Неопределенные дискретные системы: устойчивость, неустойчивость, аттрактор Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 2

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ: УСТОЙЧИВОСТЬ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, АТТРАКТОР*

И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9 Рассматривается система

xk+i = A(k)xk, (1)

где A(k) € Rn X Rn — матрица, коэффициенты aj (k) которой являются неупреждающими функционалами произвольной природы. Предполагается, что элементы, стоящие выше главной диагонали до (p + 1)-го столбца включительно и ниже главной диагонали от (p + 1)-го столбца до (n — 1)-го столбца включительно, удовлетворяют условию

sup |aj (k)| < а.

k

Для остальных элементов имеет место оценка

sup |aj (k)| < S.

k

Получена верхняя оценка на параметр S, при которой система (1) глобально экспоненциально устойчива, если

sup \ац(к)\ < 1 (г € 1 , га), k

и неустойчива, если существует j, при котором

inf |ajj(k)| > 1.

k

В случае, когда элементы, стоящие на главной диагонали, являются функциями от xk и удовлетворяют при 0 < r < R условиям

sup \ац(к)\ < 1, inf \ац(к)\ >1 (г € 1 ,га),

\xk \ >R \xk \<r

система (1) имеет глобальный аттрактор. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: неопределенные дискретные системы, устойчивость, неустойчивость, глобальный аттрактор.

1. Введение. Устойчивости и асимптотическому поведению решений дискретных систем посвящена обширная литература. Из последних работ укажем [1, 2]. В [3] исследовалась устойчивость неопределенных дискретных систем с помощью метода линейных матричных неравенств. В [4] для некоторого класса неопределенных дискретных систем были получены условия глобальной экспоненциальной устойчивости с помощью построения специальной квадратичной функции Ляпунова. В данной статье класс устойчивых неопределенных дискретных систем значительно расширен. При этом получены также условия неустойчивости состояния равновесия и наличия глобального аттрактора.

2. Формулировка результата. Рассмотрим систему

хк+1 = А(к)хк, к = 0,1, 2,..., (1)

где А(к) € К"х" —матрица, элементы а^(к) которой являются неупреждающими функционалами произвольной природы, например, функциями от к и х(]) при ] < к.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14.01.00107а).

Предполагается выполнение следующих условий:

эир \ац(к)\ < а* < 1, г £ 1, п,

к

вир |а^ (к)| < а

при

при

(г,Я € = {г € 1,р - 1; з € г + 1,р} и {г € р + 2,п; з € р + 1, г - 1},

вир |а.у (к)| < 6

г .?> (Л.?) € = {г € 1, п; з € 1,п} \ Па.

(3)

(4)

В (2)-(4) а* и а — заданные параметры, а 6 — достаточно малое число, которое будет выбрано ниже. Иными словами, элементы матрицы А(к), стоящие на главной диагонали, обладают свойством (2); элементы, стоящие выше главной диагонали до р-го столбца включительно и ниже главной диагонали от (р + 1)-го столбца до (п — 1)-го столбца включительно, удовлетворяют условию (3). Для остальных элементов справедлива оценка (4).

Представим матрицу А(к) в виде

А(к) = Аа(к) + Ав (к),

(5)

где матрица Аа (к) получается из А(к) обнулением всех элементов, удовлетворяющих условию (4). Матрица Аа(к) имеет следующий вид:

Аа(к) = А1(к)+ А2(к),

(6)

где

А1(к) =

Ар (к) 0£—р

Ор 0п-р

п—р п—р

А2(к) =

ор 0р

оп—р 0р

0п-р Ап—р(к)

Здесь О* — нулевая (г х ^-матрица,

Ар(к)

Ап—р(к) —

( ац(к) а12(к) 0 а22(к)

V о о

( ар+1,р+1(к) 0 ап— 1,р+1 (к)

\ ап,р+1(к)

а1,р— 1(к) а1,р(к) \ а2,р—1(к) а2,р(к)

(к) 0

• •• ап— 1,п— 1(к) 0

• •• ап,п— 1(к) а„п (к) )

Рассмотрим функцию Ляпунова

Ук = хк Нхк,

(7) 177

к

0

0

где H = diag(hi,..., hn) > 0. Приращение ДУк = Vk+1 — Vk имеет вид

ДУк = x*k (A*(fc)HA(fc) — H )xfc. Потребуем наличие свойства

ДУк < — Фк|2, е> 0, (8)

из которого следует глобальная экспоненциальная устойчивость системы (1). Ввиду соотношения (5) свойство (8) эквивалентно матричному неравенству

D d=f (Aa(fc) + As(fc))*H(Aa(k) + As(k)) — H + £/„ < 0, (9)

где In —единичная (n x п)-матрица. Очевидно представление

D = Di + D2 — e/„,

где

(10)

= - Н + 2е/„,

= А^^НД, (Л) + А|(Л)НАа(Л) + Л|(А;)НЛЙ (Л). Для справедливости (9) достаточно выполнения неравенств

А < 0, (11)

^2 <£/„. (12)

Мы сначала выберем параметры Л-1,..., Нп таким образом, чтобы удовлетворить неравенству (11), а затем выберем 5 в условии (4), при которой справедлива оценка (12). Ввиду представления (6) оценка (11) эквивалентна следующим неравенствам:

Вр(Л) = Ар(Л)*Н1Ар(Л) - Н1 + 2е/р < 0, (13)

В„_Р(Л) = А„_р(Л)*Н2А„_р(Л) - Н2 + 2е/„_р < 0, (14)

где Н1 = diag(h1,..., Н2 = diag(hp+1,..., Л.„). Обозначим через в^ (Л) элементы матрицы Вр(Л). Они имеют следующий вид:

в11(Л) = (а?1(Л) - 1)^1 + 2е,

в22(Л) = а?2(Л)^1 + («22(Л) - 1)^2 +2е,

врр(Л) = а2р(Л)^1 + а^Л)^ + ••• + (арр(Л) - 1)^ + 2е,

в12(Л) = в21(Л) = ац(Л)а12 (Л)^1, в1з(Л) = вз1(Л) = аи(Л)я1з (Л)^1,

в1р (Л) = вр1(Л) = ац(Л)а1р(Л)^1,

в2з(Л) = вз2(Л) = 012(^)013(^)^1 + а22(Л)а2з(Л)^2,

в2р(Л) = вр2(Л) = а12(Л)а1р (Л)^1 + а22(Л)я2Р(Л)^2

A;(k) =

Обозначим через Aj (k) главные диагональные миноры матрицы Bp(k), отсчитываемые сверху. Очевидно, что

Ai(k) = (a?1(k) - 1)hi + 2е.

Поэтому в силу условия (2) Ai(k) < (а* — 1)/и + 2е и Ai(k) < —1 при h\ = j^f--Предположим, что найдены такие h¿ (г < l), что signAj(k) = ( — 1)г. Представим A; (k) в виде

' K,_i(k) q; (k) q'l (k) к; (k) + (a2(k) - 1)h;

где det K;_i(k) = A;_i(k), K;(k) = a2;(k)hi + a|;(k)h2 +-----+ a2;_i(k)h;_i + 2e, а q;(k)

и K;_i(k) зависят только от выбранных hi,..., h;_i и параметров а? и а из условий (2), (3). По лемме Шура

A;(k) = A;_i(k)[K (k) + («2;(k) - 1)h; - q?(k)^(k)q;(k)].

В силу условия (2) выражение, стоящее в квадратных скобках, отрицательно при достаточно большом h; и, следовательно, signA;(k) = -signA;_i(k). Таким образом, выбраны такие hi,..., hp, при которых справедлива оценка (13). Аналогичным способом выбираются последовательно hn, hn_i, ..., hp+i, при которых справедливо неравенство (14). При этом главные диагональные миноры отсчитываются снизу.

Найдем теперь оценку на параметр S в условии (4), которая гарантирует справедливость неравенства (12). Из неравенства Рэлея следует, что для выполнения (12) достаточно, чтобы

AmaX(D2) <£. (15)

Будем обозначать через \М\ евклидову норму матрицы М, а через \\М\\ = \/АтаХ(ММ*) — ее спектральную норму. Поскольку матрица D2 симметрична, Amax(D2) = ||D2П. Оценим ||D2||. Из (10) следует оценка

IID2N < NAí||2||H|| + 2||A¿|| • |H|Aa||. Поскольку ||Я|| = h* = max hj и ||-Аа|| < \Аа\, справедливо неравенство

г£ 1,71

||D2| < (A|2 + 2|Aá| - |Aa|)h?. (16)

Из условий (3), (4) вытекают оценки

\Аа\ < х\ = у/nal + 5а2 (n2 — 2пр + 2р2 — п),

|A¿| < 5>С2, Х2 = \/0, 5п2 + пр — р2 — 0, Ъп. Отсюда и из (16) следует неравенство

||D2|| < h?(S2к2 +2SK2Ki).

Поэтому свойство (15) выполняется, если

0<6<^1±уШИ, (17)

K2

Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. Если выполнены условия (2)-(4) и параметр ö удовлетворяет оценке (17), то система (1) глобально экспоненциально устойчива.

Замечание. Условия (2)-(4) весьма ограничительны, так как исключают из рассмотрения системы, коэффициенты которых являются полиномами относительно xk, xk-i,..., xo. Однако, если начальное состояние xo принадлежит ограниченной области, то рассуждения остаются в силе и гарантируют экспоненциальную устойчивость, но не в целом, а в большом. Действительно, пусть супремумы в условиях (2)-(4) берутся в области D = {|x(i)| < Д, i = k,k — 1,...,0}. Тогда согласно неравенству Рэлея

Amin (H )|x|2 < x*Hx < Amax(H )|x|2

траектории не выйдут из D, если xOHxo < hmin(H)Д2.

Предположим теперь, что не все элементы, стоящие на главной диагонали, удовлетворяют неравенству (2). Пусть

inf |ай(k)| > 1 при i € {ii, i2, .. ., is}, k _ (-^g-j

sup \ац(к)\ < а* < 1 при г (E 1, n \ {«i, «2, • • •, «s}-k

Легко видеть, что все рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, остаются в силе с той лишь разницей, что параметры hj при i € {ii, i2,..., is} выбираются отрицательными. Поэтому функция Ляпунова (7) будет знакопеременной (либо отрицательной, если s = n в условии (18)), что при наличии свойства (8) приводит к неустойчивости состояния равновесия x = 0. Таким образом, справедлив следующий результат.

Теорема 2. Если выполнены условия (3), (4), (18) и ö удовлетворяет оценке (17); где /г* = max \hj\, то состояние равновесия системы (1) неустойчиво.

iE 1,п

Рассмотрим систему (1), в которой элементы, стоящие на главной диагонали, являются функциями от xk , удовлетворяющими условиям

sup |ац(хк)\ < а* < 1, inf \ац(хк)\ >1, г G 1,п, (19)

|xfc|>R |xfc<

где r < Д. Остальные элементы обладают свойствами (3), (4). Построим матрицу H > 0 по теореме 1. Из неравенства Рэлея следует, что

Mi = {x | x*Hx > h* Д2} С {x | |x| > Д}.

Поэтому все траектории, выпущенные из множества Mi, при n ^ то входят в M+ = {x | x*Hx < h*R2}. Построим отрицательно определенную матрицу H3 по теореме 2. Согласно неравенству Рэлея x*H3x < Amax(H3)|x|2. Отсюда следует оценка |x|2 <

x x I 12 2

-- . Поэтому \x\z < г , если

Amax("3 )

x € M2 = {x | x*( — H3)x < —Amax(Hs)r2 },

и все траектории, начинающиеся в множестве M2, при k ^ то его покидают. Таким образом, доказана

Теорема 3. Если выполнены условия (3), (4), (19) и 6 удовлетворяет оценке (17), то система (1) имеет глобальный аттрактор, находящийся в области M+ \ M2.

3. Заключение. Рассмотрена дискретная система, коэффициенты которой являются произвольными неупреждающими функционалами, в частности функциями от состояний системы в неупреждающие моменты времени. С помощью квадратичной функции Ляпунова получены достаточные условия глобальной экспоненциальной устойчивости, неустойчивости и существования глобального аттрактора.

Литература

1. Huabin Chen, Yong Zhang, Yang Zhao. Stability analysis for uncertain neutral systems with discrete and distributed delays // Applied Mathematics and Computation. 2012. Vol. 218. P. 11351—11361.

2. Jong Son Shin, Toshiki Naito. Representation of Solutions, Translation Formulae and Asymptotic Behavior in Discrete Linear Systems and Periodic Continuous Linear Systems // Hiroshima Math. J. 2014. Vol. 44. P. 75-126.

3. Katasuya Yokoi. Recurrence Properties of a Class of Nonautonomous Discrete Systems // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2013. Vol. 20. P. 689-705.

4. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Устойчивость неопределенных дискретных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2009. Сер. 1. Вып. 1. с. 3-9.

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2014 г. Сведения об авторах

Зубер Ирина Ефремовна —доктор технических наук, ведущий научный сотрудник; [email protected]

Гелиг Аркадий Хаимович — доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

UNCERTAIN DISCRETE SYSTEMS: STABILITY, UNSTABILITY, ATTRACTOR

Irina E. Zuber, Arkadiy Kh. Gelig

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected] We consider a system

xk+i = A(k)xk, (1)

where coefficients of matrix A(k) € Rn X Rn «¿j (k) are nonlook-ahead functionals of arbitrary character. It is supposed that elements placed above principal diagonal to (p + 1) column with index (p + 1) inclusively and elements placed below principal diagonal from column with index (p + 1) to column with index (n — 1) incensively comply with condition supk |«¿j (k)| < a. The rest elements comply with estimation supk Kj (k)| < &.

The upper estimation for parameter <5 is received for which system (1) is globally exponentially stable if supfc \ац(к)\ <1 (г € l,ri) and this system is unstable if such j exists that inf^ \ajj(k)\ > 1. In case when elements placed on principal diagonal are functions of Xk and if 0 < r < R comply with conditions sup|x^|>л \au(xk)\ < 1> inf||<r \au(xk)\ >1 (i € l,ra) the system (1) has global attractor. Refs 4. Keywords: uncertain discrete systems, stability, unstability, global attractor.

References

1. Huabin Chen, Yong Zhang, Yang Zhao, "Stability analysis for uncertain neutral systems with discrete and distributed delays", Applied Mathematics and Computation 218, 11351-11361 (2012).

2. Jong Son Shin, Toshiki Naito, "Representation of Solutions, Translation Formulae and Asymptotic Behavior in Discrete Linear Systems and Periodic Continuous Linear Systems", Hiroshima Math. J. 44, 75-126 (2014).

3. Katasuya Yokoi, "Recurrence Properties of a Class of Nonautonomous Discrete Systems", Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 20, 689-705 (2013).

4. Zuber I.E., Gelig A. Kh., "Stability of uncertain discrete systems", Vestnik SPbGU Ser. 1. Is. 1. P.3-9 (2009) [in Russian].