CC BY
160
УДК 519: 816
Сафронов В. В.
ПРИМЕНЕНИЕ МИНИМАКСНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГИПЕРВЕКТОРНОГО РАНЖИРОВАНИЯ
Поставлена задача гипервекторного ранжирования систем. Показаны общие принципы ее решения, особенности применения метода «жесткого» ранжирования и минимаксного метода.
Ключевые слова: Гипервекторное ранжирование, критерии, свертка критериев, минимаксный метод.
The hypervector ranking task for the complex systems is set. The general principles of this task solution, the feature of the "rigid" ranking method application of and the minmax method for the various rules of convolution are shown.
Keywords: Hypervector ranking, criteria, convolution of criteria, hierarchies analysis
method.
Введение. На практике приходиться решать задачи гипервекторного ранжирования (ГВР). В работах [7, 8] осуществлены постановки задач ГВР, рассмотрены характерные особенности такого класса задач, дан метод решения, основанный на методе «жесткого» ранжирования. Вместе с тем, отечественными и зарубежными учеными накоплен солидный опыт решения задач многокритериальной оптимизации и ранжирования, разработаны методы, которые широко применяются в прикладных задачах [1-6]. Очевидна целесообразность применения известных методов многокритериального ранжирования, в частности минимаксного метода, с целью решения более сложной задачи ГВР.
1. Математическая постановка задачи гипервекторного ранжирования. Введём необходимые в дальнейшем обозначения:
S = {Sa, a = 1, n} - множество систем;
SD с S - множество допустимых систем, для которых, в зависимости от специфики системы, должны выполняться некоторые дисциплинирующие условия: неравенства, равенства, логические условия и т. п.;
Km (Sa) - 1-й скалярный критерий j-й векторной компоненты, которая входит в многовекторную компоненту с номером £, (е = 1, E, j = 1, re, i = 1, r ). Здесь E - число многовекторных компонент; re- число векторных компонент в многовекторной компоненте с номером е; rj - число скалярных критериев в j-й
векторной компоненте, которая, в свою очередь, входит в многовекторную компоненту с номером ;
Kj ( S«) = {KeJ, ( Sa), i = 4} , K ( Sa)={Kj ( Sa), j = 4} ,
K(Sa) = {Ke(Sa),e = 1,e} - соответственно множество скалярных, векторных и многовекторных компонент, характеризующих систему Sa є SD;
Aj = {a j, i = 1, rj }, A ={aj, j = 1, r }, a = {a, e = 1, e} , - соответственно множество коэффициентов важности скалярных, векторных и многовекторных
E re rej ___ _____
компонент, причем ^ a& = 1, ^ aj = 1, ^ a^ = 1, j = 1, r&, e = 1, E;
e=1 j=1 i=1
1
P = {s", S»,..., S0_}
- упорядоченное множество эффективных систем (кор-
теж Парето), P с SD; элементы кортежа ранжированы в соответствии с решающими правилами так, что выполняется условие S0 f S0 f... f Sk f... f S0 , где « f » - знак отношения доминирования, kt є {1,2,.. .n}.
Допустим, известны множества A,4, Ae,S,IKe(Sa),D (S„) ,
(a = 1, n; e = 1, E; j = 1, re), решающие правила. Требуется найти кортеж Парето P , для элементов которого справедливо
= min K ( Sa ) , Sk, Є P .
Sa^SD
(1)
2. Особенности применения некоторых методов для решения задачи гипервекторного ранжирования. 2.1. Метод «жесткого» ранжирования.
Без потери общности изложение проведём для систем Sa, a=1, n, свойства которых задают с помощью критериев K (Sa), j = 1,r. В ходе решения задачи будем анализировать множество упорядоченных пар систем Sk, Sl (k=1,n; l=1,n; k Фl), а результат анализа заносить в специальную оценочную матрицу ||Ckl||, (k=1, n; l=1, n). Сущность метода заключается в следующем.
1. На основе попарного сравнения систем Sk, Sl (k=1,n; l=1,n; k Фl) определяем элементы Ckl оценочной матрицы ||Ckl||. Обозначим N*, N-, N=l - соответственно подмножества номеров лучших, худших и равных критериев для каждой пары вариантов систем Sk,Sl (k=1,n;l=1,n,kФl). Для возможных значений
подмножеств номеров N*, Nkl, Nkl введем следующие значения элементов оценочной матрицы \\CU\\:
если Nh=0, N-=0, N=ki ={1, r}, то Ckl=1, Ck=1; (2)
если N* ={1Г}, N- =0, N= =0 , то Ckl = N2,Сш=О, N2>> 1; (3)
если Nh=0, N- ={1, r}, N=ki=0, то Ckl=0, c-=n2; (4)
если
если
если
N* Ф0, N-=0, N= Ф0, то C N *
kl
N3, Clk.
- О, 1<< N3 < N
2
kl
0, N^0, N^0, то Ckl=О, C
lk
N3;
NklФ0, NklФ 0,
N
kl
> О.
V-1
то определим Ckl в виде: C
kl
= І4 ■ I
j^N+u v jeN-l
a.
C = C-1 Ck = C- [6].
kl lk
kl
(5)
(6)
(7)
(8)
2. Для формулировки решающих правил введем характерные числа: Ht -количество элементов в l-м столбце оценочной матрицы, значения которых больше единицы; Mt - количество элементов в l-м столбце той же матрицы,
2
значения которых меньше единицы; Ckl max - максимальное значение элемента в l-м столбце матрицы ||Ckl||.
3. Для реализации «жесткого» ранжирования перейдем от одношагового процесса поиска приоритетного расположения систем к многошаговому процессу [1]. Решающие правила «жесткого» ранжирования:
3.1. Ранжирование необходимо проводить среди эффективных систем по шагам. Число шагов t <( n -1).
3.2. На каждом шаге t(t=1,2,...,n-1)нужно: найти числа H(),M(),C{l}max и определить лучшую систему Sj c минимальным значением Н(); номер j занести в множество P; исключить из оценочной матрицы j-ю строку и j-й столбец. Если системы с номерами ljeLk(t)={l1,l2,...,lj,...,lk(t)} имеют одинаковые
минимальные значения Hl(t) , то лучшей является система Sl c максимальным значением M() = max M().
1 lj sLk (t) 1
3.3. Если системы с номерами ljeLk(t)={l1,l2,...,lj,...,lk(t)} имеют соответственно одинаковые значения Hl(t),Ml(t) , то лучшей является система Sl c минимальным значением C(t) = min C(t)max.
j lj eLk (t) j
3.4. Если лучшие системы имеют соответственно равные значения Н(),M(),C^tmax, то такие системы считают эквивалентными.
Доказаны две теоремы, имеющие важное прикладное значение.
Теорема 1. Если в l-м (l є {1,n}) столбце оценочной матрицы максимальный
элемент равен значению N3 или значению N2, то l-й вариант системы не принадлежит множеству эффективных решений.
Теорема 2. Множество неэффективных систем не зависит от значений коэффициентов важности критериев.
2.2. Минимаксный метод обеспечивает наилучшее (наименьшее) значение наихудшего (наибольшего) из нормированных критериев [2]. При данном методе используется наименьшая априорная информация о назначении системы. В соответствии с минимаксным методом вместо r частных критериев
Kj ( Sa ) , і = 1 ^ Sa Є SD
F ( Sa ) = minKj ( Sa ), Sa Є SD ■
j=1,r
используют один критерий вида:
В качестве оптимальной системы выбирают та-
кую систему Sa є SD, для которой выполняется условие: F (Sa) = max F (Sa).
Sa^SD
Рассмотрим особенности применения метода при решении задач гипервекторного ранжирования.
Методика решения задачи гипервекторного ранжирования с использованием минимаксного метода
1. Провести анализ исходной информации, формирование критериев оценок систем.
3
2. Вычислить оценки векторных компонент. Ранжировать системы с использованием минимаксного метода по множеству скалярных критериев каждой векторной компоненты.
3. Построить частные кортежи Парето по векторным компонентам.
4. Ранжировать системы с использованием минимаксного метода по множеству векторных компонент.
5. Определить значения оценок многовекторных компонент и построить частные кортежи Парето по многовекторным компонентам.
6. Ранжировать системы с использованием минимаксного метода по множеству многовекторных компонент. Построить кортеж Парето.
7. Провести анализ результатов решения.
8. В случае необходимости уточнить исходные данные. Перейти к шагу 2. В противоположном случае перейти к шагу 9.
9. Конец решения.
3. Критерий и методика построения истинных кортежей Парето. К сожалению, серьезным недостатком минимаксного метода является то, что в общем случае множество решений, найденных минимаксным методом, может содержать и худшие (неэффективные) решения [2, 4]. С целью его устранения предлагается применять специальный критерий и методику. Для их формулировки введем необходимые определения.
Определение 1. Опорный кортеж Парето P - упорядоченное множество только эффективных вариантов, построенное в ходе решения задач многокритериального, многовекторного или гипервекторного ранжирования с использованием метода «жесткого» ранжирования.
Определение 2. Псевдокортеж Парето Pnq - упорядоченное множество эффективных и неэффективных вариантов, построенное в ходе решения задач многокритериального, многовекторного или гипервекторного ранжирования с использованием метода, отличного от МЖР, q = 1, Q .
В частном случае в псевдокортеж Парето входят только эффективные варианты.
Определение 3. Истинный кортеж Парето Puq - упорядоченное множество эффективных вариантов, построенное на основе псевдокортежа Парето, у которого исключены неэффективные варианты, q = 1, Q.
Допустим что, используя МЖР, а также другие, интересующие нас методы из заданного множества, построены соответственно опорный кортеж Парето P
и q псевдокортежей Pnq, q = 1, Q. Справедлив следующий критерий построения истинных кортежей Парето Puq, q = 1, Q.
Критерий. Для построения истинных кортежей Парето необходимо и достаточно из соответствующих псевдокортежей Парето выбрать, не нарушая порядок следования, лишь варианты, номера которых указаны в опорном кортеже Парето. Иначе:
Puq =( P.q П P, q = 1Q). (9)
Доказательство. Необходимость. В соответствии с теоремой 1 в опорный кортеж Парето входят только эффективные варианты. Следовательно, выбор
4
указанного кортежа является оправданным и необходимым условием решения задачи.
Достаточность. Выполнив операцию (9), в истинные кортежи Парето войдут лишь эффективные варианты, которые включены в опорный кортеж Парето, и никакие другие. Отличие, в общем случае, будет лишь заключаться в порядке следования эффективных вариантов, который зависит от конкретного решающего правила.
Методика построения истинных кортежей Парето
1. Решить задачу ГВР с использованием метода «жесткого ранжирования» и иных методов, в частности, минимаксного метода. В результате:
а) по методу «жесткого ранжирования» будет построен опорный кортеж Парето и определено подмножество неэффективных систем;
б) по иным методам будут построены псевдокортежи Парето.
2. С учетом информации об эффективных системах, которые имеются в кортеже Р, исключить из псевдокортежа Парето Рп1 неэффективные системы. В итоге получим истинные кортежи, в которых расположены только эффективные системы в порядке, определяемом минимаксным методом.
Заключение. Раскрыты особенности решения задач при использовании метода «жесткого» ранжирования и минимаксного метода. Решения, получаемые с использованием минимаксного метода, как и многих других методов, могут быть и не оптимальными по Парето. На наш взгляд, для класса задач, которые могут быть решены с помощью минимаксного метода, целесообразно применение метода «жесткого» ранжирования с целью сравнительной оценки, сопоставления результатов и отсеивания неэффективных решений. Сформулированный критерий построения эффективных вариантов и соответствующая методика позволяют получать корректные решения задач многокритериального, многовекторного и гипервекторного ранжирования.
Литература
1. Белкин А. Р., Левин М. Ш. Принятие решений: комбинаторные модели
аппроксимации информации. М.: Наука, 1990. 160 с.
2. Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств. М.: Сов. радио, 1975. 368 с.: ил.
3. Дубов Ю. А., Травкин С. И., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. 296 с.
4. Михалевич В. С., Волкович В. Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982. 286 с.
5. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. 2-е изд., испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 256 с.
6. Руа Б. Проблемы и методы решений в задачах с многими целевыми функциями // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976.
С. 20-58.
7. Сафронов В.В. Основы системного анализа: методы многовекторной оптимизации и многовекторного ранжирования: Монография. - Саратов: Научная книга, 2009. 329 с.
8. Сафронов В. В. Гипервекторное ранжирование сложных систем // Информационные технологии. 2003. № 5. С. 23-26.
5
