CC BY
104
УДК 519: 816 Сафронов В. В.
ОАО «КБ Электроприбор», Саратов, Россия
МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ИСТИННЫХ КОРТЕЖЕЙ ПАРЕТО В ЗАДАЧАХ ГИПЕРВЕКТОРНОГО РАНЖИРОВАНИЯ СИСТЕМ
Введение. На практике часто приходится решать задачи гипервекторного ранжирования (ГВР) [2,3,
10,18,21]. В работах [17,19-23] осуществлены постановки задач ГВР, рассмотрены характерные особенности такого класса задач, дан метод решения, основанный на методе «жесткого» ранжирования. В свою очередь, отечественными и зарубежными учеными разработаны методы, которые широко применяются в прикладных задачах: анализа иерархий Т. Саати [16]; турнирной таблицы; Борда [25]; равномерной оптимальности; справедливого компромисса; идеальной точки в пространстве критериев [6], минимаксный [4,5] и многие другие.
К сожалению, применение многих из перечисленных методов может привести к получению неэффективных решений. В соответствии с теоремой С. Карлина применение линейной свертки справедливо, когда множество векторных оценок строго выпукло, ограничено и замкнуто [8, 9], т. е. для очень узкого
класса задач. На этот факт еще раз обратил внимание исследователей, использующих для решения многокритериальных задач метод анализа иерархий, В. Д. Ногин [14]. Ю. Б. Гермейером доказана теорема о построении Парето-оптимальных решений для невыпуклых многокритериальных задач. Однако, как отмечено в [8, 12] , если на частные критерии не накладывать никаких дополнительных ограничений, то
решения, получаемые по Ю. Гермейеру, могут быть и не оптимальными по Парето. В [12] показано, что в число возможных решений входит и неэффективное решение.
Вместе с тем, применяя методы многокритериального, а тем более многовекторного и гипервекторного ранжирования, исследователь должен быть уверен в правильности полученного результата. Эту уверенность может дать корректное применение соответствующих теорем, сформулированных и доказанных отечественными и зарубежными учеными [4,7,9,13,24] . Однако:
- такая проверка может быть затруднена в силу различных причин;
- для решения многокритериальных задач часто применяют, особо не вникая в «тонкости», традиционные для организации методы, несмотря на то, что можно получить решение, которое не принадлежит множеству эффективных.
Возникает задача: как, применяя свои «любимые» или новые методы, уверенно получать корректные
результаты. При этом используя, по возможности, простые, но надежные правила.
В настоящей статье:
- рассмотрена постановка задачи ГВР;
- сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие подтвердить корректность решения задачи гипервекторного ранжирования при использовании, в качестве опорного, метода «жесткого» ранжирования;
- предложен метод построения истинных кортежей Парето при применении иных методов многокритериального ранжирования, изначально приводящих к получению псевдокортежей Парето. Применение сформулированного и доказанного критерия построения истинного кортежа Парето позволяет получать только эффективные решения.
Словесная постановка задачи. Имеются варианты систем, каждая из которых характеризуется множеством многовекторных компонент. Необходимо провести ранжирование систем по совокупности многовекторных компонент, определив при этом подмножество неэффективных систем, и построить кортеж Парето при использовании различных методов многокритериального ранжирования. Статья является продолжением серии работ [21-23].
1. Постановка задачи гипервекторного ранжирования. Введём необходимые в дальнейшем обозначения :
5 = {Sa,a = 1, n}
множество систем;
SD С S - множество допустимых систем, для которых, в зависимости от специфики системы, должны
выполняться некоторые дисциплинирующие условия: неравенства, равенства, логические условия и т.
п.;
K-eji (Sa) - і-й скалярный критерий j-й векторной компоненты, которая входит в многовекторную
компоненту с номером e, (e
(e = 1,E, j = 1,r£, І = 1,r£j ) . Здесь E
число многовекторных компонент; r
чис
ло векторных компонент в многовекторной компоненте с номером £ ; r£j - число скалярных критериев в
j-й векторной компоненте, которая, в свою очередь, входит в многовекторную компоненту с номером £;
Kej (Sa) = {Kj (Sa), І = 1, £j } , Ke (Sa) = {К^ (Saa), j = 1, Ге} ,
К (Sa) = {Ке (Sa),£ = 1, E} - соответственно множество скалярных, векторных и многовекторных компо-
нент, характеризующих систему Sa^ Sd ;
Aej {a£ji,i = 1,r£j} , Ae ={«£/,j = 1,re} , A = {a£,£ = 1,e} - соответственно множество коэффициентов важ-
ности скалярных, векторных и многовекторных компонент, причем XV* £
£ = 1
X а£= 1 , X a£j = 1,
j=1
X a£ji = 1 J = 1 re , £ = 1 E
P={s0 , S02,..., S0 p} - упорядоченное множество эффективных систем (кортеж Парето), P с Sd ; эле-
r
i=1
менты кортежа ранжированы в соответствии с решающими правилами так
что выполняется условие
S0 f S0 f... f Sah f ... f Skp , где « f » - знак отношения доминирования, ktє{1,2,...,n} . Длина кортежа рав-
на n .
Допустим,
известны
множества
Л, Ле, Aej, SD, Kej (Sa), Ke( Sa), K (Sa) ,
решающие
правила,
(a = 1,n; £ = 1,E; j = 1,re) . Требуется найти кортеж Парето P , для элементов которого справедливо
K(S0 ) = min K(Sa), S0 є P . (1)
" SaєSD
2. Особенности применения некоторых методов для решения задачи гипервекторного ранжирования. 2.1. Метод «жесткого» ранжирования [17,20-22]. Без потери общности изложение будем проводить для
систем Sa, a=1,n , свойства которых задают с помощью критериев Kj (Sa), j = 1,r . В ходе решения задачи будем анализировать множество упорядоченных пар систем Sk, Sl (k=1,n; l=1,n; k Фl) , а результат анализа заносить в специальную оценочную матрицу ЦСуЦ . Сущность метода заключается в следующем:
1. На основе попарного сравнения систем Sk, Si (k=1,n; l=1,n; k Фl) определяем элементы оценоч-
Ckj подбирают таким образом, чтобы отсечь неэффективные сис-
ной матрицы
llC«ll. Значения
--ki|| . Значения элементов k
темы.
У эквивалентных систем Sk,Si все соответствующие критерии равны. Полагаем, C^ =1, С^ =1 .
К числу неэффективных систем отнесем варианты, у которых:
а) все значения критериев k-й системы хуже, чем у 2-й системы, тогда полагаем C^ = N2 >> 1 ;
б) значенияm(m < r) критериев k-й системы хуже соответствующих значений критериев 2-й системы
при равных соответствующих значениях остальных критериев этих систем; тогда полагаем
Cu = N3,1 << N3 < N2 .
Если же для систем k, l имеем лучшие, худшие и, возможно, равные критерии, то значение C^ определим по методу, изложенному в [15].
Обозначим N+, Nц, N= - соответственно подмножества номеров лучших, худших и равных критериев
для каждой пары вариантов систем Sk, Si
Sk,Si (k=1,n;l=1,n,kФl) .
Будем осуществлять попарное сравнение сис-
тем Sk, Sl на основе анализа критериев Kj (Sk),Kj (Sl ^ j=1, r . Введем следующие значения элементов
оценочной матрицы ||Cjy|| :
если N+ =0,N- =0, N= ={й} , то Ckl =1, Clk =1; (2)
если N+ ={й},N- =0, N=l =0 , то Ckl = N2 , Clk = ; (3)
если N+ =0,N-l ={й}, N=l =0 , то Ckl = , Clk = N2 ; (4)
если N+ Ф0, N- =0, N= Ф0 , то Ckl = N3,Clk =0 ; (5)
если N+ =0, N- Ф0, N= Ф0 , то Ckl = 0, Clk = N3 ; (6)
если N+ Ф0, N-Ф0, Ы>0 , (7)
то определим Ckl в виде [15] :
f г1
Ckl = 2 aj
jєЩl
2 aj
V -ІєМи
, Ck = C-1 . (8)
- количество элементов в 2-м количество элементов в 2-м
2. Для формулировки решающих правил введем характерные числа: Hi
столбце оценочной матрицы, значения которых больше единицы; Ml -столбце той же матрицы, значения которых меньше единицы; Ckl max - максимальное значение элемента в
2- м столбце матрицы Ckl II.
3. Перейдем от одношагового процесса поиска приоритетного расположения систем к многошаговому процессу [1]. Решающие правила «жесткого» ранжирования подробно изложены в [19].
Сформулированы теоремы о единственности и устойчивости решения задачи ГВР при применении МЖР. Единственность решения подтверждается Теоремой 1.
Теорема 1. Если в 2-м (lє{1, nil столбце оценочной матрицы максимальный элемент равен значению
N3 или значению N2 , то 2-й вариант системы не Доказательство. Из условия теоремы следует,
принадлежит множеству эффективных решений.
что хотя бы для одного из вариантов k (k є{1, n}, k Ф l)
выполняется одно из условий (3), (5). Таким образом, вариант 2 доминируется вариантом k . Значит,
согласно определению множества Парето, 2-й вариант не может принадлежать множеству эффективных
решений. Теорема доказана.
Применение Теоремы 1 позволяет для известной структуры исходных данных получать единственное множество Парето.
Устойчивость решения (относительно коэффициентов важности критериев) подтверждается Теоремой 2 и следствием из Теоремы 2.
Теорема 2. Множество неэффективных систем не зависит от значений коэффициентов важности критериев .
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что если 2-й вариант принадлежит множеству неэффективных решений, то Cjimax = N3 или Сцmax = N2 . В этом случае, хотя бы один из элементов Су оценочной матрицы принимает одно из значений:
N3 , когда вариант системы k имеет по сравнению с вариантом системы I только лучшие и равные значения критериев (условие (5));
N2 , когда вариант системы k имеет по сравнению с вариантом системы 2 только лучшие значения критериев (условие (3)).
Значения N3 , N2 введены автономно и не зависят от коэффициентов важности критериев. Теорема
доказана.
Следствие из Теоремы! 2. Множество эффективных систем не зависит от значений коэффициентов важности критериев.
2.2. Минимаксный метод. Минимаксный метод (метод подтягивания самого отстающего) обеспечивает наилучшее (наименьшее) значение наихудшего (наибольшего) из нормированных критериев [8]. При данном методе используется наименьшая априорная информация о назначении системы.
В соответствии с минимаксным методом вместо r частных критериев Kj (S№), j = 1,r, SaE SD предла-
гается рассматривать один критерий вида:
F(Sa) = ШІД Kj (Sa), S„e Sd
j=1,r
В качестве оптимальной системы
выбирают такую систему SaE Sj
D
для которой выполняется условие
: F(S*)= max F(Sa) .
' ! SgeSd
Рассмотрим особенности применения метода при решении задач гипервекторного ранжирования.
Методика решения задачи гипервекторного ранжирования с использованием минимаксного метода
1. Провести анализ исходной информации, формирование критериев оценок систем.
2. Вычислить оценки векторных компонент. Ранжировать системы с использованием минимаксного метода по множеству скалярных критериев каждой векторной компоненты.
3. Построить частные кортежи Парето по векторным компонентам.
4. Ранжировать системы с использованием минимаксного метода по множеству векторных компонент.
5. Определить значения оценок многовекторных компонент и построить частные кортежи Парето по многовекторным компонентам.
6. Ранжировать системы с использованием минимаксного метода по множеству многовекторных компонент. Построить кортеж Парето.
7. Провести анализ результатов решения.
8. В случае необходимости уточнить исходные данные. Перейти к шагу 2. В противоположном случае перейти к шагу 9.
9 . Конец решения.
3. Критерий построения истинного кортежа Парето. В [21-23] проведена сравнительная оценка применения и иных методов для решения задачи ГВР. В частности, получено:
1. При использовании метода ГВР, основанного на применении метода «жесткого» ранжирования, можно обоснованно строить множество неэффективных и множество эффективных решений.
2. При использовании метода ГВР, основанного на применении иных методов, в число возможных решений могут входить и неэффективные решения.
Для устранения этих проблем предлагается применять разработанный критерий. Для его формулировки введем необходимые определения.
Определение. Опорный кортеж Парето P - упорядоченное множество только эффективных вариантов, построенное в ходе решения задач многокритериального, многовекторного или гипервекторного ранжирования с использованием метода «жесткого» ранжирования.
Определение. Псевдокортеж Парето Pnq - упорядоченное множество эффективных и неэффективных вариантов, построенное в ходе решения задач многокритериального, многовекторного или гипервекторно-
го ранжирования с использованием метода, отличного от МЖР, q= 1,Q .
В частном случае в псевдокортеж Парето входят только эффективные варианты.
Определение. Истинный кортеж Парето Pиq - упорядоченное множество эффективных вариантов, построенное на основе
псевдокортежа Парето, у которого исключены неэффективные варианты, q = 1,Q .
Допустим что, используя МЖР, а также другие, интересующие нас методы из заданного множества, построены соответственно опорный кортеж Парето P и q псевдокортежей Pnq, q = 1,Q .
Критерий построения истинных кортежей Парето Pиq/ q = 1, Q
Для построения истинных кортежей Парето необходимо и достаточно из соответствующих псевдокортежей Парето выбрать, не нарушая порядок следования, лишь варианты, номера которых указаны в опорном кортеже Парето. Иначе:
Рщ =(рщ ^P, q =1Q). (9)
Доказательство
Необходимость. В соответствии с теоремой 1 в опорный кортеж Парето входят только эффективные варианты. Следовательно, выбор указанного кортежа является оправданным и необходимым условием решения задачи.
Достаточность. Выполнив операцию (9) в истинные кортежи Парето войдут лишь эффективные варианты, которые включены в опорный кортеж Парето, и никакие другие. Отличие, в общем случае, будет лишь заключаться в порядке следования эффективных вариантов, который зависит от конкретного решающего пра-
вила .
Для корректного решения задачи предлагается следующая методика.
1. Решить задачу ГВР с использованием методов «жесткого ранжирования» и иных методов, например, минимаксного. В результате:
а) по методу «жесткого ранжирования» будет построен опорный кортеж Парето Р и определено подмножество неэффективных систем;
б) по иным методам, например, минимаксному методу, будет построен псевдокортеж Парето Рп1.
2. С учетом информации об эффективных системах, которые имеются в опорном кортеже P , исключить из псевдокортежа Рц неэффективные системы. В итоге получим истинный кортеж, в котором расположены только эффективные системы, в порядке, определяемом методом многокритериальной теории полезности.
4. Численный пример. Обратимся к примеру, приведенному в [20] . Допустим, необходимо построить упорядоченное множество эффективных моделей разработки программного обеспечения (ПО) (кортеж Парето)
для проекта, предполагающего автоматизировать процесс некоторой гипотетической системы управления коммуникациями в организации. Задачу гипервекторного ранжирования будем решать с использованием методов: «жесткого» ранжирования; минимаксного, анализа иерархий, равномерной оптимальности, справедливого компромисса. Результаты решения приведены в таблице 1. Их анализ показывает, что если для решения задачи применять в «чистом» виде указанные методы, кроме метода «жесткого» ранжирования, то в кортеж Парето могут попасть и заведомо неэффективные системы. Более того, эффективные системы могут располагаться после неэффективных (например, неэффективные системы S6,S9,S8,S4 соответственно на четвертом - седьмом местах перед эффективными системами S3,S2 в псевдокортеже при использовании минимаксного метода).
Таблица 1 - Результаты решения задачи ранжирования
Применяемый метод Опорный кортеж Парето Псевдокортеж Парето Истинный кортеж Парето
«Жесткого» ранжирования S7, Ss, S3, S10, S2 - У S5, S3, S10, S2
Минимаксный - S10, S5, S7, S6, S9,S8, S4, S3, S2, Si S10, S5, S7, S3, S2
Анализа иерархий - S7, S2, Si, S9, S5, S4, S10, S3, S6, Ss S7, S2, S5, S10, S3
Равномерной оптимальности - S10, S5, S9, S3, S4, S7, S2, Si, S8, S6 S10, S5, S3, S7, S2
Справедливого компромисса - S7, S5, S2, Si, S9, S10, S4, S3, S6, S8 S7, S5, S2, S10, S3
Применяя критерий построения истинных кортежей Парето, получим истинные кортежи, в которые входят только эффективные системы (четвертый столбец таблицы 1).
Заключение
1. Многие методы решения многокритериальных задач являются некорректными. Получаемое в результате их применения множество эффективных вариантов не является таковым. Необходимо решить проблему построения множества эффективных решений при использовании различных методов многокритериального ранжирования.
2. Рассмотрен метод «жесткого» ранжирования, который служит основой методов многокритериального, многовекторного и гипервекторного ранжирования. Доказаны теоремы о единственности и устойчивости решения. Введено понятие опорного, псевдо и истинного кортежей Парето. Сформулирован и доказан критерий построения истинных кортежей Парето.
3. Для получения корректных решений при использовании различных методов многокритериального ранжирования необходимо воспользоваться критерием построения истинных кортежей Парето. Его применение позволяет получать корректные решения задач многокритериального, многовекторного и гипервекторного ранжирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белкин А. Р., Левин М. Ш. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации. М.: Наука, 1990. 160 с.
2. Воронов Е. М., Карпунин А. А. Многокритериальное комплексирование облика сложной системы управления на основе гипервекторного выбора // Интеллектуальные системы: Тр. Десятого международного симпозиума / Под ред. К. А. Пупкова. М.: РУСАКИ, 2012. С. 338-342.
3. Воронцов В. А., ГоворенкоГ.С., Пичхадзе К.М. и др. Выбор эффективных вариантов систем десантирования на планеты солнечной системы // Доклады академии военных наук. 2012. №5(54). С.
4. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 с.
5. Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств. М.: Сов. радио, 1975. 368 с.: ил.
6. Дубов Ю. А., Травкин С. И., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. 296 с.
7. Емеличев В.А., Янушкевич О.А. О регуляризации многокритериальной задачи целочисленного линейного программирования // Известия ВУЗов. Математика. 1999. №12 (451) . С. 38-42.
8. Захаров И. Г. Обоснование выбора. Теория практики. СПб.: Судостроение, 2006. 528 с.
9. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Сов. Радио,
1964. 838 с.
10. Клеванский Н.Н., Кашин С.С. Формирование расписаний занятий университета с использованием методов ранжирования // Вестн. Саратовского гос. техн. ун-та. 2010. №4. С. 143—150.
11. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. М.: Наука, 1979. 200 с.
12. Михалевич В. С., Волкович В. Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982. 286 с.
13. Молодцов Д.А. Регуляризация множества точек Парето // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т.18. №3. С. 597-602.
14. Ногин В. Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 7. С. 1259-1268.
15. Руа Б. Проблемы и методы решений в задачах с многими целевыми функциями // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 20-58.
16. Саати Т. Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.
17. Сафронов В. В. Гипервекторное ранжирование сложных систем // Информационные технологии. 2003. № 5. С. 23-26.
18. Сафронов В. В., Григорьев И. В., Ткачук А. В. и др. Решение задач совершенствования системы образования с использованием методов ранжирования // Информационные технологии. 2008. №11. С. 52-57.
19. Сафронов В. В. Основы системного анализа: методы многовекторной оптимизации и многовекторного ранжирования: Монография. Саратов: Научная книга, 2009. 329 с.
20. Сафронов В. В., Федорец О. Н. Метод построения эффективных моделей разработки программного обеспечения // Информационные технологии. 2010. №1. С.34-39.
21. Сафронов В. В. Применение метода идеальной точки в пространстве критериев для решения задачи
гипервекторного ранжирования // НАДЕЖНОСТЬ И КАЧЕСТВО: Труды Международного симпозиума: //Под ред.
Н. К. Юркова. Пенза : Изд-во Пенз. ГУ, 2010. В 2-х томах. Т.1. С. 12-14.
22. Сафронов В. В. Сравнительная оценка методов «жесткого» ранжирования, справедливого компромисса и равномерной оптимальности в задаче гипервекторного ранжирования систем // Информационно -управляющие системы. 2011. №3. С. 2-8.
23. Сафронов В. В. Сравнительная оценка методов «жесткого» ранжирования и анализа иерархий в задаче гипервекторного ранжирования систем // Информационные технологии. 2011. №7. С. 8-13.
24. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 284 с.
25. Трахтенгерц Э. А. Компьютерная поддержка принятия согласованных решений // Приложение к журналу «Информационные технологии». 2002. № 3. 24 с.
