейля.

Перейдем к определениям автоморфизмов и дифференцирований произвольных алгебр.

Определение 1.2. Обратимый линейный оператор р : A ^ A называется автоморфизмом алгебры A, если доя любых эле ментов x, y £ A выполняется условие p(xy) = р(х)р(у).

A

позиции операторов. Эта группа обозначается Aut A. Групп а Aut A изоморфна некоторой матричной алгебраической группе, поэтому Aut A допускает естественную структуру группы Ли [2, с. 243].

A

A

Определение 1.3. Линейный оператор D : A ^ A называется дифференцированием алгебры A, если D(xy) = D(x)y + xD(y) для любых элементов х, у £ A.

Линейное пространство всех дифференцирований обозначается символом Der A. Это пространство допускает естественную структуру алгебры Ли относительно операции [ , ], определенной условием

[Di,D2] = Dl О D2 - D2 О DI ,

для любых Di, D2 £ Der A. Оператop Di о D2 представляет собой композицию операторов D2 и D1.

Имеет место следующее

Aut A

Der A A

Aut A

Der A равны.

Приведем понятие прямой суммы двух алгебр. Пусть A и B — произвольные алгебры. На множестве A х B всевозможных пар (а, b), где а £ A, b £ B, можно ввести операции сложения, умножения пар на действительные числа, а также операцию умножения пар следующим образом: (а, b) + (a1,b1) = (а + а1 ,b + b1), t(a, b) = (ta, tb), (a, b)(a1, b1) = (aa1, bb1). Множество A х B с введенными операциями является линейной алгеброй над R. Обозначается полученная алгебра A © B

A B A B

ют единицами ¿А, ¿в (такие алгебры называются унитальными), то пара (¿а, ¿в)

A©B

Важным понятием теории линейных алгебр является понятие изоморфизма.

Определение 1.4. Линейное отображение р : A ^ B называется изоморфизмом, если р — биекция и p(xy) = p(x)p(y) для любых элементов x, y £ A.

Предложение 1.2. Пусть A и B - линейные алгебры над R и A - униталь-ная алгебра, ¿А - ее единица. Если р : A ^ B - изоморфизм, то B - унитальная алгебра и ее единица ¿в = р(6А) •

Доказательство. Обозначим через р(6А) образ единицы ¿А алгебры A. Пусть b - произвольный элемент алгебры B. В силу биективностн отображения р существует элемент a £ A, такой, что р(а) = b. Тогда

р(^А )b = р(^А )р(а) = р(^А а) = р(а) = b.

Аналогично 6р^А) = р(а)р^А) = ) = 6. Отсюда следует, что р^А) = ¿в -единица алгебры В. □

Предложение 1.3. Если ассоциативная унитальная алгебра А изоморфна прямой сумме В © С алгебр В = |0в}, С = {0<с}> то каждая из алгебр В и С является ассоциативной и унитальной.

Доказательство. Пусть р : А ^ В © С - изоморфизм. Выберем произвольные элементы Ьх, , Ьз € В, сх, С2, сз € С. Для каждой пары (Ьх, С1), (62,02), (63,03) существуют прообразы ах, а2, аз € А. В силу того, что р - изоморфизм, а А - ас-

В©С

(61 ,С1 )((б2,С2)(Ьз,оз)) = р(ах )(р(а2 )р(аз)) = р(ах )р(а2 аз) =

= р(ах(а2аз)) = р((а^2)аз) = (р(ах )р(а2))р(аз) = ((Ь1,С1)(б2,С2))(Ьз,сз).

Таким образом,

(Ь1,С1)((б2,С2)(Ьз,Сз)) = ((Ь1,С1)(б2,С2))(Ьз,Сз).

Это соотношение можно переписать так:

(61(Ь2Ьз), С1(С2Сз)) = ((61,62)Ьз,(С1С2)Сз).

Отсюда 61 (626з) = (6162)6з и с1 (с2Сз) = (с1 с2)сз , то есть каждая из алгебр В и С ассоциативна. □

Пусть ¿а - единица алгебры А. Обозначим через р(^л) ее образ. Тогда р(^л) - единица алгебры В © С. Пусть р(6&) = (¿1, ¿2); где ¿1 € В, ¿2 € С. Для любого элемента (6, с) € В © С существует прообраз а € А : (6, с) = р(а). Так как (¿1, ¿2) — единица прямой суммы В © С, то

№,¿2X6,с) = (6,с), (6,с)№^2 ) = (6,с).

Отсюда

(¿16, ¿2с) = (6, С), ^¿1 ,СЙ2) = (6, с).

Таким образом, ¿16 = b¿1 = 6 и ¿2с = c¿2 = с. Следовательно, ¿1 - единица алгебры В, а ¿2 - единица алгебры С.

Любая алгебра А допускает разложение в прямую сумму А©{0а} . Такое разло-

В©С В = {0в} С = {0< }

нетрпвнальной.

А

В © С А

неприводимой.

Предложение 1.4. Любая алгебра Вейля является неприводимой алгеброй.

Прежде чем перейти к доказательству этого предложения, выясним строение идемпотентов алгебр Вейля.

Напомним, что элемент а € А называется идемпотентным, иначе идемпотен-2

а2 = а

Предложение 1.5. В любой алгебре Вейля нет, идемпотентов, отличных от, 0 и единицы ¿.

аА Так как а = а06 + а1, где а0 € К, а1 € I, то

(аоб + а1 )2 = аоб + а1.

Отсюда следует, что

а02 = а0, (1.2)

2аоа1 + а2 = а1. (1.3)

(1.2) а0 = 0 а0 = 1

Пусть а0 = 0. Тогда из (1.3) следует, что ак = а1 для любого натурального числа к. Если к = р - высоте алгебры А, то а^ = 0. Таким образом, а1 = 0, а=0

Пусть теперь ао = 1. Тогда из соотношения (1.3) получим, что ак = ( — 1)к-1 а1

к а1 = 0 а = 6

1.5 доказано. □

А

Тогда она изоморфна нетривиальной прямой сумме В © С алгебр В и С. Так как А - унитальная алгебра, то в силу предложения 1.3 каждая из алгебр В и С унитальна. Обозначим их единицы через 6в и 6с соответственно. Пусть < : А ^ В © С - изоморфизм. Тогда <(6) = (6в, 6с). Элементы 61 = (6в, 0) и 62 = (0,6с) отличны от (6в, 6с) ■ Кроме того, они являются идемпотентами прямой суммы В © С: 62 = 61, 6| = 62. Прообр^ы этих элементов (61), 1 (62) — идемпотенты А

(<-1(61 ))2 = (61 )<-1 (61) = (62) = (61).

(<-1 (62))2 = <-1(62).

В силу предложения 1.5 идемпотент <-1(61) равен 0д или 6. Если (61) = 0а, то 61 = 0, чего быть те может. Если (61) = 6, то <(6) = 61. Отсюда (6в,6с) = = (6в, 0), значит, 6с = 0. Получили противоречие.

Таким образом, алгебра Вейля А не может быть приводимой. □

Следствием предложения 1.4 является

А © В А В

алгеброй Вейля.

А © В

АВ

А

К.

А

ш : А ^ К.

Элементы факторалгебры А будем обозначать символами вида а, где а € А. Ясно, что а = 6 тогда и только тогда, когда

а = 6(mod I).

Определим отображение п : А ^ К условием п(а) = ш(а). Это отображение сюръективно. Действительно, для любого элемента ао € К имеем ао = ао ■ 1 = ао6

(единица ^ ^гебры А отождествлена с единицей поля действительных чисел). Тогда

п(ао ¿) = ^(ао ¿) = ^(ао<5) = ао^^) = ао ¿.

Отображение п является гомоморфизмом алгебры А та алгебру К. Действительно, для любых элементов а, 6 € А и 4 € К имеем

7Г (а + 6) = сс>(а + 6) = сс>(а + Ь) = ж (а) + 7Г (6).

7г(4а) = = = йи(а) = Ьп (а).

тт(аЪ) = ш(аЪ) = са(а ■ Ь) = тт(а)тт(Ь). Таким образом, отображение п : А ^ К является эпиморфизмом.

Определение 1.6. Эпиморфизм п : А ^ К определенный уеловием п(а) = = ^(а), называется канонической проекцией алгебры Вейля А на алгебру действительных чисел К.

Пусть А и В - алгебры Вейля над К, единицы которых отождествлены с единицей поля К А © В - прямая сумма этих алгебр. Рассмотрим подмножество А ©ш В с А © В, состоящее из всевозможпых пар (а, 6), где а € А, 6 € В, удовлетворяющих условию па (а) = пв (6). Здес ь па, пв — канонические проекции алгебр А и В на алгебру К соответственно.

Предложение 1.7. Подмножество А©шВ, снабженное ограничениями основ-

А©В

А©В

Доказательство. Пусть (а, 6) € А©шВ и (с, € А©ш В Тогда (а, 6) + (с, = = (а + с, 6 + . Поскольку (а, 6) € А ©ш В и (с, € А ©ш В, то пА(а) = пв(6) и па (с) = пв(^). Тогда

па (а + с) = па (а) + па (с) = пв(6) + пв(^) = пв (6 +

Значит, (а, 6) + (с, € А ©ш В Аналогии но 4(а, 6) € А ©ш В для любо го 4 € К. Рассмотрим произведение элементов из выделенного множества:

(а, 6)(с, = (ас, 6^).

Отсюда получим, что пА(ас) = пА(а)пА(с) = пв(6)пв= пв(6^). Следовательно, (а, 6)(с,€ А©шВ Далее, пА^) = пв(¿), поэтому (¿, ¿) -единица алгебры А©шВ. Утверждение доказано. □

Предложение 1.8. Прямая сумма А © В радикалов А, В алгебр Вейля А и В соответственно является радикалом алгебры А ©ш В.

Доказательство. Как известно, радикалом линейной алгебры называется идеал, состоящий из всех нильпотентных элементов этой алгебры [1, с. 16].

Пусть (а,6) - произвольный ннльпотентный элемент алгебры А ©ш В. Тогда существует натуральное число такое, что (а, = 0. Отсюда ^ , ) = 0, значит, ак = 0а , 6к = 0в ■ № этих равенств следует, что а — ннльпотентный элемент алгебры А 6 — ннльпотентный элемент алгебры В. Поэтому а € А, 6 € В, тогда (а, 6) € А © В. Таким образ ом, Д^ (А ©ш В) с А © В. С другой стороны, для любого элемента (ж,у) € А © В имеем па (ж) = пв(у) = 0 и (ж,у)я+1 = (жя+1 ,уя+1) = 0, если в = тах{р, д}, где р - высота алгебры А, 5 - высота алгебры В. Отсюда следует, что А ф В с Ис1 (А ©ш В). Следовательно, Ис1 (А ©ш В) = А ф В. □

Предложение 1.9. Алгебра А ©ш B является алгеброй Вейля.

Доказательство. Проверим выполнимость условий (1)-(3) определения алгебры Вейля.

Условие (1) выполняется, так как алгебра А©ш B является подалгеброй алгебры A©B, которая коммутативна и ассоциативна, единицей этой алгебры является пара

(М) = (1,1)-

Проверим выполнимость условия (2). Пусть s = max{p, q}, где p - высота алгебры А, q _ высота алгебры B. Тогда (А © B)s = 0, а (А © B)s+1 =0. Кроме того, алгебра А © B является идеалом алгебры А ©ш B.

Рассмотрим факторалгебру А ©ш B.

Если (a,b) = (c, d)(mod А © B), то a = c(mod А) и b = d(modB). Верно и обратное утверждение.

Из этих сравнений следуют равенства nA(a) = пА(с) и пд(Ь) = пд(d). Так как (a, b) £ А ©ш B и (с, d) € А ©ш B, то nA(a) = пд(Ь) , пА(с) = пд(d). Значит, пА(а) = = па(с) = пд(Ь) = nB(d) = а0 . Отсюда (a,b) = (ao + ai ,ao + bi) = (ao ,ao) + (ai, bi), где a1 € А, b1 € B. Значит, (a, b) = a0(1,1)(mod А © B).

Элементы факторалгебры А ©ш B представляют собой классы эквивалентности (а, Ь) = ao(l, 1) ■ Соответствие ao(l, 1) ао является изоморфизмом. Действительно, для любых ao, bo £ R

V-ЫМ) + MM)) = V>((«o + Ы(М)) = «о + b0 = V-ЫМ)) + V>(MM));

V>(i(a0(M))) = V((ia0)(M)) = tao = i(V>MM))), t € R.

Далее

V>(MM))(6o(M))) = V(aobo(M)) = a0b0 = V>(«o(M)) • V>(MM))-

Кроме того, ф - биекция. Таким образом, факторалгебра А ©ш B изоморфна полю действительных чисел R, то есть условие (3) также выполнено. □

Доказанное предложение позволяет ввести следующее

Определение 1.7. Алгебра Вейля А ©ш B называется суммой Уитни алгебр Вейля А и B.

Из рассмотренного выше следует, что сумма Уитни алгебр Вейля А и B представляет собой алгебру Вейля с радикалом, равным прямой сумме радикалов алгебр А и B.

2. Расслоения Вейля

Алгебры Вейля могут быть использованы для построения расслоений над гладкими многообразиями. [1, 3].

Пусть А - алгебра Вейля, А = Rd А, а Mn - гладкое класса Сж многообразие размерности п. Обозначим через C^(Mn) алгебру гладких функций класса Cж,

Mn

Определение 2.1. Гомоморфизм jx : Сж(Mn) ^ Mn называется А-близким

к точке x £ Mn, если для любой функции f £ Сж (Mn) выполнено условие

jx(f) = f (x)(mod А)

Множество всех точек, А-близких к ж, обозначим через (М^)^. Обозначим через М^ объединение {]хемп (М^)х • Естественным образом определяется каноническая проекция п : М^ ^ Мп, а имени о, п(^'х) = ж. Гладкая структура на Мп позволяет ввести на М^ структуру гладкого многообразия над алгеброй А и гладью структуру класса Сж над алгеброй действительных чисел. Тройка (М^,п,Мп) называется расслоением Вейля.

Приведем некоторые способы продолжения объектов, з адаи иых на Мп, в расслоение М^ (точнее, в тотальное пространство расслоения Вейля).

Для каждой функции / € Сж (Мп) на расслоении Вейля можно определить функцию / а : М^ ^ А то правилу /а(^х) = ^'х(/) ■ Функция / а называется естественным А-продолжением функции / € С^(Мп) па М^.

Прямые вычисления позволяют убедиться в справедливости следующих ра-

(/ + 5)А = /А + 5А, (/)А = /А, (/5)А = /А ■ 5А

для любых /, $ € С^(МпX 4 € К.

Обозначим через А* векторное над К пространство линейных форм, заданных па А и принимающих значения в К Для каждого а* € А* и / € С^(Мп) определим функцию /(а*) = а* о /а.

А*

элементы алгебры А посредством равенства а* ■ 6 = а* о Ьь, где Ьа - линейный оператор, определенный условием Ь0(6) = а6 для любого элемента 6 € А.

Для любого векторного поля X € 3д(Мп) и любого элемента а € А существует на М^ единственное векторное поле X(а), удовлетворяющее условию

х (а)/(ь*) = (Х/)(ь*

а)

для любых / € С^(Мп) и 6* € А*.

Пусть М^ снабжено структурой А-гладкого многообразия и 3д (М^) - А-модуль векторных полей па М^. Наличие единицы в алгебре А позволяет ввести умножение векторных полей из 3д (М^) на действительные числа следующим образом: для любого 4 € К положим

¿X = (¿¿)Х, X € 30(МА).

Тогда V = 30 (М^) с операциями сложения векторных полей и умножения на действительные числа будет векторным пространством над полем К.

Пусть на М^ наряду с А-гладкой структурой многообразия выбрана естественная структура К-гладкого многообразия (М^)к. Тогда естественным образом возникает векторное пространство над К векторных полей, заданных на (МА)К, которые обозначим через 3д((МА)к) = V

Рассмотрим отображение Ге : V ^ Vе, определенное условием

Г RхX(/(ь*)) = ^ / А )(ь*)

для любых / € С^(Мп), 6* € А*. Вместо ГRхX будем использовать выражение XXи это векторное поле будем называть вещественной реализацией векторного поля X, а Ге — оператором вещественной реализации векторных полей из V в Vе . Оператор Ге является К-изоморфизмом.

Предложение 2.1. Для любого векторного поля XX € V и любого элемента а € А имеет место равенство

(а*)к = I(а) (Xк),

где 1(а) - аффинор, действующий на Vк и удовлетворяющий условию I(а) (ь)) = Z(аЬ) для любых Z е (М„), Ь е А.

Доказательство. Из определения оператора ^к следует, что

(«х^ /(И = ((«!)/%*) = Ь* («(X /А)) = Ь* о ь„(х/А) = (х/%*.„).

ычисления

(п-1 (и),ж0,) Xк имеет следующее: представление

Для вычисления I(а) (Xк)/(ь*) воспользуемся локальными картами. Пусть в карте

x r = ха öf.

Здесь öf = з§г = (äfi)(e°} ■ Поэтому /(a)(XR) = X^)^). Тогда

I(a) (XX R }f(b.) = Xf (d<ae"} /(ь.)) = Xf (di / .

С другой стороны,

d

WV-a) = (Ь* • «) • (Xl(g-fA)) = (Ь* • в) • (№") . (Ö,/)A) =

= Xf(((6* ■ а) ■ ef) ■ (di/)A) = Xf(di/)(b.,0)

a)-e"

Значит, I^iX11)/^*) = (X/A)(b*.a). Таким образом, (aX)R = /(a)(XR). □

3. Автоморфизмы алгебр Вейля

Пусть А - алгебра Вейля ранга k + 1 над полем действительных чисел, ei, e2,..., em - элементы псевдобазиса, и единица этой алгебры отождествлена с единицей поля R действительных чисел.

Для любого автоморфизма р € Aut А имеем р(1) = 1 и p(ei) € Rd А. Последнее утверждение можно доказать следующим образом.

Если p(ei) = а0 + а1, где а0 € К, а1 € Rd А, то p(ef) = (p(ei))s = а0 + 6, 6 € Rd А Для s = p +1 будем иметь p(eP+1) = 0, поэтому ад+1 + 6 = 0. Отсюда а0 = 0 и 6 = 0. Таким образ ом, p(ei) € Rd А.

Выберем базис радикала, состоящий из элементов вида

eA = eA1 eA2 eAm

e = e1 e2 • • • em ,

и положим p(ei) = tiA eA, А = 0. Образ любого базисного элемента eT при действии на него автоморфизмом р можно легко найти:

p(eT) = (р(е1 ))T1 (р(е2))T2 ... (p(em))Tm =

= (t1AeA)T1 (i2AeA)T2 ... (imAeA)Tm = p£eM,

где т, л € Л \ (0}, а p^ — однородные многочлены степени |т| относительно переменных tiA ■ Эти переменные, вообще говоря, независимыми не являются. Они должны удовлетворять соотношениям

P(eT * ) = а^* p(eM),

А

Aut А А

статочно найти размерность алгебры Ли дифференцирований Der А.

Пусть D € Der A - произвольное дифференцирование. Оно однозначно определяется заданием образов элементов псевдобазиса алгебры A:

D(ej) = ж,ЛеЛ, Л € Л \ {0}, г = 1, 2,... ,m.

Число переменных ж^л равно mk. Для нахождения условий, которым удовлетворяют эти переменные, подействуем дифференцированием D на элементы eT и воспользуемся определяющими соотношениями алгебры:

D(eT*) - а-*D(eM) = 0.

В развернутом виде эти соотношения имеют вид

га

]Г(г*етеЛ - а-*еЛ)ж<Л = 0. (3.1)

¿=1

В этих соотношениях обозначает вектор стандартного базиса пространства Rm, то есть = (0,..., 0,1,0,..., 0), где 1 стоит на г-м месте.

Пусть ea, а € Л, - ковекторы дуального базиса. Тогда из системы уравнений (3.1) получим следующую систему однородных линейных уравнений относительно переменных ж^л :

еа(т*ет*еЛ - a^еЛ)х*л = 0. (3.2)

Пусть ранг системы (3.2) равен r. Тогда размерность пространства решений системы (3.2) равна mk — r. Таким образом, доказана

Теорема 3.1. Размерность группы автоморфизмов алгебры Вейля ширины m, ранга k + 1 равнa mk — r, где r - ранг системы (3.2).

Системе (3.2) можно придать другой вид. Для этого определим линейные операторы DiA условиями

DiA(1)=0, DiA(ea )= е (a)ea-£< еЛ, а = 0.

Здесь ег - ковекторы, дуальные векторам е : ег (е^) = ¿j. Тогда систему (3.2) можно представить следующим образом:

ea(DiA (eT *) — a^* DiA (е^))х*л = 0. (3.3)

Рассмотрим матрицу T, элементами которой являются коэффициенты системы (3.3):

T(ат* | ¿Л) = ea(DiA(eT*) — a^*DiA(e^)). (3.4)

А

зиса. Поэтому, выбрав другой псевдобазис ei,..., em радикал а Rd А, получим, что ранг матрицы T будет равен числу mk — dim (Der А) = rank T. Следовательно, число r = rank T те зависит от выбора псевдобазиса алгебры А. Этот факт позволяет ввести еще одну числовую характеристику алгебры Вейля - индекса алгебры.

T

А

Использовав понятие индекса, на основании теоремы 3.1, заключаем, что справедлива

Теорема 3.2. Размерность группы автоморфизмов алгебры Вейля ранга k+1, m r mk — r

га

4. Действие группы автоморфизмов Вейля на расслоениях Вейля

Пусть МА - расслоение Вейля над гладким класса Сж многообразнем М„, порожденное алгеброй Вейля А. На расслоении М^ можно построить два естественных действия группы Аи А автоморфизмов алгебры А. Первое действие р : Aut А х М^ ^ М^ определим условием

= р ◦ .х-

р

Доказательство. Для любых автоморфизмов р и ф алгебры А имеем

Р(^ 0 = О ф) О .х = р О (ф О .х) = р(р,р(ф,^х))-

р

Пусть р(р, .х) = .х для любой точки .х € М^. Тогда для любой функции / € С^ (Мп) получим

р 0 .х(/) = .х(/)-

Отсюда

р(.ъ(/)) = .(/)-

Это равенство можно переписать следующим образом:

р(/(а) (.х)еа) = /(а) (.х )еа.

Отсюда

/(«)(.х)(р(еа) - еа) = 0. (4.1)

Пусть (и,ж1) - карта гладкой структуры на М„, (п-1(и),жа) - карта естественной гладкой структуры на М^. Из соотношений (4.1) получим тождества жа (р(еа) — еа) = 0, если в качестве функцнн / возьмем координатные функции ж1. Продифференцировав полученные тождества по ж^, получим (р(ев) — ) = 0. Отсюда следует, что р(ев) = то есть, р = Таким образом, действне р является эффективным. □

Второе действие р' : Aut А х М^ ^ М^ определим условием

р' (Р,^'х) = р-1 0 .х-р'

рф

р'(р О Ф, .Ух) = (р О ф)-1 О . = (ф-1 О р-1) О . = ф-1 О (р-1 О ^х) = р' (ф,р'(р,^х))-

Следовательно, р' действует на М^ справа.

р'

ствня р. □

Предложение 4.3. Преобразования р^ : М^ ^ М^, р^ : М^ ^ М^, порожденные левым и правым действиями р и р' по правилам р^ (.х) = р(р,.х), р^(.х) = р'(р,.х) соответственно, являются автоморфизмами расслоения М^, отображающими каждый слой на себя.

Доказательство. Достаточно доказать коммутативность диаграмм

мА м А мА м А

п I I п и п I I п

м„ м„ М„ м„.

Рассмотрим композицию п о р^. Для любой точки е м^ шеем п о р^ () = = п(< о .Пусть / е (м„). Тогда

(< о .ж)(/) = <(.(/)) = <(/(х) + /А(.)еА), Л = 0.

Так как < - автоморфизм, то <(1) = 1, <(еА) е Дй А, поэтому

(< о .х)(/) = /(х) + /А.х)<(еА).

Отсюда следует, что < о (/) = /(x)(mod А), значит,

п(< о .х) = х = п(.х) = о п(.х).

Таким образом, п о < = о п.

Коммутативность первой диаграммы доказана. Аналогично доказывается коммутативность второй диаграммы. □

5. Локальные представления действий групп автоморфизмов алгебры Вейля А на расслоении мА

Пусть <(еа) = ев, а, в е Л, < е Aut А Рассмотрим преобразование р^, порожденное действием р и автоморфизмом Для любой точки е м^ положим Р^Съ) = • Выберем произвольную карту (п-1 (и),ха), содержащую Тогда ¿х(хг) = <о.х(хг) = (хг)). Отсюда

Хаеа = хв <(ев) = (<а 4 )еа. Из этого равенства получим

ха = <а хв.

Из результатов §3 следует, что = , поэтому

ха = 4, а = 0 и в = 0. (5.1)

Эти формулы представляют собой представление преобразования р^.

Если в формулах (5.1) заменить <а на элементы матрицы || <а II-1 > обратной к матрице 11 <а II > т0 получим формулы, выражающие локальное представление

преобразования р^, порожденного правым действием р' группы Aut А и преобра-

<

Остановимся на изучении алгебр Ли групп преобразований, индуцированных левым и правым действиями группы Аи А на расслоении м^.

Пусть Б - дифференцирование алгебры Вейля А, Б(еА) = аАет, Л, т е Л. Заметим еще раз, что а0 = 0, аА = 0. Дифференцирование Б порождает однопа-раметрическую подгруппу {<(}, I е К, где < = ехр(Ш), группы автоморфизмов Aut А. Левое действие р группы автоморфизмов порождает однопараметрическую

х л — х

о

о

подгруппу } группы преобразований многообразпя М^. В локальной карте (п-1 (и), хга) преобразование этой группы задается формулами

^^ dxo

Тогда —— dt

xo = х0 xa

dt t=o dt

* = ^ (t)x*,, а, в = 0.

x%ß. Так как

t „ t2

exp tD = idA + —D + —D2 + ....

1! 2!'

то exp tD(ex) = поэтому —

= «в a t=o

= «a • Отсюда получим, что ннфннитези-

мальпое преобразование D группы {pVt}, порожденное дифференцированием D, имеет следующее локальное представление:

d = «а 4 да.

Предложение 5.1. Отображение h, определенное условием h(D) = D, является иньективным гомоморфизмом алгебры Ли дифференцировании Der A алгебры A в алгебру, противоположную вещественной алгебре Ли векторных полей на MA.

Доказательство. Для любых дифференцирований Di, D2 справедливы равенства

h(Di + D2) = h(D1) + h(D2), h(sD1) = sh(D1), s G R.

Если h(D) = 0, то «ax^ = 0. Отсюда «а = 0- Значит, Ker h = 0.

Пусть Di(eA) = baea, D2(ел) = с?ea. Тогда

[Di, D2](e^ = Di(caea) - D2(baea) = (caь? - ь?с?)eT. Далее, h(Di) = bax^ö? , h(D2) = cax^df. Поэтому

[h(Di), h(D2)] = (baс? - с?Ь?)хЛдТ = -[Di, D^xlдТ = -h([Di, D2]).

Таким образом, /i([Z?i, D2]) = — [/¡.(Di), /i(D2)] . Предложение 5.1 доказано. □

Из предложения 5.1 следует, что если (Di,..., D;) - базис алгебры дифференцирований, то (h(Di),..., h(D;)) будет базисом алгебры Ли группы преобразований расслоения MA, порожденной левьш действием группы автоморфизмов Aut A на расслоении M^

Для правого действия группы имеет место предложение, аналогичное предложению 5.1.

Пусть D G A - произвольное дифференцирование алгебры Вейля A. Поскольку (exp(tD))-i = exp(-tD), то инфинитезимальное преобразование DD группы {р^,}, порожденное дифференцированием D и правым действием р' группы Aut A на расслоении M?A, будет иметь следующее локальное представление:

d = -«a 4 ö? .

Предложение 5.2. Отображение h', определенное условием h'(D) = DD, яв-

Der A

гебры A в алгебру Ли вещественных векторных полей на MA.

0

t=o

t=o

Доказательство. Заметим, что Ь'(Б) = — Ь(Б). Поэтому Ь' - линейное и Кег Ь' = 0. Далее,

Ь'([Б1, Б2]) = —Ь([Б1, Б2]) = [Ь(Б1), Ь(Б2)] = [Ь'(Б1), Ь'(Б2)]. Отсюда следует, что к' - гомоморфизм. Предложение 5.2 доказано. □

Из этого предложения вытекает следствие, аналогичное следствию из предложения 5.1: если (Б1,..., Б;) - базис алгебры дифференцирований Бег А, то (Ь'(Б1),..., Ь'(Б;)) - базис алгебр ы Ли группы преобразований расслоения м^, порожденной правым действием группы автоморфизмов Аи А на м^.

Рассмотрим сдвиг ¿а алгебры А порожденный элементом а е А по правилу ¿а(х) = ах.

Предложение 5.3. Для любого дифференцирования Б е Бег А эндоморфизм ¿а о Б является дифференцированием алгебры А.

Доказательство. Для любых элементов х, у е А в силу ассоциативности и А

Ьа о Б(х,у) = Ьа(Б(х)у + хБ(у)) = (Ьа о Б(х))у + х(Ьа о Б(у)). Отсюда Ьа о Б € Бег А. □

Предложение 5.4. Для любых а, Ь е А и Б1, Б2 е Бег А имеет мест,о равенство

[¿а о Б1, о Б2] = ЬаД1(Ь) о Б2 — ЬЬГ>2( а) о Б1 + ¿аЬ о [Б1, Б2].

хеА

[La О Dl, L О Б2](ж) = La О Di(Lb О Б2 (ж)) - Lb О D2 (La О Di (ж)) =

= La О Б1(ЬБ2(ж)) - Lb О Б2(аБ1(ж)) = a(Di(^(ж))) - ^(аБф))) = = (a(Di(b))D2(ж)+ ab(DiБ2(ж)) - (^(а)^(ж) - ба^Б^ж)) =

= LaD1(b) О Б2(ж) - LbD2(a) о Di (ж) + Lab О [Di, Б2](ж).

Отсюда следует справедливость соотношения указанного в предложении. □

Предложение 5.5. Для любых а € А и Б € Der A имеют место равенства

h(La О Б) = I(a)(h(D)), h(La О Б) = I(a)(h'(Б)).

Доказательство. Пусть а = атeT, т € Л. Тогда для базисных элементов eM алгебры А будем иметь

La О Б(ем) = (атeTКеа = ата£eTеа = ата£7™ev,

где 7та - структурные константы алгебры А. Отсюда следует, что дифференцирование La о Б определяется компонентами

(La О Б)£ = ата^7,

поэтому

h(La о Б) = атаа7таж^ÖT. (5.2)

Найдем I(а)(Н(Д)):

=/(а)(«а4да) = «а4/(а)(С)) = «ах^^д(атетеа)=«т7та«ах^^д^. (5.3)

Из равенств (5.2) и (5.3) следует справедливость равенства

Н(Ьа о Я) = I(а)(Н(Я)). Второе равенство следует из первого в силу того, что к' = —к. □

Это предложение, предложение 5.4 и введенные гомоморфизмы к и к' позволяют доказать

Предложение 5.6. Для любых элементов а, Ь е А и произвольны,х дифференцирований Я1, Я2 алгебры А имеют место равенства

[I(а)(Н(Я1)), I(Ь)(Н(Я))]= I(аЬ)([Н(Я1), Н(Я2)])-

- I№ (Ь))(Н(Я2)) +1(^2(а))(Н(Я1)),

[1(а)(Н'(Я1)), 1(Ь)(к'(Я2))]= 1 (аЬ)([Н'(Я1), Н'(Я2)]) +

+1 №(Ь))(Н'(Я2)) - I(Ь^2(а))(Н'(Я1)).

Summary

A. Ya,. Sultanov. Actions of automorphisms groups on Weil bundles.

In this work the irreductibility of the Weil algebra is proved and the notion of the Whitney sum of the Weil algebra is introduced. It is proved that if m is a width, k - a radical dimension, r - a Weil algebra index, then the dimension of automorphism group of this algebra equals mk-r. The left and right actions of the automorphism group of the Weil algebra are constructed on the Weil bundle.

Литература

1. Вишневский B.B., Широков А.П., Шурыгин B.B. Пространства над алгебрами. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 263 с.

2. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. - М.: Наука, 1982. - 447 с.

3. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points // J. Diff. Geom. - 1976. - No 4. - P. 479-498.

Поступила в редакцию 29.11.04

Султанов Адгам Яхиевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры Пензенского государственного педагогического университета.