CC BY
7
УДК 514.18
В.М. КОМЯК, О.М. СОБОЛЬ, С.Я. КРАВЦ1В, 1.А. ЧУБ
Нацюнальний ушверситет цивiльного захисту Украши
МОДЕЛЮВАННЯ ПОКРИТТЯ ОПУКЛИМИ БАГАТОКУТНИКАМИ ЗАДАНО1 ОБЛАСТ1 З ДИСКРЕТНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ
В данш po6omi здшснено моделювання покриття опуклими багатокутниками задано'! областi з дискретними елементами на nрикладi розв'язання задачi визначення Kabmcmi та Mi^b розташування центрiв безпеки в об'еднаних територiальних громадах. Розроблено модель та метод оптимального покриття опуклими багатокутниками заданоi областi з дискретними елементами. Наведено оцтки складностi для двох способiв створеного методу. Здшснено комп 'ютерне моделювання покриття Близнюювського району Харювськоi областi районами обслуговування центрiв безпеки з урахуванням кнуючих пожежно-рятувальних пiдроздiлiв.
Ключовi слова: моделювання покриття, дискретш елементи, математична модель, оцтки складностi.
В.М. КОМЯК, А.Н. СОБОЛЬ, С.Я. КРАВЦИВ, И.А. ЧУБ
Национальный университет гражданской защиты Украины
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОКРЫТИЯ ВЫПУКЛЫМИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ С ДИСКРЕТНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
В данной работе проведено моделирование покрытия выпуклыми многоугольниками заданной области с дискретными элементами на примере решения задачи определения количества и мест размещения центров безопасности в объединенных территориальных громадах. Разработана модель и метод оптимального покрытия выпуклыми многоугольниками заданной области с дискретными элементами. Приведены оценки сложности для двух способов созданного метода. Осуществлено компьютерное моделирование покрытия Близнецовского района Харьковской области районами обслуживания центров безопасности с учетом существующих пожарно-спасательных подразделений.
Ключевые слова: моделирование покрытия, дискретные элементы, математическая модель, оценки сложности.
V.M. KOMYAK, O.M. SOBOL, S.Ya. KRAVTSIV, I.A. CHUB
National University of Civil Protection of Ukraine
MODELING OF COVERING BY CONVEX POLYGONS A GIVEN AREA WITH DISCRETE
ELEMENTS
The class of optimization geometric design is important for various spheres of human activity, in particular for the sphere of civil protection. This class includes, for example, the tasks of optimal placement of fire depots in the city, the interaction of units of fire protection, as well as paramilitary security on the railway with the aim of eliminating the consequences of dangerous events in the railway transport, optimal division of the city into the areas of departure of emergency medical teams, etc. At the same time, one of the important problems of ensuring the security of population and territories is one of the following: the forces and means of the State Service of Ukraine for Emergency Situations do not always provide timely response to emergencies, fires and other dangerous events due to their remoteness from the places of occurrence of such events , as well as limited capacity to create an effective and effective force grouping to overcome the negative effects of major emergencies, including during a special period. One of the ways of solving this problem is to create security centers in the united territorial communities, taking into account the time of arrival of fire and rescue units to the most remote settlement in the countryside, no more than 20 minutes from the date of receipt of the notification of a fire or emergency. Thus, the task of substantiating the number, locations and areas of service of security centers can be reduced to the problem of optimal coverage of a given region with discrete elements (rural settlements) with convex polygons (service areas) and, moreover, relevant. In this paper the covering by convex polygons of a given area with discrete elements was simulated on the example of solving the problem of determining the number and location of security centers in the united territorial communities. A model and method for optimal covering by convex polygons of a given area with discrete elements is developed. Estimates of complexity for the two ways of the method are presented. Further research will be aimed at solving the problem of coverage by other developed methods.
Keywords: modeling of covering, discrete elements, mathematical model, estimates of complexity.
Постановка проблеми
Клас задач ошгашзацшного геометричного проектування е важливим для pi3Hm сфер дiяльностi людини, зокрема, для сфери цивiльного захисту. До даного класу вiдносяться, наприклад, зaдaчi оптимального розмiщення пожежних депо на територп мiстa [1], взаемоди пiдроздiлiв пожежно! охорони, а також воешзовано! охорони на зaлiзницi з метою лшшдаци нaслiдкiв небезпечних подш на зaлiзничному трaнспортi [2], оптимального розбиття територй' мiстa на райони ви!зду бригад екстрено! медично! допомоги [3] тощо. Разом з тим, на тепершнш час однiею iз важливих проблем забезпечення безпеки населення i територiй е така: сили та засоби Державно! служби Укра!ни з надзвичайних ситуaцiй не завжди забезпечують своечасне реагування на надзвичайш ситуаци, пожеж1 та iншi небезпечш поди через вiддaленiсть !х ввд мiсць виникнення таких подiй, а також мають обмеженi можливостi щодо створення ефективного та дiевого угруповання сил для подолання негативних наслщшв масштабних надзвичайних ситуaцiй, у тому чи^ в особливий перiод [4]. Одним iз шляхiв вирiшення дано! проблеми е створення цен^в безпеки в об'еднаних територiaльних громадах з урахуванням часу прибуття пожежно-рятувальних шдроздшв до нaйвiддaленiшого населеного пункту у сшьськш мiсцевостi не бiльше 20 хвилин з моменту отримання повщомлення про виникнення пожеж1 або надзвичайно! ситуацй'. Таким чином, задача обгрунтування кiлькостi, мiсць розмiщення та райошв обслуговування центрiв безпеки може бути зведеною до зaдaчi оптимального покриття задано! облaстi з дискретними елементами (населеними пунктами у сiльськiй шсцевосп) опуклими багатокутниками (районами обслуговування) i, при цьому, е актуальною.
Анатз останшх дослiджень i публiкацiй
Слд вiдзнaчити, що зaдaчi оптимального покриття заданих областей геометричними об'ектами зi змiнними метричними характеристиками були розглянуп в роботах [5], але при цьому не враховувалися дискретнi елементи у вщповвднш облaстi, а також не використовувався ризик-орiентовaний пiдхiд для обгрунтування шлькосл пожежно-рятувальних пiдроздiлiв та шдроздшв воешзовано! охорони на зaлiзницi. В данш роботi для надання рекомендaцiй по створенню центрiв безпеки в територiaльних громадах застосовуеться ризик для людини загинути внаслвдок небезпечно! поди [6]. Дослвдження ризик1в небезпечних подш (штегральних пожежних ризик1в), проведено в робот [7]. Математична модель управлшня ризиком для людини загинути внаслвдок небезпечно! поди (пожеж1) та й! особливостi нaведенi в робот [8].
Мета дослiдження
В данш робоп необхiдно здiйснити моделювання покриття опуклими багатокутниками задано! обласп з дискретними елементами на приклaдi розв'язання зaдaчi визначення кiлькостi та мюць розташування центрiв безпеки в об'еднаних територiaльних громадах.
Викладення основного MaTepi^y дослiдження
Розглянемо постановку зaдaчi оптимального покриття задано! обласп з дискретними елементами опуклими багатокутниками [8]. Нехай задано область Sq у виглядi багатокутника у глобaльнiй системi
координат. Область Sq мае дискретш елементи Vk, k = 1,...,Nk, що являють собою нaселенi пункти. Нехай Gi с Vk , l = 1,. • •,L , L <Nk, - населеш пункти, в яких знаходяться селищнi ради i в яких е припустимим створення центрш безпеки ввдповвдно до [9]. Об'екти шдвищено! небезпеки та потенцшно небезпечнi об'екти, що належать заданш облaстi, позначимо через Sd, d = 1,...,D.
Необхвдно здшснити покриття облaстi Sq опуклими багатокутниками (районами обслуговування цен^в безпеки р , i = 1,..., N) таким чином, щоб цiльовa функцiя (ризик для людини загинути внаслщок небезпечних подш) була мшмальною i при цьому виконувалися так1 обмеження:
- мшмум площi перетину рaйонiв обслуговування центрш безпеки;
- нaлежнiсть рaйонiв обслуговування цен^в безпеки облaстi Sq ;
- належшсть населених пунктiв Vfc , k = 1,...,Nk , об'ектiв пiдвищено! небезпеки (ОПН) та потенцiйно небезпечних об' екпв (ПНО) Sd, d = 1,..., D, районам обслуговування центрiв безпеки;
- час прибуття оперативно-рятувальних шдроздшв до найвщдалешшо! точки району ви!зду P.\,
*
i = 1,..., N, мае не перевищувати заданого T ;
- розмщення центрiв безпеки здшснюеться в населених пунктах Gi, l = 1,..., L ;
- мшмум кiлькостi центрiв безпеки P\, i = 1,..., N.
Математична модель оптимального покриття задано! обласп з дискретними елементами опуклими багатокутниками мае такий вигляд:
min R (N,tcn ,тлок , u ) ; u = {mi; Vi} ; i = \ ..., N; (2)
ueW
де W :
а>( m., mj, Vj, Vj min; (3)
i = 1,...,N; j = i +1,...,N;
mi, mv vi, vs0 min; (4)
i = 1,..., N; S0U cSo = R2;
^ e{p}; k e {1,..., N }; i = 1,..., N; (5)
Sd e{p} ; d = 1,..., D; i = 1,..., N; (6)
^ (Р{ )< Г; i = 1,..., N; (7)
и = Ц; Vi }e {Gl} ; Gl e{p}; i = 1,..., N; l = 1,..., L ; (8)
N ^ min (9)
В моделi (2)^(9) вираз (2) являе собою цшьову функцiю задачi, при цьому mt - координати вершин опуклих багатокутник1в Р. , i = 1,...,N, в локальнш системi координат, v. - параметри розмiщення об'ектiв Pi (положення локально! системи координат /-ого об'екта в глобальнш систе!Ш координат); вираз (3) -умова мшмуму взаемного перетину об'екпв Р.j та Pj ; вираз (4) - умова мшмуму перетину об'ектiв Р.j з
2
доповненням областi So до евклiдового простору R ; вираз (5) - умова належносл населених пункпв Vk, k = 1,..., Nk , районам обслуговування центрiв безпеки Р.j; вираз (6) - умова належностi об'ектiв Sd, d = 1,..., D, районам обслуговування цен^в безпеки Р.; вираз (7) - умова щодо припустимого часу прибуття оперативно-рятувальних пiдроздiлiв до мюця виклику; вираз (8) - умова належносп центрiв безпеки населеним пунктам Gl, l = 1,..., L ; вираз (9) - умова мшмуму кшькосп центрiв безпеки Р..
Особливосл математично! моделi (2)^(9):
1. При врахуванш мiсць розташування юнуючих пожежно-рятувальних пiдроздiлiв до загально! моделi необхвдно додати таке обмеження:
©( mi, mq, vi, vq min ; (10)
i = 1,...,N; q = 1,...,Nq ;
де Nq - кшьшсть iснуючих пожежно-рятувальних шдроздшв.
2. Якщо задача мiнiмiзацü' ризику для людини загинути внаслвдок небезпечних подш розв'язуеться з урахуванням обмежених ресурав, то в моделi заметь обмеження (10) необхiдно використати такий вираз:
Qpec (N)< Q*pec . (11)
Для розв'язання задачi оптимального покриття опуклими багатокутниками задано! областi з дискретними елементами було розроблено метод, який вщноситься до класу методiв комбiнаторно! ошгашзацп. Суть даного методу полягае у тому, що здшснюеться повний перебiр дискретних елементiв Gl, l = 1,..., L, з урахуванням обмежень (3)^(9), при цьому також враховуеться умова стосовно макотшзацп кшькосп населення в районах обслуговування цеш^в безпеки. Завершуеться розв'язання задачi за умови покриття всiе! множини Gl, l = 1,..., L . Обираеться той варiант розв'язку, який забезпечуе мiнiмум щльово! функцп (2).
Якщо задача розв'язусться з урахуванням обмеження (11), то воно визначае юльшсть центр1в безпеки N , принципи розмщення яких наведеш вище.
Слад вщзначити, що метод оптимального покриття опуклими багатокутниками задано! обласп з дискретними елементами складаетъся з таких способ1в:
Споаб 1. Центри безпеки розмщуються в населених пунктах з наявнютю об'екпв Sd, d = 1,...,D.
Для даного способу було одержано так оцшки складносп (верхш оцшки шлькосл розв'язшв задачу як1 необхвдно проанал1зувати для знаходження екстремуму цшьово! функци (2)):
- розмщення центр1в безпеки без урахування юнуючих пожежно-рятувальних шдроздшв:
N - D-1
Ol = D + П (L - D - i ) ; (12)
i=0
- розмщення центр1в безпеки з урахуванням юнуючих пожежно-рятувальних шдроздшв:
N -D-1
П
i=0
N -D -1
O1 = D+ Nq + П (L - D - Nq - i) ; (13)
де D - кшькють населених пункпв з наявнють ПНО та (або) ОПН, в яких вщсутш центри безпеки; - розмщення центр1в безпеки в умовах обмежених ресурав без урахування юнуючих пожежно-рятувальних пвдроздшв:
Npec -D -1
O1 = D+ П ( L - D"- i ) ; (14)
i=0
де Nрес - кшькють центр1в безпеки з урахуванням Qpec .
ff м
Якщо D < Nрес, то D = D , шакше D = Nрес ;
- розмщення центр1в безпеки в умовах обмежених ресурав з урахуванням юнуючих пожежно-рятувальних пвдроздшв:
NреС - D -1
O = D + Nq + П ( L - D- Nq - i ) . (15)
i=0
D
Спос1б 2. Центри безпеки розм1щуються в областях Q Pd , де Pd - область, що забезпечуе
d =1
*
досягнення об'екта Sd протягом часу T .
Оцшки складносп для даного способу е такими:
- розмщення центр1в безпеки без урахування юнуючих пожежно-рятувальних щдроздшв:
N-2
O2 = Md П (L -1 - i ) ; (16)
i=0
D
де Md - шлькють населених пункпв в обласп Q Pd .
d=1
D
Якщо Q Pd = 0 , то:
d=1
N-1
О = П(1 -1)•
1=0
(17)
- розмiщення цен^в безпеки з урахуванням iснуючих пожежно-рятувальних пiдроздiлiв:
N-2
'2-1
О = N + Мл П [ь -1 - N -1
ч
¿=0
1 )••
(18)
- розмщення центрiв безпеки в умовах обмежених ресурав без урахування iснуючих пожежно-рятувальних пвдроздшв:
Nрес -2
О2 = Ма П (1 -1 -1) •
¿=0
(19)
- розмщення цен^в безпеки в умовах обмежених ресурав з урахуванням юнуючих пожежно-рятувальних пвдроздшв:
Nрес -2
О2 = N4 + ыа П (£ -1 - N4 -1).
(20)
1=0
На рис. 1 наведено комп'ютерну реалiзацiю розробленого методу (спосгб 1), а саме, здiйснено покриття Близнюшвського району Харшвсько! областi районами обслуговування центрiв безпеки, причому задачу було розв'язано з урахуванням iснуючих пожежно-рятувальних пвдроздшв.
Рис. 1. Покриття Близнюювського району Харшвсько! област1 районами обслуговування центр1в безпеки
Кожний район обслуговування визначався, виходячи з умови, що час реагування пожежно-рятувальних пвдроздшв мае не перевищувати 20 хв. [10], причому розрахункова швидкiсть пожежно-рятувального автомобiля становила 30 км/год.
Очевидно, що ва ОПН та ПНО знаходяться в районах обслуговування цен^в безпеки. Також слiд вщзначити, що районам обслуговування належать ва селищнi ради, тобто виконуються обмеження (3)^(9).
Висновки
В данiй робот здiйснено моделювання покриття опуклими багатокутниками задано! областi з дискретними елементами на прикладi розв'язання задачi визначення шлькосл та мiсць розташування центрш безпеки в об'еднаних територiальних громадах. Для цього було розроблено модель та метод оптимального покриття задано! обласп з дискретними елементами опуклими багатокутниками. Зазначено, що розроблений метод ввдноситься до методiв комбшаторно! оптимiзацi! та складаеться з 2-х способiв:
- розмiщення центрiв безпеки в населених пунктах з наявшстю об'екпв шдвищено! небезпеки та потенцiйно небезпечних об'екпв;
- розмщення центр1в безпеки таким чином, щоб у район обслуговування потрапило якомога бшьше об'екпв тдвищено1 небезпеки та потенцшно небезпечних об'екпв.
Для кожного способу одержано ввдповвдш оцшки складносп, що являють собою верхш оцшки кшькосп розв'язшв задач^ яш необхщно проанал1зувати для знаходження екстремуму ц1льово1 функцп. Здшснено комп'ютерне моделювання покриття Близнюк1вського району Харшвсько! обласп районами обслуговування центрш безпеки з урахуванням юнуючих пожежно-рятувальних шдроздшв. Зроблено висновок, що при розв'язанш задач1 виконуються ва обмеження математично! моделг Подальш1 дослвдження будуть направлен! на розв'язання задач1 покриття шшими розробленими способами.
Список використаиоТ лiтератури
1. Коссе А.Г. Метод рацюнального розмщення пожежних депо при проектуванш та оновлент райошв мюта: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: 21.06.02 "Пожежна безпека" / А.Г. Коссе. - Х., 2002. - 19 с.
2. Комяк В.М. Загальна математична модель рацюнального розмщення оперативних щдроздшв для захисту рухомого складу та об'екпв зал1зничного транспорту / В.М. Комяк, О.М. Соболь, В.О. Собина // Вюник Херсонського нацюнального техшчного ун1верситету. - Херсон: ХНТУ, 2009. - Вип. 2(35). -С. 241-246.
3. Садковий В.П. Рацюнальне розбиття множин при територ1альному плануванн1 в сфер1 цив1льного захисту: монограф1я / В.П. Садковий, В.М. Комяк, О.М. Соболь. - Монограф1я - Горл1вка: ПП "Видавництво Л1хтар", 2008. - 174 с.
4. Розпорядження Каб1нету М1н1стр1в Укра!ни ввд 25.01.2017 р. №61-р "Про схвалення Стратег^ реформування системи Державно! служби Укра!ни з надзвичайних ситуац1й" [Електронний ресурс]. -Режим доступу: http://zakon5.rada.gov.ua/laws/show/61-2017-р.
5. Оптим1зац1я покриття заданих областей геометричними об'ектами з1 зм1нними метричними характеристиками: Монограф1я / [В.М. Комяк, О.М. Соболь, В.О. Собина, А.А. Люняк] - Х.: НУЦЗУ, 2013.- 124 с.
6. Kravtsiv S.Ya. The analysis of integral risks of the territory of Ukraine / S.Ya. Kravtsiv, O.M. Sobol, A.V. Maksimov // Проблеми надзвичайних ситуацш: збiрник наукових праць. - Харшв: НУЦЗУ, 2016. -Вип. 23. - С. 53-60. - Режим доступу: http://nuczu.edu.ua/sciencearchive/ProblemsOfEmergencies/vol23/ Kravtsiv.pdf.
7. Кравщв С.Я. Групування адмiнiсграгивно-геригорiалъних одиниць Укра!ни по р!вню iнгегралъного пожежного ризику за допомогою кластерного аналiзу / С.Я. Кравцiв, О.М. Соболь // Проблеми надзвичайних ситуацш. - Х.: НУЦЗУ, 2017. - Вип. 26. - С. 79-86.
8. Соболь О.М. Математична модель управлшня штегральним пожежним ризиком та ïï особливосп / О.М. Соболь, С.Я. Кравщв // Вюник Херсонського нацюнального техшчного ушверситету. - Херсон: ХНТУ, 2017. - № 3(62). - Т. 2. - С. 317-321.
9. ДБН 360-92**. Мютобудування планування i забудова мюьких i альських поселень [Електронний ресурс]. - Режим доступу: https://dnaop.com/html/29810/doc-%D0%94%D0%91%D0%9D_360-92__.
10. Постанова Кабшету Мшс^в Украши вiд 27.11.2013 р. №874 "Про затвердження кригерiïв утворення державних пожежно-рятувальних пiдроздiлiв (частин) Оперативно-рятувальноï служби цивiлъного захисту в адмiнiсграгивно-геригорiалъних одиницях та перелiку суб'екгiв господарювання, де утворюються гакi пiдроздiли (частини)" [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://zakon3.rada.gov.ua/laws/show/874-2013-%D0%BF#n10.
