Стабилизация двух классов нелинейных импульсных cистем с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 3

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929

А. Х. Гелиг, В. А. Муранов

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВУХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ*

1. Введение

Задача синтеза стабилизирующего управления заключается в построении такого управления обратной связью, при котором состояние равновесия системы становится устойчивым в целом.

В случае, когда система описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с достаточно гладкими правыми частями, эта задача для различных классов систем была решена [1—4]. Для некоторых классов нелинейных импульсных систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями с разрывными операторами, был получен синтез стабилизирующих управлений [5]. В случае, когда эти уравнения содержат члены с запаздывающим аргументом, матрица объекта имеет форму Фробениуса, а вектор распределения управления является последним единичным ортом, было построено стабилизирующее управление [6].

В настоящей статье задача стабилизации решается для двух классов нелинейных импульсных систем с запаздывающим аргументом. В первом классе матрица коэффициентов объекта имеет форму Фробениуса, а вектор распределения управления произвольный. Во втором классе этот вектор является последним единичным ортом, а матрица объекта имеет треугольную форму.

2. Постановка задачи

Рассматривается импульсная система, описываемая функционально-дифференциальным уравнением

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00290) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №2257.2003.1).

© А. Х. Гелиг, В. А. Муранов, 2005

х = Л(Ь, х(Ь), х(Ь — т))х(1;) + Ъ(Ь, х(Ь), х(Ь — т))£,

(1)

С = М(, С = Ф(°), е(х)= в*х,

(2)

где т > 0,А е И™, Ъ,в е И™, £ € И.1, С € И\х € И™, * —знак транспонирования, все величины вещественные. Здесь М —нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора; С(Ь) — сигнал на входе импульсного модулятора, £(Ь) — сигнал на его выходе; М отображает каждую непрерывную на [0, +те) функцию С(Ь) в функцию £(Ь) и последовательность {Ьп} (п = 0,1, 2,...; Ьо =0), обладающие следующими свойствами:

1) существуют такие положительные постоянные Т и §о, что для всех п верна оценка

6оТ < Ьп+1 — ¿п < Т

2) функция £(Ь) кусочно непрерывна на каждом промежутке [¿п, ¿п+1) и не меняет знака на нем;

3) £(Ь) зависит только от значений С(т) при т < Ь, Ьп зависит только от значений С(т) при т < Ьп;

4) для каждого п существует Ьп е [Ьп, Ьп+1) такое, что среднее значение п-го импульса

уп = -—1-— [

Ьп+1 '¿п 3

удовлетворяет равенству

Ъп = ^(С (Ьп)), (3)

где ^(С) —непрерывная и монотонно возрастающая на (—те, +те) функция, которая описывает статическую характеристику импульсного модулятора, причем

у>(0) = 0, <^>(+те) = +те, ^(—те) = —те.

Свойствами 1-4 обладают различные виды комбинированной модуляции [7, 8], в том числе амплитудно-частотная модуляция, при которой

е(ь) = р(С (Ьп)),

(4)

для Ьп < Ь < Ьп+1. _

Очевидно, что в этом случае свойство (3) выполняется при Ьп = Ьп. Задача заключается в определении такого ш-мерного вектора в и такой скалярной функции ф(а), что при

а = в* х, С = Ф(а) (5)

состояние равновесия х(Ь) = 0 системы (1), (2) устойчиво в целом.

Поставленная задача синтеза стабилизирующего управления будет решена для двух классов систем. В первом классе

А(Ь,х(Ь),х(Ь — т)) =

0

0

1

0

0

1

«!(•) «2(0 ... ат (•)

, Ъ(-) =

А(0

вш(0

(6)

а модуляция обладает свойством 1 и (4). Здесь и далее используется обозначение (•) = (Ь, х(Ь), х(Ь — т)).

0

Во втором классе

А() =

а1д(0 «2,1(0

1

«2,2(-

ат-11(-) ат-1,2 (■) ат-1,з(-) ат,1(■) ат,2(■) ат,з(■)

0 0

1

ат,т (О

, ь(.) =

(7)

а модуляция обладает свойствами 1) - 4).

3. Формулировка результата для первого класса систем

Рассмотрим систему из уравнений (1), (2), (4)-(6). Для её стабилизации сначала построим вектор 8, стабилизирующий уравнение

у = А(.)у + Ь()в*у,

воспользовавшись методом, предложенным в [4]. Рассмотрим функцию Ляпунова

V = У* Ну,

где Н = Н-1, а матрица Н1 имеет трехполосный вид

(8)

(9)

Н1

Ъл2 0 ■ 0 0

Ьл2 Ъ^23 ■ 0 0

0 Ъ^23 Ъз ■ 0 0

0 0 0 ■ Ът—2,т—1 0

0 0 0 ■ Нт1— 1 Ът—1,т

0 0 0 ■ Ът—1,т ъ ът

где = Ы—положительные числа. Производная от функции (9), взятая

в силу системы (8), имеет вид

у = У*Ь(')у,

где Ь(.) = НА(.) + А*(.)Н + НЬ(.)в* + вЬ*(.)Н. Будем искать матрицу Н, удовлетворяющую условию

Ь(')+вН < 0,

где в — положительный параметр.

Соотношение (10) равносильно неравенству

Ы') < 0,

(10)

(11)

где Ь1(.) = Ql(■) + М, Я1(.) = А(.)Н1 + Н1А*(■) + рНъ М(■) = Ь(.)в*Н + ЩвЬ*(.). Введем обозначения: д^ — г-й столбец матрицы Н1,

а(■

а1() а.т()

Тогда матрица Ql примет вид

где

<7(0 =

Ql(•) =

Юл

Qo

2рт (•)

а*()9т-3 а*()9т-2 + Нт-1,т

а*()д т— 1 + Нт + [3Н т— 1,т

Рт{■) = а*{-)дт +

а Qo —постоянная (т — 1) х (т — 1) матрица, зависящая только от [3 и Н^ (г,] = 1, ..., т).

Представим &(•) в виде Ь*() в формулой

61(0, вт(•) || , где Ь() € И.т 1, и определим вектор

в = ЛНет

(12)

где ет = | 0,..., 0,1 || , а Л — параметр, который будет выбран ниже. В этом случае матрица М(•) примет вид

М (•

1 6()Л ЛЬ* (•) 2вт (•) Л

где 0т-1,т-1 —нулевая (т — 1) х (т — 1) матрица.

Таким образом, для матрицы ¿1(0 получено выражение

М-)

Qo ч(0 + Ь(0Л

q*(•)+Ь*(•)Л 2рm(•) + 2вm(•)Л

причем элементы матрицы Qo зависят только от Н^ и

В [9] показано, как при заданном в > 0 параметры = 1,...,т) выбираются таким образом, чтобы знаки главных диагональных миноров матрицы Qo, начиная с левого верхнего угла, чередовались, и матрица Qo была отрицательно определенной. Следовательно, для отрицательно определенной матрицы ¿1(0 достаточно выполнения неравенства

det Q0 det Ь1(^) < 0. (13)

По лемме Шура

det Ь^) = det Qo[2рm(•) + 23т()Л — (<(•) + Лb(•))*Q-1(q(•) + ЛЬ(0)].

Поэтому для справедливости утверждения (13) достаточно, чтобы параметр Л удовлетворял неравенству

2рт(•) + 23т(•)Л — (<(•) + ЛЬ(0)*Q-1(q(•) + ЛЬ()) < 0,

которое равносильно следующему:

С1 ()Л2 + 2с2( )Л + сз( ) < 0,

(14)

а

где С1(0 = -¥(■№—Щ) С2(■) = вт(^) - д*^^), сз(0 = 2рт(■) - д*^—^^. По лемме Шура det Q1(■) = det Q0[2pm(■) — д*(■ ^о 1д(■)]. Поэтому

ае^О)

Корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (14), имеют вид

-С2(.)± л/Щ

А±( ■ ) =

С1( ■

где Б(■ ) = с22(■ ) — С1(■ )сз(■ )■ Предположим, что

Ы Б(■) > 0 (15)

(•)еп2тх[го,+<х>)

и

вир Л— ( ■ ) < Ц Л+ ( ■ ). (16)

Тогда найдется Л, при котором для всех ( ■ ) € И.2т х [¿о, справедлива оценка (10).

Вернемся теперь к рассмотрению импульсной системы (1),(2),(4)—(6). Положим в (5) ф = ф—1 и, определив 8 по формуле (12), мы придем к системе

х = А( ■ )х + Ь( ■ )£, а = в* х, £ = М1а, (17)

в которой оператор М1 обладает теми же свойствами, что и оператор М, с той лишь разницей, что вместо (4) имеет место соотношение

т = а(г

),Ьп < Ь < ¿п+1. (18)

Введем обозначение х(Ь) = х(Ьп) при Ьп < Ь < Ьп+1, п = 0,1, 2,.... Тогда уравнение (17) в силу (18) можно представить в виде

Х = (А( ■) + Ь( ■ )в* )х + Ь( ■ )в*(Х — х). (19)

Производная от функции Ляпунова V = х*Нх в силу системы (19) имеет вид

V = х* Ь( ■ )х + 2х* НЬ( ■ )в*(х — х).

Отсюда ввиду оценки (10) вытекает неравенство

V < -(ЗУ + /лУ + -\\нН(-)в*\\2\\х - х\\2, Л

где ¡л — положительный параметр, который будет выбран ниже. Проинтегрировав это неравенство, приходим к соотношению

К+1-к < (м-/3) / +-./„, (20)

Л„ л

где

, г

Уп = У(х(гп)), 51= вир \\Н2Ъ(-)з*\\2, Зп = / \\х - х\\2(й.

Ввиду неравенства Виртингера [9] и свойства 1 справедлива оценка

4^2 г tn+i

Jn < — / \\x\\2dt, П Jtn

из которой в силу уравнения (19) вытекает соотношение

от 2 rtn+i rtn+i

Jn<—{ \\(A(-)+b(-)s*)x\\2dt+ \\b(-)s*(x-x)\\2dt}.

J tn tn

Отсюда следует неравенство

8T 2 rtn+l

Jn<—{h \\x\\2dt + S3Jn}, (21)

n2 Jtn

где

S2 = sup ||A( ■ ) + b( ■ )s* ||2, ¿3 = sup ||b( ■ )s* ||2.

(^)eR2mx[to, + TO) (^)eR2mx[to, + TO)

Предположим, что T удвовлетворяет условию

8T2S3 <п2. (22)

Тогда из (21) вытекает оценка

ftn+l rtn+l

Jn < S4T2 ЦхЦ2dt < S5T2 Vdt, (23)

Jtn Jtn

где

8S2 8 S3

4 7Г2 — 8Т263' 5 {и2 -8T2<53)M-'

а ¡л- —минимальное собственное число матрицы H. Из (20), (23) следуют неравенства

(•tn+l

Vn+1 - Vn + p/ Vdt < 0 (n = 0,1, 2,...),

Jtn

где 2

р = /3-/Л--, ¿6 =¿1^5.

Просуммировав эти неравенства, получаем для произвольного N соотношение

ptN

VN + p/ Vdt < Vo. (24)

to

Выберем теперь положительный параметр м таким образом, чтобы p > 0. Легко проверить, что такое м найдется, если

4S6T2 < в2. (25)

Из (24) ввиду произвольности N вытекает свойство

||x(t)|| € ¿2[to, (26)

Согласно (23) этим свойством обладает функция х(Ь] — х(Ь). А тогда из уравнения (19) следует включение

\\х(г)\\€ Ь2[1о, (27)

Отсюда и из (26) вытекает ассимптотика х(Ь) ^ 0 при Ь ^ Докажем устойчивость решения х(Ь) = 0 по Ляпунову. Согласно (24) справедлива равномерная оценка

V(х(гп)) < V(х(г0)).

(28)

Поскольку V = х*Их +х*Нх, из (26), (27) вытекает включение V € Ь\[£о, Отсюда

ввиду (24),(28) и свойства 1 оператора М вытекает устойчивость по Ляпунову. Таким образом, получаем следующий результат. Теорема 1. Пусть

вир (\\А( ■ )\\ + \\Ь( ■

< ж,

выполнены свойства 1 и (4) оператора М, условия (15), (16), (22), (25), ф = , вектор в определяется формулой (12), где X и И определены ранее. Тогда состояние равновесия х(Ь) = 0 системы (1), (2), (4)-(6) устойчиво в целом.

4. Формулировка результата для второго класса систем

Рассмотрим теперь системы (1), (2), в которых матрица А(■) и столбец Ь имеют вид (7), а модуляция обладает свойствами 1-41.

Рассуждая по схеме, использованной в пункте 3, построим сначала вектор в, стабилизирующий систему (8). Взяв функции Ляпунова (9), будем искать трехполостную матрицу И1, при которой справедливо неравенство (11), где

11 = АИ1 + И1А* + 2Хет е*т + Н

Представим матрицу Ь1 в блочном виде

Ь

1

Ьт-1

М *

М 7

где Ьт-1 —блок размерности (т — 1) х (т — 1), блок М — размерности (т — 1) х 1, а 7 — скаляр. Они имеют вид

а„ч1Ь,1 + ат,2^,2 ат,1Ь,1,2 + ат,2Ь2 + ат,зк2,з ат,2^2,3 + ат,зкз + ат,4Нз,4

ат,т-3^т-3,т-2 + ат,т-2^т-2 + ат,т-1^т-2,т-1 + Р^т—

М

т— 1,т

г — 2^т—2,т— 1 + ат,т — 1 + ат,т^т —

т— 1,т

7 2Х + 2(ат-1,т^т-1,т + ат,т^т') +

Рассмотрим главные диагональные миноры матрицы Ь1: А1,. . . , Ат-1, отсчитываемые от левого верхнего угла. Тогда справедливо соотношение

Д1 = 2(а1АЬ,1 + Ь,12)+/Зк1 = +2^1,1^1+/3/^1.

1 На возможность использовать трехполосную матрицу в случае треугольной Л наше внимание обратила И. Е. Зубер.

а

Фиксировав Н\ > 0, выберем Н2 столь большим, чтобы Дх < 0 при всех Ь > 0. Для этого достаточно, чтобы Н2 удовлетворяло неравенству

^ > 2«! 1 + (3. т

Это возможно вследствии условия на ограниченность сверху функций для всех допустимых %,] = 1,...,ш.

Обозначим через Кг (г = 2,..., т) матрицу размерности г х г, составленную из элементов матрицы стоящих на пересечении ее первых г строк и г столбцов. Тогда Дг = det Кг. Представим матрицу Кг в блочном виде:

Ki =

Ki-1 ki k: ki i

где кгг = + 2аг,гНг + 2Нг,г+1 + [ЗНг при г = 2,...,т; кг — столбец размерности

г —1.

Согласно лемме Шура, справедлива формула

det Кг = det К-Х(кц - к*К-}хкС)1 которую можно представить в виде

Дг = 2Дг_1^г,г+1 + ^г('),

где 7г(") зависит от Н только для ] = 1,1 — 1,..., 1. Справедливо соотношение

Д< = (29)

Следовательно, если выбор hi, hi-i,. ..,hi обеспечивает выполнение свойства

sign Ак = ( —1)к (30)

при k =1, 2, ...,i — 1, то при достаточно больших hi+i в (29), будет обеспечено выполнение свойства (30) и при k = i. По лемме Шура справедлива формула

det L1 = det Km-1(J — M*Km1-1M). (31)

Выберем теперь Л таким образом, чтобы выполнялось соотношение

J — M*Km-1M< 0. (32)

Свойство (32) будет выполнено, если Л удовлетворяет условию

А< inf (~М*Кт1_1М - am_i,m/im-i,m - ат mhm) - ~/3hm m. (-)ER2mx[t0, + <x) 2 m 1 ' ' ' 2 '

Из (30)-(32) в силу критерия Сильвестра вытекает неравенство (11).

Перейдем теперь к исследованию импульсной системы (1), (2), (7), положив ф =

1. Желая воспользоваться методом усреднения [8], введем функции v(t) = vn при

t

tn < t< tn+ 1 (n = 0,1, 2,...) и u(t) = ДО) — v^)]^.

0

Сделав в уравнении (1), (2), (7) замену

х = г + ети, (33)

получим следующие уравнения

г = А( ■ )г + ету + А( ■ )ети, (34)

а = в* г + в* ет и. (35)

Уравнение (34) можно представить в виде

г = Б( ■ )г + т, (36)

где т = ет(у — в*г) + А(■ )ети, а матрица Б имеет вид

Б = А( ■ )+ет в*.

Рассмотрим функцию Ляпунова

V (г) = г* Иг.

Производная ее по Ь в силу уравнения (36) имеет вид

V = г * (ИБ + Б* И )г + 2г*Ит. (37)

Очевидно неравенство

2г*Нт < цУ + -||Я^«;||2, (38)

И

где ¡л — положительный параметр, который будет выбран ниже. Поскольку ф = у-1, соотношение (3) примет вид

= в*х(гп). (39)

Воспользовавшись соотношениями (3), (35), представим т следующим образом:

т = т1 + т2, (40)

где го 1 = етв*етм + Аети, и>2 = етв*(^ — г), а чертой отмечены «замороженные» функции, равные при Ьп < Ь < Ьп+1 их значениям, вычисленным в точке ¿„. В [8] были установлены неравенства

к*)| <тк*)|, J у (41)

В силу (41) справедливо неравенство

\Ы\<$1Т М, (42)

где ¿1 = \\в\\ +8ир(^)еК2тх[4о+то) \\А(■ )ет\\. Для т очевидна оценка

М<<*2||*-г||, (43)

11

где 62 = ||в||. Из (40), (42), (43) вытекает соотношение

\М<61Т\у\ + 62\\г-г\\. (44)

В силу (39), (35) представим V в виде

V = я* (г — г) + а* г + в*етм. Отсюда ввиду (41) получаем неравенство

м <да+ N11)+Т5М-

Предположим, что Т удовлетворяет оценке

Т52 < 1, (45)

тогда

М<г3||*-*|| + <*з1И1, (46)

г ¿2

Согласно (44) и (46), получим соотношение

N1

где 64 = 62 + 6163Т, 65 = 6163. Отсюда следует неравенство

М2< 252\\г-г\\2 + 252Т2\\г\\2. (47)

В силу неравенства Виртингера [8] и (36) справедливы соотношения

¿тг+1 ¿тг+1 ¿тг+1

■~г\\2Л< 4Т2 ■ ( Л1П-И2 .

п2

/8Т 2 /*

Ц^ + гуЦ2^ < — / (||£>.г||2 +|И|2)Л. (48)

Из (47), (48) получаем оценку

tn+1 tn+1 tn+1

I \М2А<1-^- I {\\Вг\\2 + \М2)Л + 2т2б! I \\zfdt.

Предположим, что Т удовлетворяет неравенству

16Т2б| <п2. (49)

Тогда

tn+1 tn+1 tn+1

! 1№Ц2л < 66Т2 J ЦБх^аь + б7Т2 ^ Ы2л, гп

1662 . 2п2652

Где $6 = п2 _ Ш2Т2. ^ = _ Ш2Г2 • Отсюда следует оценка

п

t

w\\2dt < S8T2 J \\z\\2dt, (50)

tn tn

0 + C

ГДе h = S7 + 06 SUp{.)eR2 m X[t0 + œ) \\D( ■ )\2.

Обозначим через Л+ и Л— максимальное и минимальное собственное число матрицы H. Тогда в силу (50) справедливы соотношения

tn+1 tn+1 tn+1 tn+1

J \\Hiw\\2dt < Л+ J \\w\\2dt < A +S8T2 j \\z\\2dt < S8T2 j Vdt.

tn tn tn tn

Отсюда в силу (37), (38), а также выбора матрицы H и вектора s, вытекает неравенство

V(z(tn+1)) - V(z(tn)) <-p j Vdt,

tn

Л+ 2

где p = /3 — /л---—ô8T . Просуммировав эти неравенства по п от 0 до N — 1, получим

¡Л-

для произвольного N оценку

tN

V(z(tN)) + pjvdt < V(z(to)). (51)

t0

Выберем теперь положительный параметр л таким образом, чтобы p > 0. Последнее неравенство равносильно следующему:

М2 - + ^68Т2 < 0. Л

Положительное ¡, удовлетворяющее этому неравенству, найдется, если T удовлетворяет оценке

<52>

Из (51) вытекает, что \\z(t)\\ G L2[to, +œ). Согласно (50) \\w(t)\\ G L2[to, +œ). Поэтому в силу (48) ||~z — z(t)\\ G ¿2^0, +oo). Отсюда и из (46) следует, что v(t) G £2^0, +оо)-Поскольку функция v(t) постоянна на промежутке [tn,tn+i), то ввиду свойства 1 последовательности {tn} v(t) ^ 0 при t ^ Отсюда в силу (40) u(t) ^ 0 при t ^

Из (51) следует равномерная по n ограниченность \\z(tn)\\. Из (36), (50) следует, что \\z\\ G L2[to, +œ). Поэтому \\z\\Ll[tn,tn+1] равномерно по n ограничена, следовательно \\z(t)\\ ограничена равномерно по t > 0. А тогда из (36), (37) следует равномерная по t ограниченность \\z(t)\\. Отсюда и из \\z(t)\\ G L2[to, +œ) вытекает асимптотика z (t) ^ 0 при t ^ Далее, с учетом (33), (40), (46), получаем, что x(t) ^ 0 при t ^

Докажем теперь устойчивость по Ляпунову состояния равновесия x = 0. Из неравенства (51) следует оценка

рЛ- i \\z\\2dt < V(z(t0)). (53)

t0

В силу (37) справедливо соотношение

V < 2z*Hw < \\z*H\\2 + \\ w \\2. Отсюда вытекает неравенство

V(z(t)) - V(z(to)) < (Л2+ \\z\\2 + \\w\\2)dt. (54)

t0

Ввиду (50), (54) справедливо соотношение

V(z(t)) - V(z(to)) < (Л+ + S8T2) f \\z\\2dt,

t0

из которого в силу (53) вытекает неравенство

V(z(t))<(l+X++xS*T2>)V(z(to)). Поэтому, ввиду выполнения равенства z(to) = x(to), имеет место оценка

sup \\zit)\\2 < ^ (l + ll^o)H2. (55)

Оценим теперь \\x(t)\\. Согласно (33) и равенству \\em\\ = 1, имеем соотношение

\\x(t)\\<\\z (t)\\ + \u\. Отсюда в силу (41) следует неравенство

\\x(t)\\ < \\z(t)\\ + T\v\. (56)

Согласно (46) получаем оценку

\v\ < 3S3 sup \\z(t)\\. (57)

t>to

Из (55)-(57) зключаем, что sup \\x(t)\\ сколь угодно мал, если достаточно мала \\x(to)\\.

t>t0

Следовательно, состояние равновесия x = 0 устойчиво по Ляпунову. Таким образом, получен следующий результат:

Теорема. Пусть ф = у-1, s = ЛНет, где Л и H определены ранее. Тогда при выполнении оценок (45), (49), (52) состояние равновесия системы (1), (2), (7) x = 0 устойчиво в целом.

Summary

A. H. Gelig, V. A. Muranov. Stabilization of two classes of nonlinear pulse-modulated systems with delay.

A Lyapunov function of the quadratic form type is used for an analytical synthesis of a robust stabilizing control for two classes of nonlinear pulse-modulated systems described by functional-differential equations with a lagging argument.

Литература

1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Springer Verlag: Berlin, 1989.

2. Khalil H. Nonlinear Systems. Printers Hall: Jersey, 1996. P. 460.

3. Zak S.H., Maccarley C. A. State-feedback control of nonlinear systems // Int. J. Control. 1986. Vol. 43. N 5. P. 1497-1514.

4. Зубер И. Е. Квази-канонические преобразования подобия и стабилизируемость нелинейных систем управления // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 3. С. 23-28.

5. Гелиг А. Х., Зубер И. Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 2004. №5. С. 29-37.

6. Гелиг А. Х., Муранов В. А. Стабилизация нелинейных импульсных систем с запаздывающим аргументом. http:www.neva.ru/journal/pub/ws_abstracts/gelig.pdf

7. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотной и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Наука, 1970. 265 с.

8. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998. P. 360.

9. Зубер И. Е. Синтез экспоненциально устойчивого наблюдателя для линейных нестационарных систем с одним выходом // Автоматика и телемеханика. 1995. №8. С. 25-33.

Статья поступила в редакцию 13 апреля 2005 г.