Метод недоопределенных вычислений в исследовании на чувствительность модели корпоративной производственной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6; 519.8

Г. И. Алгазин, Т. В. Михеева

Метод недоопределенных вычислений в исследовании на чувствительность модели

w w *

корпоративной производственной системы

G.I. Algazin, T.V. Mikheeva

Method of Sub-definite Calculations in Researching Sensitivity of Corporate Production System Model

В статье проведен анализ чувствительности математической модели системного компромисса корпоративной производственной системы с использованием метода недоопределенных вычислений.

Ключевые слова: анализ чувствительности, методы недоопределенных вычислений, математическая модель, корпоративное управление, партнерские отношения, производственная система.

Управление организационной системой c применением экономико-математических методов и моделей имеет целью постоянное повышение эффективности ее деятельности, которое характеризуется рядом показателей.

Исследование механизмов влияния различных параметров и структурных изменений на показатели конкретной математической модели организационной системы может быть проведено с применением методов и инструментов теории чувствительности.

Существует несколько классов методов и инструментов проведения анализа чувствительности модели. Можно выделить основные из них [1-3]:

- методы теории автоматического управления;

- методы теории исследования операций;

- методы имитационного моделирования;

- метод недоопределенных вычислений.

Остановимся на методе недоопределенных вычислений более подробно. Метод недоопределен-ных вычислений (метод недоопределенных моделей (Н-моделей)) - новая теория и технология эффективного решения широкого спектра проблем (от прикладных расчетов до обработки знаний и задач искусственного интеллекта) [4]. Данный метод был разработан в Российском институте искусственного интеллекта в начале 1980-х гг. А.С. Нариньяни для предоставления и обработки не полностью определенных знаний.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-01-98005 р_сибирь_а).

The article analyzes the sensitivity of the system compromise mathematical model of the corporate production system using a method of subdefiniteness.

Key words: sensitivity analysis, method of subdefiniteness, mathematical model, corporate management, partner relations, production system.

Рассматриваемый как оригинальный подход в области искусственного интеллекта, он постепенно трансформировался в прикладную технологию, относящуюся к направлению «программирование в ограничениях» [5], которое активно развивается в последнее время в мире как одно из наиболее перспективных в информационных технологиях.

К настоящему времени на базе аппарата Н-мо-делей создана многоуровневая технология программирования, позволяющая решать новые классы задач в таких областях, как экономика и финансы, инженерные расчеты, календарное планирование, вычислительная математика, САПР, ГИС и др.

Рассмотрим основные понятия данного метода.

Реальный параметр задачи всегда имеет начальные оценки границ его значений в самой формулировке задачи, а в процессе решения оно дополнительно уточняется. Таким образом, значение реального параметра всегда частично известно, поскольку находится где-то между не определено и определено, что в общем случае означает, что оно недооп-ределено [4]. Недоопределенное значение является оценкой величины, которая в общем случае является по своей природе более точной, чем позволяет установить доступная нам в данный момент информация. Это понятие в Н-математике считается базовым и активно работает: переменная (Н-перемен-ная) может принимать любое из недоопределенных значений (Н-значений), каждое из которых представляет собой ту или иную подобласть области значений данного параметра.

Любой формальной системе можно сопоставить ее недоопределенное расширение (Н-расширение), которое включает как соответствующий тип Н-пе-ременной, так и соответствующее расширение опе-

раций (Н-операции) и отношений (Н-отношения) исходной формальной системы [6].

Каждой /^-местной операции / над обычными

значениями а1,ак, принадлежащими соответственно областям Л1,...,Л :

/ : Л1,...,Лк ^ Лк+1, сопоставимо ее Н-расширение над соответствующими Н-значениями (Н-операция и Н-переменные отмечаются звездочкой):

7: *Л1,..., *Лк ^ *Лк+1, результат которой для любого набора Н-значений *а15..., *ак определяется как множество значений операции / для всех возможных наборов значений а1,...,ак, принадлежащих декартову произведению

х... х *а , т.е.

1к

7(4,..., Ч) = {/(а1,...,ак) | аг Є “а.,г = 1,к}.

Всякое отношение г(,..., ак) определяет некоторое подмножество Декартова произведения областей значений х... х *Лк. Оно может

интерпретироваться набором функций а% =

= / (,..., аг-1, аг+1,..., ак), отображающих подмножество г(,..., ак) на области значений каждой из

переменных а1,..., ак. В этом и заключается основная идея недоопределенных вычислений.

Рассмотрим основную идею метода недоопреде-ленных вычислений на примере решения системы из т алгебраических уравнений от п переменных:

р (х) = 0,

где ^ = (/ (х-( (х),...,т (а) - ^а^...хп) - вектор вещественных переменных, причем некоторые параметры, входящие в функции (х), могут быть

заданы в виде интервалов. Обозначим множество всех решений системы через Р = {х є Я | ^ (х) = 0}, где Р принадлежит параллелепипеду Б :

Б = |х є Яп | Іі < хі < гі; Іі, гі є Я, і = 1, п|.

Метод недоопределенных вычислений позволяет решить задачу внешнего интервального оценивания, т.е. найти параллелепипед Б' такой, что Р с Б 'с Б .

Рассмотрим і -е уравнение системы. Так как в общем случае оно содержит не все переменные системы, то его можно записать в виде

(х і — \) = 0,

где п < п .

Выразив из этого уравнения каждую переменную через другие, получим пі уравнений (называемых функциями интерпретации):

х1 = А{Г) (х 2,..., xin,),

х = /() (X ,х ,•••,х ,х ,•••,х I,

1у и ] \ 1 1 12 0-1 г}+\ \ }

Хщ = (Хг1-, \-1 ) •

Записав в таком виде все уравнения системы, получим систему п1 + п2 + ••• + пт равенств вышеуказанного вида, определяющих в общем случае для 1-й переменной системы щ ( < щ < т) функций

от разных наборов переменных^

Введем следующие определения и обозначения [6] Пусть областью значений переменных х^^, хп является некоторое множество А• Обозначим через * А множество всех подмножеств А и рассмотрим переменные * х, определенные на области * А, Будем называть значения из * А недоопределенными

*

значениями, а переменные х - недоопределенны-ми переменными Определим операции над недооп-ределенными значениями и функции от недоопре-деленных переменных следующим образом^

Если ® - бинарная операция над элементами из

А, то ее недоопределенное расширение ® есть

* а ®*Ь := | а ® Ь | а е *а, Ь е *Ь; *а, *Ь е *а} •

Соответственно недоопределенное расширение */ функции / от п переменных над А есть

у (* Х^^ * хп ):= {/(Xl,•••, хп ) | хг е A}•

Будем считать, что все значения переменных системы недоопределены и недоопределенные значения представим в виде обычных интервалов числовой оси Тогда, используя введенные операции и функции для недоопределенных значений, построим следующий итерационный процесс уточнения недоопределенных значений переменных, исходя из представлений функций интерпретации

Таким образом, значения переменных в процессе итерационных вычислений представляются последовательностью нерасширяющихся интервалов^

В результате применения итерационного процесса получим либо многомерный параллелепипед *Б, являющийся декартовым произведением

*хк, у = 1, п, который при *Б ф 0 гарантированно содержит все корни исходной системы либо несовместную систему, если *Б ф 0^

Радикальное изменение, внесенное технологией Н-моделей в вычислительную математику, состоит в том, что она делает любую модель активной Модель становится компьютерной моделью, которая может быть использована для решения различных задач, относящихся к описанному ею объекту • При этом постановка той или иной задачи конкретизируется путем добавления в модель ограничений на допустимые значения части или всех параметров и/или формулирования дополнительных связей между ними

Основное преимущество Н-моделей состоит в том, что они способны решить задачи, которые не могут быть решены никаким другим способом, кроме полного перебора, в тех случаях, когда перебор возможен

Кроме того, в работе [7] показано, что использование метода недоопределенных вычислений для анализа чувствительности модели позволяет гарантированно указать пределы изменения решения при изменении параметров модели, а также получить гарантированные нижнюю и верхнюю оценки функции чувствительности для конечных значений интервала изменений параметра^

Проведем анализ чувствительности модели корпоративной производственной системы, детально рассмотренной авторами в работах [8, 9], с применением метода недоопределенных вычислений Напомним основные положения модели: рассматривается деятельность промышленной корпорации (в системе имеется п предприятий), выпускающих некоторую продукцию в течение одного планового периода Т, состоящего из нескольких периодов оперативного вмешательства ' (' = 1,1)• Задачи корпоративного центра: определение коэффициента отчислений от прибыли предприятий х0 на весь период планирования Т , планового задания X по объемам выпуска продукции на плановый период Т • В качестве целевых функций центра и подсистем принимается их суммарная прибыль за весь плановый период Т •

Предполагается, что на начало каждого периода ' в распоряжении центра имеется Т единиц ресурса, который он распределяет между предприятиями

корпорации г' = Х г/ . Задача заключается в

таком

параметра Ят , Ят = Xг' . Обозначим Ахт -

изме-

хТ =Хх' Іх'=Х х' I.

'=1 V '=1 )

Имеем:

дяТ =]Г Дг' = £ X Дг/,

'=1 І

'=1 і=1 1 п Дг'

дст =^Дх' =££

(1)

(2)

(3)

Из последних двух равенств получается

-1-уУАт' = —АКТ < АхТ < —УУАт‘ =—АЙТ атах 7=11=1 атах а™” ■'=11=1 а™”

а™” = тт. {а,}, а“ = тах. {а, }•

Учитывая (1-4), имеем следующее:

Дхт = •

тах

1

ДхТ =■

тт

•ДЯ1

-ДЯ1

(4)

(5)

(6)

Дх1

:[Дх;

распределении ресурсов, чтобы суммарный выпуск корпорацией был максимален Ценность ресурса для -го производственного подразделения определяется его производственной функцией, те^ объе-

'

Т-

мом произведенной продукции х' = —, где а. -

а

параметр производственной функции

Исследуем чувствительность показателя хТ (общий выпуск корпорации за период Т ) к изменению

х] • (7)

В рассматриваемой модели корпорации механизм распределения ресурсов между предприятиями при переходе по оперативным периодам ' не меняется на всем периоде планирования Т • Это определяет в конечном счете то, что на изменение АхТ влияет только распределение ресурса АЯТ между предприятиями за весь период Т •

В связи с этим основная процедура решения здесь состоит в том, как далее организовать процесс последовательного монотонного уточнения границ интервала изменения параметра АхТ модели с применением метода недоопределенных вычислений Рассмотрим применение метода недоопределен-ных вычислений в том случае, когда используется пропорциональный механизм распределения ресурсов (детально изучен в теории активных систем [10] и работах авторов [8, 9]) для оценки интегрального АхТ

показателя —— •

АЯТ

Учитывая то, что интервал возможных значений результата равен сумме интервалов возможных значений аргументов [4], рассмотрим изменение параметра хТ по каждому предприятию отдельно^ Тогда согласно (4-7) запишем следующее:

АтТ

нение объема производства хТ , если объем ресурса системы изменится на АЯТ •

Общий объем производства за период планирования Т составит:

Дх; =-

ДгТ =

а

*

■ДЯ1

(8)

і = 1, п.

где * - заявки і-го предприятия на ресурс.

По аналогии с (5-7) мы можем записать начальную оценку значений переменных Дхт :0 < Дхт <

< ДЯ / , і = 1, п.

/а > >

Значения Дгт ограничены следующими неравенствами:

0 < ДгТ <ДЯТ,ДЯТ = ]Г ДгТ,і = .

і=1

і=1

'=1

і=1

В качестве значений параметров аі возьмем

данные модельного примера, рассмотренного в работах [8, 9] для корпорации, состоящей из трех предприятий: а1 = 4, а2 = 3.8, а3 = 4.2, для АЯТ

выберем значение АЯТ = 3000 . Тогда соотношения (8) примут следующий вид:

( АЯТ - Аг2т ) • £2 - —2Т • £3 Аг2Т

(АЯТ - —2Т ) • £2 - —2Т • £

АхТ АгТ = 4 ,

АхТ Ат2т = 3,8 ,

АхТТ АгТ = 4,2 ,

А £і £1 + £2 + £3 • АЯТ

Ат2т £2 £1 + £2 + £3 • АЯТ

Ат3т £3 • АЯТ

УІ6 : £3 *

—2

АГзТ ^2 + 5і)

АЯТ -АгТ

(9)

(АЯТ - Аг3Т ) • £3 - Аг3Т • £Т Аг3Т

(АЯТ - Аг3Т ) • £3 - Аг3Т • s2 АгТ

Согласно правилам интервальной арифметики, семантика функций интерпретации представляется следующим образом:

Согласно методу недоопределенных вычислений запишем множество функций интерпретации (9), выразив переменные через другие:

ДгТ

А: ДТ ^,

/2: ДгТ ^ 4 -ДгТ ,

ДгТ

г2Т

/3 : Ах2 , ,

2 3,8

/4 : АгТ , 3,8- АхТ , АгТ

/5: АхТ Ч

3 4,2

/6: Ат,2 , 4,2. АхТ .

/7 : АгТ <

Л: Ат2 <■

/9: АгТ ,

+ + *г£ • ая2

, £2 • АЯТ

£1 + £2 + £3

, £3 • АЯТ

£1 + £2 + £3

, АТ1Т (£2 + £3)

1 АЯТ-АгТ ’

(—ЯТ - АгТ ) • £ - АгТ • £3 АгТ

(—Л2 - АгТ )' £ - Аг1Т • s2

АгТ

/ : £ , —Т (£1 + ^

У13 : Л2 А ПТ А Т

АЯ -Ат

' . \АгТ Ат12 1 Г—Г” —т12 шіп і^=,—— і ,тах і ,—-[ 4 4 | [ 4 4

/1: [—т, —хТ ]

/2 : [АгТ,—тт] ,[mm|4•АxT,4^ АхТ}^ах^—х2,4^—хТ^

/3: [—4, АХТ ]

1Іп|

. I—Т Ат1т I I—Т Ат1т шіп і^=,—— і ,шах і ,—— I 3,8 3,8 I I 3,8 3,8

/4:

—22 , —22

шт^^—2,3,8^—2

шіп і =

[ 4,2 4,2 ]' 14,2 4,2

/5 : [—х!, —хТ ]

/6 : [—г3Т, АгТ ] , [шіп 14,2 • АхТ ,4,2 • АхТ ] ,шах |4,2 • АхТ ,4,2 • АхТ ]

/7: [—2 , —ТГ]<

шіп і—=—аят ,_ І _ •АЯТ і I £ + £2 + £3 £ + ^ + £ I

=-АЯТ,_ ££- - •АЯ2

£ + £2 + £ £ + £2 + £

/8 : [—2 , —Г2Т ]<

£2

'2 , „т £-

’1 1 ^2 1 °3 £.

шіп і-----=-------АЯ2,_ _ _■

£ + £2 + £3 £ + £2 + £3

ая2

/9: [—2, —Г3Т ]■

-----=1-----АЯТ,_ £-2 _•ая2

£ + £2 + £3 £т + £2 + £3

£3 £

------=---------АЯТ,- -3 _•АЯ2

£т + £2 + £3 £т + £2 + £3

£3

£т + £2 + £3 £ + £2 + £3

шах

/10 : [ ^ £1 ]•

,п I ДгТ (£2 + ■%) ДгТ (£ + s■3) ДКТ-ДгТ , дкТ -ДТ

ДгТ (^2 + £Т) ДгТ (У2 + £~)

ДЯТ-ДТ , дяТ-ДГТ

Д( - ДгТ £ £ - ДгТ • £

ДгТ

ДКТ - ДгТ | • £ - ДгТ • £

ДгТ

ДЯТ -ДгТ )• £ - ДгТ

ДгТ

ДЯТ - ДгТ | • £ - ДгТ • £

ДгТ

ДК

- ДгТ £ • £ - ДгТ • £2

Д/1

ДКТ - ДгТ | • £ - ДгТ

ДгТ

ДК‘

- ДгТ £ £ - ДгТ • £2

ДгТ

ДКТ - ДгТ £ £ - ДгТ • £

ДгТ

/13 : [£2, £2 ] ’

,п | Дг2Т (£1 + £3) Дг2Т (£ + £3)

ДКТ -ДгТ , ДКТ-ДТ

Дг2Т (£1 + £3) ДгТ (£1 + £3)

ДКТ-ДгТ , ДКТ-ДТ

Д( - Дг2Т £ £ - Дг2Т • £

/14 : [ ^ £1 ]■

-^15 : [£3, £3 ] ’

Дг2

ДгТ

ДК

-ДТ)'£-ДТ • £3

ДгТ

г£

ДгТ

ДКТ - ДгТ £• £2 - ДгТ • £1

ДгТ

эТ Л ..Г

ДгТ

ДК

- ДгТ £ £2 - ДгТ • £1

ДгТ

ОТ Л..Г

ДгТ

•/1б: [ £1-

/17 : [ £2,

, ГДгзТ(£1 + £2) Дг3Т(£,+ £2) шт ^------~ =г~,—3—1 —-

| ДКТ -ДТ Д КТ -Дг3Т

ГДг3Т( £ + £2) ДгзТ(£1+ £2) шах ^,—3—1 —-| ДКТ -ДТ ДЙТ -Дг3Т

(ДЙТ - Дг3Т £ • £3 - Дг3Т • £1

(/( - Дг3Т £ • £3 - Дг3Т • £1

ДгТ

^ДКТ -ДгТ£

ДгТ

/18 : [ £1, £1

( ДЙТ - ДгТ £ • £3 - ДгТ • £.

(Дйг - Дг3Т £ £3 - Дг3Т • £2

ДгТ

ДгТ

где верхняя черта над параметром означает левую границу интервала его возможного изменения, верхняя - правая граница интервала его возможного изменения.

Далее на первом шаге итерации исполняется функция / (порядок применения функций может быть произвольный). Результатом этого является присвоение функции ДхТ нового значения. Далее проверяется условие корректности для ДТ (дт < ДТ £, и если оно не нарушается, то процесс вычисления продолжается. Далее происходит активация функции /2, для которой дт является входным аргументом. Затем исполняется следующая функция / из очереди и т.д. Вычисления заканчиваются тогда, когда исполнение функций /1 ^ /18 не изменяет значения своего результата и множество активных функций становится пустым.

Динамика изменения значений параметров ДТ

и ДгТ в процессе вычислений представлена в следующей таблице.

шах

шах

8Т

Динамика изменения значений параметров модели корпорации в процессе недоопределенных вычислений

№ Н-значения (текущее\новое)

1. Ax1 =[0,750] \ [0,300]

2. Ar1 =[0,3000] \ [0,1200]

3. Ax2 _[0,7В9] \ [0,750]

4. Ar2 =[0,3000] \ [0,2В50]

5. Ax3 =[0,714] \ [0,274]

6. Ar3 =[0,3000] \ [0,1150]

7. Ax1 _[0,300] \ [271,300]

В. Ar =[0,1200] \ [10В5,1200]

9. Ax2 =[0,750] \ [0,202]

10. Ar2 _[0,2В50] \ [0,76В]

11. Ax3 =[0,274] \ [0,273]

12. Ar3 =[0,1150] \ [0,1146]

13. Ax1 =[271,300] \ [274,300]

14. Ar1 _ [10В5,1200] \ [1095,1200]

15. Ax2 _ [0,202] \ [171,202]

16. Ar2 _ [0,76В] \ [650,76В]

17. Ax3 =[0,273] \ [0,273]

1В. Ar3 =[0,1146] \ [0,1146]

19. Ax1 _[274,300] \ [274,296]

20. Ar1 =[1095,1200] \ [1095,11В5]

21. Ax2 =[171,202] \ [193,202]

22. Ar2 _ [650,76В] \ [731,76В]

23. Ax3 =[0,273] \ [25В, 273]

24. Ar3 =[0,1146] \ [10В3,1146]

25. Ax1 _ [274,296] \ [27В, 296]

26. Ar1 _ [1095,11В5] \ [1112,11В5]

27. Ax2 =[193,202] \ [193,202]

2В. Ar2 _ [731,76В] \ [731,76В]

29. Ax3 _[25В, 273] \ [25В, 271]

30. Ar3 _ [10В3,1146] \ [10В3,1139]

Учитывая то, что интервал возможных значений результата равен сумме интервалов возможных значений аргументов, получим для ДКТ = Т000 , изменение параметра хТ составит ДхТ = [71Т,769].

Основные выводы работы:

1. Изложена теоретическая основа исследования на чувствительность модели корпоративной производственной системы к изменению ее параметров с применением метода недоопределенных вычислений.

2. С применением метода недоопределенных вычислений получена более точная оценка для величины изменения выпуска продукции корпорации, обусловленного изменением величины используемого ресурса ДхТ = [7^,769], по сравнению с оценкой, рассчитанной аналитически ДхТ = [714,789].

Анализ коэффициента чувствительности Дхг

—— « 0,25 , отражающий влияние изменения па-

ДКТ

раметра величины используемого ресурса КТ на показатель выпуска продукции корпоративной системы хТ , показал, что параметр КТ имеет существенное влияние на исследуемый показатель. Поэтому к выбору значений и распределению параметра КТ необходимо относиться с особым вниманием.

Библиографический список

1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. - М., 1987.

2. Таха Х.А. Введение в исследование операций: пер. с англ. - 7-е изд. - М., 2005.

Т. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. - М., 1978.

4. Нариньяни А.С. Введение в недоопределен-ность. - М., 2007.

5. Нариньяни А.С., Телерман В.В., Ушаков Д.М., Швецов И.Е. Программирование в ограничениях и недоопределенные модели // Информационные технологии. - 1998. - №7.

6. Нариньяни А. С. Недоопределенные модели и операции с недоопределенными значениями: препринт / ВЦ СО АН СССР. - Новосибирск, 1982. - №400.

7. Кашеварова Т.П. Использование метода недо-определенных вычислений для анализа чувствительности математических моделей II Вычислительные технологии. - 1999. - Т. 4, №4.

В. Алгазин Г.И., Михеева Т.В. Применение игровых имитационных моделей системного компромисса для анализа функционирования корпоративных производственных систем II Вычислительные технологии: Вестник КАЗНУ им. Аль-Фараби. - Сер.: Математика, механика, информатика. - 2008. - Т. 13, №3(5В).

9. Алгазин Г.И., Михеева Т.В. Имитационное моделирование корпоративных систем с активными производственными элементами II Вестник алтайской науки. - Барнаул, 2008. - №2(2).

1G. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. - М., 1999.