CC BY
10
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Халкечев Р. К. Математическая модель эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов мультифрактальной структуры. — М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск — Методы математического моделирования в горной промышленности). — 2011. — №12. — С.: 7-12.
2. Боггс У., БоггсМ. UML и Rational Rose. — М.: ЛОРИ, 2000. — 224с.
3. Халкечев Р.К. Масштаб неоднородности газосодержащих породных массивов. — М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск — Методы математического моделирования в горной промышленности). — 2011. — №12. — С.: 3-7.
УДК 539.3; 004.942 © К.В. Халкечев, Р.К. Халкечев, 2012
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДАВЛЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД В МАССИВЕ С ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИМ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИМ ПЛАСТОМ (ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА)
Разработана математическая модель давления горных пород в массиве с поликристаллическим упругопластическим пластом, которая сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных понимаемая в смысле обобщенных функций. Полученная система уравнений решается сведением ее к интегральным уравнениям с последующей регуляризацией, что позволило решить обратную задачу: по известным приращениям поля напряжений в зерне определить приращение внешнего поля напряжений для упругопластического слоя. В результате решения обратной задачи получена общая расчетная формула горного давления на участках породного массива, состоящих из поликристаллических минералов или горных пород.
Ключевые слова: математическая модель, система уравнений в частных производных, обобщенные функции, интегральные уравнения, обратная задача, горное давление, породный массив, поликристалл, упругопластический пласт, минерал, горная порода.
При математическом моделировании и постановке задач связанных с исследованием механических процессов в породных массивах, как правило, предполагается известным горное давление. Под горным давлением обычно понимается естественные напряжения в массивах гор-
ных пород, обусловленные собственным весом пород, тектоническим движением земной коры, давлением газов и напором подземных вод. Расчет горного давления на определенной глубине массива пород по объемному весу выше лежащих горных пород является недопустимым приближением [1-3]. Горное давление действует в течении длительного времени на горные породы, которые в основном находятся при всестороннем сжатии, и поэтому оно способствует наряду с упругими деформациями их пластическому течению.
Традиционный метод по определению напряженно-деформированного состояния через свойства исследуемого объекта не применим для породного массива, поскольку не всегда возможно определить механические свойства его как целого. Потому в породном массиве выделим систему в виде поликристаллического упругопластического пласта, и определим напряжение, которое действует на пласт, в предположении, что он полностью заглублен. При этом необходимо понимать, что предлагаемый метод определения позволяет рассчитать горное давление только для отдельных участков породного массива, где можно обнаружить поликристаллические минералы и горные породы. Итак, рассмотрим задачу об определении внешнего напряжения на упругопластиче-ский слой, расположенный на глубине в среде. В указанном слое имеет место однородное макроскопическое напряженное состояние, что обусловлено достаточной заглубленностью слоя.
Задачу будем решать в предположении, что модуль упругости С зерна и напряжение в нем известны из эксперимента, и необходимо определить внешнее напряжение. В такой постановке мы имеем обратную задачу горного давления, так как в прямой задаче предполагается известным внешнее напряжение и определяется напряжение в зерне при известном модуле упругости последнего. На границе пласт — порода выполняются условия жесткого сцепления, то есть на границе слой — среда непрерывны компоненты смещений и нормального вектора напряжений.
Поскольку за пластическое деформирование ответственны дислокации, то описание необходимо начинать с атомарного уровня — структурного уровня кристалла.
Рассмотрим трехмерную неограниченную анизотропную среду, которую назовем основной, с неоднородностями в эллипсоидальных областях. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам или минералам в породах. Через С0 обозначим постоянный тензор модулей упругости основной среды, равный осред-ненным значениям тензора модулей упругости зерна < С >, через С0 + С1 — тоже для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор модулей упругости с неоднородностями можно представить в виде ку-
сочно-постоянной функции С(х) = С0 + С1 (х), где х(х1 х2 х3) — точка среды; С1 (х) — случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Упругая деформация в точке связана с напряжениями законом Гука.
ее = £-а, (1)
где £ — тензор упругой податливости зерна. Пластическая деформация в точке определяется через системы скольжения зерна следующим образом:
1 "
ёер = - £ /, (пае,)(п,. ® е. + в1 ® п )(п.ёае.), (2)
2 ,=1
где п, е1 — нормаль к плоскости скольжения с номером . и направление скольжения соответственно; /1 — функция упрочнения; ® - тензорное произведение.
Введем в рассматриваемую среду поля дислокационных моментов двух типов т1, и т2: т1 — поле дислокационных моментов, индуцированное внешним полем напряжений, которое линейно связано с последним и приводит к изменениям модуля упругости в точках среды, т2 — поле дислокационных моментов, которое определяет пластические деформации. Вектор перемещений и в среде с таким распределением дислокационных моментов в произвольной аффинной системе координат удовлетворяет уравнению.
и1(х) = -|УО(Я)С0т1(г)ёУ■ -1УО(Я)С0т2(х)ёУ', (3)
где и = и0 + и1, и(х) ^и0(х) при х^да; О(Я) — тензор Грина основной среды, Я = х - х'; V — градиент по х.
Отсюда тензор полной деформации е(х) в среде удовлетворяет уравнению
е( х) = е0 +| К (Я)С0 т1( г)ёУ • +| К (Я)С0 т2( г) ёУ', (4)
где К (Я) = -УУО (х), е0 — внешнее поле деформаций.
Отсюда тензор упругой деформации представляется в виде
ее =е-ер = е0 +|К(Я)С0(т1 + т2)ёУ'-т2 , (5)
так как ер = т2. Отсюда, тензор напряжений будет иметь вид
а(х) = С[е0 -т2 +1К(Я)С0(т1 + т2)ёУ'] . (6)
Выберем поле дислокационных моментов в виде
т1 = £0 -С1 е, (7)
которое в таком виде удовлетворяет уравнению равновесия в отсутствие массовых сил:
У(С0 + С,)ее = 0. (8)
Для т1 с учетом (5) имеем
т = —Б0 • С1 • (е —т2). (9)
Подставим (9) в (4), произведем преобразования и в результате для тензора поля деформаций получим
е(х) = е0 — |К(К)С1ес1У' +1К(Я)Ст2йУ . (10)
Из (6) и (9) для тензора напряжений имеем
а(х) = С[е0 — т2 +1К(Я)С т2йУ' — | К(Я)С1ейУ'. (11)
Из уравнения состояния (2) для йт2 имеем 1 "
т = 2 Е (п<ае<)("' ® е<+е< ® п ), (12)
2,=1
при соблюдении условия:
(пре, )(п1йае1) > 0 и п,ае, > т0, (13)
(где т0 — предел упругости); в противном случае йт2 = 0. Из (11), записывая йа в форме
йа = С[йе0 — йт2 +| К(Я)С1йт2йУ' — | К(Я)С1йейУ', (14)
и, подставляя (14) в (12), получим интегральное уравнение относительно тензора йт2 — приращения пластической деформации. Обозначим через
Т(а) =1 ¿Х(па^)(п ® е, + е,. ® п)(п, ® е1 + е1 ®п), (15)
2 ,=1
тогда
йт2 = Тйа. (16)
Подставим в (16) значение йа из(14):
йт2 = ТСйе0 — ТСйт2 + ТС| К(Я)С1йт2йУ' — ТС| К(Я)С1йе йУ', (17) после преобразований имеем
[1 + (ТС)—']йт2 = йе2 +| К (Я) Сйт2 йУ' — | К (Я) С,йейУ'. (18)
Из(10) и (18) следует
[1 + (ТС)—']йт2 = йе0. (19)
Подставляя из последнего выражения значение йт2 в (10), получим уравнение для приращений тензора полной деформации
йе + $ К(Я)[С1 - СТС(TC +1-] ]йейУ = йе0. (20)
Приращения напряжений и пластических деформаций выражаются через решения последнего уравнения соотношениями:
йа = С{1 - [I + (TC )-1]-1}йе, (21)
йер = [I + (ГС)-1]-1 йе . (22)
Выражение в квадратных скобках — случайное поле в (20) известно, если известно поле напряжений. Введем следующие обозначения:
М = ТС {ТС +1)-1, Ь = С (I - М), Ц = Ь -<1 > .
Тогда (20) перепишется в следующем виде:
йе +1К(Я)(С,. - СМ)йейУ = йе0 . (23)
При постоянном значении приращения эквивалентного поля йе' в рамках метода самосогласованного поля (МСП) поле приращений деформации внутри любой неоднородности, находящейся в бесконечной среде с характеристиками < Ь > , имеет вид:
йе = (I + ЛЦУ1 йе' . (24)
Уравнение относительно йе получим, подставляя (24) в (23) и усредняя результат по ансамблю реализации поля неоднородностей:
йе' =< Ц[1 + Л(Ь- < Ь >)]-1 >-1 йа0. (25)
Из (24) и (25) следует, что приращение тензора деформаций внутри произвольной неоднородности в рамках МСП определяется выражением
йе = (I + ЛЬ,)'1 < Ц[1 + Л(Ь-< Ь >)]-1 >-1 йа0. (26)
Из (26), учитывая (21), для приращения внешнего напряжения йа0 имеем:
йа0 = [С(I -М)(! + ЛЦ1)-1]-1 < ¿[I + Л(Ь- < Ь >)]-1 > йа . (27)
Таким образом, зная поле приращений напряжения в зерне, по формуле (27) можем определить внешнее поле приращений напряжения, а это означает, что мы решили обратную задачу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород. |-М,: Недра. 1985. -286с.:
2. Родионов В.Н., Сизов И.А., Цветков В.М. Основы гео—механики. — М.: Недра, 1986. -301 с.
3. Турчанинов И.А., Иофис М.А., Каспарьян Э.В. Основы механики горных пород. — Л.: Недра, 1977. — 503 с.
