Моделирование состояния и поведения судна на базе фильтра Калмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Z1 =

0.0518 0.0729 -0.0430 -0.0022 0.0729 0.1614 -0.0725 -0.0132 -0.0430 -0.0725 0.0392 0.0010 -0.0022 -0.0132 0.0010 0.0102

Составляющая оценочной формулы 0.4947 0.2664 1.0274 0.3516" Х(1^)^'= 0.2683 0.1493 0.5667 0.2008 107 , 1.0294 0.5660 2.1595 0.7501

и идентификация элементов матриц системы [АМВ]=-1 =

10-

0.8520 -0.3280 0.5270

-0.1580 0.1560 -0.4990 0.4030 0.3450 0.5570

-0.1250 0.4250 0.3010

Результаты свидетельствуют о корректности вычислений. На рисунке показан процесс перехода динамической системы из заданного начального в конечное состояние, соответствующий приведенным ранее расчетным табличным данным.

Расчеты позволяют убедиться, что процесс, приведенный в качестве примера, соответствует минимуму эвклидовой нормы вектора управления. Иначе говоря, из всех возможных управлений, переводящих систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за 30 шагов, только изображенное на рисунке управление

1000 900

500 400 300 200 100

Х3(к)

к=0,1 !......30.

___________их1(к)

и(к)

V.

-Г2Щ — __________* 0)=[460.1 1 13.1 718.4Г

Х(30)=[499.9В81 117.0000 I 771.1646]'. \

Оптимальное управление дискретной динамической системой

и(к) обеспечивает минимальный расход энергии на управление рассматриваемой дискретной динамической системой.

Литература

1. Арефьев И.Б., Трояновский Я. Автоматизация судо-пропуска на ВВП. - СПб: Система, 2007. - 247 с.

2. Трояновский Я. Задача нахождения оптимального радиуса действия береговой радиостанции АИС. // Морская радиоэлектроника (корабли и вооружение как единая система). -№ 2. - 2008. - С. 28-30.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ И ПОВЕДЕНИЯ СУДНА НА БАЗЕ ФИЛЬТРА КАЛМАНА

И.Б. Арефьев, д.т.н. (Северо-Западный технический университет, г. Санкт-Петербург); Я. Трояновский, к.т.н. (Морская академия Польши, г. Щецин, [email protected])

Ключевые слова: модель поведения судовых динамических систем, фильтр Калмана, алгоритм фильтрации, белый шум, дискретный наблюдатель.

Моделирование судовых систем управления в реальном масштабе времени условно подразделено на шесть ступеней: сбор данных, сетевые топологические вычисления, анализ наблюдаемости, оценка состояния, обработка «плохих» данных, идентификация параметров сигналов и управляемых объектов по экспериментальным данным. Одним из реальных решений указанной проблемы является применение фильтра Калмана и его развитие в формировании дискретного наблюдателя, структура которого предполагает снижение объема вычислений для реального построения модели поведения судовых динамических систем.

Для класса моделей в форме разностных уравнений

п т _

у(г) = 2 5,(к) • у(г -1) + 2 Ь(к)и(г - ,0 (1)

(где г - целые числа на множестве [1,к]) разработан рекурсивный метод оценивания и рассмотре-

ны его приложения для идентификации параметров судовых динамических систем, где а, (к) и

Ь,(к) - оцениваемые коэффициенты.

Фильтр Калмана конструируется в виде динамической системы с переменным матричным коэффициентом усиления, величина которого зависит от точности текущих значений и уровня шумов измерений. Дискретный вариант фильтра основан на рекуррентных соотношениях, выполняемых согласно алгоритму, что создает удобства для его реализации на ЭВМ. Поскольку параметры Калмана изменяются во времени, критерий качества (минимум среднеквадратической ошибки оценивания) минимизируется как в установившихся, так и в переходных режимах. Оптимальная оценка относительно наблюдений является линейной [1]. Вследствие линейности фильтра корреляционная матрица ошибок фильтрации не зависит от наблюдений. Она может быть вычислена зара-

нее как матричный коэффициент усиления фильтра. Алгоритм фильтрации пригоден к использованию как в одноканальных, так и в многоканальных системах [2].

В случае концептуально строгой постановки задачи фильтрации должны составляться стохастические дифференциалы Ито, поскольку белый шум с непрерывным временем представляется чистой идеализацией, и как в математическом, так и физическом смыслах можно говорить лишь о существовании его интеграла, то есть винеровско-го процесса [3].

Для синтеза фильтра Калмана-Бьюси с использованием моделей, построенных на обыкновенных дифференциальных уравнениях и сигналах в форме белых шумов, введены допущения, позволяющие упростить задачу.

Предполагается, что управляемый объект описывается с помощью стохастических уравнений динамики

х(Ч)=А+В^и(0+О^(0, (2)

у(1)=С-х(1)+у(1) (3)

c вектором состояния х(1;) е К", входом и(1;) е Кт и измеряемым выходом у(1) е Кр. Сигнал "(1) -неизвестный случайный сигнал, воздействующий на объект. В приложении к модели судна этот сигнал может характеризовать воздействие на управляемый объект ветра, волнения водной поверхности, а также не учитываемые в процессе моделирования высокочастотные составляющие динамических уравнений. Сигнал у(1) представляет собой неизвестный случайный процесс, вызванный сенсорными свойствами измерителей текущих переменных состояния и выхода. Поскольку (2)-(3) представляют собой динамическую модель, на которую воздействует шум, состояние х(1), а также выход у(1) являются, в свою очередь, также случайными процессами. Начальное условие х(0), шум процесса "(1), шум измерения у(1) точно неизвестны. Поэтому на практике следует руководствоваться некоторыми концептуальными положениями об их общих характеристиках. Используя концептуальный подход, далее следует формализовать эти положения и сформулировать в их терминах требования к рассчитываемой системе управления. Резонно предположить, что х(0), "(1) и у(1) взаимно ортогональны. На основании опыта можно получить среднее значение х0 и ко-вариацию Р0, то есть

х(0) - (х0,Р0) . (4)

Предположение о том, что "(1) и у(1) являются белым шумом, может быть в некоторых случаях ослаблено. Воздействия волн и ветра на корпус судна имеют ограниченный спектр, следовательно, "(1) не является белым шумом. Поэтому необходимо идентифицировать параметры динамической системы, преобразующей входной сигнал в

виде белого шума "(1) в сигнал "(1), адекватно отражающий процесс воздействия помехи на объект.

Для восстановления вектора состояния по вектору выхода в стохастической системе, функционирующей во внешней среде, применен динамический наблюдатель:

х(1) = А ■ х(1) + В ■ и(1) + Ь ■ [у(1) - у(1)] (5)

или х(1) = [А - Ь ■ С] ■ х(1) + В ■ и(1) + Ь ■ у(1). (6)

Изменяющаяся во времени функция х(1) есть оценка состояния, а функция у(1) , равная

у(1) = Е{С ■ х(1) - у(1)} = С ■ х(1), (7)

является оценкой выхода у(1), представляющей собой условное среднее, полученное по предшествующим измерениям.

Матрица коэффициентов оценивателя Ь обеспечивает оптимальную оценку вектора состояния при наличии шумов "(1) и у(1). Ошибка оценива-теля определяется как разность сигналов

х(1) = х(1) - х(1). (8)

Дифференциальное ур авнение для расчета ковариационной матрицы имеет вид

Р = (А - Ь-С) ■ Р+Р-(А - Ь-С)т + Ь-К Ьт + (9) 0т = А0 ■ Р+Р^ А0т + Ь К Ьт + 0т. (9)

Решение (9) находится при условии Р(0)=Р0, то есть ковариационной матрице начального состояния, характеризующей неопределенность в оценке х = х0. Ковариация Р - мера неопределенности оценивания.

Учет ограничений на вектор управления и состояния в судовых дискретных апериодических системах методологически может быть выполнен с помощью вычислительных процедур, основанных на псевдоинверсии Мура-Пенроуза. Дискретная модель судна как объекта управления представлена в виде

Ха(к+1)=АЛ(к)+Ваи(к), к>0, (10)

где хй - (пх1)-мерный вектор состояния; и(к) -последовательность управления для к=0,1,...^-1 ^>п); Аа, Ва - матрицы соответствующих размерностей.

Согласно принципу Заде, дискретные управления и(к) обеспечивают переход системы из начального состояния х^(0) в конечное хд(№) за конечное число шагов, не меньшее п. Вектор выхода получен с помощью уравнения

у(к)=С ха(к), (11)

где у(к) - (тх1)-вектор, причем т<п.

Матрица Са имеет полный ранг т и представляется в виде двух блоков: несингулярной (тхт) - матрицы С1 и (тх(п-т)) - матрицы С2:

Са=[С1С2]. (12)

Условие (12) позволяет преобразовать исходную систему (10)-(11) к канонической форме: х(к+1)=Ах(к)+Ви(к), (13)

у(к)=Сх(к), (14)

где

" 0 1 0 . . 0 " ■ 0"

0 0 1 . . 0

А = ••• • •• • •• . • ... , В =

0 0 0 . . 1 0

-а п -ап-1 -ап-2 - . -а! _ _ 1 _

С=[Сх 0 ... 0].

Преобразование переменных состояния выполняется с помощью матрицы трг, которую можно получить, используя соответственно матрицы достижимости для исходной системы

Р„ = [В АВ ... АГВ„ ]

и системы в канонической форме

Р = [В АВ ... АГВ„ ].

Преобразующая матрица трг находится по формуле

ТрГ=Р,тР-1. (15)

Для системы (13)-(14) можно синтезировать дискретный наблюдатель, структура которого дает возможность значительно уменьшить объем вычислений, необходимых для решения матричного уравнения тА-Гт=ЫС, являющегося условием Луенбергера для построения наблюдателя Г.

Таким образом, синтезируется наблюдатель, структура которого дает возможность существенно сократить процедуру подготовки и принятия решения по управлению судном.

Литература

1. Арефьев И.Б., Мартыщенко Л.А. Теория управления. -СПб: СЗТУ, 2000. - 173 с.

2. Трояновский Я. Концепция построения автоматизированных систем управления движением судов в районе водных путей и судоходства Нижней Одры. // Междунар. межвуз. сб. науч. тр. - СПб: Судостроение, 2006. - № 7. - С. 157-160.

3. Арефьев И.Б., Трояновский Я. Автоматизация судо-пропуска на внутренних водных путях. - СПб: Система, 2007. - 251 с.

МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОГО УЗЛА НА БАЗЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА

И.Б. Арефьев, д.т.н. (Северо-Западный технический университет, г. Санкт-Петербург); В. Пасевич, к.ф.-м.н. (Сельскохозяйственная академия Польши, г. Щецин, [email protected])

Ключевые слова: минимизация критериев стоимости и времени, ление Гаусса, плотность истинного разложения.

Современные технологии моделирования сложных процессов и систем все более ориентируются на интеграцию отдельных собственных элементов по их математическому описанию и соответствию отдельных процедур для решения основной задачи - минимизации стоимости и времени на разрешение ситуаций. В этом отношении транспортные системы не являются исключением. Настоящая работа посвящена одному из решений данной задачи, которое основано на создании модели системы управления транспортным узлом (ТУ) на базе распределения Гаусса.

При создании процедур принятия и поддержки решения по управлению в современных системах управления транспортом часто используют политранспортные модели, когда конкретные процедуры перевозки единицы груза не формируются, а создаются мультимодальные системы из разных видов единиц-перевозчиков для минимизации процесса доставки единицы груза по критериям минимума стоимости и времени.

В работах [1,2] показано, что в определенных условиях управление грузопотоком в ТУ подчиняется распределению Гаусса. Тогда для объектов подобного типа справедливо следующее утверждение.

Допустим, что Х^.-.Д" является переменной из © нормального распределения с неизвестной

управление грузопотоком, политранспортные модели, распреде-

средней точности К. Тогда условное разложение переменной © при К=г (г>0) является нормальным распределением со средней це (-=°,<») и точностью т (г>0), а граничное распределение К является гамма-распределением с параметрами а>0 и Р>0.

Отсюда совместное апостериорное распределение переменных © и К при условии, что Xj=Хj 0=1,...,п), будет трактоваться как условное разложение случайной переменной © и К=г и окажется нормальным разложением со средней ц' и точностью (т+п)г, при этом: тц+пх

т+п

(1)

а граничное распределение переменной К являет-

1

ся гамма-распределением с параметрами а+—п и

в, где

в'=в+пя*, - х)2+М.

ш=1 2(т+п)

2

(2)

В некоторых задачах информация, полученная для © до начала наблюдения о состоянии ТУ, может быть значительно меньше по сравнению с информацией, которая ожидается при завершении анализа совокупного состояния ТУ. В задачах та-