CC BY
9
УДК 574.76
Н. В. Малаховский
(Московский финансово-юридический университет, Калининградский филиал)
Квазитензоры, порожденные л-параметрическим семейством оснащенных коллинеаций л-мерных проективных пространств
На «-параметрическом семействе П п оснащенных коллинеаций п п-мерных проективных пространств определены четыре квазитензора и исследованы определяемые ими геометрические образы в пространствах Рп и рп.
Ключевые слова: оснащенная коллинеация, квазитензор, тензор, инвариантная гиперплоскость, гиперплоскость, геометрический объект, оснащение Бортолотти.
1. Поля геометрических объектов на семействе Пя оснащенных коллинеаций
Определение 1.1. Семейством П п называется п-пара-метрическое семейство коллинеаций п: Рп ^ рп п-мерных проективных пространств с заданными в них областями ип с Рп и ип с рп, однозначно определяемые парой соответствующих точек М0 еип и т0 = п(М0) е ип [3, с. 50].
Совмещая вершину А0 репера {Ао,А1,...,Ап| пространства Рп с точкой М0, а вершину а0 репера {а0,а1,...,ап} с точкой т0, получим в неоднородных координатах уравнение колли-неации пеП :
г МХ
х = 1
1 - РгХ
-. (г,],к,...1,п; 1,3,К,... = 1,п) . (1.1)
Из (1.1) следует, что формы Пфаффа
а1, а', УЫ\, УР, +О0 -М>,0 = АР,, (1.2)
где символ V- символ ковариантного дифференцирования, являются структурными формами коллинеации же П п.
Система уравнений Пфаффа семейства Пп [3, с. 51—52] запишется в виде
а'=л;а!, уы\ = мги а, ар, = рио/. (1.3)
ум'и + м; + м, а -(м;Л + м^л; )ак = м'ик ак,
Ул; = л а, ури + Р, а + Р, а - ма = Рш ак. (1.4)
Здесь и в дальнейшем величины Л симметричны по всем нижним индексам, а величины м и Р — по любой паре нижних индексов, начиная со второго.
При исследовании семейств П п были построены поля следующих геометрических объектов [3—5]: 1) квазитензоры
Г = £ (Рк Лк 1, = (Рк +—мк 1, (1.5)
к л к 1> Ч "I I -1 к 1 к
п +1 ) I п +1
где
Л^ =лк л, м} = м?м'п, S,к = мк-лк,
а Лк, мк, S к — тензоры, взаимные соответственно к тензорам лк, мк, SK; 2) аффиноры
*
*
вк =лкм), ьк = лкмк, вк = мк Л, ьк = мк Лк, (1.6)
следы которых являются абсолютными инвариантами семейства П п;
3) тензоры
* * Ск =Лк +мк,, т, = Скмк, Л = Ск Лк . (1.7)
*
*
*
*
Использование этих геометрических объектов дало возможность получить ряд инвариантных геометрических образов (гиперплоскостей и гиперконусов) в пространствах Pn и pn.
2. Квазитензоры из, и}, У}, У3
Компьютерная программа автоматического поиска геометрических объектов [1; 2] позволила обнаружить ряд квазитензоров, выражающихся более сложными формулами, поиск которых без использования компьютеров требует вычислений, трудно осуществляемых в реальном времени.
Рассмотрим системы величин:
*
UJ = SKMJ (мк-(п +)-(п + 1)PJ; (2.1)
* *
UJ = SiJМк (мк -(п + 1)к) + MJ ; (2.2)
*
V = SK (Лк + (п +) + (П + 1)PJ ; (2.3)
* *
VJ = S^JMK (Лк - (п +) + ЛJ, (2.4)
где S'J — взаимный тензор к тензору Sк = Мк - Лк .
Дифференцируя системы (2.1) — (2.4), получим
dUJ = Uк О к - UJ + ( П +1) О + uж Ок, dUJ = икОK - и,О0 - ( п + 1)О0 + Uж Ок,
^ = ОK - V/О0 -(п + 1)О0 + VJKОк, (2.5)
dVJ = Ук О к - V О0 + (п + 1)О0 + Уж Ок.
Из выражения (2.5) следует, что системы величин Б = ^ + У, 4 = ^ + ^, FJ = У + ^, Р} = у + У (2.6) — ковариантные векторы. Следовательно, системы величин
dl =2 Бк, dl = Л* Ьк, /г = 2 Тк, = 2 Тк (2.7) также являются ковариантными векторами.
3. Геометрические образы, определяемые квазитензорами (2.1) — (2.4) и тензорами (2.6), (2.7)
Квазитензоры (2.1) — (2.4) определяют в пространстве Рп четыре инвариантные гиперплоскости, не проходящие через точку А0:
и}Х' +1 = 0, иХ +1 = О, УХ +1 = О, УХ +1 = 0. (3.1) Используя обратную коллинеацию
я1: Рп ^ Рп, (3.2)
определяемую формулами
*
Х' .-^-Х-, (3.3)
1 - Р'и,'Х
находим четыре инвариантные гиперплоскости в пространстве
рп, не проходящие через точку а0:
* *
[и' -Р')и'Х +1 = 0, [ -Р')м'х' +1 = 0, (3.4)
* *
[V' -Р')и'х' +1 = 0, [ -Р')м'х' +1 = 0. (3.5)
Ковариантные векторы (2.6), (2.7) определяют соответственно в пространствах Рп и рп четыре инвариантные плоскости, проходящие через точку А0 и четыре инвариантные плоскости, проходящие через точку а0:
О'Х' = 0, б'Х' = 0, Р'Х' = 0, Р'Х' = 0, (3.6)
ё Х = 0, с!1х' = 0, £х' = 0, ] Х = 0. (3.7)
Квазитензоры (2.1)—(2.4) индуцируют в Рп оснащения Бортолотти.
Используя тензор Cj, получаем дважды ковариантные симметрические тензоры
aij = c(idj ), aij = c(idj ), bij = c(ifj ), bij = c(ifj ); (3.8)
a. = c( d.), a.. = c( d.), b. = c(. f.), b. = c(. f.) (3.9)
*
где С =ÄfCK.
Список литературы
1. Малаховский Н.В. Компьютерное моделирование метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. Вып. 39. С. 96—101.
2. Малаховский В. С., Малаховский Н. В. Применение компьютерного моделирования к исследованию пфаффовых систем и дифференцируемых многообразий // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. М., 2010. Т. 124. С. 115—138.
3. Малаховский Н. В. О семействах коллинеаций многомерных проективных пространств // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1989. Вып. 20. С. 50—57.
4. Малаховский Н.В. Нормализация проективных пространств и характеристические числа, порожденные семейством коллинеаций // Там же. Вып. 21. С. 50—56.
5. Малаховский В. С. Поля геометрических объектов на n-пара-метрическом семействе оснащенных коллинеаций n-мерных проективных пространств // Там же. Вып. 39. С. 88—95.
N. Malakhovsky
Quasitensors generated by n-parametric family of the framed collineations on the n-dimensional projective spaces
Four quasitensors on the n-parametric family of the framed collineations of the n-dimensional projective spaces Pn and pn are found. On each of these spaces invariant hyperplanes and hyperquadrics generated by these quasitensors are investigated.
