CC BY
50
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 4(37). С.65—84
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1365
УДК 539.376
ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРУБЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ВНЕШНИМ КОНТУРОМ В УСЛОВИЯХ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
А. Д. Москалик
Самарский государственный технический университет,
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Аннотация
Рассмотрена краевая задача установившейся ползучести для толстостенной трубы с внешним эллиптическим контуром, находящейся под внутренним давлением. Приближенное аналитическое решение данной задачи строится для плоского деформированного состояния методом малого параметра до второго приближения включительно. Используется гипотеза несжимаемости материала для деформаций ползучести. В качестве малого параметра используется величина сжатия эллипса для внешнего контура трубы. Анализ аналитического решения выполнен в зависимости от параметра нелинейности установившейся ползучести и параметра сжатия эллипса — отношения разности большой и малой полуоси эллипса к большой полуоси, являющейся внешним радиусом невозмущенной толстостенной трубы. Показано, что при возрастании величины сжатия эллипса до 0.1 внешнего радиуса трубы тангенциальные напряжения в опасном сечении при в = п/2 возрастают в 1.7—1.8 раза. Приводятся результаты расчетов в табличной и графической форме.
Ключевые слова: эллиптический внешний контур трубы, установившаяся ползучесть, приближенное аналитическое решение, метод малого параметра, первое и второе приближения.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1365
Введение. Разработка аналитических методов решения краевых задач ползучести для элементов конструкций с возмущенными границами вследствие физической нелинейности определяющих реологических соотношений представляет трудноразрешимую проблему. Один из подходов состоит в линеаризации граничных условий и реологических соотношений на основе метода малого параметра. Постановка задачи установившейся ползучести с возмущенными границами методом малого параметра приведена в монографии Л. М. Качанова [1], где, в частности, для несоосной трубы построено решение
© 2014 Самарский государственный технический университет.
Образец для цитирования
Москалик А. Д. Приближенное аналитическое решение задачи для трубы с эллиптическим внешним контуром в условиях установившейся ползучести // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. №4(37). С. 65-84. doi: 10.14498/vsgtu1365.
Сведения об авторе
Анна Давидовна Москалик ([email protected]), аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
65
Москалик А. Д.
в первом приближении. Имеются попытки решения задачи с возмущенными границами в работах [2-4].
Однако, что касается внешних краевых задач реологии (с возмущенными границами), здесь следует отметить ряд работ по устойчивости однородного растяжения полосы или цилиндра из вязкого материала, чувствительного к скорости деформирования, по отношению к малым возмущениям регулярной или произвольной формы свободных границ, решенных методом малого параметра [5-8]. С другой стороны, развиваются методы решения краевых задач с возмущенным по пространственным переменным полем реологических характеристик (внутренние краевые задачи). Так, в работах [9-12] методом малого параметра построены аналитические решения для полей напряжений и скоростей деформаций вплоть до третьего приближения в стохастической краевой задаче установившейся ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления, а в работах [13,14] приведены решения аналогичной задачи ползучести для растягиваемой плоскости.
Детально метод возмущений (малого параметра) для упругопластических тел изложен в монографии [15] и систематически развивался научной школой Д. Д. Ивлева в работах его учеников [16-19 и др.] на случай различных условий пластичности, составных упругопластических тел, различных типов концентраторов и т. д. Так, эллиптическая форма отверстия в тонкой пластине рассмотрена в работе [20], упругопластическое состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, под действием давления, продольных и сдвиговых усилий — в диссертации [21]. Для эллиптической упругопластической трубы построено первое приближение методом малого параметра в монографии [22]. Следует отметить, что все подобные задачи решались в упругопластической области.
Постановка задач для ползучести имеется в крайне ограниченном числе работ. Целью данной работы является построение приближенного аналитического решения задачи об установившейся ползучести толстостенной трубы с эллиптическим внешним контуром, находящейся под внутренним давлением, методом малого параметра с учетом первого и второго приближений.
1. Постановка задачи. Рассматривается толстостенная труба под действием внутреннего давления q с внутренним контуром в виде окружности радиуса r = h, внешним эллиптическим контуром с большой полуосью r = a и малой полуосью r = b.
В качестве малого параметра принимается величина сжатия эллипса
5 = (a — b)/a = 1 — /l — е2, (1)
где е = у/1 — b2/a2 — эксцентриситет эллипса (см. рис. 1). При получении приближенного аналитического решения предполагается, что упругие деформации малы по сравнению с деформациями ползучести и ими можно пренебречь. С физической точки зрения это означает, что рассматриваются установившиеся поля скоростей деформаций ползучести и напряжений, т.е. деформацией ползучести, накопленной на первой стадии и вызванной перераспределением напряжений от упругого состояния до состояния установившейся ползучести, пренебрегаем.
Разложение тензора напряжений aij, тензора скоростей деформаций ползучести iij и вектора скоростей перемещений и по малому параметру до
66
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
Рис. 1. Схема трубы с возмущенной внешней границей: 1 —внутренний контур трубы r = h; 2 — внешний эллиптический контур трубы; 3 — внешний контур трубы r = а для осесимметричного
случая
[Figure 1. The scheme of a tube with perturbed outer boundary: 1 — the inner contour of the tube r = h; 2 — the outer elliptic contour of the tube; 3 — the outer contour of the tube r = b for axisymmetric case; 5 is the small parameter]
членов второго порядка имеет вид
(Jij = oj + + 0(63),
£ij = ё°- + Sej + S2eif + 0(53),
Ui = u0 + Su(1) + S2u(2) + 0 (S3),
где индексы 0, 1 и 2 соответствуют нулевому, первому и второму приближениям.
Уравнение эллиптического внешнего контура трубы в полярных координатах имеет вид (если принять центр эллипса за полюс):
r = &/л/1 — e2 cos2 в.
Выражая эксцентриситет в последнем соотношении через сжатие S с использованием формулы (1), имеем
r = а(1 — S)/y/l + (S2 — 2 S) cos2 в.
Раскладывая полученное выражение для r в степенной ряд по параметру S и ограничиваясь членами второго порядка включительно, получаем
r
a
a + -(cos 2в — 1)S +
—(cos4e — 1)S2. 16
(2)
Задача решается в условиях плоского деформированного состояния, т. е. когда
ezz
0.
67
Москалик А. Д.
Предполагается несжимаемость материала для скоростей деформаций на стадии установившейся ползучести, что находит экспериментальное подтверждение [23,24]:
£rr + £ее = 0. (3)
Постановка задачи включает в себя уравнения равновесия
darr
dr
1 d(Jr() Orr Оее
доев
дв
r дв доге дг
= — r-
r
2°re,
(4)
(5)
которые линейны относительно компонент напряжений и, следовательно, выполняются для каждого приближения.
Аналогично, для каждого приближения выполняются уравнения совместности деформаций:
£rr
(6)
дй-т , 1 дйе ur 1/1 дй дйе йе
дг , £вв r дв + r , £гв 2 V r дв + дг r
В качестве определяющих соотношений используются соотношения тео рии установившейся ползучести со степенным законом:
3
£ij = 2 Аое
П— 1
ij
(7)
где n, A — постоянные характеристики материала, Sij = oij — Okk5ij/3 — де-виатор напряжений, ое — интенсивность напряжений для случая плоской деформации
Ое
V3
2
о ее)2 + (4ore)2
1/2
Разложение ое по малому параметру 5 позволяет определить о'П 1, представленное в виде степенного ряда по 5 до членов второго порядка включительно:
n1
ое =
( д/3|Ао(0Д П~1 \ 5(n - 1)До(1)
2
-
|До(0)|
+ 52 П - 1 ( (n - 2) [До(1)] 2+2До(2) До(0) + 4 [Д] ^ (^
[До(0)]
2
где для удобства записи введены обозначения:
Ao(k) = o(k) _ O(k)
к = 0,1, 2 — номера приближений.
Формула (8) используется в определяющих соотношениях (7) с учетом разложения по степеням малого параметра 5 до членов второго порядка включительно:
£rr — v°r + 5W + 52—
= - Lrs 4
До(0) + 5„Ао« + 52 (пДо(2) + П—1 ■ п[Ао(1)12 +Д2 ) V 2 До(0) J
(9)
68
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
ётв = 40) + = Lrs
'тв
тв
SaT1 + £2
42J +
(n - 1)Ад(1)дТв) Aa(0)
(10)
Здесь введены следующие обозначения:
q
Q =
(a/h)Р - 1
p =2, L = 3A(£,q' ""
n
n
s = p — 2.
Решение для нулевого приближения входит в соотношения (9), (10) и представляет собой решение для соосной толстостенной трубы под внутренним давлением, которое, согласно [24], имеет вид
aTT (r) = Q a(0(r) = Q ai°)(r) = Q
i — (?)],
i—(i—p>( a n
i—(i+p)( a л-
(11)
При этом aT00 = 0 ввиду симметричности задачи для нулевого приближения.
Поскольку граница при r = h не возмущена и задано давление q, линеаризованное граничное условие на внутреннем радиусе трубы для последующих (после нулевого) приближений представимо в виде
a
(k)|
тт I T=h
= 0, a
(k)|
тв I т=h
0,
(12)
k = i, 2 — номера приближений.
Линеаризованное граничное условие для первого приближения при r = a, согласно [15], зависит от нулевого приближения (11):
a
(1)|
da^ a a . QP QP
—-— — (cos 20 — i) =--------cos 20,
dr 2v ! 2 2 ’
тт 1т=а
= = Aa(0) sin 20 = —Qp sin 20
a(1) I т=а
(13)
Уравнения (3)-(6), (9), (10) с граничными условиями (12), (13) образуют краевую задачу для нахождения первого приближения в напряжениях и дальнейшего полного построения решения поставленной краевой задачи с учетом первого приближения.
2. Первое приближение метода малого параметра. С учетом вида уравнения внешнего контура (2) и вида граничных условий (13), вводится предположение, что скорость радиальных перемещений Ц1 является суммой двух составляющих, одна из которых зависит от радиуса r и угла 0, а вторая —
„ -(1)
только от радиуса r; скорость тангенциальных перемещений щ зависит и от радиуса r, и от угла 0:
U1 (r, 0) = uR(r, 0) + uf (r) = UR(r) cos 20 + uf (r) Ue1)(r, 0) = uR(r, 0) = uR(r) sin 20,
(14)
69
Москалик А. Д.
где uR = uR(r), uf = uf (r), uR = uR(r) — неизвестные подлежащие определению функции.
Представление для скоростей перемещений (14) с учетом условий совместности (6) позволяет выполнить условие несжимаемости материала (3) тождественно. Для этого необходимо потребовать выполнения следующих равенств:
duR 2 R UR -j- + ~ uR + — = 0, dr r r
du f
. f
+ — = 0. dr r
(15)
(16)
Уравнение (15) тождественно выполняется путем введения функции скоростей перемещений Z(r, в) = R(r) sin 29 такой, что
u R
1 dZ
r дв,
u,
r = dz
в gr.
(17)
Уравнение (16) позволяет определить составляющую скоростей перемещений, независящую от угла в:
u r
C
r
и, следовательно,
f
rr
C
^2 .
(18)
Использование представления (17) в выражении (14) позволяет из соотношений (6) получить скорости деформаций ползучести:
е(1) = _'(1) 'rr 'вв
'(1)
'гв
1
2
1 dZ 1 d2Z duf
r2 d9 r d9dr + dr ,
dX d!Z_ 1 dZ"
r2 дв2 dr2 r dr
Так как Z(r, 9) = R(r) sin 29, выражения для скоростей деформаций ползучести примут вид
Д = -'вв = [—2R'r 1 + 2Rr 2] cos 29 + , (19)
Д = 1[R" — R'r-1 + 4Rr-2] sin 29. (20)
Здесь и далее «штрих» означает дифференцирование по r.
Полученные формулы для скоростей деформаций (19), (20) используются в соотношениях (9), (10):
Да«
4Р (—R'r-p+1 + Rr-p) . L
0/3 2pC -p
cos 29------— r p =
L
Д = — [
re 2L
R"r-p+2 — R' r-p+1 + 4Rr-p
sin 29
Дстд cos 29 + Д^ ,(21) = sin 29. (22)
70
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
При составлении основного уравнения для нахождения функции R(r) необходимо предварительно найти смешанную производную второго порядка по в и r от обеих частей равенства (21):
д2А-(1)
дгдв
2д А -R
дг
sin2e,
и, применяя обозначения, введенные в (21), (22), определить производную по в от обеих частей уравнения равновесия (4) для первого приближения:
д2—.^
дгдв
1 д2 —в 1 дА-(1)
r дв2 r дв
- -R sin 2в + 2A-r sin 2в,
r ' в r
а также определить производную по r от обеих частей уравнения равновесия (5) для первого приближения:
д 24У
двдr
r
д 2o(g) „ д—1 дr2
- 3-
гв
дr
г^
дН
sin 2в 3
дr
sin2в.
Разность продифференцированных уравнений равновесия представляет собой соотношение, тождественно равное продифференцированному соотношению (21). Приравнивая эти соотношения и сокращая на sin2в, приходим к уравнению
д 2 OR
у -гв
дr2
+ 3-
д-й , д A-r
дr
А- OR AOR
гв +2д-^ + 4 -гв + 2
дr
r
r
0
(23)
Опираясь в уравнении (23) на обозначения, введенные в (21), (22), получаем линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка для нахождения функции R(r):
R(4) + (6 - 2p)R'"r-1 + (p2 - 20p + 11)R"r-2+
+ (15p2 - 20p + 5)R'r-3 + (16 - 12p2 + 8p)Rr-4 = 0. (24)
Использование степенного представления R(r) = rv позволяет получить характеристическое уравнение для нахождения собственных значений v:
v4 - 2pv3 + (p2 - 14p + 4)v2 + (14p2 - 4p)v + (16 - 12p2 + 8p) = 0,
решением которого являются корни
v1,2,3,4
p \jp2 + 28p - 8 ± 4^61^ - 36p - 12
2 ± 2
Уравнение имеет комплексные корни при
61p2 - 36p - 12 < 0,
что выполняется при показателе нелинейности n = 2/p > 2.42. Следовательно, собственные значения при n > 2.42 представимы в виде
v1,2,3,4
p , 1 , •
- ± - ± гу. 2 2 у
71
Москалик А. Д.
Здесь l = l(p) и y = y(p) — известные значения для конкретного материала. Воспользуемся тригонометрическим представлением полученного решения согласно [25]:
R(r) = Cnr(p+1)/2 cos (y ln r) + C12r(p+1)/2 sin(y ln r) +
+ C13r(p-1)/2 cos(y ln r) + C14r(p-1)/2 sin(y ln r), (25)
где Cii + C14 — константы интегрирования.
Подставляя решения для функции R(r) (25) и для скорости деформаций ползучести Д (18) с учетом (9) в уравнения равновесия (4), (5) и обозначая
daR 1
-Д = - [-R"r-p+1 + (4p + 1)RV-p - (4p + 4)Rr-p-r|, dr LL J
-p-11 darr = 2pcr-p-1
dr L ’
получаем
daR) daR
-cos 20 +
daR
dr dr dr
Интегрируя по r, приходим к выражению для радиальной составляющей тензора напряжений
aR) = (aR + KR) cos 20 + (aR + K^),
где KR и K^ — константы интегрирования.
Составляющая тензора напряжений a^ определяется по формуле (22). Подставляя полученное решение для aR) и aR) в граничные условия (12), (13), определяем константы интегрирования C11,C12,C13,C14, C, KR, K^.
Поскольку уравнение для нахождения aR) распадается на два уравнения по признаку наличия зависимости от угла 0, получаем шесть уравнений и семь неизвестных констант интегрирования, что позволяет без нарушения общности решения положить KR = 0. В итоге формула для радиальных напряжений имеет вид
aR) = aR cos 20 + aR, (26)
где введено обозначение aR = aR + K^.
Использование полученного решения (26) позволяет определить напряжения и скорости деформаций ползучести в трубе с учетом первого приближения.
3. Второе приближение метода малого параметра. Линеаризованное граничное условие для второго приближения при r = a согласно [15] зависит от нулевого и первого приближений:
a
(2)
т9
-Aa(0) + -AaR + aA Aa(0) -
2 2 4 dr
R
av9
sin 40+
+ [-Aa(0) + Длф - ~(Aa(0) -1.2 2 dr
R
av9
sin 20,
v=a
-i v=a
j v=a
72
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
а,
(2)
атв
adaRr
4 dr
+
a2 d2ar0) 3ada^ 1^ (0)
adaRr
16 dr2 a2
+
16 dr
2
cos 40+
a2 d2arr
(0)
adafr -
.2 dr 4 dr2 2 dr Jr=<
cos 20+
г ada)f1 3ada(r) 1
+-------— +--------— + -Да(0)--------
1.2 dr 16 dr 2 4 dr
daR 3 a2 dVl? -
rr
16 dr2 Jr=a
(27)
Приравнивая в соотношениях (9), (10) члены ё2, приходим к следующим выражениям:
r=a
j r=a
Да(2)
4(2)
Lrs rr
1
Да(0)
~n — ~2
1
Да(1)2 +
sa(!)
bard
2-
= ^P.(2)
Lrstrr
+ A4(r) cos 40 + A2 (r) cos 20 + A0(r),
а
(2)
r9
1 • (2) (n — 1)Да(1)а(У
Lrs Да(0)
+ B4(r) sin 40 + B2(r) sin 20.
Здесь
A4(r)
A0(r) B2 (r)
Я2
s Г1ДО± + [ая
2Да(0П 2p + [ re] J,
s / [ДаЯ]2 , [Даф]2 2Да(°П 2р
+
Р
— КЯ ]2
рДа(0)
ДаЯДаф
s
A2(r) B4 (r)
рДа(0)
s
2рДа(0)
ДаЯДаф,
Даяая
Да ar0,
s
— функции, зависящие от нулевого и первого приближений.
С учетом вида уравнения внешнего контура (2) и вида граничных условий (27) вводится предположение, что радиальные напряжения состоят из суммы трех слагаемых, каждое из которых зависит от радиуса r, причем первое зависит также от угла 40, второе слагаемое зависит от 20, третье — не зависит от угла; касательные напряжения помимо зависимости от r зависят от величины 40 и 20. Следовательно, можно сделать предположение, что скорость радиальных перемещений u12) является суммой трех составляющих, одно из
которых зависит от радиуса r и угла 40, а второе —от радиуса r и угла 20,
(2)
третье — только от радиуса r; скорость тангенциальных перемещений щ является суммой двух составляющих, одно из которых зависит от радиуса r и угла 40, а второе —от радиуса r и угла 20:
u12) (r, 0) = uV(r, 0) + uW (r, 0) + uU(r) = uV(r) cos 40 + (r) cos 20 + (r),
u,2) (r, 0) = uV(r, 0) + uW(r, 0) = uV(r) sin 40 + uW(r) sin 20,
где u)f = u)f (r), uW = uW(r), uU = uU (r), uV = uV (r), uW = uW (r) — неиз-
вестные подлежащие определению функции.
73
Москалик А. Д.
Использование такого разложения в выражениях для скоростей деформаций ползучести (6) позволяет тождественно выполнить условие несжимаемости при соблюдении равенств
■.V
diг + 4 u v + ur 0
— | + _ u,
dr r r
dr
2 ■ + Д + i W
r r
di U i U
_ 0.
dr r
(28)
(29)
(30)
Соотношение (28) выполняется при использовании функции скоростей перемещений
£V (r, 0) _ V(r) sin 40
такой, что
~ 1 d£V 4
iV _------Д _ — V cos 40,
~ d£V
iV _ -Д _ V' sin 40.
r дв r' ’ y dr
Условие (29) полностью совпадает с условием (15), применяемым в первом приближении, путем введения функции
£W(r, в) _ W(r) sin 20
такой, что
W
—- 1 dP 2
itW _----Д- _ — W cos 20,
r d0
Условие (30) выполняется при
— d£w
iW _ -Д _ W' sin 20. dr
A _
K
U
K u
£U _ - — rr r2
(31)
Подставляя iV, iW, iU в условия совместности деформаций, а затем в
где Ku — константа интегрирования.
Подставляя iV, iW, iU в услови соотношения (9), (10), аналогично случаю первого приближения имеем
cos 40+
Дст(2) _ ^(-V'r-p+1 + Vr-p) + A4(r) - L
+ [ (-W'r-p+1 + Wr-p) + A2(r)
- L
cos 20 +
-2pKr-p + Ao(r) L
_ Дау cos 40 + Дo^W cos 20 + Даи, (32
Д _ 71 fV"r-p+2 - V'r-p+1 + 16Vr-p + B4(r) 2L L
1
sin 40+
+ — W''r-p+2 - W'r-p+1 + 4Wr-p + B2(r) 2L
sin 20 _
_ Д sin 40 + ctw sin 20. (33)
r
74
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
Подставляя (32), (33) в уравнения равновесия и выполняя преобразования, аналогичные проведенным в первом приближении, приходим к основному уравнению для нахождения функций V(r) и W(r):
Г д2аГв дг2
+ 3-
даГ_
дг
А дAaV Аа
+ 4—----+ 16--+ 4-
дг r r
V п
+r
Г д2а^
Г д аг0
дr2
+3
да5 _ д Aaw
' гв
дr
+ 2-
дr
sin 49+ aw
+ 4агв + 2-
Aaw i
sin 29 = 0.
r
r
Данное уравнение должно выполняться при любых значениях угла 9. Следовательно,
AV.+з дО» + 4 ?AaV + 16 аГв + 4
Аа
V
r)r2 дr ' дr
r9!aW +3 У! + 2 дАаи’
дr
r
дr2
r
w Aaw
дr
+ 4+ 2
0,
0.
(34)
(35)
С использованием обозначений, введенных в (32), (33), дифференциальное уравнение (34) принимает вид
V(4) + (6 - 2p)V/"r-1 + (p2 - 68p + 35) V"r-2+
+ (63p2 - 92p + 29)VV-3 + (256 - 48p2 + 17p)Vr-4 = -2Lrp-3Y(r), (36)
где
. . d2 B4 dB4 B4 (IA4 A4
Y (r) = r—4 + 3 —4 + 16— + 4 —A + 4—. dr2 dr r dr r
Использование степенного представления V(r) = rp позволяет получить характеристическое уравнение для нахождения собственных значений р:
р4 - 2pp3 + (p2 - 62p + 28)р2 + (62p2 - 28p)p + (256 - 48p2 + 17p) = 0,
решением которого являются корни
p ^p2 + 124p - 56 ± 4y/1009p2 - 885p - 60
p1,2,3,4 = 2 ± 2 .
Уравнение имеет комплексные корни при
1009p2 - 885p - 60 < 0,
что выполняется при показателе нелинейности n = 2/p > 2.13. Следовательно, собственные значения при n > 2.13 представимы в виде
p , m
pi,2,3,4 = 2 ± у ±
Здесь m = m(p) и t = t(p) — известные значения для конкретного материала. Воспользуемся тригонометрическим представлением полученного решения согласно [25]:
75
Москалик А. Д.
V(r) = V1r(p+m)/2 cos(t ln r) + V2r(p+m)/2 sin(t ln r) +
+ V3 r(p-m)/2 cos(t ln r) + V4 r(p-m)/2 sin(t ln r),
где Vi ^ V4 — константы интегрирования однородного дифференциального уравнения.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения находится по методу неопределенных коэффициентов. В итоге полное решение неоднородного уравнения (36) представимо в виде
V (r) = [V1(r) + v1]r(p+m)/2 cos(t ln r) + [V2(r) + v2]r(p+m)/2 sin(t ln r)+
+ [V3(r) + v3]r(p-m)/2 cos(t lnr) + [V4(r) + v4]r(p-m)/2 sin(t lnr), (37)
где vi ^ V4 — константы интегрирования неоднородного дифференциального уравнения.
Подставляя в уравнение (35) обозначения, введенные в (32), (33) получаем неоднородное дифференциальное уравнение
W(4) + (6 - 2p) W"V-1 + (p2 - 20p + 11)W"r-2+
+ (15p2 — 20p + 5)W'r-3 + (16 — 12p2 + 8p)Wr-4 = —2Lrp-3F (r), (38)
где
. . d2B2 dB2 dA2 B2 A2
F (r) = r —+ 3—------+ 2—----+ 4-----+ 2—.
dr2 dr dr r r
Вид однородного уравнения, соответствующего (38), полностью совпадает с однородным уравнением (24), что позволяет сразу выписать решение однородного уравнения
W (r) = W1r(p+1)/2 cos(y ln r) + W2r(p+1)/2 sin(y ln r) +
+ W3r(p-1)/2 cos(y ln r) + W4r(p-1)/2 sin(y ln r),
где l = l(p) и y = y(p) — определены в первом приближении, W1 ^ W4 — константы интегрирования однородного дифференциального уравнения.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (38) находится по методу неопределенных коэффициентов. В итоге полное решение неоднородного уравнения представимо в виде
W (r) = [W1(r) + w1]r(p+1)/2 cos(y ln r) + [W2(r) + w2]r(p+1)/2 sin(y ln r)+
+ [W3(r) + w3]r(p-1)/2 cos(y ln r) + [W4(r) + w4]r(p-1)/2 sin(y ln r), (39)
где w1 ^ w4 — константы интегрирования неоднородного дифференциального уравнения.
Воспользуемся полученными решениями для функций V(r) из равенства (37), для функции W(r) из равенства (39) и для скорости деформаций ползучести Д из соотношения (31) в выражениях для напряжений (32) и (33).
76
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
Затем подставляем полученные соотношения в уравнение равновесия (4) и группируем члены, содержащие одинаковые функции угла в:
до$
dr
da¥r
dr
cos 4в +
daW
dr
cos 2в +
da rr dr
Интегрируя по r, приходим к выражению для радиальной составляющей тензора напряжений
а^ = (аГГ + KV) cos 4в + (а„ + KW) cos 2в + (aUr + KU),
где KV, KW и KU — константы интегрирования.
Составляющая тензора напряжений а^ определяется по формуле (33). Анализ собственных значений характеристических уравнений для первого и второго приближений показывает, что найденное решение применимо при параметре нелинейности материала n > 2.42.
Использование первого и второго приближений метода малого параметра позволяет определить напряжения и скорости деформаций ползучести в трубе с внешним эллиптическим контуром при величине сжатия 5 = (a — b)/а, принимаемого в качестве малого параметра,что соответствует малой величине эксцентриситета.
Необходимость построения третьего приближения требует дополнительных исследований.
4. Анализ приближенного аналитического решения. В качестве модельного примера рассмотрена труба с внутренним радиусом h = 0.115 м, внешней большой полуосью эллипса а = 0.15 м под действием внутреннего давления q = 22.07 МПа. В качестве примеров материалов рассмотрены углеродистая сталь [26] и жаропрочный сплав ХН73МБТЮ(ЭИ698) [27] с реологическими характеристиками:
углеродистая сталь: n = 3.03, A = 9.04 ■ 10-9;
ХН73МБТЮ (ЭИ698): n = 10.96, A = 4.57 ■ 10-33.
В таблице приведены значения а*вв = а(0+1)/а(0 — при учете первого приближения на внешней границе трубы при r = a/h + 5 ■ a(cos2e — 1)/2h; аЦ =
= a(0+1+2Va(0) —при учете второго приближения на внешней границе трубы при r = a/h + 5 ■ a(cos2e — 1)/2h + 52 ■ 3a(cos4e — 1)/16h, вычисленные с шагом 0.01 для величины сжатия 5 при в = п/2 для углеродистой стали [26]
Значения тангенциального напряжения для трубы с эллиптическим внешним контуром [Values of tangential stresses for the tube with elliptic outer contour]
4, % \ 0 I 1.0 I 2.0 I 3.0 I 4.0 I 5.0 I 6.0 I 7.0 I 8.0 I 9.0 I 10.0
Углеродистая сталь [Carbon Steel]
aee 1.0 1.06 1.12 1.18 1.24 1.30 1.35 1.41 1.46 1.51 1.56
a ее 1.0 1.07 1.13 1.21 1.29 1.37 1.45 1.54 1.63 1.72 1.82
ХН73МБТЮ (ЭИ698) [KHN73MBTYU (EI698) Alloy]
а ев 1.0 1.06 1.12 1.18 1.24 1.30 1.36 1.42 1.48 1.54 1.60
aee 1.0 1.06 1.13 1.20 1.27 1.34 1.42 1.49 1.57 1.64 1.71
77
Москалик А. Д.
f = r/h
a
f = r/h
b
Рис. 2. Радиальные напряжения для трубы с внешним эллиптическим контуром из углеродистой стали (а) и сплава ХН73МБТЮ(ЭИ698) (b) при в = п/2, S = 0.04: 1 — и*0), 2 —
ст(0+1) 3 — ^(0+1+2)
[Figure 2. Radial stresses <rrr for carbon steel (a) and KHN73MBTYU (EI698) Alloy (b) tube with elliptic outer contour, when в = n/2, S = 0.04: 1 — a//, 2 — Г+1), 3 — <г(0+1+2)]
78
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
a
г = r/h
b
Рис. 3. Тангенциальные напряжения для трубы с внешним эллиптическим контуром из углеродистой стали (а) и сплава ХН73МБТЮ(ЭИ698) (b) при в = п/2, 5 = 0.04: 1 — о-*0,
2 — о(0+1) 3 — о(0+1+2)
2 °вв , 3 °вв
[Figure 3. Tangential stresses аве for carbon steel (a) and KHN73MBTYU (EI698) Alloy (b) tube with elliptic outer contour, when в = n/2, 5 = 0.04: 1 — о(°), 2 — о(0в+1), 3 — о(°+1+2)]
79
Москалик А. Д.
и жаропрочного сплава ХН73МБТЮ(ЭИ698) [27]. Графики на рис. 2 и 3 построены для радиальной и тангенциальной компонент (соответственно) тензора напряжений при 5 = 0.04 и значении угла в = п/2, соответствующего максимальным значениям тангенциального напряжения а$$.
Из данных, приведенных в таблице, можно сделать вывод, что при возрастании величины сжатия эллипса до 0.1 внешнего радиуса трубы тангенциальные напряжения в опасном сечении при в = п/2 возрастают в 1.7-1.8 раза. Анализ графиков, представленных на рис. 2 и 3, позволяет сделать вывод о том, что решение задачи о трубе с эллиптическим внешним контуром имеет тенденцию к сходимости.
ORCID
Анна Давидовна Москалик: http://orcid.org/0000-0001-7527-6237
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Качанов Л. М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 455 с.
2. Радченко В. П., Башкинова Е. В. Решение краевых задач установившейся ползучести в полярных координатах методом возмущений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки, 1998. №5. С. 86-91.
3. Башкинова Е. В. Решение краевой задачи установившейся ползучести для неосесимметричной толстостенной трубы // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2002. №16. С. 105-110. doi: 10.14498/vsgtu106.
4. Москалик А. Д. Применение метода возмущений к задаче о несоосной трубе в условиях установившейся ползучести// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. №4(33). С. 76-85. doi: 10.14498/vsgtu1290.
5. Hill R., Hutchinson J. W. Bifurcation phenomena in the plane tension test // J. Mech. Phys. solids, 1975. vol. 23. pp. 239-264. doi: 10.1016/0022-5096(75)90027-7.
6. Storen S., Rice J. R. Localized necking in thin sheets // J. Mech. Phys. solids, 1975. vol. 23, no. 6. pp. 421-441. doi: 10.1016/0022-5096(75)90004-6.
7. Hutchinson J. W., Neale K. W. Influence of strain-rate sensitivity on necking under uniaxial tension// Acta Metallurgica, 1977. vol. 25, no. 8. pp. 839-846. doi: 10.1016/0001-6160(77) 90168-7.
8. Келлер И. Э. Равновесные формы свободной границы при одноосном растяжении нелинейно-вязкой полосы// ПМТФ, 2010. Т. 51, №1. С. 117-124.
9. Радченко В. П., Попов Н. Н. Аналитическое решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы // ПММ, 2012. Т. 76, №6. С. 10231031.
10. Должковой А. А., Попов Н. Н. Решение нелинейной стохастической задачи ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2002. №16. С. 84-89. doi: 10.14498/vsgtu102.
11. Попов Н. Н., Исуткина В. Н. Построение аналитического решение двумерной стохастической задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. №2(15). С. 57-61. doi: 10.14498/ vsgtu535.
12. Должковой А. А., Попов Н. Н., Радченко В. П. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // ПМТФ, 2006. Т. 47, №1. С. 161-171.
13. Коваленко Л. В., Попов Н. Н., Радченко В. П. Решение плоской стохастической краевой задачи ползучести// ПММ, 2009. Т. 73, №6. С. 1009-1016.
14. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. №1. С. 159-164.
15. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.
80
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
16. Кержаев А. П. Упругопластическое состояние тонкой кольцевой пластины при наличии трансляционной анизотропии при равномерном растяжении // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2012. №2(12). С. 174-179.
17. Фоминых С. О. Упругопластическое состояние толстостенной трубы при взаимодействии различных видов пластической анизотропии // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2011. №1(9). С. 201-2016.
18. Никитин А. В., Тихонов С. В. Предельное состояние многослойной трансляционноанизотропной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2014. №1(19). С. 88-94.
19. Кульпина Т. А. Анизотропная эксцентричная труба с учетом сжимаемости материала // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2010. №1(65). С. 46-50.
20. Павлова Т. Н. Об определении перемещений в задаче напряженно-деформированного состояния тонкой пластины с эллиптическим отверстием // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2010. №1(65). С. 64-69.
21. Ярдыкова Н. А. Упругопластическое состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, находящегося под действием давления, крутящих и продольных сдвигающих усилий: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. Чебоксары, 2006. 73 с.
22. Мирсалимов В. М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987. 256 с.
23. Никитенко А. Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: НГАСУ, 1997. 278 с.
24. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
25. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.
26. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.
27. Радченко В. П., Саушкин М. Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. М.: Машиностроение-1, 2005. 226 с.
Поступила в редакцию 13/XI/2014; в окончательном варианте — 06/XII/2014; принята в печать — 11/XII/2014.
81
Москалик А. Д.
Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.] 2014. Issue 4(37). Pp. 65—84 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1365
MSC: 74D10, 74G10
APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM FOR THE TUBE WITH ELLIPTIC OUTER CONTOUR UNDER STEADY-STATE CREEP CONDITION
A. D. Moskalik
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.
Abstract
The boundary value problem of steady-state creep for thick-walled outer elliptic contour’s tube under internal pressure is considered. The approximate analytical solution of this problem for the state of plane deformation by the method of small parameter including the second approach is under construction. The hypothesis of incompressibility of material for creep strain is used. As a small parameter the value of flattening factor of the ellipse for external contour is used. Analysis of analytical solution is executed depending on the steady-state creep nonlinearity parameter and flattening factor of ellipse that is ratio of the difference of the semi-major and semi-minor axis to the semi-major axis which is outer radii of the unperturbed thick-walled tube. It is shown that with increasing of value of flattening factor to 0.1 of outer radii of tube tangential stresses in weakest section at в = n/2 increase by 1.7-1.8 times. The results of computations are presented in tabular and graphic form.
Keywords: elliptic outer contour of tube, steady-state creep, approximate analytical solution, small parameter method, first and second approximation. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1365
ORCID
Anna D. Moskalik: http://orcid.org/0000-0001-7527-6237
REFERENCES
1. Kachanov L. M. Teoriia polzuchesti [Creep theory]. Moscow, Fizmatgiz, 1960, 455 pp. (In
Russian)
2. Radchenko V. P., Bashkinova E. V. Solution of the boundary value problems for steady
creep in polar coordinates by the perturbation method, Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Ser.
Tekhn. nauki, 1998, no. 5, pp. 86-91 (In Russian).
© 2014 Samara State Technical University.
How to cite Reference
Moskalik A. D. Approximate analytical solution of the problem for the tube with elliptic outer contour under steady-state creep condition, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 4(37), pp. 65-84. doi: 10.14498/vsgtu1365. (In Russian)
Author Details
Anna D. Moskalik ([email protected]), Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
82
Приближенное аналитическое решение задачи о трубе...
3. Bashkinova E. V. Solution of the value boundary problem of steady creep for non-axisymmetric thick-walled tube, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, Т. 16, 2002, С. 105-110 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu106.
4. Moskalik A. D. The application of perturbation method to problem of misaligned tube in conditions of steady-state creep, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki,
2013, no. 4(33), pp. 76-85 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu1290.
5. Hill R., Hutchinson J. W. Bifurcation phenomena in the plane tension test, J. Mech. Phys. solids, 1975, vol. 23, pp. 239-264. doi: 10.1016/0022-5096(75)90027-7.
6. Storen S., Rice J. R. Localized necking in thin sheets, J. Mech. Phys. solids, 1975, vol. 23, no. 6, pp. 421-441. doi: 10.1016/0022-5096(75)90004-6.
7. Hutchinson J. W., Neale K. W. Influence of strain-rate sensitivity on necking under uniaxial tension, Acta Metallurgica, 1977, vol. 25, no. 8, pp. 839-846. doi: 10.1016/0001-6160(77) 90168-7.
8. Keller I. E. Self-similar shapes of the free boundary of a nonlinear-viscous band under uniaxial tension, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2010, vol. 51, no. 1, pp. 99-105. doi: 10.1007/ s10808-010-0016-z.
9. Popov N. N., Radchenko V. P. Analytical solution of the stochastic steady-state creep boundary value problem for a thick-walled tube, J. Appl. Math. Mech., 2012, vol. 76, no. 6, pp. 738-744. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2013.02.011.
10. Dolzhkovoi A. A., Popov N. N. Solution of the nonlinear stochastic creep problem for a thick-walled tube by method of small parameter, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2002, no. 16, pp. 84-89 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu102.
11. Popov N. N., Isutkina V. N. Construction of an Analytical Solution of a Two-Dimensional Stochastic Problem of the Steady Creep for a Thick-Walled Pipe, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2007, no. 2(15), pp. 57-61 (In Russian). doi: 10.14498/ vsgtu535.
12. Dolzhkovoi A. A., Popov N. N., Radchenko V. P. Solution of the stochastic boundary-value problem of steady-state creep for a thick-walled tube using the small-parameter method, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2006, vol. 47, no. 1, pp. 134-142. doi: 10.1007/ s10808-006-0017-0.
13. Kovalenko L. V., Popov N. N., Radchenko V. P. Solution of the plane stochastic creep boundary value problem, J. Appl. Math. Mech., 2009, vol. 73, no. 6, pp. 727-733. doi: 10. 1016/j.jappmathmech.2010.01.013.
14. Popov N. N., Samarin Yu. P. Stress fields close to the boundary of a stochastically inhomogeneous half-plane during creep, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1988, vol. 29, no. 1, pp. 149-154. doi: 10.1007/BF00909710.
15. Ivlev D. D., Ershov L. V. Metod vozmushchenii v teorii uprugoplasticheskogo tela [Perturbation Method in the Theory of an Elastic-Plastic Body]. M., Nauka, 1978, 208 pp. (In Russian)
16. Kerzhaev A. P. Elastoplastic state of the thin annular plate in the presence of translational anisotropy under uniform tension, Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. I. Ia. Iakovleva. Seriia: Mekhanika predel’nogo sostoianiia, 2012, no. 2(12), pp. 174-179 (In Russian).
17. Fominykh S. O. Elastoplastic state of the thick-walled pipe by reacting the different types of plastic anisotropy, Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. I. Ia. Iakovleva. Seriia: Mekhanika predel’nogo sostoianiia, 2011, no. 1(9), pp. 201-2016 (In Russian).
18. Nikitin A. V., Tikhonov S. V. Limit condition anisotropic multilayer translationnally thick-walled pipes under internal pressure, Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. I. Ia. Iakovleva. Seriia: Mekhanika predel’nogo sostoianiia,
2014, no. 1(19), pp. 88-94 (In Russian).
19. Kul’pina T. A. Anisotropic eccentric tube with a compressible material, Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. I. Ia. Iakovleva. Seriia: Mekhanika predel’nogo sostoianiia, 2010, no. 1(65), pp. 46-50 (In Russian).
83
Москалик А. Д.
20. Pavlova T. N. On the displacements determination in the stress-strain state problem for a thin plate with an elliptic hole, Vestnik Chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. I. Ia. Iakovleva. Seriia: Mekhanika predel’nogo sostoianiia, 2010, no. 1(65), pp. 64-69 (In Russian).
21. Yardykova N. A. The elastic-plastic state of space weakened cylindrical cavity under the action of pressure, torsional and longitudinal shear forces, Cand. Phys. & Math. Sci. Dissertation: 01.02.04. Cheboksary, 2006, 73 pp. (In Russian)
22. Mirsalimov V. M. Neodnomernye uprugoplasticheskie zadachi [Multidimensional elastic-plastic problems]. Moscow, Nauka, 1987, 256 pp. (In Russian)
23. Nikitenko A. F. Polzuchest’ i dlitel’naia prochnost’ metallicheskikh materialov [Creep and Long-Term Strength of Metal Materials]. Novosibirsk, Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering, 1997, 278 pp. (In Russian)
24. Rabotnov Yu. N. Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela [Mechanics of deformable solids]. Moscow, Nauka, 1979, 744 pp. (In Russian)
25. Elsgolts L. Differential Equations And The Calculus Of Variations. Moscow, Mir Publ., 1977, 440 pp., ark:/13960/t03z0n280.
26. Malinin N. N. Prikladnaia teoriia plastichnosti i polzuchesti [Applied Theory of Plasticity and Creep]. Moscow, Mashinostroenie, 1975, 400 pp. (In Russian)
27. Radchenko V. P., Saushkin M. N. Polzuchest’ i relaksatsiia ostatochnykh napriazhenii v uprochnennykh konstruktsiiakh [Creep and Relaxation of Residual Stresses in Hardened Structures]. Moscow, Mashinostroenie-1, 2005, 226 pp. (In Russian)
Received 13/XI/2014;
received in revised form 06/XII/2014;
accepted 11/XII/2014.
84
