CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2G13, том 56, №7_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В Ь2 И ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ
Получены точные неравенства типа Джексона - Стечкина для осреднённых с весом специальных модулей непрерывности т -го порядка От, определяемых при помощи оператора Стеклова
(/)• Для некоторых классов функций в Ь2, определённых при помощи указанных характеристик гладкости, вычислены значения различных п -поперечников.
Ключевые слова: периодические функции - модуль непрерывности т -го порядка - наилучшее приближение - оператор Стеклова.
1. Всюду далее N - множество натуральных чисел; Ж+ = N ^{0}; М - множество всех положительных чисел. Пространство всех измеримых и суммируемых с квадратом по Лебегу вещественных 2ж -периодических функций /, имеющих конечную норму
обозначим через Ь2 := Ь2[0,2ж]. Совокупность всевозможных тригонометрических полиномов порядка не выше п — 1 обозначим символом Тп_х. Хорошо известно, что для произвольной /е12, имеющей формальное разложение в ряд Фурье
величина её наилучшего полиномиального приближения элементами подпространства Тп_х равна
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр., 20, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
Худжандский государственный университет им. Б.Г.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 30.05.2013 г.)
(1)
где
а ( /) П—1
й-1(/, х) := -°т— + 2 (—(/) Сте кх + Ък (/>1П кх)
2 к=1
- частная сумма порядка п -1 ряда Фурье функции /(х), — (/) и Ък (/), соответственно, косинуси синус-коэффициенты Фурье функции /, р1(/) = -1(/) / 2, р\(/) = -1(/) + Ъ1(/X к> 1, к е N. Символом (г се Ж , Л,0) = Л2) обозначим множество функций / е /,2, у которых
производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка принадлежат пространству £2.
Пусть
1 х+к
(/, х) := — | /(I)Л, к > 0
2Н
х—п
- функция Стеклова элемента / е £2 • При этом полагаем
$*(/,*):= ЗА*-х (/;•),*), ^0(/) = /
и пусть / - единичный оператор в пространстве Х2 • Следуя [1], определим разности первого и высших порядков соотношениями
дП(/; х) = ^ (/; х) — Дх) = ф — /)(/; х),
аГ (/;х) = дП (аГ Л/;0;х) =
{ тЛ
т їїт (я, -1)т(/; х) = £ (-1)т-к
к=0
V к у
$ик(Ах)> ш>2, шєМ.
Используя указанные обозначения, рассмотрим следующую характеристику гладкости
Пт(/;0 = §ир{ дт(/;-) : 0 < к <
(2)
которую назовём обобщённым модулем непрерывности т -го порядка функции / е £2. Легко проверить, что модуль непрерывности (2) удовлетворяет все свойства обычных модулей непрерывности т -го порядка. В работах [1-10] исследованы некоторые задачи о приближении непрерывных дифференцируемых периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве £2 и изучен вопрос отыскания точных констант в неравенстве Джексона-Стечкина
£„-1(/) ±хп-Пт/г).‘ / п), I > 0,
где константа х зависит только от числа т.
В данной статье мы продолжим исследование в этом направлении. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть й!,й,ёМ, г е Ж+, 0 < р <2 и к К+. Тогда справедливы равенства
г—Р ( пП /■ • ,\тр ' 1/Р
8ир
/ еЦ | -
/(1110т (/(г), |) &
(г) АП Л1/Р
0
1 1—^ <* . (3)
Замечание. Утверждение теоремы 1 при т,п,г \ / г < р <2 и АёИ ранее получено в [10]. Из соотношения (3) получаем
Следствие 1. При р = 1 / т, шеМ из (3,) следует, что
8ир ----) = 2тП-2т \ 1 — ^81Ппп| \ . (4)
пП 2
5 свою очередь, из (4) при к = я I п, иеМ имеем
пг -2тЕп_х(/) 2 "т
/• 1110тт(/(г), 1 &
8ир 71------------------п—------------------------------------------------------------ут = I 1 • (5)
/е4г) 1Г 1 ^ — 4.
Заметим, что равенство (5) является основным результатом работы В.А.Абилова и Ф.В.Абиловой [1].
Сформулированная теорема 1 обеспечивает возможность нахождения точных значений некоторых классов функций в пространстве Х2. С этой целью напомним необходимые понятия и определения, которыми воспользуемся в дальнейшем.
Пусть £ = {р е £2 : ||р| — 1} - единичный шар в £2; М - выпуклое центрально-
симметричное множество в £2; Ли с Х2 - п -мерное подпространство; Лп с ^ - подпространство
коразмерности п; С : Х2 —> Ап - непрерывный линейный оператор; С, : Л2 —» Ли - непрерывный оператор линейного проектирования. Величины
Ъп (М^ ^2) = 8иР рР {£ > 0; П Л«+1 С ^} : Лп+1 С 4 },
&п(Ж, 12) = 12{шр{||/||: / е /пЛп}: Лп с
& (ЭД Ц. ) = 1пГ /иР {1п/ {II1 — /|| : / еЛп } : 1 е 1} : Лп с {2 } ,
Яп (Ш> 12) = {8иР {||/ - С/\ :/е^}:^2сл„}:Ллс12},
т
П„(Я1Л) = inf jinf jsup{||/-C\f\: / g^:ClL2 сЛ,}:Л,с1,
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным n -поперечниками. Для этих поперечников имеют места неравенства
bn(M;L) < dn(M;L) < dn(M;L2) = S„(M;L2) = Ц,(M;L2).
Если N ^ L - произвольное множество, то также полагаем
_1) = sup{1n): f n n}.
Пусть Ф(?) - произвольная неубывающая положительная в области R+ функция такая, что ф(о) = о. Через wpr) L2( Ои,Ф), m/eN, \ / г < р <2 обозначим класс функций / 6 L2\ для которых при любом t G М+ имеет место неравенство
f t V' р
4 f ^m(f(r) ,r)dr <ф(t).
V 0 у
Далее, как и в [2,9], через t„ обозначим величину аргумента t е R+ функции (sin?)/1, при котором эта функция достигает на R своего наименьшего значения. Таким образом t„ — минимальный положительный корень уравнения t = t, 4,49 < t. < 4,51. Введём обозначения
(, sin х ^ I sin* л sin L |
I 1------:=Н----------, если 0 < х < 4; 1--------, если х > t. к
V х ), \ х t. J
В этих обозначениях справедлива следующая
Теорема 2. Если мажоранта Ф(7) при любых t е М+, 1 / г < р <2, т,п, г е N удовлетворяет ограничению
nt / • \mp
j/ 1 _ sinT^ dr
фР(0 .>_£!U_______________r ^ (6)
x ,ч 9 7ту . x mn * V '
Ф p Сж/ n) С^У
Тогда выполняются следующие равенства
Л-1 (W % (а,;Ф); L) = Л, (W(') L (п,;Ф); L ] =
л _1 Р ,mp i ^
: Ei—1 (Wp<Ф фСоФ)) = j Л фф — Г 1 Ф (■ n - 'ФІ ж
О
где Ап (•) — любой из перечисленных выше п -поперечников Ьп (•), йп (•), йп (•), 8п (•), Пи (•). При этом множество мажорант Ф, удовлетворяющих условию (6), не пусто.
Отметим, что условию (6) удовлетворяет, например, мажорантная функция Ф (/) = /х/р, где
л2
х —---------------------2.
л /• • \тр
Н1 - =т) "
Легко видеть, что число х — х( т, р) удовлетворяет неравенству
тр < х < 2тр.
Поступило 31.05.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абилов В.А., Абилова Ф.В. - Мат. заметки, 2004, т.76, №6, с.803-811.
2. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. - Мат. заметки, 2009, т.86, №3, с.328-336.
3. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
4. Шабозов М.Ш. - Укр. матем. журнал, 2011, т.63, №10, с.1040-1048.
5. Шабозов М.Ш. - Изв. АН РТ, 2010, №4(141), с.7-24.
6. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Сиб. мат. ж., 2011, т.52, №6, с.1414-1427.
7. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
8. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. - Joum. of Approx. Theory, 2012, v.164, issue 1, pp.869-878.
9. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Забутная В.И. - ДАН России, 2013, т.451, №6, с.625-628.
10. Юсупов Г.А. - ДАН РТ, 2011, т.54, №3, с.173-180.
К.Тухлиев
ОИД БА НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ ПОЛИНОМИАЛИИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ ДАР Ьі ВА ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Р.Рафуров
Нобаробарих,ои аники намуди Ч,ексон-Стечкин барои модули бефосилагии махсуси миё-накардашудаи бо вазни тартиби т -уми , ки ба воситаи оператори Стеклови (/) муайян
карда мешаванд, ёфта шудаанд. Барои баъзе синфи функсиях,ои аз £2, ки ба воситаи характеристики суфтагй дода мешаванд, кимати аники п -кутрх,о х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: функсияуои даврй - модули бефосилагии тартиби т -ум - наздиккунии беутарин - оператори Стеклов.
K.Tukhliev
ON THE BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTION IN L2 AND WIDTHS OF SOME CLASSES FUNCTION
B.G.Gafurov Khujand State University The exact ineqaulity of Jeckson-Stechkin types which are for averaged with weight of special modulus of continuity m th order Qm, defined with help of operator Steklov Sh (f). For some classes function in
Z2, specified by means of characteristics of smoothness, calculated the value of different n -widths.
Key words: periodic function, modulus of continuity of m-order, the best approximation, Steklov operator.
