CC BY
9
5. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов. - Нальчик: Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. -№2. - С.: 38-41.
6. Халкечев Р.К. Мультифрактальная модель неоднородного поля давлений в газонаполненных порах поликристалла при постоянном внешнем поле. - М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск - Математическое моделирование трудноформализуемых объектов). - 2012. - №7. -С.: 3-7.
7. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. - New York: Architecture Rational Mechanical Analisys. - № 2. - 1958. - P. 197-226.
УДК 004.942; 001.57; 539.3 © Р.К. Халкечев, 2013
НЕЧЕТКИЙ ТЕНЗОР КАК ОСНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ПРИРОДНОГО МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО ОБЪЕКТА В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ С УПРОЧНЕНИЕМ
Введено новое математическое понятие - нечеткий тензор. Введение данного понятия позволило определить деформационные свойства природного муль-тифрактального объекта в упругопластическом состоянии с упрочнением. Ключевые слова: природный мультифрактальный объект, нечеткий тензор, упругопластическое состояние с упрочнением, математическое моделирование, деформационные свойства.
Экспериментально установлено, что при упругопластическом течении природного мультифрактального объекта на некоторой стадии наблюдается его упрочнение. Такой эффект объясняют тем, что в структуре таких объектов происходит сплетение
дислокаций. Разработаем математическую модель природного мультифрактального объекта относительно деформационных свойств в упругопластическом состоянии с упрочнением.
В математической модели минерала в упругопластическом состоянии, предложенной в [1], количество дислокаций N, совершающих движение в структуре минерала постоянно, т.е. N = const. В свою очередь в разрабатываемой модели количество дислокаций N, кроме начального значения N0, имеет нечеткий вид и изменяется во времени по некоторому закону N (t) (здесь и далее параметры, задаваемые в нечеткой форме, имеют помету «~»).
Это обстоятельство позволяет задачу по определению деформационных свойств природного мультифрактального объекта в упругопластическом состоянии с упрочнением свести к разработке процедурной математической модели, позволяющей получать величины эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей путем подстановки различных значений N(t = 1),N(t = 2),...,N(t = t^) (где t^ - конечный момент модельного времени) в математическую модель минерала в упругопла-стическом состоянии.
Количество движущихся дислокаций NV(t = 1), NV(t = 2),..., N (t = t^) можно получить из следующей нечеткой математической модели:
dN „лт2 „лт _ .1Ч
— = qN2 + pN - g , (1)
dt
где q - параметр, характеризующий процесс увеличения коэффициента прироста движущихся дислокаций в структуре природного мультифрактального объекта; p - начальный параметр прироста движущихся дислокаций; g - относительная скорость поглощения поверхностными дефектами движущихся дислокаций.
Решив данное уравнение, найдем выражение:
_ (p -V 4qg + p2)
N (t) = ^---^x (2)
2q
1 - ехр
4д 3?
(V4^ + Р2 )3
4д3
ехр
4д 3?
(V 4дЁ + Р2 )3
Т4¥
4С3
х 1п
N
2с[
N
2с
л л
-1
позволяющее получить значения Т^(?) в моменты времени t = 1,2..?^.
Прежде чем подставить N (? = 1), N (? = 2),..., N (? = ) в математическую модель минерала в упругопластическом состоянии введем новое математическое понятие - нечеткий тензор.
Нечетким тензором й , определенным на некоторой тензорной предметной области У , называется множество пар:
й = {(^ (X), X)}, УХ еУ, (3)
где для каждого элемента X е У, являющегося тензорной величиной, степень це его принадлежности тензору й задается с помощью функции принадлежности це (X), при этом це (X) е [0,1].
Тогда, согласно данному определению, нечеткий эффективный тензор модулей упругости представляет собой множество пар:
(ейп)
С =
( ( ((ейп)Л (ейп)Л
цС I С I, С
( ( ( (ейп) Л (ейп) Л
МС I С[1] I, С[1]
( ( (ейп) Л (ейп) Л]
мС [ С[ л ] |, С[ л ] Л, (4)
(ейп)
при этом У С е Z, где Z - предметная область (базисный диа-
(ейп)
пазон) нечеткого тензора С ; квадратные скобки с индексом у тензоров, указывают на порядок (номер) пары в нечетком множе-
(ейп)
стве С .
х
С учетом введенного понятия, можно подставить значения N (( = 1), N (( = 2),..., N (( = ^) в математическую модель минерала
в упругопластическом состоянии, и тем самым получить следующую математическую модель природного мультифракталь-ного объекта относительно деформационных свойств в упруго-пластическом состоянии с упрочнением:
И( N(()
е£т) Г( ((е£т) Л (ейп) Л] I )( ((е£т) Л (ейп) Л
С (() = ^ С (()1, С (()Л= Ц ^^С[,](()Л,См(0J, (5)
(efm) Г( ((efm) Л (efm) Л] И(^(()]( ((e£m) Л
С (() = |(^С( С' (0| С'(оЦ = Ц (цС(С^)^]«
де (С^) 1 = ] (((())) ; цС (С^) 1 = ,] (N(0)) ; С^)
/ (е£т)
(е£т)
и С['1](() определяются путем подстановки значений N^ (N(()) в
математическую модель минерала в упругопластическом состоянии; И ((V(()) - функция, определяющая количество упорядочен-
(е£т)
ных пар в нечетком множестве С (().
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Халкечев Р.К. Математическая модель упругопластического деформирования пористых минералов с учетом изменения количества дислокаций. - М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск - Методы математического моделирования в горной промышленности). - 2011. - №12. -С. 12-18.
