Напряженное состояние толстостенных цилиндрических труб с учетом силы тяжести для материалов со сложной реологией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ С УЧЕТОМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ СО СЛОЖНОЙ РЕОЛОГИЕЙ

А. Н. Спорыхин, Д. В. Гоцев1, Л. Г. Плотников

Воронежский государственный университет, кафедра теоретической и прикладной механики; 1 Военный авиационный инженерный университет, Воронеж, кафедра математики

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

В рамках метода малого параметра исследуется поле напряжений весомой цилиндрической трубы при моделировании материала несжимаемой упруговязкопластической средой. Дается оценка влияния на величину пластической зоны физико-механических параметров конструкции.

Ключевые слова: плоская деформация, тензор напряжений, упругость, пластичность, упругопластическая граница, упруго-вязкопластичность.

Stress of Heavy-Wall Tubing Cylindrical Pipes Taking into Account the Gravity for Materials with Difficult Rheology

A. N. Sporykhin, D. V. Gotsev1, L. G. Plotnikov

Voronezh State University,

Chair of Applied Mathematics, Computer Sciences and Mechanics; 1 Military aviation engineering university, Voronezh, Chair of Mathematics

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Within a method of small parametre the field of stresses of heavy tubing cylindrical pipes is investigated at modelling of a material by the incompressible elastic-is viscous-plastic environment. The estimation of influence on size of a plastic zone physicomechanical design parametres is given.

Key words: plane deformation, tensor of deformation, elasticity, plasticity, elastoplastic line, elastic-is viscous-plasticity.

Известно, что одним из основных факторов, влияющих на распределение поля напряжений в толстостенных конструкциях, является их собственный вес. Поэтому учет силы тяжести при расчете напряженно-деформированного состояния толстостенных сооружений является актуальной задачей. Анализ влияния собственного веса в первом приближении на напряженное состояние толстостенных цилиндрических труб для материалов, обладающих упругопластическими свойствами приведен в работе [1]. В настоящей работе ищется напряженное состояние цилиндрической трубы, находящейся под действием собственного веса при моделировании материала трубы несжимаемой упруговязкопла-стической средой [2].

В этом случае функция нагружения имеет вид

F = (sj - cjp - j (sj - j - j

(1)

где с — коэффициент упрочнения; к — предел текучести, п — коэффициент вязкости; = а^ — а5\ — девиатор тензора напряжений; а = 3; ^ — символ Кронекера; е^ — компоненты тензора деформаций; е^ — компоненты тензора скоростей деформаций. Индексы г, ] принимают значения от 1 до 3, верхние индексы р или е обозначают величины, относящиеся к пластической или упругой областям соответственно.

Рассмотрим толстостенную трубу с внутренним радиусом а и внешним — Ь (рис. 1). На внутреннем контуре трубы приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Р0, моделирующая собой давление жидкости или газа, на внешнем контуре — нагрузка интенсивностью Р .

А О

W

p

^J^ nL' sL' si^ sL' sL^ sL' sL^ sL^ Ч1У ч!^ vi^ si^ ч!^ ч!^

I л

I I

I I

y

\

i

P

P

Рис. 1

z

x

При нахождении напряженного состояния и радиуса раздела зон упругого и пластического деформирования учитывается влияние силы тяжести. Задача решается в рамках плоскодеформированного состояния.

Уравнения равновесия в декартовой системе координат имееют вид

дох + дтху _ Q

dx dy

дтху + day _

dx dy Y

(2)

где y — объемная сила.

Частное решение системы уравнений (2) согласно [1] выберем в виде

ax _ qy, ay _ Yy, Txy _ 0,

где y, q — const.

В полярной системе координат (р, 0) уравнения равновесия (2) представимы в форме

(3)

до? 1 дт,

+ -■

ре

+

о? -

др р д0 р частное решение (3) — в форме

_ y sin 0,

?е . 1 до- 2т?-

др р

+--— _ y cos 0,

р

(4)

q + 3y . Д . q- y . рд 3q + y . д q- y .

On _ -;-р Sin 0 +----р Sin 30, Oe _ ---р Sin 0----р Sin 30,

4

4

Тр-

y - q

4

4

р(cos 0 — cos 30),

(5)

условие пластичности (1) — в форме

— cep — + (тре — cep- — ne?-) _ 4k2

(6)

Исследуем случай, когда пластическая зона полностью охватывает внутренний контур трубы. При определении напряженного состояния все функции представляются в виде рядов по степеням малого параметра <5, характеризующего отклонение от исходного невозмущенного состояния (от состояния без учета силы тяжести), то есть решение системы (4), (6) ищем в виде [3]:

Oij _ oj + ¿oj + ¿Vj + ..., р5 _ р(°) + ¿р« + ¿2 р(2) +

где р3 — радиус раздела зон упругого и пластического деформирования. Влияние силы тяжести учтем в первом приближении, положив

q _ ¿ci, y _ ¿c2 ci, c2 — const.

(7)

(8)

В качестве нулевого приближения выберем решение задачи о нахождении напряженно-деформированного состояния толстостенной цилиндрической трубы находящейся под действием сжимающих нагрузок Р0 и Р, без учета силы тяжести, которое согласно [2] имеет вид - в пластической зоне при (а < р < 1)

p т-> I 4xM

Op _ —Po + 2^Гс

c + 2^e

оР _ —Po +

4хд + c

c + 2^e

-i-t

4^

-f ' 4 — + (1 — e-*<) ln р

a2 р2 J 4 'a

~2 +i) + (1 — e-i • t) (1 + ln р)

(9)

т?- _ 0,

где x _ sign (P0 — P), £ _

2^ + c

n .

- в упругой зоне при (1 < р < в)

oe _ "P + 1 -

— P + X i1 + в2

т?е _ 0.

(10)

2

р

р

Пластические деформации определяются соотношением

х(1 - е-^) / 1 + с V Р

На упругопластической границе выполняется следующее соотношение для внешних усилий:

= Р2 - Ч . (11)

+ 1 + |Po - P(2ß + c) - 2ß + 4ß lnа(1 - e-it) - (2ße ^ + c) = 0. (12)

В (9)-(12) и далее все величины, имеющие размерность напряжения, будем считать безразмерными, отнесенными к величине предела текучести к, все линейные размеры будем считать отнесенными

к радиусу пластической зоны в исходном нулевом приближении р°, т. е. а = -^0, р = -^0 и ß = —.

рs ps ps

Согласно (4), (6)-(8) для определения первой итерации первого приближения имеет место система уравнений

лдт(1) о(1\- а(1\ дт(1) 1 2т(1)

°ар(1) , 1 дт>(1) , аР( 1) aö(1) дт>(1) , 1 дае(1) , 2т>(1) „ (13)

Г( ) +---+--—-— = Y sin в, Р ( ) +---^ +--= y cos в, (13)

др р дв р др р дв р

^p!) - = 2cepp(0) +2пвр(0). (14)

В (13), (14) и далее нижний индекс в скобках указывает номер итерации, верхний — номер приближения.

Уравнениям равновесия (13) удовлетворим, полагая

(1) 1 дф(1) + 1 д2Ф(1) + q + 37 . в + q - y . зв

ар(1) = р^Г + р^^ + —Т~р sin в + —р sin3e,

д2Ф(1) о I

(1) д w(1) . 3q + y . ü q- y . qn ,1c4

a-(1) = + рsinв —~рsin3e' (15)

v = -ддр (р^) + ^P(cosв - COs.3e),

где ф(1) — функция напряжений Эри, удовлетворяющая уравнению

д2ф(1) 1 дф(1) 1 д2ф(1) (1) (1) _1____ш. = ^р(1) _ ^р(1) (16)

др2 р др р2 дв2 (1) ^^(1)' (16) Уравнение (16) с учетом (11) и (14) примет вид

д2ф(1) 1 д Ф(1) 1 д2ф(1)_ 1 c2 - c1

= mi (- l) + С2 2 Cl P(sin° - sin30), (17)

др2 р др р2 дв2 \ р2

где Ш1 = 2С (1 - е-5*). + с

Учитывая решение уравнения (17) определим первую итерацию первого приближения для напряжений в пластической области в форме

р(1) т1 ( 1 1 01 р V • а I Си • а I

= — ^ - р2- 21п а) +С2 р 81П в+ —81П в+

+р ( (-8Сэ1 + л/8Са^ cos(v/8 1п р)+ (-л/8Сз1 - 8С32) ^п(^81п р)) s1n3в,

а^Ц) = т Г -1 + 4 - 2 - 21п + С2р s1n в + ^ йп в+ (18)

^(1) 2 \а2 р2 а) р

+- ( (-8С31 + л/8Сз^ cos(v/8 ln р)+ (-V8C31 - 8С32) sin(V8ln р)) sin 30, TPö11) = - — cos 0 - P (3^8 (Сз2 cos(V8ln р) - C31 sin(^8ln р))) ,

Cli 1

— cos 0--

рр

где Cii, C31, C32 — неизвестные константы интегрирования

Предположим, что на контуре отверстия при р = а все самоуравновешивающиеся составляющие напряжения обращаются в ноль. Тогда из (18) получим систему для определения коэффициентов С31

и С32:

\ С31 «11 + С32 «12 = 0, | С31011 + С32 «12 = 0,

(19)

где ац = —8cos(v/8ln р) — VS sin(\/8ln р), ai2 = v/8cos(v/8ln р) — 8sin(\/8ln р), a2i = 3\/Ssin(\/8ln р), a22 = —3v/8cos(v/8ln р). Откуда находим

C31 = C32 = 0. (20)

Составляющие напряжений (18) при sin в и cos в являются несамоуровновешивающимися и одновременно не могут обращаться в ноль на контуре отверстия. Предположим, что

Тогда из (20) с учетом (18) получим

Tp(i)

p(i)

= 0.

(21)

р=а

Cii = —С2«2

(22)

Если же предположить, что

то

rp(i) rpe(i)

р=а

= 0,

Cii = 0.

(23)

(24)

Из условия непрерывности компонент напряжения на упругопластической границе при р = 1 с учетом (18) имеем

....... ............(25)

a^«=bisin в+а0' Te<((í)=a'i"cos в'

т1 / 1

Граничные условия на внешней стороне трубы при р = в, согласно [1] запишем в виде

где b'i = С2 + Cii, a0 = — ( — — 1 + 2 ln а ), a'i' = —C11

^(i) = Ь' sin в, t;¿1) = ai cos в,

(26)

где &i и al — const.

С учетом граничных условий (25), (26) согласно [3] компоненты напряжений в упругой зоне при 1 < Р < в имеют вид

р , (3m +1) в (b + , ^1 + в2 в2 , +

тА + т—^о ., N (bi + a')---о — р +

в 1 4m (в2 +1) 1 v р р3

3 ■

1

в р3

sin в +

1

в2 — 1

—a0 + а0 — I +

в2

в4 — 1 Ci + 3c2

bi — bi в x

4

C1 — C2

р sin в +---— р sin 3в,

4

(3m +1) в

3 вЬ' + (в2 + 1) 1^

(bi + ai)

1

m — 1 1 + в2 + 3 А +_

3m + 1 р + р3 3 V + в4 — 1

bi - bi в x

x '3в + ?

sin в +

в2 - 1

a0 a

в 2 0 р2

+

3Ci + C2

4

р sin в —

Ci - C2

р sin3в,

+

р , (3m + 1) в,, / m — 1 1+ в2 в2

вЬ1 + 4m (в2 + 1)(bl+а1 ч—3mTT—r — 7—р) +

1

в4 — 1 vbl — biву vв

р в3

cos в + C2 ^ Cl р(cos в — cos 3в),

(27)

—i

где m = д , причем

(b' + а') в — (b" + а' ^ а = 0

(28)

e

a

р

e

a

в

1

3

Р

Из условий сопряжения компонент тензора напряжений [3] следует, что на невозмущенной упру-гопластической границе имеет место равенство

Ps(1)

'0(1)]

ёа(0)

%'(1) + ^ „(0) s(1)

Откуда, учитывая (9), (10), получим:

(1). = - [а(-1).1

ёа,

(0)

ёр

ёр

-1

= 0.

+ с

(29)

8^(1 - е-?*)

(1) г0(1)

(30)

Соотношение для нахождения радиуса упругопластической границы рS(1) в первой итерации первого приближения согласно (30) при учете (18), (19) (22), (27) и (28) определим в виде

р^ = М0 + М1 эт 9 + М3 эт 39,

(31)

где

М0 =

+ с

М1 = -

8^(1 - е-?*)

+ с 8^(1 - е-?*)

а0 - а0 в -

- 1 + 21п а

в2 - 1 V 0 2

&1 (3т + 1) в п т - 1 _2,

3^ + ) го2 ^ (&1 + а!) - о-7(1 + в2)+

в 4т (в2 + 1) 1 V 3т + 1У '

+ в2 - 3) +

1

в4 - 1

Ь1 - Ь1 в

М3 = -

+ с

8^(1 - е-?*)

С2

+ в3

4

(32)

Таким образом, поле напряжений в толстостенной цилиндрической трубе, находящейся под действием сжимающих нагрузок при учете силы тяжести определено в нулевом и первом приближениях (первая итерация) при а < р < 1 соотношениями (9), (18), (19), (22) (или (24)), а при 1 < р < в — соотношениями (10), (27), (28). Радиус раздела зон упругого и пластического деформирования находится по формулам (12), (31).

Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2, а-г. На этих рисунках показана зависимость радиуса упругопластической границы рs от угла в в толстостенной трубе, с учетом силы тяжести. При этом значение безразмерных характеристик принимались следующими: внутреннее давление на контуре q0 = 0.9 и внешнее давление на контуре д = 0.2; малый параметр 5 = 0.17; модуль сдвига ^ =1; радиус отверстия а = 0.6; внешний радиус трубы Ь = 0.9.

На рис. 2, а замкнутая кривая 1 соответствует контуру отверстия. Замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упругопластической границы рs в моменты времени Ь = 0.001, Ь = 0.0015, Ь = 1 соответственно. При этом коэффициент упрочнения с = 0.2; коэффициент вязкости — п = 0.001.

На рис. 2, б замкнутая кривая 1 соответствует контуру отверстия. Замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упругопластической границы рs при значениях упрочнения с = 0.3, с = 0.2, с = 0.1 соответственно. При этом коэффициент вязкости п = 0.001.

На рис. 2, в замкнутая кривая 1 соответствует контуру отверстия. Замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упругопластической границы рs при значениях коэффициентов вязкости п = 0.002, П = 0.0015 и п = 0.001 соответственно. При этом коэффициент упрочнения с = 0.2.

На рис. 2, г замкнутая кривая 1 соответствует контуру отверстия. Замкнутые кривые 2-4 характеризуют положение упругопластической границы рs при значениях с1 = 0.5, с2 = 15; с1 = 0.2, с2 = 5 и с1 = 0, с2 = 0 соответственно. Случай с1 = 0, с2 = 0 соответствует положению упругопластической границы без учета силы тяжести При этом коэффициент упрочнения с = 0.2, коэффициент вязкости п = 0.001.

1

1

120

90

90

60-3 4

-2

150

180

210

60 ,_4

^4

30

330

180

210

270 а

120

90

60

150

180

210

4

-3 2 -1 30

120

270 б

90

60

150

330

180

210

240

300

270 0

в

270 0

' г

Рис. 2

Из анализа результатов численного эксперимента следует, что учет силы тяжести влияет на форму и размер упругопластической зоны (см. рис. 2, а-г), при этом отмечены следующие закономерности:

- с ростом времени упругопластическая граница увеличивается до определенного значения, которое соответствует упручнояющейся упругопластической среды (рис. 2, а) (имеет место ограниченная ползучесть);

- при увеличении коэффициента упрочнения с пластическая область сужается;

- с ростом коэффициента вязкости п пластическая зона уменьшается, в этом смысле можно говорить о стабилизирующей роли вязкости.

Таким образом, получено первое приближение (в одной итерации), поставленной задачи о напряженном состоянии толстостенных труб из упруговязкопластического материала, при учёте силы тяжести. Очевидно, что полагая в приведенных выше соотношениях c = 0, п = 0 и t ^ <х, приходим к результатам работы С.В. Матвеева [1], соответствующим идеально пластическому материалу. Если положить ci = 0 и c2 = 0, то приходим к известным решениям А.Н. Спорыхина [2].

Библиографический список

1. Матвеев С.В. Упругопластическое состояние среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. 2007. № 2(52). С. 107-114.

2. Спорыхин А.Н., Шашкин А. И. Устойчивость равно-

весия пространственных тел и задачи механики горных пород. М.: Физматлит, 2004. 232 с. 3. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.

0

0