CC BY
10
УДК 517.929 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 1 МБС 93Б20
Стабилизация некоторых классов неопределенных систем*
М. С. Захаренков
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Захаренков М. С. Стабилизация некоторых классов неопределенных систем // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1. С. 51-59. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.106
Рассматривается задача синтеза стабилизирующего управления и для систем
Лх . „ — = Ах + Ви, т
где А € Р"Х",Б € КпХт. Элементы (•) матрицы А являются равномерно ограниченными неупреждающими функционалами произвольной природы. В случае непрерывной системы элементы матрицы Б также являются непрерывными и равномерно ограниченными функционалами. В случае импульсного уравнения элементы матрицы Б — дифференцируемые равномерно ограниченные функции времени. Предполагается, что выше главной диагонали матрицы А(-) имеется к изолированных равномерно ограниченных элементов а^ (•), удовлетворяющих условию
Мк,Л (01 > а- > 0, 1еТ7к,
Ок — множество имеющихся в системе изолированных элементов; J1 — это множество индексов строк матрицы А(-), в которых имеются изолированные элементы, а J2 — множество индексов строк матрицы А(-), в которых их нет. Предполагается, что остальные элементы, находящиеся выше главной диагонали, с индексом строки из Jl достаточно малы:
sup |а^ (0| < 3, а.1,з / Ок, г € Jl, 3 > г. (•)
Все остальные элементы, стоящие выше главной диагонали, равномерно ограничены.
В непрерывном случае выполняется и = £(-)х, в случае импульсной системы — и = £(£), где составляющие вектора £ являются выходами синхронных импульсных элементов.
С помощью построения специальной квадратичной функции Ляпунова определяется матрица £(•), при которой в непрерывном случае замкнутая система становится глобально экспоненциально устойчивой. В импульсном случае синтезируются сигналы на входах импульсных элементов, при которых система становится глобально асимптотически устойчивой.
Ключевые слова: неопределенные импульсные системы, стабилизация неопределенных систем.
*Работа выполнена при финансовой поддержке СПбГУ (тема 6.38.230.2015) и РФФИ (грант 17-01-00102а).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018 https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.106 51
1. Введение. Во многих работах по стабилизации неопределенных систем рассматриваются системы, у которых неопределенными являются вариации известных элементов матрицы объекта управления [1, 2]. В работах [3-7] неопределенными считаются сами элементы. В [3-5] предполагается, что элементы первой наддиагона-ли являются знакоопределенными. В [6] знакоопределенными допускались элементы, расположенные на верхней части любой наддиагонали. В работе [7] знакоопределен-ные элементы были разбросаны хаотично выше главной диагонали. В первой части данной работы будет рассмотрено расширение класса непрерывных неопределенных стабилизируемых систем, предложенного в [7], путем снижения требований к некоторым элементам, находящимся выше главной диагонали. Во второй части работы будет предложен основанный на реализации метода усреднения сигналов в [8] и результатах, полученных в первой части, алгоритм стабилизации импульсной неопределенной системы с матрицей объекта управления, принадлежащей классу, определенному в первой части. Метод усреднения сигналов на выходах модуляторов впервые без строгого обоснования был описан в работе [9]. Далее он был строго математически обоснован в [10].
2. Стабилизация непрерывной системы. Рассмотрим систему
^=А(.)х + В(.)и, (1)
u = S* О, (2)
где A(-) е Rnxn,B(-) е Rnxm,S(■) е Rnxm, * — знак транспонирования (все величины вещественные). Задача — построить такую матрицу S(■), при которой система (1), (2) глобально экспоненциально устойчива. Элементами матриц A(-), B(-), S(-) являются неупреждающие функционалы произвольной природы. Элементы a,j(■) матрицы A(-), стоящие на главной диагонали и ниже нее, равномерно ограничены:
sup |aj j(-)| < ац_1 < оо, i G 1, n; j G 1, i. (3)
(•)
Назовем знакоопределенный элемент изолированным, если в строке и столбце, на пересечении которых он расположен, нет других знакоопределенных элементов. И предположим, что выше главной диагонали матрицы A() имеется k изолированных равномерно ограниченных элементов a^j (■), удовлетворяющих условию
>«- >0, /€1Л (4)
За Gk обозначим множество имеющихся в системе изолированных элементов. Пусть Ji —это множество индексов строк матрицы A(), в которых имеются изолированные элементы, а J2 —множество индексов строк матрицы A(), в которых их нет. Предполагается, что остальные элементы, находящиеся выше главной диагонали, с индексом строки из Ji достаточно малы:
sup |а,j(■) <s, ai,j е Gk, i е Ji, j > i. (5)
(•)
Все остальные элементы, стоящие выше главной диагонали, равномерно ограничены:
sup |ai,j(■) < a+2 < to, i е J2, j > i. (6)
(•)
Предположим, что т = п — к и элементы вг](•) матрицы Б() обладают свойствами
|вг.»|> во > 0, (7)
вир |вг.,»(01 < в+ < те (8)
(•)
при г8 (Е 1,п\{«1, • • • ,гк\, остальные элементы матрицы В(-) нулевые. Построим функцию Ляпунова
V (х) = х* Н-1х (9)
с положительной матрицей Н следующей структуры. На главной диагонали стоят положительные числа Ъ,1,... ,Нп. Элементы матрицы Н, индексы которых совпадают с индексами элементов из множества О к, а также симметричные им по отношению к главной диагонали имеют вид
Км = К,ч = -О.бу^А^по^Д-)- (10)
Остальные элементы матрицы Н равны нулю. Задача заключается в определении элементов Ъ^ (г € 1,п) и матрицы 5(0, при которых производная по времени от функции (9), взятая в силу системы (1), (2), обладает свойством
— <-ах*Н~2х, х^О, а>0. (11)
¿г г '
Отсюда следует глобальная экспоненциальная устойчивость рассматриваемой системы. Неравенство (11) равносильно матричному неравенству
А*(ОН-1 + Н-1А() + 5()Б*()Н-1 + Н-1Б(^)Б*(•) + аН-2 < 0,
которое после умножения слева и справа на Н принимает вид
НА*(•) + А(^)Н + НБ(^)Б*(^) + Б(^)Б*()Н + а1 < 0,
где I — единичная матрица п х п. Полагая в нем
5(0 = Н-1АБ(0, (12)
где Л = diag(Al,..., Ап), приходим к неравенству
Q(•) = НА*(•) + А()Н + ЛБ()Б*() + Б()Б*()Л + а1 < 0. (13)
Представим матрицу А() в виде А() = А1 (•) + А2(), где А1(^) получается из А() обнулением всех элементов из (5). Неравенство (13) принимает следующий вид:
Ql(•) + Q2(•) < 0,
где Q1(■) = НА1(-) + А1(-)Н+АВ(-)В*(-) + В(-)В*(-)А + 2а11^2(-) = НА*2{-) + А2{-)Н-а1. Определим элементы матрицы Н и числа А^ (г € 1, п) таким образом, чтобы выполнялось свойство
Ql(•) < 0. (14)
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1 53
Определим матрицу QJl (■) как матрицу, состоящую из элементов матрицы с индексами из Jl^.
Ql1 (•) = (91<„- (ОЬе! • Поскольку у матрицы Б(-) в каждом столбце имеется ровно один ненулевой элемент, а в каждой строке — не более чем один ненулевой элемент, то для удобства пронумеруем ненулевые элементы матрицы Б(-) номерами строк, в которых они находятся. Далее перейдем к последовательному анализу нижних главных диагональных миноров матрицы Ql(•). Рассмотрим первый нижний главный диагональный минор матрицы
Ql(•).
Д1(-) = Т1(-) + 2в„(-)2Л„,
где
ЗД = 2а + 2ап,п()Нп, если ап-1,п(-) не изолированный, и
ВД = 2а + 2а„ п— 1,п п
если ап-1,п(-) изолированный. Матрица Т1(-) равномерно ограничена вследствие (3), (10). Таким образом, выбрав достаточно большое по модулю отрицательное число Лп, можно добиться того, что Д1 (-)<0.
Перейдем ко второму нижнему главному диагональному минору матрицы Ql(•). Его вид будет зависеть от того, является ли элемент ап-1,п(-) изолированным. Если он не изолированный, то элемент п-1 (■) содержит внутри себя слагаемое вида 2вп—1(')2Лп-1. Сгруппировав все слагаемые второго минора, получим
Д2 (■) = Т2(-) +Лп-1(-) + 4вп-1(-)вп (')Лп-1 Лп, (15)
где матрица Т2(-) равномерно ограничена, Лп-1(-) не зависит от Лп-1, но зависит от Лп. Здесь за счет выбора достаточно большого по модулю числа Лп-1 мы добиваемся того, что Д2(') > 0. Пусть теперь п — 1 € Jl. В этом случае второй нижний главный диагональный минор матрицы Ql(•) можно записать в следующем виде.
Д2(-) = ВД + <71„_1 ,„_1 (■) ■ 2вп(-)Лп = Т2(-) + 2Д^ (.)вп(-)Лп, (16)
где матрица Т2(') равномерно ограничена, Д11 (■) —первый нижний главный диагональный минор матрицы QJl(■). Таким образом, имеем signД2(•) = —signqln_1 п-1 (■). Ключевым внутри п-1 (■) является слагаемое
п— 1,п ( ■) ,
где благодаря выбору достаточно большого значения Л.п мы добиваемся отрицательного знака для п-1 (■), и соответственно получаем Д2О) > 0. Рассмотрим теперь общий вид г-го нижнего главного диагонального минора матрицы Ql(•).
Д4(-)= + (•) П вг2(-)Аг, (17)
IG J2,1>n-i
где матрица Ti(^) равномерно ограничена, Л„_4+1(-) не зависит от Ad (d = min l)
IG J2,1>n-i
j —количество строк с изолированными элементами матрицы A(-), считая снизу до
О т
текущей строки, Д] 1 (•) — ]-й нижний главный диагональный минор матрицы Q11 (•). Возможность записи г-го минора в таком виде доказывается по индукции и является возможной благодаря удачному выбору структур матриц Н и Л.
Таким образом, если в г-й строке матрицы А() нет изолированного элемента, то мы добиваемся нужного нам знака минора Дп-г+1 (•) матрицы Ql(•) за счет выбора достаточно большого по модулю числа Аг. В противном случае, если существует аг,](•) —изолированный элемент в матрице А(), мы добиваемся нужного знака минора Дп-г+1 (•) матрицы Q1(•) за счет выбора достаточно большого значения К]. Оставшиеся элементы матриц Н и Л определим единицами. Таким образом, можно добиться выполнения для матрицы Ql(•) критерия Сильвестра.
Отдельно стоит отметить то, какое влияние оказывают элементы из (6) на знак минора. Чтобы убедиться в том, что эти элементы существенно не влияют на наш алгоритм выбора коэффициентов, рассмотрим более подробно матрицы НА\() и А1 ()Н. Действительно, так как элементы из (6) имеют индексы строк из множества .12, то они будут оказывать влияние только на элементы матрицы А1 ()Н с индексами строк из .2 и элементы матрицы НА* (•) с индексами столбцов из .2. А тогда
от них соответственно не будет зависеть Д] 1 (•), так как матрица Ql1 (•) состоит из элементов матрицы Ql(•) с индексами строк и столбцов из .1. Теперь покажем, что при достаточно малых 5 выполняется
Q2(•) < 0. (18)
Согласно неравенству Рэлея для выполнения (18) достаточно, чтобы собственные числа матрицы М(•) удовлетворяли оценке
тах^(М(•)) < а, (19)
г
где М(•) = НА2() + А2()Н. Ввиду симметрии матрицы М(•) имеем
тах ^¿(М (•)) = ||М (•)||,
г
||М()|| —спектральная норма матрицы М(•). Поскольку справедливы соотношения
||М(.)|| < 2||Я||||А2(0|| < 2цтах\А2(-)\ = 2Мтах<5^(2п -к- 3),
где ^тах — максимальное собственное число матрицы Н, то неравенство (19) выполняется при
а
<5 <-. (20)
к
Сформулируем полученный результат.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (3)-(7), (20). В этом случае существуют такие числа А1,А2,...,Ап и матрица Н, что система (1), (2), (12) глобально экспоненциально устойчива.
3. Стабилизация импульсной системы. Рассмотрим систему
х = А()х + Б(г)£, п = п(х), г > го, (21)
где £* = (£i, £2, • • •, £m), n* = (ni, П2, • • •, Пт)• Сигнал &(t) на выходе г-го импульсного элемента связан с сигналом ni(t) на его входе соотношением
£i = Mini, (22)
где Mi —оператор, который каждую непрерывную на [to, +то) функцию ni(t) отображает в последовательность {tk} и функцию £i(t) такие, что
< tk+i - tk < т, £ е (0,1), T> 0, (23)
£i(t) не зависит от значений пДт) при т > t и является кусочно-непрерывной функцией, не меняющей знака на каждом промежутке [tk, tk+i).
Пусть существует «эквивалентная нелинейность» [10] фДп) (^ (0) = 0) —непрерывная монотонно возрастающая функция такая, что для любого k найдется tik е [tfc, tfc+i), при котором среднее значение k-го импульса
ifc+i
vik = --[ (24)
tfc+i — tk J tk
соотносится с ni(iifc) следующим образом:
vifc = ^i(ni(?ifc)), (25)
при этом
ф^7) ^ ±то при 7 ^ ±то^ (26)
Кроме того, пусть элементы матрицы B(t) теперь являются дифференцируемыми функциями времени и удовлетворяют условиям
sup |B(t)| < то, (27)
t>to
sup |B(t)| < то, (28)
t>to
а матрица A(^) принадлежит к классу, определенному в предыдущем пункте. Положим в системе (21)
г]i=4>T1(cri), ai = s*x, г el,то, (29)
где ф—i —функция, обратная к ф^ тогда свойство (25) примет вид
Vifc = <7i(iifc )• (30)
t
Пусть vk — вектор с координатами (24), v(t) = vk при tk < t < tk+i, g(t) = J(£(7) —
o
v(7))d7. Сделаем замену переменных, чтобы исключить £ из (21):
x = z + Bg^ (31)
Получаем
z = Az + ABg + B£ — Bg — B g = Az + (AB — B)g + B£ — B(£ — v) =
= Az + BS*(z + Bg) + (AB — B)g = Dz + w, (32)
где В = А + ВБ*,т = В(и — Б*г) + (АВ — В)д. Возьмем функцию Ляпунова
V (г) = г*Н-1г, (33)
где Н построена ранее. Из свойств оператора М следует согласно [10] неравенство
|д(г)|< т Ж|. (34)
Далее, действуя аналогично [8], получаем оценку
V(г(гм)) + р [ Vdt < V(г(го)), (35)
4о
гдер > 0. Отсюда следует, что |г(г)| € Ь2\Ь0, +то). С помощью оценок, предложенных в [10] при использовании неравенства Виртингера, получаем, что |V| € ¿2[го, +то). Вследствие (23) имеет место асимптотика
у(г) ^ 0 при г ^ то, (36)
из которой в силу (34) следует, что
д(г) ^ 0 при г ^ то. (37)
Из (35) получается равномерная оценка для | г (гк) |. Далее получаем, что функция |г(г)| равномерно ограничена по г. А тогда |г(г)| ^ 0 при г ^ +то, из чего следует, что х(г) ^ 0 при г ^ +то. Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (3)-(6), (22), (26)-(28), тогда при достаточно малом значении Т система (21), (29) глобально асимптотически устойчива.
Литература
1. Kwon O., Park J. H. Matrix inequality approach to a novel stability criterion for time-delay systems with nonlinear uncertainties //J. Optim. Theory Appl. Vol. 126, N3. 2005. P. 643—656.
2. Qian W., Cong S., Sun Y., Fei S. Novel robust stability criteria for uncertain systems with time-varying delay // Appl. Math. Comput. Vol.215. 2009. P.866-872.
3. Li Ji, Qian Ch., Ding Sh. Global finite-time stabilization by output feedback for a class of uncertain nonlinear systems // International Journal of Control. 2010. Vol.83, N11. P. 2241-2252.
4. Liu L., Huang J. Global robust output regulation of output feedback systems with unknown high-frequence gain sign // IEEE Trans. Autom. Control. 2006. Vol.51, N4. P. 625-631.
5. Zhai Ju., Li W., Fei Sh. Global output feedback stabilization for a class of uncertain non-linear systems // IET Control Theory Appl. 2013. Vol.7. Iss. 2. P. 305-313.
6. Zakharenkov M., Zuber I., Gelig A. Stabilization of a New Classes of Uncertain Systems // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-Papers Online). 2015. Vol.48, N11. P. 1034-1037.
7. Зубер И. Е., Волошинова Т. В., Гелиг А. Х. Расширенный класс неопределенных стабилизируемых систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Т. 3(61). Вып.3. 2016.
8. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация некоторых классов неопределенных систем с помощью прямого и непрямого управления. II. Импульсные и дискретные системы // Автоматика и телемеханика. 2012. №9. С. 72-87.
9. Andeen R. E. The principle of equivalent areas // Trans. AIEE (Application and Industry). 1960. N 79. P. 332-336.
10. Гелиг А.Х., Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993.
Статья поступила в редакцию 26 мая 2017 г.; рекомендована в печать 21 сентября 2017 г. Контактная информация:
Захаренков Максим Сергеевич — аспирант; [email protected]
Stabilization of some class of uncertain systems
M. S. Zakharenkov
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Zakharenkov M. S. Stabilization of some class of uncertain systems. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 1, pp. 51-59. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.106
Consider the problem of stabilizing control u synthesis for systems
dx . „ — = Ax + Bu, dt
where A £ RnXn, B £ RnXm. Elements ai,j (•) of matrix A are uniformly bounded functionals of arbitrary nature. In case of continuous system matrix B elements are also continuous and uniformly bounded functionals. In case of pulse-modulated system matrix B elements are differentiable uniformly bounded functions of time. Assumed that k isolated uniformly bounded elements ailjjl (•) exist over the main diagonal of matrix A(-) such as
inf K^G)! > > 0, I G TJt.
Gk is a set of isolated elements existing in the system. J1 is a set of indexes of rows of matrix A(-), where isolated elements are located and J2 is a set of indexes of rows of matrix A(-), where isolated elements do not exist. Assumed that other elements located over the main diagonal with indexes from J1 are sufficiently small.
sup |ai,j(-)| < S, ai,j / Gk, i £ Ji, j > i. (•)
Other elements located over the main diagonal are uniformly bounded.
In continuous case u = S(^)x, in pulse-modulated case u = £(t), where vector £ components are outputs of synchronized pulse elements.
Using construction of special quadratic Lyapunov function one can determine £(•), such that for continuosed case closed loop system is globally exponentially stable. In pulse-modulated case such output pulses are synthesised so that system is globally asymptotically stable.
Keywords: uncertain pulse-modulated systems, uncertain systems stabilization.
References
1. Kwon O., Park J.H., "Matrix inequality approach to a novel stability criterion for time-delay systems with nonlinear uncertainties", J. Optim. Theory Appl. 126(3), 643—656 (2005).
2. Qian W., Cong S., Sun Y., Fei S., "Novel robust stability criteria for uncertain systems with time-varying delay", Appl. Math. Comput. 215, 866-872 (2009).
3. Li Ji, Qian Ch., Ding Sh., "Global finite-time stabilization by output feedback for a class of uncertain nonlinear systems", International Journal of Control 83(11), 2241—2252 (2010).
4. Liu L., Huang J., "Global robust output regulation of output feedback systems with unknown high-frequence gain sign", IEEE Trans. Autom. Control 51(4), 625—631 (2006).
5. Zhai Ju., Li W., Fei Sh., "Global output feedback stabilization for a class of uncertain non-linear systems", IET Control Theory Appl. 7(2), 305-313 (2013).
6. Zakharenkov M., Zuber I., Gelig A., "Stabilization of a New Classes of Uncertain Systems", IFAC Proceedings Volumes (IFAC-Papers Online) 48(11), 1034-1037 (2015).
7. Zuber I.E., Voloshinova T.V., Gelig A. Kh., "An extended class of stabilizable uncertain systems", Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1 3(61), issue 3, 402-407 (2016) [in Russian]. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.307
8. Gelig A. Kh., Zuber I. E., "Using the direct and indirect control to stabilize some classes of uncertain systems. II. Pulse and discrete systems", Automation and Remote Control 73, issue 9, 1498-1510 (2012).
9. Andeen R. E., "The principle of equivalent areas", Trans. AIEE (Application and Industry) (79), 332-336 (1960).
10. Gelig A.Kh., Churilov A.N., Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems (Birkhauser, Boston, 1998, 362 p.).
Author's information:
Zakharenkov Maksim S. — [email protected]
