CC BY
24
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3
МОДАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
НЕКОТОРОГО КЛАССА РАВНОМЕРНО УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ*
И. Е. Зубер1, А. Х. Гелиг2
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р техн. наук, вед. науч. сотр., [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
1. Введение. Рассмотрим систему
x = Ax + bu, (1)
где A G Rnxn, b G Rnx 1. Если A и b — постоянные и выполнено условие управляемости
|det(An-1b, ...,Ab,b)| > 0, (2)
то, как известно, существует такой вектор s, что при u = (s, x) система становится асимптотически устойчивой. В случае нелинейной стационарной системы
y = / Ы + 9(УК
где /(у) и g(y) —достаточно гладкие столбцы из Rn, u G R1. В [1, 2] был разработан метод стабилизации, заключающийся в построении преобразования
x = p(y),
после чего система принимает вид (1), в котором b — последний единичный орт, а матрица A является матрицей Фробениуса с функциональной нижней строкой. После этого u(x) выбирается таким образом, что система становится линейной стационарной с заданным спектром, лежащим в левой полуплоскости. Однако этот подход применим лишь при условии, что невырождена матрица
W (у) = (g(y),9i(y),...,9n-i(y)),
где gri = [g,f], дк+1 = [дк, /] (к = 1,... ,п - 1), [g,f] = ^-д - ^/ — скобка Ли, и
dy dy
вектор (pi(y),... , pn(y)), являющийся последней строкой матрицы W-1(y), образует
dpi dpj
потенциальное поле, т.е. —— = ——.
dyj dyi
В предлагаемой статье рассматривается нелинейная и нестационарная система вида (1) в предположении, что условие управляемости (2) выполнено равномерно для всех значений аргументов. При этом управление u строится таким образом, чтобы спектр замкнутой системы лежал в левой полуплоскости и был постоянным, а
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10.01.00107). © И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг, 2013
замкнутая система была глобально экспоненциально устойчивой. Этот подход применяется также для синтеза стабилизирующего управления дискретной системой
xn+1 Anxn + bnun-
2. Непрерывные системы. Рассмотрим при t > to систему
x = A()x + &(•)«, x(to ) = xo, (3)
где A(-) G Rnxn, G Rnx1, n > 1. Элементы а,ц(•) матрицы A() и $(•) столбца являются неупреждающими функционалами. Например, aj(•) = (t, x(t),x(t — т), f0 |x(A)|2dA), где —непрерывная функция. Предполагается, что для системы (3) справедлива теорема существования решения и продолжимости при всех t > to любого решения, остающегося в ограниченной области. Предполагается также выполнение следующих условий:
sup |A(-)| < KiA, (4)
(•)
sup |b(-)| < K2, (5)
(•)
inf |Д„()| > кзАм. (6)
Здесь и далее | • | — евклидова норма, Ki — константы, зависящие только от n и не зависящие от А и ^ > 0, А > 1,
Д«() = det(An-1 (•)&(•),...,A()6(0,6(0).
Рассмотрим спектр
Aj = —А(1 + Vi)*1 (i = 1,..., n), (7)
где фi = i/(n + 1), и выберем управление в виде
u(-) = s* (• )x, (8)
где s() G Rnx1, * —знак транспонирования (все величины вещественные). В силу условия (4) спектр (7) отделен от спектра матрицы A(). Поэтому согласно [3, 4] и условию управляемости (6) замкнутая система
x = D()x, D() = A()+ 6(-)s*(-) (9)
будет иметь спектр (8), если s() удовлетворяет системе уравнений
s*()dj (•) = —1 (j = 1,...,n), (10)
где
dj (0 = (A(0 — Aj /n)-1b(^), (11)
In —единичная (n x ^-матрица. Найдем условия, при которых система (9) глобально экспоненциально устойчива.
Рассмотрим спектральное разложение матрицы £(•):
п
£(•) = £ А, М, (•), (12)
¿=1
где
М,(•) = ^ (•)£*(•), (13)
(•) = А, , (•), £*(•)<, (•) = А, (•),
() = {0 ;=(14)
Производная по 4 от функции Ляпунова V(ж(£)) = |х(^)|2, взятая в силу системы (9), имеет вид
^=х*Р(>, Р(-) = £>(•)+£>*(•)• (15)
Найдем условия, гарантирующие отрицательную определенность матрицы Р(•). Из (12), (13), (7) вытекает представление
п п
р (•) = -Ак^ (М, (•) + м;(0) + £ ^ (М, (•) + м*())]. (16)
¿=1 ,=1
Легко убедиться в справедливости соотношения
£м;(-) = /п; (17)
,=1
умножив его слева на матрицу С(-) = (01(-),..., 5п(0) и воспользовавшись свойством (14). Из (7), (16), (17) следует неравенство
п
Р(•) <-2к^( 1 -£|М<()|)/п: (18)
¿=1
Согласно (13) справедлива оценка
|М, (0|<|^ (•)||5, ()|: (19)
В силу (4), (5), (11) имеет место неравенство
1
А
(20)
где Д,(•) = - А,/п).
Перейдем к оценке |^(-)|. Согласно (13) справедливо соотношение =
(С*(-))-1, где С(•) = (¿1(^),:::, ¿п(^)). Поэтому элементы (•) матрицы С(-) имеют вид
ае^О)
где det С^(•) — алгебраическое дополнение (г,^')-го элемента матрицы С(•). Справедлива формула
det C() = П det(A() - A,/„)
j=i
-i
П (Ak - A;)A„()-
(22)
k=2,...,n í=i,...,fc-1
В этом легко убедиться, если умножить матрицу С(•) слева на П™=1(А() — А$/п) и воспользоваться перестановочностью матриц (А() — А$/п). Из (22), (6), (7) вытекает неравенство
АМ+п(п-1)/2
|Ле'с(0|>"5!ЕЖ(1' (23)
Оценим |det Спп()|, воспользовавшись представлением
/
(A() - Ak/„)-i =
Ak (•)
eii
Чи
V «Ui()
"uuV )
где
4 (•) 4 (•)
(-1)u-iAU-i + Tf (^)AU-2 + ••• + tU-I(),
~г, W 'i
Тогда матрица C(•) примет вид
C (•) =
'j ()AU-2
+-----+ tU-i(•) пРи«= j-
(24)
(¥>}(•)
Ai(-) A2(0 ' ' A„(.)
Á(-) ^n(-)
V Ai(-) A2(0 ' • A„(.) У
где
(•) = aki (OA (•) + ••• + «КШО,
(25)
вг() —элементы столбца b(). Подставив выражение (24) в (25), приходим к формуле (•) = Pii (•) AU—i + Pi2(^)AU-2 + • • • + Рги (•). (26)
Поскольку элементы аг,(•) матрицы A() в силу условия (4) удовлетворяют оценке |аг,()| < KiA, коэффициенты рг,(•) ограничены следующим образом:
|рг,()| < KeAj-i (j = 1,-.-,n).
В силу (26) справедливо представление
det Cnn(•) :
UkZl Ы-)
(27)
где wuu(-) = МО, - - - ,Pu-i()|, Рг() = ri(•)AU-i + r2()AU-2 + • • • + fu(•), ri(•) = (pii(•),... ,pu-i,i(^))*, - - -, fu() = (piu(•), - - - ,Pu-i,u(^))*. Оценим определитель Wuu(').
k
k
1
С этой целью вычтем последний столбец рп-1() из всех предыдущих и после этого из каждого г-го столбца (г = 1,:::, п — 2) вынесем множитель Ап-1 — А,. В результате <^пп(0 примет вид
п-2
^пп(') = П(Ап-1 — А, ) |Р1(^),Р2(^);:::;Рп-2(^);Рп-1(^)| : ,= 1
Вычтем затем столбец 2О из всех предыдущих и после этого из каждого г-го столбца (г = 1;:::; п — 3) вынесем множитель Ап-2 — А¿ .В результате получим выражение
п-2 п-3
^пп() = П(Ап-1 — А, ^(Ап-2 — ^ |Р1(^);Р2(^);:::;Рп-3(^);Рп-2 :
,= 1 ¿=1
Продолжая этот процесс, после (п — 2)-го шага придем к представлению
Шпп(') = П (А — А, )Йпп('); (28)
¿=1,... ,п-1
где | | ^пп (•) = |рп-2 (•);:::; Рп-3 (•); Рп-2 (•); Рп-1 (•) | :
В силу (7), (27), (28) имеет место соотношение
К7 А(п-1)(п-2)/2|Ппп(-)|
<-Пп-1,Л ,
1Н=1 |Дг(
Аналогичным образом оцениваются и другие миноры:
|ае1 С, ()| <
кг А(n-1)(n-2)/2|Q¿j (•)
В силу (21), (23) справедливо неравенство
п
()| < к8А-(п-1)|Д,()|А-^ (•
¿=1
Отсюда и из (19), (20) вытекает соотношение
п
|М,()| < к9А-^ (^)|:
¿=1
Поэтому
пп
]Г|М, ()| < Х9А-^ ()|; ,= 1 ¿,,=1
и при выполнении условия
вир |Пу(.)| < — (29)
( ) ¿,=1 К9
справедлива оценка
n
sup£ |Mj()| < 1.
Отсюда в силу (15), (18) следует глобальная экспоненциальная устойчивость. Сформулируем полученный результат.
Теорема 1. При выполнении условий (4), (5), (6), (29) система (3) глобально экспоненциально устойчива, если управление определяется формулами (8), (10),
(11), (7).
3. Дискретные системы. Применим разработанный выше аппарат для стабилизации дискретной системы
x(k +1) = A(k)x(k) + b(k)u(k), (30)
где A(k) G Rnxn, b(k) G Rnx1. Предполагается выполнение условий
sup |A(k)| < K1A, (31)
k
sup |b(k)| < K2, (32)
k
inf |Ди(к)| > кзAM, (33)
k
-In-1
где Д„(k) = (An-1 (k)6(k),...,A(k)6(k),6(k)). Выберем спектр замкнутой системы в виде
Ai = ^, = - (г = 1,...,п). (34)
Л n +1
Поскольку согласно теореме Гершгорина [5] каждое собственное число vj (k) матрицы A(k) расположено в одном из кругов
n
|aii(k) - (k)| < J2 |aj(k)1,
для отделимости спектра (34) от спектра матрицы A(k) достаточно выполнения условия
n
|o«(k)| > £ ioij(k)| + S (i = 1,..., n; S> 0). (35)
j=1;j=i
Поэтому будем предполагать, что параметр Л удовлетворяет неравенству
А > max {l, 7 1 • (36)
6г
Определим управление формулой
и(к) = в*(&)ж(&); (37)
где в (к) является решением системы уравнений
в* (^¿(^) = — 1 (г =1;:::;П); ^
(Л) = (А(Л) — А»/п)-16(Л). (39)
Замкнутая управлением (37) система (30) примет вид
хй+1 = ВДх(Л), (40)
где = А(Л) + Ь(Л)з*(Л). Воспользуемся спектральным разложением
п
ДЛ) = ^ А»М»(Л), М»(Л) = (%*(Л),
¿=1
ВДй (Л) = А» ¿¿(Л), £*(%» (Л) =
~)={; при;=
Приращение функции Ляпунова V(х(Л)) = |х(Л)|2 имеет вид
V (х(Л + 1)) — V (х(Л)) = ж*(Л)Р (Л)хк,
где Р(Л) = — /п. Поэтому для отрицательности матрицы Р(Л) достаточно
выполнения условия
вир |£(Л)| < 1, (41)
к
которое будет иметь место, если справедливо соотношение
п
вир^ |М5 (Л)| < А. к
5 = 1
Рассуждая так же, как в разделе 2, приходим к оценке
вирМ(Л)| < К9А-^ (Л)|:
к 5=1 ¿,5=1
Поэтому неравенство (41) будет выполнено, если
п а^+1 вир V \Пц{к)\ < -. (42)
к . . К9
»,5 = 1
Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. При выполнении условий (31), (32), (33), (35), (36) система (30) глобально экспоненциально устойчива, если управление определяется формулами (37), (38), (39), (34).
4. Заключение. Рассматривается непрерывная система, у которой элементы матрицы объекта управления и столбца распределения управления являются неупре-ждающими функционалами произвольной природы и ограничены. В частности, они могут быть нелинейными функциями времени и состояния системы. Предполагается, что определитель матрицы управляемости отделен от нуля. По выбранному постоянному спектру, расположенному в левой полуплоскости, строится линейная обратная
связь, коэффициенты которой выражаются через элементы матрицы объекта управления и столбца распределения управления. Найдены условия, при которых замкнутая система глобально экспоненциально устойчива. Аналогичный результат получен для дискретной системы.
Литература
1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. II. London: Springer, 1999.
2. Zak S. H. Systems and Control. Oxford: Oxford Univ. Press, 2002.
3. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.
4. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. New Jersey: World Scientific, 2004.
5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.
