Теоретические основы мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 004.942; 539.3

© Р.К. Халкечев, 2013

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМЫХ

ОБЪЕКТОВ

Разработаны теоретические основы мультифрактального моделирования трудноформализуемых объектов. Этот подход заключается в разработке для исследуемых природных мультифракталов различных порядков сложности соответствующих мультифрактальных моделей. Каждая такая модель представляет собой совокупность связанных между собой математических моделей фрактальных структур, вместе описывающих исследуемый природный мультифрактальный объект.

Ключевые слова: трудноформализуемый объект, мультифрактальное моделирование, природный мультифрактал, порядок сложности, комплексный метод самосогласованного поля.

На основе решенных, на первый взгляд, разрозненных новых задач [1, 2, 3, 4, 5, 6] появляется возможность разработки теоретических положений моделирования природных мультифрактальных объектов как трудноформализуемых объектов.

Природные мультифрактальные объекты хорошо моделируются мультифракталами - математическими объектами, которым дал определение Ю.А. Данилов: «Фракталы, характеризуемые целым спектром размерностей, представляют собой как бы несколько «втиснутых» одна в другую фрактальных структур и называются мультифракталами».

Участие «человеческого фактора» сводится в большинстве своем к воздействию, при котором происходит деформирование с последующим разрушением этих природных мультифрактальных объектов, Поэтому имеет смысл в первую очередь обратиться к исследованию задач деформирования и разрушения.

Деформационные свойства являются структурно-чувствительными и поэтому выбранный тип математической модели должен быть структурным. Отсюда следует, что без представления о структуре не представляется возможным адекватное мате-

матическое моделирование, выбранных для исследования свойств объектов.

Используя определение мультифрактала, и расширяя понятия «математические структуры» на реальные системы, построены следующие природные мультифрактальные объекты.

Не нарушая общности под термином «несколько» мы будем понимать значения 1,2,,.., п. Термин «втиснутых» может быть раскрыт следующим образом. Пусть каждый элемент структуры тела наделяется и конечным объемом и собственной симметрией, частным случаем которой является самоподобие, что является признаком самоподобного фрактала. В таком случае эти элементы структуры будут плотно прилегать друг к другу и составят мультифрактал, которым моделируется природный мультифрак-тальный объект первого порядка сложности с точки зрения теории трудноформализуемых объектов. Пусть теперь элементы исходного мультифрактала содержат пустоты, заполненные другим объектом с собственной симметрией отличной от симметрии рассматриваемых элементов. Причем эти включения обладают группой нечувствительности, (равноправности - термин, введенной У. Ноллом [7]), совпадающей с унимодулярной группой, В результате получаем мультифрактал, модулирующий природный мультифрактальный объект второго порядка сложности. Если теперь в полученную мультифрактальную структуру внести с таким же содержанием включения, но с большими размерами, то мы получим мультифрактал, который является математической моделью природного мультифрактального объекта третьего порядка сложности. Для получения следующей более сложной математической структуры достаточно внести в отдельные области предыдущего мультифрактала отдельные фрагменты такого же типа структуры, но другого состава. При этом их число может меняться от 1до N. Таким мультифракталом моделируют природный мультифрактальный объект четвертого порядка сложности. Проделывая такую же процедуру, но уже с мультифракта-лом, полученным в предыдущем случае, имеем мультифрактал, моделирующий природный мультифрактальный объект пятого порядка сложности. Продолжая по аналогии, можно получить мультифракталы способные моделировать природные мультиф-рактальные объекты до п — го порядка сложности.

Для природных мультифракталов различных порядков сложности получены мультифрактальные модели относительно деформационных свойств и упругого поля напряжений. Эти математические модели сводится к следующей системе уравнений, которые понимаются в смысле обобщенных функций: 1) уравнения равновесия:

(т)

д, [ С г}к1(х)дкщ (х)] = -/' (х), щ (х)

(т)

(т)

(0m)

■ щ (х) при х

■ да.

(1)

(m) (0m) 1

где д (кщ1)(х) =8 и(х)=2

( (m)

д щ

(m) ^

д и

дх, дх.

(От)

/' (х) - внешние силы, ко-

торые в силу непрерывности ви (х) не содержат сингулярностей типа простого и двойного слоев; 2) кинематические уравнения:

(т) (т) 1 8,(и)=2

( (т)

д и,.

(т) ^

ди

дх, дх'

\ /

3) определяющие уравнения:

(т) (т) (т)

С„ = С 'к18„

(2)

(3)

В рамках разработанного комплексного метода самосогласованного поля, основные положения которого имеют следующий вид: 1) каждое из включений любой конкретной реализации случайного поля неоднородностей рассматривается как изолированное эллипсоидальное включение в матрице; 2) поле деформаций

(Ет)

8 , в котором находится каждое из включений, складывается из

(Ст)

8 как изолированной неоднородности,

собственного поля

(От)

внешнего поля 8 и поля наведенного окружающими неодно-

(Ыш)

родностями 8 , получены следующие решения, описывающие деформационные свойства:

1) для природного мультифрактала первого порядка сложности:

(efmp) (mp) f (mp) (Imp)Л 1 f (mp) (Imp)Л 1

C =< C 11+ В • C I >•<[ 1+ В • C I >-1, (4)

(mp)

где C - тензор модулей упругости фрактальной неоднородно-

(1 mp) (mp) (mp) (mp) 1 (0mp)

сти; C = C - < C > ; В= — I K (Ak) dS ; A - тензор, опре-

4n S

деляющий невырожденное аффинное преобразование трехмерно-

(0mp)

го пространства; K (k) - преобразование Фурье-ядра

(0mp) (0mp)

K т (х - x') = -[51дl G jk (x - x')](j)(kl); S1 - поверхность единич-

(0mp)

ной сферы в Фурье-пространстве. G - тензорная функция

(mp)

Грина сплошной среды с упругими свойствами < C > .

2) для природного мультифрактала второго порядка сложности:

(ELmv)

(efmv) (efmp) V (1mv) f (mv) (1mv) Л

C = C +<ТЁШ) C {* + H • C J >x

л 1 Л-1

Lmv) f (mv) (1mv)^

(5)

( (ELmv) , Л

(0ту) V (1mv) ( (ту) (1ту) Л 1

I- н •<(Жт) с •(1+ н. с 1 >

V к ;

X у

(1ту) (efmp)

где С = р01 - С ; р0 - первоначальное давление в микровк-

(ту) (0ту) 1 (ту) (ту)

лючении; Н = Н =—I К (Ак) ёБ , при А = 1; К (к) - пре-

4п Б

(ту) (тр)

образование Фурье-ядра Кры(X - х') = -[ уV; Ог] (X - х')](,к)(}1) ;

(тр)

С - тензорная функция Грина сплошной среды с упругими

(ебпр) (ЕЪту) (ВУту)

свойствами С ; V и V - соответственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в сплошной среде со структурой, соответствующей природному мультифрактальному объекту второго порядка сложности.

3) для природного мультифрактала третьего порядка сложности:

(ЕЬт.) ,

(ейт.) (ейту) у (1т.) ( (т.) (1т.) Л-1

С = С + <йШ) С-11+ 2 • С I >х

( (ЕЬт1) 1 Л

(От.) у (1т.) ( (т.) (1т.)Л-1

I - 2 • < ТвУтГ) С •11+ 2 • С I >

(6)

(1т!) (ейту)

где С = р01 - С ; р0 - первоначальное давление в макровк-

(т.) (От!) 1 (т.) (т.)

лючении; 2 = 2 = — I К (Ак) , при А = 1; К (к) - преоб-

4п 5

(т.) (ту) (ту)

разование Фурье-ядра Кт (х - х') = -[д'д¡0,к(х - х')](,)(и); £ -тензорная функция Грина сплошной среды с упругими свойства-

(ейту) (ЕЬт.) (БУт\.)

ми С ; У и У - соответственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в сплошной среде со структурой, соответствующей природному мультифракталу третьего порядка.

4) для природного мультифрактала четвертого порядка сложности, состоящего из двух типов природных мультифрак-тальных объектов третьего порядка:

(ЕЫтсЬ)

(еЙ1^тсЬ) (ейотсЬ) у (ЫтсЬ) ( ^тсЬ) (ЫтсЬ) Л-

С = С + <(БутЬ) С •[1+ 2 • С ) >х

( (Е/ЛтсЬ) , Л-1

(ОатсЬ) у (ЫтсЬ) ( (атсЬ) (ИтсЬ) Л-1

1 - 2 •< (БУШсК) С •|1+ 2 • С I > , (7)

У \ 1 ) (ейотсЬ) (ейтяу) ( (отсЬ) (1отсЬ)Л- ( (отсЬ) (1отсЬ)Л-

где С =< С 11+ В • С I >•<! 1+ В • С I >-1;

(1отсЬ) (efmt) (ейт.) (отсЬ) 1 (отсЬ) (отсЬ)

С = С - < С >; В =—I К (Ак)с1Б; К (к) - пре-

Атг *

(отсЬ) (т.) (т.)

образование Фурье-ядра К,а (х - х) = -[д'д 1 ,к(х - х')](,хк,); £ - тензорная функция Грина сплошной среды с упругими свойст-

(efmt) (ldmch) (efmt) (efomch) (dmch) (Odmch) . (dmch)

вами C ; C = C - C ; Z = Z = — J tf (Ak) öS,

4n s

(dmch)

при A = 1; tf (k) - преобразование Фурье-ядра

(dmch) (omch) (omch)

Kpti(x - x') = 4dA Gjk (x - x)\mkl); G - тензорная функция

(efomch) (ELdmch)

Грина сплошной среды с упругими свойствами C ; V и

( BVdmch)

V - соответственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в сплошной среде со структурой, соответствующей природному мультифракталу четвертого порядка.

5) для природного мультифрактала пятого порядка сложности, состоящего из двух типов природных мультифрактальных объектов четвертого порядка:

( ELdmpy)

(efdmpy) (efompy) V (Idmpy) f (dmpy) (ldmpy) Л

C = C +< csVdmpyy C •lI+ Z • C I >

V

f ( ELdmpy) .

(Odmpy) V (ldmpy) f (dmpy) (ldmpy)Л

I - Z •< csVdmpyy C •I1* Z • C I > V K 1 .

\-1 / ,„, n_____,4-1

(8)

(efompy) ^^у) ( (отру) (1отру)Л ( (отру) (1отру)Л

где С =< С (1+ В • С I >•<[ 1+ В • С I >-1;

(1отру) ^|1тсЬ) (отру) 1 (отру) (отру)

С = С - < С >; В =—I К (Ак)ёБ; К (к) -

4п Б

(отру) ^тс1г)

преобразование Фурье-ядра Крк, (х - х,) = -[<5р, °]к (х - х')](9.)(к,);

(dmch)

С - тензорная функция Грина сплошной среды с упругими свой-

(efdmch) (1dmpy) (efdmch) (ейтру)

ствами С ; С = С - С ;

^тру) (0атру) 1 .(¿тру) (dmpy)

1= Z = — I К (Ак) ёБ , при А = 1; К (к) - преобра-4п Б

(¿пру) (отру) (отру)

зование Фурье-ядра кт (х - х') = -[д,д, о к (х - х')](.)(и); С -

тензорная функция Грина сплошной среды с упругими свойства-

(е^эшру) (£1Лшру) (¿^тру)

ми С ; V и V - соответственно объем эллипсоида и объем блока Вороного в сплошной среде со структурой, соответствующей природному мультифракталу пятого порядка.

Используя найденные решения, можно получить упругое поле напряжений:

1) для природного мультифрактала четвертого порядка сложности:

(дшсЬ) ^(¿тсЬ) ^ (¿тру) (Ытру) Л-1

а = С I 1+ Z С I х

1 .(¿тру) (¿тру)

1+-Г К (х-х') Ф (х-х')с!х' п *

(0dшpy)

е

(9)

(¿тсЬ) ^¿тсЬ) (¿тсЬ) (¿тру)

где а = С е ; Ф (х - х') - часть среднего по ансамблю полей неоднородностей связанная с попаданием точек в разные

^¿шру)

неоднородности; е - определяется экспериментально, исходя из веса Р = ук вышележащей толщи породного массива (у -средний удельный вес горных пород).

2) для природного мультифрактала третьего порядка сложности:

(ш^ (ейп^

а = С II

1 (¿теЬ)

1+-Г К (х-х')• Ф (х-х')с!х'

и *

(¿теЬ) (1dшch)

г • С

(dшch)

(dшch)

(10)

(¿шс^ / (¿тру) (1dшpy) Л 1

где е = I I + г • С I х

1 .(¿тру) (¿тру)

1+-Г К (х-х')• Ф (х-х')с!х'

V) 3

' (0dшpy)

е;

(ш1) (ейй) (ш1)

а = С е ;

(¿шс1г)

Ф (х - х') - часть среднего по ансамблю полей неоднородно-стей связанная с попаданием точек в разные неоднородности.

3) для природного мультифрактала второго порядка сложности:

(шу) (ейпу) ( (дшеь) (ышсь) ^

а = С -iI + Z • С |х

1 (дтеЬ) (дтеЬ)

1+-[ К (х - х') • Ф (х - х ')с!х' п *

^шсЬ)

(10)

(шу) (efшv) (шу)

где а = С е .

4) для природного мультифрактала первого порядка сложности:

(тр) (ейпр)

а = С II

(ЛпсЬ) (14псЬ)%

Z • С 1 х

1 (дтеЬ)

1+-1" К (х-х')• Ф (х-х')с!х'

V! *

(дтеЬ)

(дтеЬ)

(10)

(тр) (efшp) (тр)

где а = С е .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Халкечев Р.К. Мультифрактальная модель с масштабом неоднородности эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов. - Новочеркасск: Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2012. - №3. - С.: 68—70.

2. Халкечев Р.К. Скейлинг газосодержащих породных массивов. -Новочеркасск: Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Технические науки. - 2012. - №2. - С.: 102-104.

3. Халкечев Р.К. Математическая модель эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов мультифрактальной структуры. - М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск - Методы математического моделирования в горной промышленности). - 2011. - №12. - С.: 7-12.

4. Халкечев Р.К. Математическая модель упругопластического деформирования пористых минералов с учетом изменения количества дислокаций. - М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск - Методы математического моделирования в горной промышленности). - 2011. - №12. -С.: 12-18.

5. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов. - Нальчик: Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. -№2. - С.: 38-41.

6. Халкечев Р.К. Мультифрактальная модель неоднородного поля давлений в газонаполненных порах поликристалла при постоянном внешнем поле. - М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск - Математическое моделирование трудноформализуемых объектов). - 2012. - №7. -С.: 3-7.

7. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. - New York: Architecture Rational Mechanical Analisys. - № 2. - 1958. - P. 197-226.

УДК 004.942; 001.57; 539.3 © Р.К. Халкечев, 2013

НЕЧЕТКИЙ ТЕНЗОР КАК ОСНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ПРИРОДНОГО МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО ОБЪЕКТА В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ С УПРОЧНЕНИЕМ

Введено новое математическое понятие - нечеткий тензор. Введение данного понятия позволило определить деформационные свойства природного муль-тифрактального объекта в упругопластическом состоянии с упрочнением. Ключевые слова: природный мультифрактальный объект, нечеткий тензор, упругопластическое состояние с упрочнением, математическое моделирование, деформационные свойства.

Экспериментально установлено, что при упругопластическом течении природного мультифрактального объекта на некоторой стадии наблюдается его упрочнение. Такой эффект объясняют тем, что в структуре таких объектов происходит сплетение