CC BY
9
УДК 338.24 (075.8) 331:656.13:658.7
Ю.Н. Убайдуллаев, Д.С. Караев
МОДЕЛЬ РОЗМ1ЩЕННЯ ОБ'СКТШ НА ПЛОЩИН1 З ЕВКЛ1ДОВОЮ МЕТРИКОЮ В ЗАДАЧАХ ОРГАНВАЩ1 МАТЕР1АЛЬНО-ТЕХН1ЧНОГО
ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ МНС
Постановка проблеми. Теоретичним i практичним дослщженням питань автоматизацп управлiння автотранспортним забезпеченням у сферi МНС присвячено значну кшькють робiт. Дослiдження, проведет в роботах, свщчать про те, що без використання добре розвинутого шформацшного ресурсу у виглядi сукупносп документсв в iнформацiйних системах ^блютеках, архiвах, базах (банках) даних тощо), досягнути ефективного управлiння i проведення рятувальних та шших невiдкладних роб^ за сучасних умов практично неможливо. Наявшсть i повнота iнформацiйного ресурсу стае таким же виршальним чинником устху, як i кiлькiсть та яюсть оперативно-рятувальних пiдроздiлiв МНС у лшвщацп наслiдкiв надзвичайних ситуацiй (НС). Основними напрямками роб^, що присвячеш питанням удосконалення управлiння оперативно-рятувальними пщроздшами МНС та питанням автоматизацп процеав управлiння, виконаних останнiм часом, е розроблення пбридних експертних систем тдтримки ухвалення рiшення; розробка й обгрунтування рекомендацiй з пiдвищення ефективностi систем управлшня аварiйно-рятувальними пiдроздiлами на основi застосування засобiв автоматизацп
Проте, поряд з устшним рiшенням деяких завдань у рашше проведених дослiдженнях слабко виршуються питання розробки нового чи вдосконалення юнуючого спецiалiзованого iнформацiйно-аналiтичного забезпечення (1АЗ) автоматизованих систем управлiння автомобшьними перевезеннями з урахуванням планування i розмiщення об'ектiв на площинi.
Анал1з досягнень 1 публ1кац1й. Висока ефектившсть, використання методiв та моделей для 1АЗ аварiйно-рятувального автомобiльного перевезення (АП) може бути досягнута, якщо будуть забезпечеш такi умови: системний тдхщ до вирiшення задачi, що розглядаеться; адекватнiсть моделi реальнiй системi, об'ективне врахування взаемозв'язку пiдсистем; гнучка багатоварiантнiсть, тобто узгодженiсть матерiальних, транспортних, шформацшних та iнших потокiв; формування та оптимiзацiя моделi реально'1 системi у взаемозв'язку забезпечення, збер^ання, доставки матерiальних засобiв; безперервнiсть процесу впровадження моделi планування i розмiщення об'ектiв на площиш; модель розмiщення об'ектiв на площиш з безперервним простором ршень [1, 4-8].
Аналiз iснуючих методiв роботи органiв управлiння [1-5] доводить, що при формуванш рiшень посадовi особи органiв управлiння обробляють значш обсяги шформацп, вирiшують велику кшьюсть розрахункових задач рiзноi складностi. Ц обставини вимагають формування кожного завдання планування i розмiщення об'ектiв i критерпв оцiнки можливих варiантiв рiшення.
Внаслiдок дослiджень iнформацiйних процесiв штабiв лшвщаци наслiдкiв НС при плануванш роботи встановлено [1-8], що подальше тдвищення ефективностi системи управлiння аваршно-рятувальними пiдроздiлами може бути досягнуто на основi автоматизацп процесiв обгрунтування прийняття рiшень посадовими особами штабу з урахуванням показниюв характеристик нових об'екпв i розмiщення iснуючих, взаемодп нових i iснуючих об'ектiв органiв забезпечення та споживачiв. Застосування методiв i засобiв нових iнформацiйних технологiй при розробцi перспективних АСУ
дозволить не тшьки значно скоротити час циклу управлшня, але i пщвищить якють рiшень, що приймаються.
Ц1ль статт1. Формулювання майже кожного завдання планування й розмщення об'екпв мiстить тi самi основнi показники, яю можуть бути використанi для класифшаци завдань отримання оптимальних варiантiв здiйснення АП. До таких показниюв вiдносяться характеристики нових об'eктiв i розмiщення iснуючих, взаeмодiя нових i iснуючих об'eктiв, простiр рiшень, а також мiра вiдстанi мiж об'ектами (або метрика простору перемiщень) i критерп оцiнки можливих варiантiв ршення.
Основна частина. Розглянемо кожний з перерахованих показниюв бiльш докладно.
Основним показником, що характеризуе новi об'екти, буде 1х число. Крiм того, залежно вщ розмiрiв кожний новий об'ект можна розглядати або як точку, або як якийсь протяжний об'ект. В останньому випадку керуючою змшною е форма об'екта (або форма займано! ним площi) i задача розмщення зводиться до задачi планування. Нарешт^ розмiщення кожного нового об'екта може залежати або не залежати вщ розмщення iнших нових об'екпв.
Що стосуеться iснуючих об'ектiв, то вони також залежно вщ розмiрiв можуть розглядатися або як точка, або як протяжний об'ект. Крiм того, розмщення iснуючих об'ектiв може бути статичним або динамiчним, детермшованим або стохастичним. Якщо розмiщення юнуючих об'ектiв з керуючою змiнною, то виникае задача перерозподшу, а якщо, ^м того, керуючою змiнною е форма займано! ними площi, то задача перепланування.
Взаемодiя нових i iснуючих об'екпв може виконувати функцiю головного параметра задачi або керуючо! змшно!'. У рядi випадкiв ступiнь ще! взаемодп залежить вiд розмiщення нових об'екпв, причому характер взаемодп може бути статичним або динамiчним, детермiнованим або стохастичним.
Проспр рiшень може бути одномiрним, дво- або тривимiрним (найчаспше виникають два останнi випадки). Крiм того, вiн може бути дискретним або безперервним. У першому випадку для розмщення нових об'ектiв е кшцеве число мiсць, у той час як у другому випадку, тобто коли проспр передбачаеться безперервним, юнуе нескшченне число мiсць для розмщення нових об'ектiв.
Мiра вщсташ (або метрика простору перемiщення) також ураховуеться при формулюванш завдань розмщення. Iнодi, як наближена оцiнка фактичних вiдстаней обчислюються евклiдовi вiдстанi, в шших випадках доводиться вимiрювати й збер^ати фактичнi вiдстанi для проведення наступних обчислень.
Вибiр критерiю ощнки можливих рiшень iстотно залежить вщ того, по якому показнику проводити оптимiзацiю: оптимальним можна вважати ршення, що приводить до мшмзацп загальних витрат; у шшому випадку - визначальним критерiем е максимiзацiя державно! вигоди. За винятком задач покриття, задачi планування й розмiщення, як правило, зводяться до мiнiмiзацii зважено'1 суми вiдстаней або мiнiмiзацii максимально! зважено'1 вiдстанi мiж об'ектами [4-8].
Складемо задачу розмщення. Нехай т iснуючих об'ектiв розмiщенi в рiзних точках Р],...,Рт площини, а п нових об'екпв - у точках Х],...,Хп. Вщстань мiж точками розташування у-го нового й /-го юнуючих об'ектiв позначимо як X), Р), вiдстань мiж точками розташуванняу-го i к-го нових об'екпв - як ,Х%).
Позначимо питомi витрати (тобто витрати на одиницю вщсташ) на перевезення мiжу-м новим i /-м iснуючими об'ектами через Ж , а аналопчш витрати на перевезення мiжу-м i к-м новими об'ектами - через Тодi загальнi транспортнi витрати, пов'язанi з розмщенням нових об'ектiв у точках X],..., Хп будуть визначатися формулою
n
1< j<k<n j=1 i=1
, . n m (1)
ffe...,Xn) = ^ vAXj,Xk)+S SWjÄX,,P) ( '
Багатоелементна задача розмiщення може бути сформульована як задача вибору такого розташування нових об'екпв у точках X*,...,X*, при якому мiнiмiзуються загальнi транспортi витрати.
При такому пiдходi задача розмiщення декшькох об'eктiв на площинi з евклщовою метрикою складаеться в мiнiмiзащi щльово! функцп
/(Xi,...,Xn)= S + t tjl(Xj -a)2 + (yj -b)2J^min, (2)
1< j<k<n j=1 1=1
де XJ = (xj, y3) i P1 = (ai, bi) •
Необхiдною умовою оптимальностi розмiщення нових об'ектiв е рiвнiсть нулю (або змiна знака) часткових похщних функцп /(X1,...,Xn) по Xl,...,X.
Частковi похiднi / (X1,..., Xn) по X1,...,X дорiвнюють вщповщно
/ fvjk(XJ- xJ fjxj-a).., (3)
bj S Djk S Eji 'J ,..., '
k
f = fv_ßjyA + f jhzbl j = 1 n (4)
dyj S Djk S EJ1 'j ,..., '
k
Djk = ,Ejk Xj - a)2+(yj - b)2J •
Помiтимо, що якщо /-й i к-й новi об'екти розташованi в однш точцi (07к=0) i /-й
.5/
новий i 1-й iснуючий об'екти розташованi в однiй точцi (£/¿=0), то частковi похiднi -
дх;
5/
та--не визначеш.
ду}
Геометрично кожна складова цшьово! функцп являе собою рiвняння прямого кругового конуса. Отже, рiвняння являе собою суму конуав, вершини яких е точками розриву похiдних, що утворюють усiчену поверхню. Так як конус з граничною формою гшерболоща, то, замшяючи конуси гшерболощами, одержимо гладку апроксимуючу функцiю /. Бшьше того, оскiльки функцп, що описують гшерболощи, е строго опуклими, то функщя / також строго опукла за умови, що принаймш один ваговий множник (коефщент) Жц бiльше нуля для кожного/-го об'екта.
Рiвняння гшерболоща iз центром у точщ (а, Ь) на площиш Е„={х,у} може бути записане у виглядi
Можна побачити, що додавання константи е вщповщае замш вершини конуса на гладку riперболiчну поверхню, i отже, частковi похщш iснують повсюди. Крiм того, чим менше величина я, тим точшше пперболощ апроксимуе конус.
Приймаючи, що
Djk =#j - Xk )2 + (yj - yk )2 + ; Ejk ,
можна сформулювати нову задачу оптимiзацii як задачу мiнiмiзацii цшьово'1" функцп вигляду
п т (5)
Хп) = ^ + 1 ^Шп,
1< / <к <п /=1 г=1
де 11ш / (Х1,..., Хп ) = /(Х1,..., Хп).
При дуже малих значеннях константи £ ршення рiвняння (5) майже аналогiчно рiшенню рiвняння (1).
Беручи частковi похiднi / по X/, i у/ прирiвнюючи !х до нуля та виршуючи вiдносно х,, i у,, отримуемо наступнi iтерацiйнi формули:
п у,,х(й) т w а
х( й+1) _ к * /
]к к , ^ /г г
П(й) ^ еда
к=1 П]к г =1 Ё/г
п у т w..
гл(й) ^^ Р(й)
к=1 п;к г =1 Ё/ к * /
(6)
+ у/'
1 П( й) + 1 Р(й)
.У
У /г г
ок 1
(й+1) _ к * /
./ п 11 т
п(й) ^ ё
к=1 П/к г=1 Ё/г
., ™ ж..
Ый) ^^ Г(
к=1 П/к г =1 Ё/г
(7)
п (й) ( й)
к * /
де верхш iндекси позначають номер ^ерацп.
Вiдомо, що якщо рiшення сходиться, то це ршення оптимальне. Хоча не доведено, що вирази (6) i (7) завжди дають збiжне рiшення, однак при великiй кшькосп експериментальних рiшень, отриманих методом riперболiчноi апроксимацп, не спостерiгалося жодного випадку, коли о ршення не сходилося. Вирази (6) i (8) можна звести до ^ерацшних виразiв, яю використовуються у градiентних методах пошуку, однак величина кроку при гiперболiчнiй апроксимацп не оптимальна.
Для випадку одного об'екта й при £ =0 вирази (6) i (7) зводяться вщповщно до вигляду
I
т жа^ жЬ
г г
V
-I Г(й) 1 г(й)
Х(й+1) = г =1 Ёг х(Й+1) = г =1 Ёг (8) (9)
/ » ж/г ' / т ж (8)' (9)
I 77(й) 1 7^(й)
г =1 Ёг г =1 Ёг
У наданому виглядi математична модель легко реалiзуеться на ПЕОМ.
Висновки. Таким чином, основними вимогами, яю висуваються до планування i
розмiщення об'ек^в на площинi з евклiдовою метрикою в задачах оргашзацп
матерiально-технiчного забезпечення МНС слщ вважати:
- iнварiантнiсть шформацп, що використовуеться для визначених рiвнiв управлiння;
- вiдповiднiсть структури шформацшно-анал^ичного забезпечення системи управлiння АП вимогам управлiння;
- охоплення уаа територп для внесення в бази даних;
- безперервшсть ведення баз даних та 1'х системна едшсть з монiторингом;
- наочнiсть баз даних, яка досягаеться ч^кою системою ведення документацп та сучасними системами геошформацшного картографування;
- оперативнiсть, стшкють, безперервнiсть, прихованiсть, надiйнiсть, гнучкiсть, дублювання важливих ланок, захищенiсть, якi дають можливють оцiнити модель
оцшки розмщення об'екпв на площиш з евклiдовою метрикою в задачах оргашзацп матерiально-технiчного забезпечення МНС.
Л1ТЕРАТУРА:
1. Болотських М.В. Склад, завдання та органiзацiя взаемодп сил цившьного захисту, координацiя дiй пiд час лшвщацп наслiдкiв надзвичайних ситуацiй природного та техногенного характеру/ М.В. Болотських // Матерiали 10-1 Всеукрашсько! науково-практично! конференцп мОрганiзацiя управлiння в надзвичайних ситуащях". - 2008. - С. 5-9.
2. Грешимов А.А. Математические методы принятия решений/ А.А. Грешимов.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006. - 584 с.
3. Убайдуллаев Ю.Н. Модель графопобудови маршрупв руху транспорту та сил при лшвщацл наслiдкiв надзвичайних ситуацiй/ Ю.Н. Убайдуллаев, В.В. Демченко, Д.С. Караев//Прикладна геометрiя та iнженерна графiка.- Кшв, 2008. - Вип.80. - С. 520-525.
4. Убайдуллаев Ю.Н. Етапи процесу формування ршення автомобшьних перевезень для забезпечення та захисту населення i об'екпв при надзвичайних ситуащях. / Ю.Н. Убайдуллаев, В.В. Демченко, Д.С. Караев// Матерiали НТК "Актуальш проблеми наглядово-профшактично! дiяльностi МНС Украши"/ УЦЗУ. - Харкiв, 2008. - С. 171-172.
5. Убайдуллаев Ю.Н. Основш методи аналiзу та прогнозування ризиюв в проблемах забезпечення безпеки та захисту населення та об'екпв економши/ Ю.Н. Убайдуллаев, В. В. Барбашин, Д.С. Караев// Матерiали НТК "Актуальш проблеми наглядово-профшактично! дiяльностi МНС Украши"/ УЦЗУ. - Харюв, 2008. - С.176-177.
6. Убайдуллаев Ю.Н. Обоснование выбора критериев оценки эффективности процесса управления автомобильными перевозками в условиях ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций/Ю.Н.Убайдуллаев, Д.С. Караев // Материалы XV Международной НТК "Информационная среда ВУЗа"/ Иван. гос. архит.-строит. акад. - Иваново (РФ), 2008. - С.704-707.
7. Убайдуллаев Ю.Н. Модель оцшки впливу вдосконалення системи шформацшно-анал^ичного забезпечення управлшня автомобшьними перевезеннями на процес оргашзацп матерiально-технiчного забезпечення МНС / Ю.Н. Убайдуллаев, Д.С. Караев // Вестник ХНТУ.- Херсон: ХНТУ, 2010.- Вып. 3(39).- С.472-476.
8. Убайдуллаев Ю.Н. Модель оцшки ефективносп виршення завдань автомобшьних перевезень за часом, трудовитратами та вартютю / Ю.Н. Убайдуллаев, Д.С. Караев // "Прикладна геометрiя та шженерна графка".
- Ки!в: 2010. - С. 166-171.
УБАЙДУЛЛАСВ Юсуфжон Нуруллайович - кандидат техшчних наук, професор Нащонального унiверситету оборони Украши. Науковi штереси:
- математичне та експериментальне моделювання технологiчних та фiзичних процесiв та явищ, застосування математичних методiв в техшчних системах.
КАРАСВ Денис Серверович - асшрант кафедри прикладно! математики Кшвського нацiонального унiверситету будiвництва i архiтектури. Науковi iнтереси:
- математичне та комп'ютерне моделювання явищ i процесiв, математичнi методи в техшчних задачах i системах керування.
