CC BY
37
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4
МОДАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА РАВНОМЕРНО УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ*
И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р техн. наук, вед. науч. сотр., [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
1. Введение. Рассмотрим систему
х = Ах + 6м, (1)
где А £ Мпх", 6 £ М"х1. Если А и 6 постоянные и выполнено условие управляемости
|ае1(А"-16, ...,А6,6)| > 0, (2)
то, как известно, существует такой вектор в, что при м = (в, х) система становится асимптотически устойчивой. Для случая нелинейной стационарной системы у = /(у) + д(у)м, где f (у) и д(у) —достаточно гладкие столбцы из К", и £ К1, в [1, 2] был разработан метод стабилизации, заключающийся в построении преобразования х = р(у), после чего система принимает вид (1), в котором 6 — последний единичный орт, а матрица А является матрицей Фробениуса с функциональной нижней строкой. После этого м(х) выбирается таким образом, что система становится линейной стационарной с заданным спектром, лежащим в левой полуплоскости. Однако этот подход применим лишь при условии, что невырождена матрица
Ш (у) = (д(у),д1(у),...,дп-1(у)),
где д1 = [#,/], дк+1 = [дк,1] (к = 1,...,п - 1), [д,/] = Цд - §§/ — скобка Ли, и вектор (р1(у),... ,рп(у)), являющийся последней строкой матрицы Ш-1(у), образует потенциальное поле, т.е. = Щр.
В предлагаемой статье рассматривается нелинейная и нестационарная система вида (1) в предположении, что условие управляемости (2) выполнено равномерно для всех значений аргументов. При этом управление м строится таким образом, чтобы спектр замкнутой системы лежал в левой полуплоскости и был постоянным, а замкнутая система была глобально экспоненциально устойчивой. Этот подход применяется также для синтеза стабилизирующего управления дискретной системой
хп+1 Апхп + 6пм".
2. Непрерывные системы. Рассмотрим при £ > ¿о систему
х = А(-)х + 6(-)м, х(£о ) = хо, (3)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10.01.00107). © И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг, 2013
где А(-) е кпх", &(•} е М'
>х1
> 1. Элементы а, (•) матрицы А(^) и $(•) столбца
&(•) являются неупреждающими функционалами. Например, а, (•) = (£, ж(£),ж(£ — т), |х(Л)|2¿Л), где —непрерывная функция. Предполагается, что для системы (3) справедлива теорема существования решения и продолжимости при всех £ > ¿о любого решения, остающегося в ограниченной области. Предполагается также выполнение следующих условий:
вир |А(•) | < К1Л, (•)
вир |6(-)| < К2,
(•)
|ДИ(0| > кзЛм.
(•Г
(4)
(5)
(6)
Здесь и далее | • | — евклидова норма, щ — константы, зависящие только от п и не зависящие от Л и ^ > 0, Л > 1,
Д«0) = (-Ж-),...,Л(-Ж0,Ь(0).
Рассмотрим спектр
Лг = —Л(1 + фг)к (г = 1,...,п), где фг = г/(п + 1), и выберем управление в виде
«(•) = в*(-)ж,
(7)
(8)
где в(^) е Мпх1, * — знак транспонирования (все величины вещественные). В силу условия (4) спектр (7) отделен от спектра матрицы А(^). Поэтому согласно [3, 4] и условию управляемости (6) замкнутая система
будет иметь спектр (8), если в(-) удовлетворяет системе уравнений
где
(•) = —1 = 1,...,п),
(0 = (А(0 — Л, /„ГЧ),
(9)
(10)
(11)
/„ — единичная (п х п)-матрица. Найдем условия, при которых система (9) глобально экспоненциально устойчива.
Рассмотрим спектральное разложение матрицы Д(-):
где
£(•) = £ Л,- М, (•),
5 = 1
м, (•) = (•),•),
(•)= Л,(•), (•) = Л,(•),
1, г = .7,
0, г =
(12)
(13)
п
Производная по £ от функции Ляпунова V(х(£)) = |х(£)|2, взятая в силу системы (9), имеет вид
^=х*Р(.)х, Р(.) = £)(•)+£>*(•)• (15)
Найдем условия, гарантирующие отрицательную определенность матрицы Р(■). Из (12), (13), (7) вытекает представление
п п
Р (.) = -Ак^ (м, (•) + м;(.)) ^ ф, (м, (.) + м*(-))]. (16)
Легко убедиться в справедливости соотношения
!>;(•)=1п, (17)
,=1
умножив его слева на матрицу С(-) = (#1(-),..., 0п(-)) и воспользовавшись свойством (14). Из (7), (16), (17) следует неравенство
п
Р(•) <-2к^( 1 -^М(0|)1п. (18)
¿=1
Согласно (13) справедлива оценка (19)
М (-)|<И, (-)Мз, (-)|. (19)
В силу (4), (5), (11) имеет место неравенство
1
А
< (20)
где Д,(■) = ае*(А(-) - А, 1п).
Перейдем к оценке Согласно (14) справедливо С(-) = (С*(-))-1, где С(■) =
(¿1(-),..., ¿п(-)). Поэтому элементы (■) матрицы С(-) имеют вид
аеШ^О)
с1еШ(.) ' [ '
где det C¿j(■) — алгебраическое дополнение (г,^')-го элемента матрицы С(■). Справедлива формула
det С(-) = П det(A(•) - А, 1п)-1 Ц (Ак - А;)ДИ(-). (22)
-1
±п )
,= 1 к=2,...,п
1=1,...,к-1
В этом легко убедиться, если умножить матрицу С(■) слева на ПП=1(А(-) - А¿/n) и воспользоваться перестановочностью матриц (А(-) - А¿/n). Из (22), (6), (7) вытекает неравенство
|Ле'сн|>*5пЕЖ(Т (23)
55
Оценим |Спп(-)|, воспользовавшись представлением
(А() - Лк/„)-1 =
Ак (•)
( <(•) ... <(•)
\ а"1(') ...
где
4(0 - \~ч -к 4 (•) = т? (^)Л"-2 Тогда матрица С(•) примет вид
( —1)"-1Л"-1 + т« ()Л"_2 + ••• + <—(•), +-----+ т"-1() пРи г =
(24)
С (•) =
( ¥>*(•)
А1(-) А2(0 ' • А„(.)
¿(0
V А1(-) А2(0 • • Д„(.) У
где
(•) = ак1 (ОА (•) + ••• + «КШО,
(25)
— элементы столбца 6(). Подставив выражение (24) в (25), приходим к формуле
^ (•)= Рг^М"- + Рг2 (•)Л"_2 + ••• + Р" (•).
(26)
Поскольку элементы аг,(•) матрицы А() в силу условия (4) удовлетворяют оценке
(•)| < к. Л, то коэффициенты рг,(•) ограничены следующим образом: |рг,(•
<
КбЛ? 1 (7 = 1,..., п). В силу (26) справедливо представление
С„„ (•)
П^АкС-)
(27)
1к=1 Ак О
где Шпп(^) = ^(0,... ,р„_1(-)|, = Г1 (•)Л"_1 + Г2()Л"_2 + • • • + г„(•), Г1 (•) =
(р11 (•),... ,Р"_1д(0)*, ..., Г"(•) = (р1"(^),... ,Р"-1,"(-))*. Оценим определитель С этой целью вычтем последний столбец рп-1() из всех предыдущих и после этого из каждого 7-го столбца (7 = 1,..., п — 2) вынесем множитель Лп_1 — Л,. В результате ш„„(-) примет вид
п_2
= П(л»-1 — л, )|р1(),р2(), ..., р"_2 (•), Р"_1 (•) |. ,=1
Вычтем затем столбец 2() из всех предыдущих и после этого из каждого г-го столбца (г = 1,..., п — 3) вынесем множитель Лп_2 — Лг .В результате получим
п_2 "—3
««»(•) = П(Л"_1 — л, Ш(Л"_2 — л)|р2(),р2(), ... ,р"_з(^),р"_2 (0,Р"-1(0|.
,=1 ¿=1
Продолжая этот процесс, после (п — 2)-го шага придем к представлению
"""(•) = П (Л — Л, )Й"П('), (28)
,=2,...,г-1
1
где
Ппп(-) = |рП-2('),...,РП-з('),рП-2(-),Рп-1 (■
В силу (7), (27), (28) имеет место соотношение
(тг — 1) (тг —2)
\detCU-) К"7 \ 1""(')1-
Аналогичным образом оцениваются и другие миноры:
(тг — 1) (тг —2)
Ш=1,...,п; k=j |Ak ()|
В силу (21), (23) справедливо неравенство
п
g()| < К8A-(n-1)|Aj()|A-^ (•)|.
i=i
Отсюда и из (19), (20) вытекает соотношение
п i=i
Поэтому
п п
]T|Mj()| < К9A-^ ()|
j=1 i,j=1
и при выполнении условия
n AM
sup |iiy(.)| < — (29)
справедлива оценка
n
sup^ |Mj()| < 1.
Отсюда в силу (15), (18) следует глобальная экспоненциальная устойчивость. Сформулируем полученный результат.
Теорема 1. При выполнении условий (4), (5), (6), (29) система (3) глобально экспоненциально устойчива, если управление определяется формулами (8), (10),
(11), (7).
3. Дискретные системы. Применим разработанный выше аппарат для стабилизации дискретной системы
x(k +1) = A(k)x(k) + b(k)u(k), (30)
где A(k) £ Rnxn, b(k) £ Rnx1. Предполагается выполнение условий
sup |A(k)| < k1A, (31)
k
sup |b(k)| < к2, (32)
k
|Аи(к)| > кзЛ^, (33)
к
где А„(к) = (А"-1 (к)6(к),...,А(к)6(к),6(к)). Выберем спектр замкнутой системы в виде
= Фг = —г (г = 1,...,п). (34)
Л п +1
Поскольку согласно теореме Гершгорина [5] каждое собственное число V, (к) матрицы А(к) расположено в одном из кругов
"
|агг (к) — ^ (к)| < |аУ (k)|,
для отделимости спектра (34) от спектра матрицы А(к) достаточно выполнения условия
"
|агг (к)| > ^ |аг, (к)| + 6 (г = 1,...,п; 6> 0). (35)
Поэтому будем предполагать, что параметр Л удовлетворяет неравенству
Л > тах{ 1, 1/6}. (36)
Определим управление формулой
м(к) = в*(к)х(к), (37)
где в (к) является решением системы уравнений
в* (к)^(к) = —1 (г = 1,...,п), (38)
¿г (к) = (А(к) — Лг/")-16(к). (39)
Замкнутая управлением (37) система (30) примет вид
хк+1 = Б(к)х(к), (40)
где Б (к) = А(к) + 6(к)в*(к). Воспользуемся спектральным разложением
Б(к) = ^ ЛгМг(к), Мг(к) = ¿г(к)д*(к), Б(к)^(к) = Лг¿г(к), Б* (к)№(к) = Л^(к),
¿*(к)дг(к) =
г=1
1 при г = 7,
0 при г = 7.
Приращение функции Ляпунова V(х(к)) = |х(к)|2 имеет вид
V (х(к + 1)) — V (х(к)) = х*(к)Р (к)хк,
где Р(к) = Б(к)Б*(к) — Поэтому для отрицательности матрицы Р(к) достаточно выполнения условия
вир |Б(к)| < 1, (41)
к
которое будет иметь место, если справедливо соотношение
п
эир^ М(к)| < Л.
к - .. 5 = 1
Рассуждая так же, как в разделе 2, приходим к оценке
пп
впр^ М(к)| < К9Л-^ (к)|.
к 5=1 1
Поэтому неравенство (41) будет выполнено, если
п л^+1 вир V \П^(к)\ < -. (42)
к . . Кд
Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. При выполнении условий (31), (32), (33), (35), (36) система (30) глобально экспоненциально устойчива, если управление определяется формулами (37), (38), (39), (34).
4. Заключение. Рассматривается непрерывная система, у которой элементы матрицы объекта управления и столбца распределения управления являются неупре-ждающими функционалами произвольной природы и ограничены. В частности, они могут быть нелинейными функциями времени и состояния системы. Предполагается, что определитель матрицы управляемости отделен от нуля. По выбранному постоянному спектру, расположенному в левой полуплоскости, строится линейная обратная связь, коэффициенты которой выражаются через элементы матрицы объекта управления и столбца распределения управления. Найдены условия, при которых замкнутая система глобально экспоненциально устойчива. Аналогичный результат получен для дискретной системы.
Литература
1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. II. London: Springer, 1999.
2. Zak S. H. Systems and Control. Oxford: Oxford Univ. Press, 2002.
3. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.
4. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. New Jersey: World Scientific, 2004.
5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.
