CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2010, том 53, №8_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов
НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ИЗ
L2[0, 2л]
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 21.06.2010 г.)
В работе найдены точные значения различных n -поперечников периодических функций Ь2 [0, 2л] , удовлетворяющих условию Qm(f(r); t) <Ф(?), t > 0, где Qm - обобщенный модуль непрерывности m -го порядка, а Ф(0 - произвольная возрастающая функция, Ф(0) = 0.
Ключевые слова: периодические функции - модуль непрерывности m -го порядка - наилучшее приближение - поперечники.
1. Обозначим через L2 := L2[0, 2л] пространство интегрируемых с квадратом по Лебегу 2л -периодических функций f (х) , у которых норма
Г 1 2* л17 2
< да.
2п
- 11 /(х) №
Пусть ^_1 - подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка п — 1. Хорошо известно, что для произвольной / е , имеющей разложение в ряд Фурье
a а0
f (х) ~ + £ pk cos(kx + ф),
k=1
величина ее наилучшего приближения элементами Тп_^ є _х равна
E, (f) = inf Я f - T_J: Т_,( х) є.^, j:
1172
= ||f - S,-,(f, x)|| = Ea! [ , (1)
[ k=n J
где Sn_j (f, x) - частная сумма порядка n -1 ряда Фурье f (х) .
Равенством
Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
(f, 0 = suP %^mhf (-)|| :l h ^ t\ (2)
определим модуль непрерывности m -го порядка функции f є L2, где
f п-іЛ
m , m
a;'/« = z H) f(x + h
k=0
V k J
- разность т -го порядка функции /(х) с шагом к.
Под ЬГ (г є Ж+, Ь0 = Ь2) понимаем множество функций / є Ь2, у которых производные /(г_1)(х), г є N абсолютно непрерывны, а производные /(г) є ^ .
При решении экстремальных задач теории аппроксимации в £2 вопросы вычисления точных констант
nr - En (f)
®m (f (Г ) ,t / П)
K.n.r (t) = SUP 1 ------, f(гП ч ’ f Є L , f * COnSt (3)
в неравенствах типа Джексона
E„ С/-) ^xn~r ат (f ('), t / n)
исследовались многими авторами (см., например, [1-13] и приведенную там литературу). Использование других характеристик гладкости 2л -периодических функций, например тригонометрических модулей непрерывности и С -функционалов, рассмотренных в [7] и [8], позволили получить новые содержательные результаты, связанные с оптимизацией неравенств типа Джексона в пространстве L2. При решении некоторых задач теории приближения вместо модуля непрерывности m -го порядка сот (f; t) функции f є L2, иногда удобнее использовать следующую эквивалентную характеристику
h t t і1/2
n.(f;t) = Ы-Wftdhi -dh \ , t > 0, (4)
[ 0 0 J
где h = (h,^,hm), Am =Ah °---°A1^, Ah.f = f(- + hj)-f(-), j = 1,m, которую называют обоб-
щенным модулем непрерывности m -го порядка (см., например, [14, стр.93]). Интересные применения модуля непрерывности (4) в задачах аппроксимации f є L2 имеются в работах [11,12]. В частности, в [11] рассматривается апроксимационная характеристика
Сш,п,г (t) d==SUP ЩЩи : f Є L2 , f * COnSt} (5)
и доказывается, что для m,n є N, r є Z+ и произвольной t є (0, л / 2] справедливы равенства
С»,n,r (t) =1 2 1l -
sin t
і -m/2
Следуя работе [10], далее обозначим
1 x+h
Ff (x) := f„ (x) = — J f (td, h > 0
2h
;-h
- функция Стеклова функции / е £2. Определим разности первого и высшего порядков следующим образом:
Ай(/; х) = Ек/(х) - / (х) = (0 - Е)/(х),
A h (f;x) = A h (A h~1(f ;x);x)
где
:(F„- E)mf(x) = 2 (-1)m-k Fhf (x),
k=0
V k J
0°/(х) = /(00 00/(х) = 0 (°-У(х)), к 1 т т е
Е - единичный оператор в £2.
Наряду с величинами (2) и (4), обобщенным модулем непрерывности т -го порядка функции / е ¿2 называют также величину [10]
lf;t) = sup{||дmh(f ;-)||:| h |<t}
= sup <
k =0
2 (-1)m-k , Fh f (-)
V k J
:| h |< t
(6)
Поэтому несомненный интерес представляет вычисление экстремальной характеристики
_ df 1 nr - E (f) }
Сm,n,r(t) =SUP 1 - ( Mn . , \ ;f є L2, f *Const .
lQm(f , t / n) I
(7)
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть т, и е К, г е Ж+. Тогда для любых чисел 0 < ^ < л / 2 справедливы равенства
sin t
m
Доказательство. В [10] доказано, что для любых т, п е К, г е Ж+ и 0 < Ш < л / 2 имеет место неравенство
Сопоставляя неравенства (11) и (12), получим (8), чем и завершаем доказательство теоремы 1. 2. Известно, что точное вычисление величин (3) и (5) дает возможность вычислить различные п-поперечники в Ь2 (см., например, [1-2], [11-13]). Мы покажем, что аналогичная ситуация имеет
место для величины (7). Всюду далее через ¿и(М,0), йп(М,0), ^(М0), 8п(М,0) и П (М, Ь2) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линей-
(9)
Поскольку при 0 < nt < п / 2 справедливо равенство [2]
sin г I sin nt
max---------
r>nt г
nt
то из (9) с учетом (1) имеем
Отсюда получаем
(10)
Полученное неравенство запишем в виде
откуда с учетом определения величины (6) получим оценку сверху
(11)
Для получения оценки снизу рассмотрим функцию f (x) = sin nx e L2. Поскольку
то мы имеем:
(12)
ный и проекционный п -поперечники множества М е . Поскольку ¿2 - гильбертово пространство, справедливы следующие соотношения между вышеперечисленными величинами (см., например, [8],[13]):
ъп (М, ь2) < ап (М, ь2) < ап (М, ь2) = (М ь2)=П(М, ь2). (13)
Пусть Ф(^), t > 0 - произвольная возрастающая функция такая, что
Нт{Ф^): t ^ 0} = Ф(0) = 0. Через Жг (й, Ф), г е Ж+, т е К обозначим множество функций / е Е2, у которых г -ые производные удовлетворяют ограничению йт(/(г), ^ < Ф(t) для любых t > 0.
Теорема 2. Пусть при некотором п е К мажорирующая функция Ф^) удовлетворяет ограничению
Ф ^ / (2 п))
ж-2
Ф(ж / (2п))
(1 - 2sin(жt / 2) / (л))т, если 0 < t < 2, 2т - -"1 , если 2 < t <да.
Тогда для этого п выполнены равенства
Рп к (й т,Ф); Ц2 = Ры |>2 (й т,Ф); ¿2 ) = Еп (№2 (й т;Ф) >
1-ж)т± фЖ
\ж-2/ иг \2и/,
л--' п
где
Еп (М) := 8ир{Е„ (/) : / е М}
и рИ0 - любой из п -поперечников Ъп (•), йп (•), ^ (■), (■) или Пп (•).
Доказательство. Полагая в (10) t = ж / 2, используя определение класса Жг (й,Ф) и соот-
ношения (13), имеем
р2, К (г, Ф); ¿2 2 < л,-, I (г, Ф); ¿2 2 <
< <-, ((о,,,Ф); ¿21 < Е(Й„,Ф т)) < 2'”^ Ф( Л 2' ('4)
С целью получения оценки снизу бернштейновского поперечника введем в рассмотрение в
¿ шар
= <г"(х) « £'У) п ф(У
и легко покажем, что Ди+1 ^'№г(й,,Ф) . Тогда, согласно теореме В.М.Тихомирова [15], для берн-штейновского поперечника получаем
К, (г (й ,„,ф); ц> К (Д ц) > (У)” £ ф'у 1- (|5)
Учитывая соотношение (13) и сопоставляя (15) с (14), получим утверждение теоремы 2.
Следствие. Если выполнены условия теоремы 2, то
эир {| ап П) |: П(пП) е Жг (ои,ф)} = зир {| Ъп П) |: П(пП) е Жг (',ф)} =
( У 1 ( У \ ф
\л-2) nr ^2п)
где ап (f) и bn (f) суть косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции f (x) соответственно.
Поступило 22.06.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. - Матем. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.
2. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.
3. Юдин В.А. - ДАН СССР, 1980, т.251, №1, с.54-57.
4. Бабенко А.Г. - Матем. заметки, 1986, т.39, №5, с.651-664.
5. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1988, т.43, №6, с.757-769.
6. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах L . - Тула: ТулГУ, 1995, 192 с.
7. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. - Матем. заметки, 1999, т.65, №6, с.928-932.
8. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 1999, т.66, №4, с.494-499.
9. Есмаганбетов М.Г. - Матем. заметки, 1999, т.65, №6, с.816-820.
10. Абилов В.А., Абилова Ф.В. - Матем. заметки, 2004, т.76, №6, с.803-811.
11. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.
12. Vakarchuk S.B. and Zabutna V.I. - East Joum. on Approx., 2008, v.14, №4, pp.411-421.
13. Шабозов М.Ш. - Матем. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
14. Руновский К.В. - Матем. сборник, 1984, т.185, №8, с.81-102.
15. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.:МГУ, 1976, 325 с.
Г.А.Юсупов
НАЗДИККУНИИ БЕТ^АРИНИ ПОЛИНОИМАЛЙ ВА ЦИМАТИ АНИЦИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О АЗ L2 [0,2 л]
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола кимати аники n -кутрх,ои гуногуни функсиях,ои даври аз L2 [0,2 л] ёфта шу-даанд, ки шарти Qm(f(r); t) < Ф(?), t > 0 - ро аноат мекунанд. Дар ин чо Qm - модули бефоси-лагии умумикардашудаи тартиби т, Ф(t) - функсияи афзуншавандаи ихтиёри буда, Ф(0) = 0 мебошад.
Калима^ои калиди: функсияуои даври - модули бефосилагии тартиби т -ум - наздиккунии беутарин - цутрХ/О.
G.A.Yusupov
THE BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION AND THE EXACT VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES FUNCTIONS FROM L2 [0,2 л]
Tajik National University The exact values of diverse n -widths of periodical functions in L2 [0,2 л] satisfying the condition of Qm(f(r) ;t) <Ф^), t > 0, where Qm is the generalized module of continuity of m -order, but Ф^) is an arbitrary increasing function and Ф (0) = 0 were found in the article.
Key words: periodical functions - modulus of continuity of m -order - the best approximation - widths.
