Математическая модель неоднородного напряженно-деформированного состояния минерала с газонаполненными порами при постоянной скорости изменения внешнего поля деформаций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 004.942; 539.3; 549.08

© Р.К. Халкечев, 2012

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕОДНОРОДНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МИНЕРАЛА С ГАЗОНАПОЛНЕННЫМИ ПОРАМИ ПРИ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ

В представленной работе, разработана модель, позволяющая решить задачу определения неоднородного напряженно-деформированного состояния такого объекта как минерал с газонаполненными порами при заданном значении постоянной скорости изменения внешнего поля деформаций.

Ключевые слова: математическое моделирование, минерал, газонаполненная пора, деформация, изменение внешнего поля.

Допустим среда, соответствующая минералу, заполняет некоторый объем V , причем согласно [1], для того чтобы возможно было определить деформационные свойства рассматриваемого минерала необходимо выполнение условия V > Vэл, где Vэл. = бй (й - размер зерна минерала) — элементарный объем. Рассматриваемую среду будем считать неограниченной, т.е. вкладом от поверхностных эффектов в упругие свойства среды можно пренебречь.

При изучении пористых сред надо различать два различных состояния, в которых может находиться пора. Первое из них соответствует равновесию, когда и форма, и объем поры остаются неизменными. Такое состояние может осуществиться, если пора заполнена газом, практически нерастворимым в веществе матрицы, и газ находится под некоторым давлением, равным поверхностному давлению (лапласов-ское давление). Такие поры нас будут интересовать при нашем исследовании в предположении, что они находятся внутри зерна.

Рассмотрим трехмерную неограниченную анизотропную среду, которую назовем основной, с неоднородностями в эллипсоидальных областях. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам с газонаполненной порой. Через С0 обозначим постоянный тензор модулей упругости основной среды, который определяется по формуле (9) статьи [2], учитывающей неоднородности в виде границ между зернами и газонаполненными порами, через С0 + С1

— то же для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор модулей упругости с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции С(х) = С0 + С1(х), где х(х1, х2, х3) — точка среды;

С1 (х) — случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Упругая деформация в точке связана с напряжениями законом Гука [3]:

ее = £-а , (1)

где £ — тензор упругой податливости зерна с газонаполненной порой. Реологическая деформация в точке определяется через системы скольжения зерна следующим образом: 1 М

е р = 2 ^ & (пае • )(п ® е + е, ® п1 )(па е 1), (2)

21=1

где п1, е 1 — нормаль к плоскости скольжения с номером / и направление скольжения соответственно; /1 — функция упрочнения; ® — тензорное произведение; N переменная величина, определяющая число дислокаций, которое изменяется во времени в результате поглощения порами.

Для определения величины N необходимо использовать вспомогательную модель, учитывающую изменение количества дислокаций [4].

Теперь вернемся к основной модели. Введем в рассматриваемую среду поля дислокационных моментов двух типов т1, и т2: т1 — поле дислокационных моментов, индуцированное внешним полем напряжений, которое линейно связано с последним и приводит к изменениям модуля упругости в точках среды, т2 — поле дислокационных моментов, которое определяет пластические деформации. Вектор перемещений и в среде с таким распределением дислокационных моментов в произвольной аффинной системе координат удовлетворяет уравнению

и1 (х) = -1 УО(Я)С0т1 (х' )СУ' -1УО(Я)С0т2 (г )СУ' , (3)

где и = и0 + и1, и(х) ^и0(х) при х^да; О(Я) — тензор Грина основной среды, Я = х - х1; V - градиент по х.

Отсюда тензор полной деформации е(х) в среде удовлетворяет уравнению

е( х) = е0 +1К (Я)С0 т1( г)СУ • +1К (Я)С0 т2( г)СУ • , (4)

где К (Я) = -УУО (X); е0 — внешнее поле деформаций.

Следовательно, тензор упругой деформации представляется в виде

ее =е-ер = е0 +|К(Я)С0(т1 + т2)СУ• -т2 , (5)

так как ер = т2. Отсюда, тензор напряжений будет иметь вид

а(х) = С[е0 -т2 +1К(Я)С0(т1 + т2)с1У• ] . (6)

Выберем поле дислокационных моментов в виде

т = £0 -С1 е, (7)

которое в таком виде удовлетворяет уравнению равновесия в отсутствие массовых сил:

У(С0 + С,)ее = 0. (8)

Для т1 с учетом (5) имеем

т1 =-^0 • С • (е-т2). (9)

Подставим (9) в (4), произведем преобразования и в результате для тензора полной деформации получим

е(х) = е0 -1К(R)C1еdV' +1К(К)Ст2dV . (10)

Из (6) и (9) для тензора напряжений имеем

о(х) = С[е0 - т2 +1КЩ)С т2dV• -1К(R)ClеdV' , (11)

Из уравнения состояния (2) для dm2 имеем 1 "

dm2 = -X ^ (п°е1 )(п ® е+е ® п )(п,ое) (12)

21=1

при (п,ое,) (n¡dae¡) > 0 и п1ое1 >т0 (13)

(где т0 — предел упругости); в противном случае dm2 = 0. Из (11), записывая о в форме

о- = С^е, - т2 +1К^)Ст2dV' -1КЩ^ё dV' , (14)

и подставляя (14) в (12), получим интегральное уравнение относительно тензора т2 — приращения пластической деформации. Обозначим через

Т(с) =1£/,(псе,)(п, ® е1 + е1 ® п)(п, ® е1 + е1 ®п), (15)

2 ,=1

тогда т2 = То . (16)

Подставим в (16) значение о (14)

т2 = ТСе0 - ТСт2 + ТС| К(К)С11п2dV■ - ТС| К(R)C1 ё dV' , (17) после преобразований имеем

[1 + (ТС)-1]т2 = ¿2 +| К{К)Ст2dv• Кё dV' . (18)

Из (10) и (18) следует

[1+(ТС)-1] т 2 = ¿0. (19)

Подставляя из последнего выражения значение т2 в (10), получим уравнение для приращений тензора полной деформации

ё +| К(R) [С1 - СТС(ТС +1-] ]ëdV = ё0. (20)

Приращения напряжений и пластических деформаций выражаются через решения последнего уравнения соотношениями.

О- = С{1 - [I + (ТС)-1]-1}ё. (21)

ёр = [I + (ТС)-1]-1ё . (22)

Выражение в квадратных скобках — случайное поле в (20) известно, если известно поле напряжений. Введем следующие обозначения

М = ТС (ТС +1)-1; Ь = С (I - М); Ь. = 1-<1 > .

Тогда (20) перепишется в следующем виде

ё + |К(Я)(С, - СМ)ё ёУ = ё0. (23)

При постоянном значении приращения эквивалентного поля ёе' в рамках МЭП поле приращений деформации внутри любой неоднородности, находящейся в бесконечной среде с характеристиками < Ь >, имеет вид

ё = (I + АЬ1)- ё'. (24)

Уравнение относительно ёе' получим, подставляя (24) в (23) и усредняя результат по ансамблю реализации поля неоднородностей:

ё- =< Ьи + А(Ь- < Ь >)]-1 >-1 <г0. (25)

Из (24) и (25) следует, что приращение тензора деформаций внутри произвольной неоднородности в рамках МЭП определяется выражением ё- = (I + АЬ1)< Ь[! + А(Ь-< Ь >)]-1 >-1 О0 . (26)

Среднее значения приращения тензора деформаций для среды с неоднородностями получим, подставляя (26) в (23) и результат осреднения по ансамблю реализации полей неоднородностей:

< ё >= (I + АЬ1)-1 >< Ь^ + А(Ь- < Ь >)]-1 >-1 О0. (27) Из (21), учитывая (26) для приращения напряжений ёс , имеем

О = С(I -МXI + АЬ1)-1 < Ь^ + А(Ь-< Ь >)]-1 >-1 сС0. (28)

Из (22), учитывая (26) для приращения тензора пластической деформации, имеем

ер = Мё = М(I + АЬ1)-1 < Ь[I + А(Ь-< Ь >)]-1 >-1 сС0. (29)

Отсюда для среднего значения приращения тензора пластической деформации для рассматриваемой среды будет иметь вид

< ёр >=<М(I + АД)-1 >< Ь^ + А(Ь- < Ь >)]-1 >-1 С0. (30) Задавая внешнее поле ёс0, по формулам (27) — (30), можно построить диаграммы реологической деформации минералов или мономинеральных горных пород с газонаполненными порами с учетом изменения количества дислокаций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Халкечев Р.К. Скейлинг газосодержащих породных массивов. — Новочеркасск: Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. — 2012. — №2. — С.: 102—104.

2. Халкечев Р.К. Математическая модель эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов мультифрактальной структуры. — М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск — Методы математического моделирования в горной промышленности). — 2011. — №12. — С.: 7-12.

3. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. — М.: Высшая школа, 1983. -399с.

4. Халкечев Р.К. Математическая модель упругопластического деформирования пористых минералов с учетом изменения количества дислокаций. — М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск — Методы математического моделирования в горной промышленности). — 2011. — №12. — С.: 12-18.

УДК 550.3; 622; 550.34.013.4 © Р.К. Халкечев, 2012

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА ГОРНОЙ ПОРОДЫ

В представленной работе разработан алгоритм, позволяющий определить элементарный объем горной породы. Данный алгоритм, на основе структуры горной породы, позволяет установить размеры элементарной ячейки, трансляцией которой, можно получить исследуемую породу. Полученные размеры элементарной ячейки определяют элементарный объем горной породы.

Ключевые слова: элементарный объем горной породы, элементарная ячейка горной породы, блоки Вороного, алгоритм, матрица связей.

Как известно, деформационные свойства любого кристалла достаточно хорошо описываются моделью сплошной среды. В первую очередь это связано с внутренним строением кристалла, а именно с его однородностью.

Эта однородность обусловлена тем, что для любого кристаллического тела можно найти такую конфигурацию атомов, периодически повторяя в пространстве которую, можно построить всю структуру кристалла (кристаллическую решетку). Эта конфигурация, содержащая один или много атомов, называется элементарной ячейкой [1]. Как пра-