Действительные неразрешимые шестимерные алгебры Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

известия

izvestia

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17)2009

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПГПУ

penzenskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta

imeni V. G. BELiNSKOGO

physical, mathematical and technical sciences

№ 13 (17) 2009

УДК 593.1

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ШЕСТИМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

© А. и. АНДРЕЕВ

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Андреев А. И. - Действительные неразрешимые шестимерные алгебры ли // Известия ПгПУ им. В. г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 7-13. - На основании двух теорем и классификации действительных неразрешимых алгебр Ли пятого порядка, полученного Г. М. Мубаракзяновым, определена классификация действительных неразрешимых алгебр Ли шестого порядка.

Ключевые слова: алгебра Ли, простая алгебра, тождество якоби.

Andreev A. i - The valid unsolvable six-measured algebras of Li // izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 7-13. - On the basis of two theorems and classification of the valid unsolvable five-measured algebras of Li received by G. M. Mubarakzjanovym, the classification of the valid unsolvable six-measured algebras of Li is defined. Keywords: algebras ofLi, simple algebra, identity of Jakobi

Канонические структуры действительных неразрешимых алгебр Ли пятого порядка нашел Г. М. Мубарак-зянов [1] в 1963 году методом, основанным на теореме Леви. Он доказал, что существует пять таких неизоморфных алгебр (указаны лишь не нулевые произведения базисных векторов).

В 1968 году румынский математик Матей [3] также нашел действительные неразрешимые алгебры Ли пятого порядка, рассматривая различные соотношения между рангами тензоров-комитантов, построенных из структурного тензора С‘к. В его классификации оказалось шесть алгебр, но легко устанавливается, что две из них не являющиеся прямыми суммами, изоморфны между собой и изоморфны алгебре Ь50 классификации Мубаракзянова.

В 1969 году Матей, пользуясь своим методом, нашел структуры действительных неразрешимых алгебр Ли шестого порядка. Следует отметить, что некоторые типы структур из этой классификации содержат значительный несущественный произвол (до двух параметров).

Получим неизоморфные структуры действительных неразрешимых алгебр Ли шестого порядка методом, основаным на двух теоремах.

Теорема Леви[2]. Алгебра Ли над полем характеристики нуль допускает по меньшей мере одно разложение в виде суммы радикала и полупростой подалгебры.

Терема[2]. Полупростая алгебра Ли (над полем характеристики нуль) представима одним и только одним способом виде прямой суммы конечного числа простых идеалов; каждый идеал алгебры является прямой суммой некоторых её простых идеалов.

Существуют лишь две действительные простые алгебры Ли порядка г, (1 < г < 6): алгебра векторного произведения g35 и алгебра проективной группы преобразований на прямой g36. Поэтому шестичленная неразрешимая алгебра Ли или полупроста, то есть совпадает с одной из алгебр:

ёз,5 ёз,5 ® &,6 ® ёз,6

или является суммой простой алгебры g3a (а = 5, 6) и разрешимого трехмерного идеала g3i (і = 1,2,3,4).

I. Рассмотрим алгебру g36 +g31.

Существует базис х1 х2, х,, в котором структура алгебры имеет вид хх2=2х, хх3=-х2, хх3=2х3 .Пусть

е1,е^,е3 -базис g31 , где е1е2 =0, е1е3 =0, е2е3 =0 ^31 - абелева).

Поэтому произведения х.е. можно разложить по векторам базиса радикала:

12 3

Х/Єі = а іЄ1 + а і Є2 + а і Є3

Х2Єі = РіЧ + Р іЧ + Р ,4

ЪЧ = У Ч + У ,4 + У Ч/ і =1,2,3.

То есть задача о нахождении структуры алгебры сводится к задаче о нахождении коэффициентов

а /,р/, у {

Далее, используя тождество Якоби, мы получим системы скалярных уравнений, которые свяжут между собой коэффициенты (система не линейная).

2а/ - Р/а/ - Р/а2 - Р/а/ + а/в/ + а/в2 + а/Р/ = 0

2

2а/ - Р/а/ - Р32а2 - Р/а/ + а/Р/ + а32 Р2 + а33 Р/ = 0

і2а2 - Р13а2 + а/Р/ + а/2 Р2

2а2 - Р2а/ - Р22а2 - Р2а/ + а2 Р/ + а2 Р2 + а/Р/ = 0

l•3p3

І/ Р/

(1)

132а2 - Рз3а/ + а2Р/ + а32р/'

- Р/ - У 1а/ - У !2а2 - у /а/ + а/у / + а/у / + а13у / = 0

- в 2 - У /а/ - У 22а 2 - У 2а/ + а /у / + а 22у 2 + а 2у 3 = 0

- Рз3' - У3а/ - У^а2 - Уз3< + а2у / + а3у 2 + аз3У/3' = 0 2у / - у/в/ - у / р 2 - у / Р3 + Р/у / + Р/2у2 + Р/у 2' = о 2у 2- у 2Р/- у 2 Р 2- у 2^ + Р 2у / + Р 22у 2 + Р 23у 33 =0

2уз - у 3Р/ -у 32 Р 22 -у 33 Р33' + р 3у / + Р32у2 + РМ = 0 Решим эту систему, используя канонические матрицы Жордана.

При преобразовании базиса е; = а;5 е5, \а^ | Ф 0 матрица а = (а/ ) преобразуется как матрица линейного опе ратора. Ее можно привести к одному из видов:

(2)

]' = 1,2,3

0 0 0 0 >

I. 0 Х2 0 II. 0 X/ ц , ц ф 0

0 0 у 0 - ц Х/ у

2^ 0 0 (X / 0 >

III. 0 \ / IV. 0 X /

0 0 у V 0 0 Х у

/) Рассмотрим первый случай, пусть коэффициенты матрицы а примут вид I. f ^ 0 0 ^

при подстановке коэффициентов в (1) получаем а / = Р/ = У / = °, и алгебра g36 + g31

0 Х2 0

0 0 X.

сводится к прямой сумме g3 6©g3 1

2) При рассмотрении второго случая а =

(Х2 0 0 ^

0 Х/ ц

0 - ц х/

ц Ф 0 получаем противоречие ц = 0

3) Пусть матрица принимает вид III: а =

тогда при подстановке в (1) получаем, что = Х2 = 0 и матрица р имеет вид

в =

(0 0 а

Ь 1 с

а,Ь,с є Я

Преобразование базиса

е1 = е1, е2 = е2, е3 = е3, е4 = е5 + Ье4 + -2(<аЬ + с)е6, е'5 = е6, е6 = е4 + ае6 приводит матрицы а и р к матрицам

' 0 1 0 > (1 0 0"

а' = 0 0 0 , в'= 0 —1 0

0 0 0у ч 0 0 0,

(3)

В этом базисе из тождеств Якоби находим

Єз е4 = е3 е6 = 0, е3 е5 = е4

(4)

Если переобозначить векторы базиса е\через е4 , то из (3) и (4) следует, что структура алгебры имеет вид

е1е2 _ 2е1,е1е3 _ -е2,е2е3 _ 2ез,е4е5 _ е5еб _ е4еб _ е1еб _ е2еб _ езеб _ 0

е1е4 = е5, е1е5 = 0, е2е4 = е4, е2е5 = —е5, е3е4 = 0, е3е5 = е4 (X 1 0 ^

4) При а =

и при подстановке в (1) получаем Х=0 и матрицы а и р примут вид

а,Ь є R

'0 1 0 > (2 а Ь Л

а = 0 0 1 в = 0 0 а

0 0 0 У ч 0 СЧ 1 0

В новом базисе

' ' 1 ' ' 1 1( 2 2Ь) ' 1 '

Є1 = Є^ Є2 = - Є2, Є3 = Є3 , Є4 = Є4 + - аЄ5 + 8(С1 + 2b)e6, Є5 = Є5 + ~ ae6, Є6 = Є6

структура алгебры запишется, если учесть тождества Якоби для вектора е3 и переобозначить векторы е{ через получим:

е1е2 = el, е1ез = Є2 , е2ез = eз, е4е5 = е4Є6 = Є5Є6 = Є1Є6 = Є2Є5 = Є3Є4 = 0,

(5)

g3,6 +^ї,2

Структура алгебры g имеет вид х1х2=2х1, х^3=-х2, хх3=2х3. е1,е,е3 -базис g32 , где е^2 = еу е1е3 =0, е2е3 =0. Следующие соотношения:

«3 = 0, РІ = 0,^3 = 0(/ = 1,2,3),

«1 + «22 = о, д1 + /зі = о, ^ +/2 = о

являются следствиями тождеств Якоби.

Преобразованием базиса

еІ = Єі , ек = АІе] , еб = \А1 |еб . |Ак | * 0 (І = 1,2,3 к = 4,5)

сохраняющим структуру g36 и g32, и тем самым соотношения (5), можно привести матрицу линейного оператора

е1х, Ух єg32 (матрицу а ) к одному из канонических видов:

(X 0 ^ (X 1 ^ (Х1 X ^

0 X , в)

а)

0 X.

б)

2

—X X

X * 0.

е1е4 = е5 , е1е5 = e6, е2е4 = е4 , е2еб = —e6, езе5 = е4 , езеб = е5

Учитывая (5), получим, что матрица а может быть приведена к одному из видов:

а)

(X 0 Л

0 - X

б)

(0 1 Л

ч0 0У

в)

( 0 X Л

— X 0

X * 0.

Далее будем обозначать е( опять через е, и рассмотрим каждый из трёх возможных случаев.

"Х 0 и ^

а) а =0 - Х V

V0 0

Из тождеств Якоби следует

Х=и=ю=0, а/ = Р/ = у/ = 0, у = 1,2,3, и таким образом, алгебра в этом случае является прямой суммой g36©g32.

"0 1 и \

б) а =0 0 V

V0 0

Преобразование базиса

е5 = е5 + ие6, = е{ ( = 1,2,3,4,6),

сохраняя структуру g3 6 и g3 2 обращает постоянную и в нуль, оставляя остальные элементы матрицы а неизменными. Отсюда следует, что матрица в будет иметь вид:

(1

в =

г s

0 —10 0 0 0

Матрица в , преобразованием

е4 = е4 + 2 г е5 + use6, в( = е( (ґ = 1,2,3,5,6)

приводится к матрице

в' =

(1 0 0 Л

0 —10 000

Из неиспользованных тождеств Якоби следует, что

е3е4 = е3е6 = 0, е3е5 = е4 , ь=0.

Обозначая ет снова через ет запишем структуру алгебры

е1е2 = 2е1, е1ез = —е2, е2ез = 2ез, е4е5 = еб, е4еб = е5еб = е1еб = е2еб = 0, е1е4 = е5, е1е5 = 0, е2е4 = е4, е2е5 = —е5 , Єзе4 = 0, ЄзЄ5 = е4,ЄзЄ6 = 0.

( 0 X и Л

в) Матрица а не может иметь вид тиворечие Х=0.

— X 0 V

0 0 0

, 1ф0, так как рассматривая тождества Якоби получим про-

g3,6 +%3

Структура алгебры g36 имеет вид х1х2=2х1, х1х3=-х2, хх3=2х3. е1,е2,е3 -базис g33 , где е1е2 = 0, е1е3 = е1, е2е3 = це2, где ц=0,1.

При ц=0 из тождеств Якоби следует, что алгебра g36+g33 является прямой суммой g36©g33.

Если ц = 1, то применяя преобразование базиса

^ = Аткет(к,т = 4,5),е = е,( = 1,2,3,6),|ЛЛ ф 0,

то можно привести матрицу линейного оператора е4х, Ух eg33 (матрицу а ) к одному из видов

а)

б)

'2 У

в)

Г X X "

— X Х1

, X > 0.

не меняя структуры g36 и g33.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

а) а =

о о " о х2 о

Vи у о У

Тождества Якоби приводят нас к соотношениям

^ = Л2 = и = V = 0, а / = Р/ = у / = 0, у = 1,2,3. Значит, в этом случае получаем прямую сумму g36©g33(q=0).

(X 1 0^1 0 X 0

б) а =

Преобразование базиса

Vй V о у

еб = еб - ^ ег = ег = 1,2,3,4,5) обращает V в нуль и приводит матрицу а к виду

ГX і о"

а =

о X о

и о оу

не меняя структуры g36 и g33.

В этом базисе из тождеств Якоби следует:

г о 1 о " Г1 г ол

а = о о о , в = о — 1 о

V о о о V о * о у

Перейдем к новому базису

е4 = е4 + ГЄ5 5 Є6 = Є6 + *Є55 Є = Є (? = 1,2,3,5) >

в котором

г 1 о о" 'о о о"

а' = о — 1 о , в' = 1 о о

о о о о о о

При переходе к новому базису структуры gз6 и gзз сохраняются и а' = а . Обозначая векторы базиса через ег, запишем структуру алгебры:

Є1Є2 = 2е1 5 Є1Є3 ~ —Є2 5 Є2Є3 ~ 2е3 5 Є4Є5 ~ ° Є4Є6 ~ Є4 5 Є5 Є6 ~ Є5 5 Є1Є4 ~ Є5 5 Є1Є5 = Є1Є6 = °5 Є2Є4 = Є4 5 Є2Є5 = —Є55 Є2Є6 = о5 Є3Є4 = Є3Є6 = о5 Є3Є5 = Є4.

Г X, X о "

X > о, так как в этом случае тождества Якоби не выполняют-

в) Матрица а не может иметь вид

ся ни при каких значениях X, \ и, V.

™ gз,5 +8з,1

Структура алгебры gs имеет вид хх2=х3, х1х3=-х2, х2х3=х1. е1,е2,е3 -базис g32 , где е1е2 = 0, е1е3 =0, е2е3 =0.

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г

При рассмотрении тождеств Якоби получаем систему скалярных уравнений

у 1 - Р11а1‘ - в2а2 - в/а3 + аіРі + а і в 2 + аі3Рз = 0 у 2 - в2а і - в22а 2 - в23а3 + а2 в і + а22 в2 + а2 в3 = 0 у 3 - вЗаі - в32а2 - вз3а3 + аіві + а32 в2 + аЗ3в3 = 0

- ві‘ - У ііаі' - у і2а2 - у і3а3 + а^у і + а/у 2 + а/у 3 = 0 * - в 2 - У 2аі‘ - У 2а 2 - у |а3 + а 2у і‘ + а 22у 2 + а 3у 3 = 0

- в3- у 3аі‘- у 32а 2- у 33а 3 + а з/і + а 32у 2 + а33у 3 =0 аі - У іві - У і2 в 2 - У і3в3 + вії і + ві2У 2 + ві3У 3 = 0 а 2- у іві‘- у 2 в 2- у 3 в3 + в 2у і + в 22у 2 + в 23у 3 =0

а ‘- у іві - у 32 в 2- у 33 в3 + Р 3у і‘ + в32у 2 + в 33у 3 =0

Для алгебр §3 5+§3 1 матрица а может быть приведена к одному из видов (2).

( Хі 0 0 ^

. Подставляя значения а в систему (6) получаем а/ = в/ = У / = 0, то есть алгебра g35+g31

(6)

і=1,2,3.

1)

0 Х2 0

0 0 X.

'3 У

является прямой суммой §35©§ .

(Х2 0 0 ^

2) При а =

получаем противоречие. Значит матрица а не может иметь вид III.

і У

3) К аналогичному результату придем в случае, когда

(X і 0 ^

а =0 X і

0 0 X

4) а =

0 X,

ц

0 — ц Х j

В этом случае тождества Якоби сводятся к следующим соотношениям

Xl = X2 = = 0, Ц = С с =0, = + с с -і

( 0 а Ь > ( 0 - Ъ а

в = с 0 0 , У = -а 0 0

0 0 У V с 0 0

В новом базисе

еі = еі, е2 = е2, е3 = е3, е4 = е4, е5 = ае5 + Ъе6, е6 =-Ьв5 + ае6

алгебра будет иметь структуру (обозначаем базисные векторы снова через е)

еіе2 = е3, е2 е3 = еі, е3еі = е2, е4 е5 = е4 е6 = е5 е6 = 0, еіе4 = е2 е5 = е3 е5 = 0,

Для остальных алгебр вида g36+g34, g35+g32, g35+g33, g35+g34 сразу из тождеств Якоби следует, что они могут быть лишь прямыми суммами простого и разрешимого идеалов

§3,6 ®§3,4 §3,5 ®§3^ g3,5 g3,5 ®ёэ,4

В итоге получаем следующую теорему.

еіе5 еб, еіеб Є5 , е2е4 Є5 , е2е5 Є4, Є3Є4 Є6 , Є3Є6 Є4

Теорема. Существует 16 типов неизоморфных действительных неразрешимых алгебр Ли шестого порядка:

1. полупростые g35©g35, g35©g36, g36©g36 ^35 - алгебра векторного произведения, g36 - алгебра проективной группы на прямой);

2. g3a©g3i (І = 1,2,3,4; а = 5,6) ( g3i - разрешимые действительные алгебры Ли третьего порядка) и пять алгебр, не разлагающихся в прямую сумму полупростого и разрешимого идеалов:

3. е1е2 = 2ех, е1е3 = —е2, е2 е3 = 2е3, е4 е5 = е5 е6 = е4 е6 = е1е6 = е2 е6 = е3е6 = 0, е1е4 = е5, е1е5 = 0, е2 е4 = е4, е2е5 =-е5, е3е4 = 0, е3е5 = е4

4. е1е2 = е1, е1е3 = —е2, е2 е3 = е3, е4 е5 = е4 е6 = е5 е6 = е1е6 = е2 е5 = е3е4 = 0,

е1е4 = е5 , е1е5 = е6, е2е4 = е4, е2е6 = —е6 , е3е5 = е4 , е3е6 = е5

5. е1е2 = 2е1, е1е3 = —е2, е2 е3 = 2е3, е4 е5 = е6, е4 е6 = е5 е6 = е1е6 = е2 е6 = 0, е1е4 = е5, е1е5 = 0, е2 е4 = е4, е2 е5 = —е5, е3 е4 = 0, е3е5 = е4е3е6 = 0.

6. е1е2 = 2е1, е1е3 = —е2, е2е3 = 2е3, е4е5 = 0, е4е6 = е4, е5е6 = е5, е1е4 = е5, е1е5 = е1е6 = 0, е2е4 = е4, е2е5 = —е5, е2е6 = 0, е3е4 = е3е6 = 0, е3е5 = е4.

7. е1е2 = е3, е2е3 = е1, е3е1 = е2, е4е5 = е4е6 = е5е6 = 0, е1е4 = е2е5 = е3е5 = 0,

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мубаракзянов Г. М. классификация вещественных структур алгебр Ли 5-ого порядка // Известия вузов. Математика. 1963. №3. С. 34.

2. Шевалле К. Теория групп Ли. М.: ИЛ, 1958. Т.3. 308 с.

3. Matei J. Classificarea grupurilor Lie reale nemtegralile cu sase parametric // Studii si cercetari mat. Acad. RSR. 1969. 21. №2. S. 235-249.

е1е5 е6, е1е6 е5 , е2е4 е5 , е2е5 е4 , езе4 е6 , е3е6 е4