CC BY
78
Л,
)ГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБРАТИМОСТИ ВРЕМЕНИ
Я.В. ШРАМКО
Сомневаться не надо -Время вспять не течет...
(«Машина времени»)
Статья представляет собой элементарное логическое доказательство необратимости времени.
Ключевые слова: время, процесс, направление времени, обратимость времени.
Предварительные замечания
об обратимости времени
В философской (и не только философской) литературе, посвященной проблеме времени, правилом хорошего тона считается указание на загадочность времени с непременной отсылкой к соответствующим местам из гл. 14 11-й книги «Исповеди» Августина1. Известный британский физик-теоретик,
1 См., например: Аксенов Г.П. Причина времени. М., 2001. С. 19; Молчанов В.И. Время и сознание. Критика феноменологической философии. М., 1998. С. 6; Дойч Д. Структура реальности. Ижевск, 2001. С. 262; Price H. Time's Arrow and Archimedes' Point. Oxford University Press, 1996. P. 3.
n a
>3
пионер в области квантовых вычислений и популяризатор науки Дэвид Дойч полагает, что «вся загадочность времени проистекает из его основного логического свойства, а именно, что настоящий момент, который мы называем "сейчас", не стационарен, а постоянно движется в направлении будущего»2. Проблема состоит в том, что само это «движение», называемое обычно потоком времени, вовсе не так уж несомненно, как это может показаться на первый взгляд. Дойч замечает, что с точки зрения классической физики понятие потока времени, вообще говоря, является излишним: «Ни одна из физических теорий Ньютона не обращается к потоку времени, как не обращается к нему и не совместима с ним ни одна из последующих физических теорий»3. Как хорошо известно, физический фактор времени - не только в преобразованиях Галилея, но и в преобразованиях Лоренца - лишен любых характеристик, кроме чисто количественных, в том числе такой характеристики, как направленность.
Между тем во многих философских концепциях именно направленность признается наиболее фундаментальным специфическим свойством времени, определяющим его качественную природу4. Знаменитое определение времени как порядка последовательностей, данное Лейб-ницем5, характеризует время исключительно с качественной стороны, на что обратил внимание С. Кларк в своем известном возражении6. В свою очередь Г. Рейхенбах отмечает, что временной порядок принадлежит к направленным отношениям и эта направленность как раз и может быть выражена через различие между прошлым и будущим7.
С представлением о направленности времени тесно связан вопрос о его необратимости. Даже если стандартным образом время протекает в каком-то одном (фиксированном) направлении, что мешает этому направлению однажды измениться на противоположное? С точки зрения классической физики для этого не существует каких-либо фундаментальных препятствий. По замечанию Л.И. Маневича, «уравнения движения Ньютона... остаются инвариантными (неизменными) при формальном изменении хода времени на противоположный. Из отсутствия указания на стрелу времени в уравнениях движения следует обратимость их решений, то есть возможность получить начальное состояние из конечного»8. То же справедливо и для
2 Дойч Д. Указ. соч.
3 Там же. С. 270. К 4
Ц 4 См., например: Рейхенбах Г. Направление времени. М., 2003. С. 34 и далее.
щ 5 См.: Лейбниц Г.В. Переписка с Кларком // Г.В. Лейбниц. Соч. В 4 т. Т. 1. М., 1982.
(В С. 441.
6 См.: Там же. С. 447.
8 Маневич Л.И. Обратимость и стрела времени: между порядком и хаосом. Ч. 1. Фе-
® 7 См.: Рейхенбах Г. Указ. соч. С. 43-44
8 Маневич Л.И. Обратимость и стрела в номенология необратимости//Соросовский образовательный журнал. 1997. № 11. С. 64
классической электродинамики: «Уравнения Максвелла, подобно уравнениям классической механики, не изменяются, если обратить направление времени»9. Что касается классической термодинамики, то ее второе начало утверждает необратимость процесса увеличения энтропии в изолированных системах при условии отсутствия в них каких-либо иных изменений. Даже если принять точку зрения, что мир в целом образует такого рода изолированную термодинамическую систему, обращение временного порядка неизбежно будет сопровождаться упомянутыми «иными изменениями», что как раз и открывает принципиальную возможность для действия второго закона термодинамики «в обратном направлении», т.е. в направлении уменьшения энтропии.
В диалоге «Политик» Платон попытался обосновать возможность «маятникового» развития мира в целом, при котором «вращательное движение Вселенной направлено то в одну сторону... то в противоположную». Ситуация, которая «сопутствует повороту Вселенной, когда ее движение обращается вспять», изображается здесь довольно образно: «Возраст живых существ, в каком каждое из них тогда находилось, сначала таким и остался, и все, что было тогда смертного, перестало стареть и выглядеть старше; наоборот, движение началось в противоположную сторону и все стали моложе и нежнее: седые власы старцев почернели, щеки бородатых мужей заново обрели гладкость, возвращая каждого из них к былой цветущей поре; гладкими стали также и тела возмужалых юнцов, с каждым днем и каждой ночью становясь меньше, пока они вновь не приняли природу новорожденных младенцев и не уподобились им как душой, так и телом. Продолжая после этого чахнуть, они в конце концов уничтожились совершенно»10.
Как отмечает П. Зварт, именно такого рода картину следует иметь в виду при постановке вопроса об обратимости времени: «Время течет вспять в том смысле, что все случившееся повторяется снова, но в обратном направлении. Все процессы обращают свое течение, все системы проходят те же серии состояний, что и прежде, но только в обратной последовательности. Таким образом, все следы того, что случилось, когда время шло вперед, уничтожаются при обратном его протекании, как если бы их вообще никогда не было. Это выглядело бы подобно тому, как если прокрутить кинопленку в обратном направлении: горящие пепелища становились бы домами, осколки стекла собирались бы на полу в одном месте, подпрыгивали и образовывали вазу, и т.п. Как следствие, обращение времени при таком понимании может быть только всеобщим и универсальным; оно не может ограничиться какой-то
9 Уитроу Дж. Естественная философия времени. М., 2003. С. 18.
10 Платон. Политик. 269с-271а.
п
а «
е
частью Вселенной, ибо тогда было бы невозможно, чтобы стерлись все следы того, что случилось. Такое понимание обращения времени является, насколько я могу судить, единственно логически состоятельным»11 .
При таком понимании речь идет не об обратимости времени самого по себе, а об обратимости развивающихся во времени процессов. Рассматривая специфику физических процессов в этом отношении, Зварт упоминает так называемые эксперименты по обратимости времени (experiments in time reversal), осуществлявшиеся при изучении гиперионов в 1960-е гг.12 с целью установить временную инвариантность физических законов: «Если бы было доказано, что временная инвариантность нарушается хотя бы лишь в каком-то одном случае... то это означало бы невозможность обращения времени»13. Характеризуя эти эксперименты, Зварт подчеркивает, что на самом деле они являются не экспериментами о необратимости времени, но «экспериментами об обратимости элементарных процессов. Исходя из их результатов, можно сделать вывод о возможности обратимости времени в принципе. Поскольку до сих пор не было найдено ни одного примера необратимого элементарного процесса, мы должны заключить, что на теперешний момент наши знания о природе a priori не исключают возможность обращения времени»14.
В данном случае имеются в виду попытки найти пример реального физического процесса, принципиальная необратимость которого могла бы быть точно установлена. Поиски такого процесса относятся к сфере компетенции физиков-экспериментаторов. Однако в более широком, общенаучном и даже общефилософском плане можно поставить вопрос о возможности построения модели такого рода необратимого процесса без конкретной привязки к каким-то специфическим физическим условиям. Речь идет о логическом моделировании процессов по типу того, с которым мы имеем дело, к примеру, в апориях Зенона. Если бы нам удалось сформулировать такого рода абстрактную математическую модель необратимого процесса, то проблема обратимости времени получила бы именно общефилософское решение априорного характера.
Цель настоящей статьи - обосновать такое априорное общефилософское решение указанной проблемы. Но прежде чем приступить непосредственно к ее анализу, проясним некоторые базисные понятия.
П -л-
(В 11 ZwartPJ. The Flow of Time // Synthese. 1972. № 24. P. 155.
>1 12 См., например: Overseth O.E. Experiments in Time Reversal // Scientific American.
О 1969. Vol. 221. P. 89-101. "T 13 Zwart P.J. Op. cit. P. 157. J 14 Ibid.
Объекты, процессы и моменты
Согласно Людвигу Витгенштейну, мир определяется фактами, которые представляют собой осуществленные положения дел. В свою очередь положения дел выражают не что иное, как взаимосвязь объектов (вещей, предметов)15. Иными словами, соотношения объектов образуют положения дел и, в частности, факты, в которых фиксируется, что те или иные объекты обладают некоторыми свойствами, находятся между собой в различных отношениях, или задействованы в определенных процессах.
Для целей нашего анализа особенно важно последнее обстоятельство. Несколько видоизменяя еще одно утверждение Витгенштейна16, можно сказать, что для объекта существенно не только то, что он может быть составной частью какого-то положения дел, но и то, что он может быть носителем некоторого процесса. По сути всякий процесс представляет собой последовательность состояний какого-то объекта или нескольких объектов, выступающих носителями данного процесса. Для краткости будем вести речь о состояниях самого процесса.
Процессы протекают во времени, время же состоит из моментов. Понятие временного момента есть исходное неопределяемое понятие, аналогичное понятию точки в геометрии. Любой промежуток времени (временной интервал) представляет собой некоторую последовательность моментов, линейно упорядоченных посредством отношения «раньше». Предполагается, что любые два момента такой последовательности всегда можно различить и при необходимости любой момент всегда можно зафиксировать (вычислить) с любой требуемой степенью точности.
Будем считать, что, во-первых, процесс однозначно определяется совокупностью своих последовательных состояний и, во-вторых, состояния любого процесса можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с моментами из некоторого интервала временной последовательности. Поэтому о состояниях процесса можно эквивалентным образом говорить как о моментах его протекания. Процесс может иметь исходный момент - начало процесса и конечный момент, которым данный процесс завершается. Если процесс не имеет начала и/или конца, он называется бесконечным.
Воспроизведение процесса в обратном направлении представляет собой совокупность его моментов, линейно упорядоченных посредством отношения, обратного отношению, посредством которого был упорядочен исходный процесс, причем для любых двух момен-
П
а
«
е
15 См.: Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. 1.11; 2; 2.01.
16 См.: Там же. 2.011.
tob a и b, принадлежащих как исходному процессу, так и его воспроизведению в обратном направлении, выполняется: aRb - bR-a, где R и R- суть взаимообратные отношения. В частности, взаимообратными являются отношения «раньше» и «позже».
Момент процесса, с которого начинается его воспроизведение в обратном направлении, выступает в роли начального момента такого воспроизведения. Обратное воспроизведение процесса заканчивается по достижении начального момента исходного процесса. Процесс обратим, если и только если начиная с любого заданного момента этого процесса его можно полностью воспроизвести в обратном направлении.
Время (в целом) обратимо, если и только если все процессы, какие только были, есть или могут быть, являются обратимыми. Соответственно время как таковое необратимо, если и только если существует хотя бы один необратимый процесс. Таким образом, для доказательства необратимости времени достаточно показать, что можно смоделировать некоторый процесс, который в принципе не может быть воспроизведен в обратном направлении.
Процесс Irr и его необратимость
Теперь в нашем распоряжении имеется все необходимое, чтобы построить конкретный процесс, принципиальная необратимость которого может быть строго доказана. Для моделирования этого процесса мы воспользуемся задачей-головоломкой, известной в литературе под названием «Собака Остина». Мартин Гарднер в одной из своих книг по занимательной математике излагает эту задачу следующим образом: «Мальчик, девочка и собака одновременно начинают двигаться по прямой дороге из одной точки. Мальчик и девочка идут в одном направлении; мальчик со скоростью 4 мили в час, девочка -3 мили в час. Собака бегает от мальчика к девочке и обратно без остановки со скоростью 10 миль в час. Примем, что изменение направления ее движения на противоположное происходит мгновенно. Где она будет час спустя и в какую сторону будет двигаться?»17
17 Гарднер М. Крестики-нолики. М., 1988. С. 117-118. Данная задача была впервые опубликована А.К. Остином в январском номере журнала «Mathematics Magazine» за В 1971 г. Проблема состоит в том, что, согласно предлагаемой схеме решения, через час
щ собака может оказаться в любой точке между мальчиком и девочкой, а ее морда может
(В быть направлена в любую сторону. Вот как это обосновывает Гарднер: «По истечении
^ часа поместите собаку в произвольную точку между мальчиком и девочкой, мордой в
Q любую сторону. Обратите во времени движения мальчика, девочки и собаки — и все
трое окажутся в исходной точке в один и тот же начальный момент» (Указ. соч. С. 123). Заметим, что данное рассуждение существенным образом опирается на предпосылку о том, что время обратимо.
Эта же головоломка иногда характеризуется как «парадокс», получивший в литературе наименование «Троянская муха»: «Ахиллес движется со скоростью 8 миль в час, а черепаха, находящаяся на некотором расстоянии впереди, - со скоростью 1 миля в час. В тот момент, когда Ахиллес догоняет черепаху, он также догоняет муху, которая все это время летала между ними со скоростью 20 миль в час и продолжает делать это дальше. Через час Ахиллес находится на 7 миль впереди черепахи. Где находится муха?»18
Совокупность проблем, связанных с данной головоломкой и придающих ей характер парадокса, подробно обсуждается в гл. 13 упомянутой книги Гарднера со ссылкой, в том числе, на Уэсли Сэлмона19.
Не будем разбирать здесь эти проблемы, поскольку нас интересует не сама задача по существу, а лишь схема описанного в ней процесса, которой мы и собираемся воспользоваться. В.И. Шалак в одной из дискуссий в рамках проблемной группы «Логика и философия языка» (семинар ИФ РАН)20, предложил некоторую упрощенную модификацию этой схемы, которая позволяет избежать элемента неопределенности, возникающего в тот момент, когда Ахиллес, черепаха и муха оказываются в одной точке. При этом Шалак охарактеризовал указанную головоломку как «апорию» (затруднение), имея в виду ее явное сходство с апориями Зенона. В апории Шалака вместо подвижной черепахи фигурирует неподвижная непроницаемая стена. Мы используем схему, предложенную Шалаком, для точного описания некоторого необратимого во времени процесса, который мы обозначим как Irr.
Процесс Irr. Объекты а и b (для наглядности назовем объект a человеком, а объект b - мухой) находятся в исходной точке А. На некотором расстоянии от этой точки расположена стена с, которая непроницаема как для человека, так и для мухи. Таким образом, стена является ограничителем движения мухи и человека в том смысле, что если в процессе своего движения они достигают стены, то направление их движения меняется на противоположное. Человек также непроницаем для мухи (и соответственно является ограничителем ее движения), за исключением того момента, когда он меняет свое движение на противоположное. Обозначим ближайшую к точке А точку на стене как В, т.е. отрезок [A, B] перпендикулярен плоскости стены с.
Весь процесс начинается с того, что человек и муха одновременно начинают движение из точки А в точку В, причем скорость мухи в 2 раза выше, чем скорость человека. Задача человека - достичь точки В и, поменяв направление движения на противоположное, попасть
18 Clark M. Paradoxes from A to Z. L. ; N.Y. : Routledge, 2002. P. 200. »!
19 Cm.: Salmon W. Space, Time, and Motion: a Philosophical Introduction. Minneapolis : University of Minnesota Press, 1980.
20 Cm.: http://www.facebook.com/groups/169180536448009/
n a
s e
>1 е
обратно в точку А, после чего процесс завершается21. В данном случае речь идет не о реальном «физическом» процессе, а о некоторой математической модели. Объекты а и b считаются здесь даже не материальными, а математическими точками, мы можем пренебречь не только их размером и формой, но и массой, кроме того, положение в пространстве этих точек может совпадать22. Мы отвлекаемся как от несущественных от всех физических характеристик процесса Irr, например от того, что для изменения направления движения на противоположное физической мухе понадобилось бы дополнительное ускорение, и полагаем, что в течение всего процесса вплоть до его завершения скорость обоих объектов остается неизменной, а также что изменение направления движения на противоположное как мухи, так и человека происходит мгновенно.
Нетрудно видеть, что, по условиям процесса Irr, пока человек будет двигаться от точки А к точке В, муха будет совершать «челночные» (колебательные) движения от человека к стене и обратно, причем амплитуда этих движений с каждым разом будет все меньше. Ясно также, что в момент достижения человеком точки В муха тоже будет находиться в этой точке, т. е. человек и муха прибудут в точку В одновременно. Что же произойдет после того как человек и муха достигнут стены? Ответ на этот вопрос дает следующая лемма.
Лемма. В любой момент, следующий за моментом достижения человеком и мухой стены (в точке В), муха будет находиться за пределами отрезка пути между стеной и человеком и будет двигаться прямолинейно в одном направлении, удаляясь от стены, вплоть до окончания процесса.
Доказательство. Достигнув стены в точке В, человек и муха одновременно (и мгновенно) меняют направление движения на противоположное. Согласно условиям процесса, в этот (и только этот) момент человек не является ограничителем движения для мухи. Иными словами, в этот момент человек и муха, изменив направление движения на противоположное, одновременно стартуют как равноправные объекты из точки В по направлению к точке А. Поскольку скорость мухи вдвое выше скорости человека, то в любой момент, следующий за моментом достижения ими точки В, муха будет находиться на расстоянии от стены, вдвое большем, чем человек, и, не имея перед собой никакого ограничителя движения, будет двигаться прямолиней-
Ц 21 Важное отличие процесса Irr от апории Шалака заключается в том, что первый не
¡Я предполагает условия, что муха всегда должна находиться в интервале между челове-
ц ком и стеной (у Шалака человек всегда остается непроницаемым для мухи). Является
ли это условие выполнимым, представляет собой отдельный вопрос, образующий, по нашему мнению, суть апории Шалака.
22 Как это принято в обычных математических задачах на движение: «Из пункта А в пункт В одновременно выехали автомобилист и велосипедист...»; «Два спортсмена одновременно начинают движение из одной точки.» и т.п.
но в одном направлении, удаляясь от стены, вплоть до окончания процесса. Лемма доказана.
В.И. Шалак обратил внимание на то, что доказательство данной леммы, если оно верно, может быть истолковано как аргумент в пользу необратимости времени. Это обстоятельство проясняется в приведенной ниже теореме.
Теорема. Процесс Irr невозможно воспроизвести в обратном направлении, а именно: после достижения человеком и мухой (в ходе такого обратного воспроизведения) точки В любое следующее состояние процесса будет отличаться от любого состояния исходного процесса Irr.
Доказательство. Обратное воспроизведение процесса Irr начинается с момента достижения человеком точки А, который выступает в качестве начального момента такого обратного воспроизведения. Муха в этот момент находится на расстоянии 2А от стены. Обратный процесс протекает без помех до момента, пока человек не достигнет стены в точке В. В тот же самый момент муха также прибывает в точку В и оба объекта мгновенно меняют направление движения на противоположное. Согласно условиям процесса, в этот самый момент человек проницаем для мухи и не является ограничителем ее движения. Значит, в любой следующий момент муха опять-таки будет находиться в 2 раза дальше от стены, чем человек, т. е. выйдет за пределы интервала между стеной и человеком, в котором она находилась в исходном процессе. Следовательно, челночное движение мухи между стеной и человеком будет невозможным, что означает невозможность в целом воспроизведения процесса Irr в обратном направлении. Теорема доказана.
Таким образом, В обозначает своеобразную «точку невозврата» для всего процесса Irr: по достижении этой точки обратное воспроизведение процесса становится невозможным.
Заключение
Необратимость времени можно понимать в разных смыслах. В наиболее сильном понимании необратимость означала бы невозможность обращения любого процесса в любой точке его развития. Такая тотальная необратимость, очевидно, не имеет места, поскольку несложно привести пример физического процесса в какой-то момент его развития, последующее состояние которого тождественно преды- }^ дущему. Более того, вполне могут существовать локальные физиче- О ские процессы, которые после своего завершения могут быть полностью воспроизведены в обратном направлении - так сказать, от
конца до начала. А значит, можно представить себе отдельные (ограниченные) области, где все процессы в силу сложившихся обстоятельств какое-то время развиваются в обратном направлении.
Подобного рода «частичная обратимость» пусть даже всех процессов еще не свидетельствовала бы в пользу обратимости времени как такового, поскольку обратимость времени в общем смысле утверждает осуществимость такого повсеместного обратного развития для любых областей и временных интервалов произвольной длительности. Поэтому существование хотя бы одного необратимого процесса является достаточной гарантией обязательного существования промежутков, где время не может быть повернуто вспять.
Именно невозможность такой всеобщей обратимости времени в целом и устанавливается в настоящей статье. Мы рассмотрели конкретный пример процесса, который не может быть полностью воспроизведен в обратном направлении по самим условиям своего построения. Центральным условием такой необратимости выступает то, что один из участвующих в нем объектов в определенный (выделенный) момент теряет некоторое существенное свойство, которым этот объект обладает во все остальные моменты процесса, в каком бы направлении он ни развивался. В данном случае речь идет о свойстве объекта служить ограничителем движения другого объекта, участвующего в процессе. Указанное условие формулируется полностью симметричным образом, поэтому оно в неизменном виде должно сохранять свою силу как в исходном процессе Irr, так и при попытке его обращения.
В той же степени, в какой сам процесс Irr представляет собой некоторую абстрактную (математическую) модель, доказательство теоремы о его необратимости носит чисто логический (если угодно, математический) характер. В этом доказательстве не задействованы никакие физические свойства или отношения, которые могли бы быть присущи реальным физическим объектам. Это означает, что полученный результат не зависит от тех или иных фактических особенностей устройства физической Вселенной и выполняется для всех «возможных миров», а не только для лучшего из них, в котором, если верить Лейбницу, все мы имеем счастье жить.
