Кривизна индуцированных фундаментально-групповых связностей семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.75

КРИВИЗНА ИНДУЦИРОВАННЫХ ФУНДАМЕНТАЛЬНО-ГРУППОВЫХ СВЯЗНОСТЕЙ СЕМЕЙСТВА ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В

ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© А.В. КУЛЕШОВ Балтийский Федеральный Университет имени И.Канта, кафедра геометрии и общей математики e-mail: [email protected]

Кулешов А. В. — Кривизна индуцированных фундаментально-групповых связностей семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 111—120. — Статья посвящена исследованию связностей на произвольном гладком семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве. Показано, что композиционное оснащение такого семейства индуцирует трехпараметрическую связку многопараметрических пучков фундаментально-групповых связностей, из которой выделена трехпараметрическая связка фундаментально-групповых связностей. Выведены выражения компонент тензоров кривизны построенных связностей и найдены условия их совпадения и обращения в нуль.

Ключевые слова: семейство центрированных плоскостей, фундаментально-групповая связность, композиционное оснащение, тензор кривизны

Kuleshov A. V. — Curvature of induced fundamental-group connections of a family of centered planes in projective space // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 111—120. — The article is about investigating connections on arbitrary smooth family of centered planes in projective space. It is shown that composite clothing such a family induces the three-parameter bunch of multiparameter bundles of fundamental-group connections. The three-parameter bunch of fundamental-group connections is allocated from it. Expressions of the components of curvature tensors of these connections are received. Conditions of coinciding and vanishing of them are found.

Keywords: family of centered planes, fundamental-group connection, composite clothing, curvature tensor

1. Уравнения семейства центрированных плоскостей

Отнесем n-мерное вещественное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, Ai}, ин-финитезимальные перемещения которого определяются деривационными формулами

dA = в A + ui Ai , dAi = 9Ai + uJ Aj + ui A, I, J,... = 1, n, (1)

где форма в играет роль множителя пропорциональности, а структурные формы ui, Uj, ui проективной группы GP (n) удовлетворяют уравнениям Картана [3]

Dui = uJ A Uj, Duj = uK A uK + uK A (—Sjuk — SKuj), Dui = uJ A uj. (2)

Центрированной т-мерной плоскостью Ьт (1 < т < п) проективного пространства Рп будем называть т-мерную плоскость Ьт с выделенной на ней точкой (называемой центром плоскости). Гладкое г-мерное многообразие, образующим элементом которого является центрированная плоскость, назовем семейством центрированных плоскостей и будем обозначать Вг, где 1 < г < т(п — т) + п [8, 9, 10, 12]. Такое семейство можно рассматривать как образ произвольного г-мерного многообразия Уг при гладком регулярном отображении в пространство В(т,п) всех центрированных т-плоскостей проективного пространства Рп. Многообразие Вг будем называть пространством параметров семейства Уг.

Произведем специализацию подвижного репера {А, Аа, Аа}, помещая вершину А в центр плоскости Ь*т, а вершины Аа - на плоскость Ь^. Система уравнений семейства Вг в параметрической форме имеет вид [8, 12]:

^а = лааві, ^ = л?е\ < = Лааіві, (3)

а,Ь,. .. = 1,т; а, в, .. . = т + 1,п; %,],... = 1, г,

где формы Пфаффа в1 являются структурными формами г-мерного гладкого многообразия Уг и удовлетворяют уравнениям Лвг = в3 Л в3. Продолжая систему уравнений (3) с учетом (2), получим

дл“+л? шы = лзз в3, ал? = лаз в3, ал % — л? ша = л ^ в3, (4)

ЛМ = 0, Л3 = -Л{Л а3], л а[*3] = 0, (5)

где Д - дифференциальный оператор, действующий следующим образом:

ДЛаг = ^Лаг — ЛЫШЫ, — Ла3в3 + ^агШв .

Из уравнений (4) следует, что совокупность функций Л = {Л{, Л“, Л аг} образует тензор, содержащий три подтензора Л“, {Л{, Л“}, |Л“, Л а}. Тензор Л называется фундаментальным тензором многообразия Вг, заданного параметрическими уравнениями (3).

С многообразием Вг ассоциировано главное расслоение 08(ВГ) со структурными уравнениями, полученными в [12]. Базой этого расслоения является само многообразие Вг, а типовым слоем - в-членная подгруппа стационарности 08 плоскости Ь^, где в = п(п +1) — т(п — т). Расслоение имеет два простейших и два простых фактор-расслоения [10]. По отношению к расслоению формы в1 являются базовыми, а ш“, ш^, ша, ш{, ша - слоевыми [1].

2. Ассоциированные связности на многообразии

Фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву в главном расслоении 08(ВГ) задается с помощью форм

Ш{ = ш{ — Г“*вг, Ш% = Ш^ — Г%в*, Ша = Ша — Га*в*, Ш{ = < — Г ^в*, Ша = Ша — Г Ыв*, (6)

причем компоненты объекта групповой связности Г = {Г“*_, Г'рг, Гаг, Г^ *, Га*} удовлетворяют дифференциальным уравнениям [12], полученным с использованием теоремы Картана - Лаптева [1]:

аг“*+шаы = ГаЫ3в3, аг%+= г^в3,

ДГаг +гЪагШа + шаг = Гаг3в , ДГ<1аг — ГЫшЪа + Г'11гШ1а + ш{Ъ = ГЫ3в , (7)

ДГаг + Г0уЛШа + Г0,ЛШв — Га*шЫ = Г аг3 в3 ,

где формы ш“*, ш^*, шаг, ш“* являются линейными комбинациями слоевых форм с коэффициентами ЛЫ,

Ла, Ла■.

^ аг

Объект Г содержит два простейших и два простых подобъекта: 1) Г“ъ - объект плоскостной линейной связности; 2) Г^ - объект нормальной линейной связности; 3) Г1 = {Г“*, Гаг} - объект центропроективной связности; 4) Г2 = {Г“ъ, Г1^*, Г^.*} - объект аффинно-групповой связности.

Структурные уравнения для форм связности (6) имеют вид

Они содержат компоненты объекта кривизны групповой связности К = {К“г3, Щ3*3, Щхг3, Ка*3, 3},

которые выражаются через компоненты объекта связности и их пфаффовы производные по формулам

причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках. Объект кривизны К является тензором, содержащим четыре подтензора Щ3, Й1 = {ЩЪ3, Ка%3}, Щад, К2 = {ЩЪ3, К-0зг3, Каа%3}, которые являются тензорами кривизны подсвязностей, задаваемых соответственно подобъектами Г “*, Г1,

Композиционным оснащением (ср. [2]) семейства Вг называется присоединение к каждой плоскости Ь*т. 1) (т — 1)-плоскости Ыт—1, лежащей в плоскости Ь^ и не проходящей через ее центр А (аналог нормали 2-го рода А. П. Нордена); 2) (п — т — 1)-плоскости Сп—т—1, не имеющей общих точек с плоскостью Ьт (аналог плоскости Э. Картана).

Замечание. Композиционное оснащение является аналогом сильной нормализации, введенной А.П. Нор-деном для поверхности в проективном пространстве [1].

Оснащающие плоскости Мт—\ и Сп—т—\ определяются системами базисных точек

Данные уравнения обеспечивают инвариантность плоскостей Жт_1 и Сп-т-1 при фиксации образующего элемента Ьт семейства Вг. Плоскость Жп_т, натянутая на плоскость Сп-т-1 и точку А, является аналогом нормали 1-го рода Нордена, порожденной плоскостью Картана, а плоскость Рп-1, натянутая на плоскости Жт_1 и Сп-т-1, - аналогом гиперплоскости Бортолотти, порожденной плоскостью Картана и нормалью 2-го рода.

Обозначим Л' = {Л аг, Ла, Лаг} - объект из пфаффовых производных оснащающего квазитензора Л, тогда {Л, Л'} - продолженный оснащающий объект. Продолжая (10), получаем уравнения на компоненты объекта Л':

юсоа = ¿с л ¿а + яаЬіз ві л вз,

=¿в л ¿а+Щіз ві л в3,

=¿а л ¿а+¿а л ¿а+ві л вз,

Юй: а = ¿Ь л ¿ь + Ра із вг л в3,

Пи)а = ¿а л ¿ а + ¿0^ л ¿в + Рац в1 л в3.

[8]

(8)

3. Композиционное оснащение

Ва = А а + ХаАі Ва = Аа + АаАа + XaA,

(9)

где компоненты оснащающего квазитензора удовлетворяют уравнениям [12]

(10)

ДЛ0>л — ЛвШаЪ + ЛЪаШап + шаЪ = Л°аг3в, (11)

ДЛаг + КШа + Л0:шаг — Лвша = Ла*3в,

причем величины Л аг3, Лаг3, Лаг3 симметричны по индексам г, ]. Уравнения (11) показывают, что продолженный оснащающий объект {Л, Л'} образует геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным тензором Л семейства Вг.

Используя (1), запишем дифференциалы точки А и базисных точек (9) оснащающих плоскостей в виде [10]:

(1А = (в — Л аша — ^аша)А + (Мы Вы + Ла Ва)вг,

а.Вы = вВа + (шаа + Лыша)Ва + (М£Ва + 1агА)вг, (12)

¿Ва = вВа + (швв + Лаашв + Лашв )Вр + а + ^алА)вг,

где

м“ = ла - лвхв, и* = ла+хал*, (із)

tai = Xai — ліХЬХа — Маг^а, (14)

ta = Xti + ЛаМі - лыЛв(15)

ai ' Xa±vli 1 vbi Лв ха,

V Ла — Ла tai,

Xai - ^aiXaXe - лвЛвЛа - Лаt^ii (16)

¡Ла Ла ХаХь,

Дифференциальные сравнения по модулю базисных форм на объекты (13) с учетом уравнений (4), (10) имеют вид

дмга = 0, ДМа = 0. (17)

Таким образом, эти объекты являются тензорами. Из (12) и (13) следует, что равенство нулю тензоров ла, M“, Ма имеет место для оснащенных семейств Br специального вида, которые характеризуются следующими условиями:

лаа = 0 A смещается в Lm,

Mi“ = 0 A смещается в Nn-m,

М* =0 Nm-i смещается в Lm.

Используя формулы (4), (10), (11), (17), находим уравнения на величины (14 - 16):

Дt ■ — t ■ 0j Діа — ta 0j Дt - — t - oj L-*Lai — °aij v ч L-^bai — °aij i ¿-x°ai — °aijv ч

где

taij = Лаij + (л<аij + лij Ла + Xaj )Н* + M‘ai(Xaj Xb + XaXbj — Xaj ) — A-ij ЛаЛЬ — ЛЪiЛaj Xb — ^bXaXbj 4

t°aij = Xtij + лij Ла + ліЛа4 - л% Лв Ла - лв Л% Ла - лв Лв Xaj - лщ Лв Xa - ^bb^ij Ла - лЫЛв ЛІ 4 (18)

taij = Xaij - лbij XtXb - ^ai Xaj Лв - ^íiKa^j - ^j ЛаЛв - лв Xaj Лв - лв XaXbj - tiiXaj - Xat°aij ■

Таким образом, справедливо

Утверждение 1. Объект t = {tai, t*i, tai} является тензором, содержащим три простейших подтен-

зора• t'ai, t ai, tai-

Случаи обращения в нуль подтензоров тензора t геометрически характеризуются соответствующими специальными смещениями оснащающих плоскостей:

іаі =0 ^т-1 смещается в Рп—1,

іаі =0 ^ Сп—Ш— 1 смещается в N

П — Шч

іаі = 0 Сп—Ш—і смещается в Рп—і,

при этом никаких ограничений на семейство Вг не накладывается. Таким образом, вырождение тензора і ограничивает подвижность оснащающих плоскостей, поэтому назовем его тензором подвижности.

где в левых частях стоят ковариантные дифференциалы компонент оснащающего квазитензора Л относительно групповой связности Г [8, 9]:

Таким образом, совокупность ковариантных производных |УіЛа, V\Ла, ^іЛа} компонент оснащающего квазитензора образует тензор VЛ , содержащий три подтензора ViЛa, ViЛа, {V^а, ViЛа}. Из сравнений (21) и уравнений (10) на компоненты Ла следует, что величины

также образуют тензор, который можно назвать тензором линейных комбинаций ковариантных производных объекта {Ла, Ла}.

Зададим три числа £, п, С. Тогда следующие равенства

являются инвариантными в силу ензорного характера всех входящих в них объектов. Подставляя в эти равенства соотношения (20) и (22), получим систему линейных уравнений относительно компонент Гаг, Гаг, Гаг объекта фундаментально-групповой связности Г. Решая полученную систему, находим выражения этих величин через объекты плоскостной и нормальной линейных подсвязностей Г{ , Ре*, оснащающий квазитензор Л и тензор подвижности Ь:

В свою очередь, компоненты тензора подвижности выражаются через объекты {Л, Л'} и Л по формулам (14 - 16). Таким образом, объект связности Г охватывается подобъектами ^, Г^, фундаментальным

4. Связки и пучки индуцированных связностей

Внося формы связности (6) в уравнения (10), получим следующие равенства:

а в правых частях перед базисными формами - ковариантные производные

Они удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям [9]:

Л^7іЛа = 0, AViЛа = 0, ДVі Ла + V іЛ'а^а = 0.

(20)

(21)

ViЛa = &аі, V іЛа = піааі, Таі = &аі

Гаі(С) = Лаі + ЛЬГаі — &ai,

Гааі(п) = Ліг - ЛІПі + ЛарГ^ - ^Іі,

Гаі(£\ п, С) = Лаі + ЛвГа.і — ЛаГ аі(0 — &аі — П^Ла

(22)

тензором Л, оснащающим квазитензором Л и его пфаффовыми производными Л'. Также говорят, что связность сводится к подсвязности Г с помощью продолженного оснащения (ср. [2]). При этом в зависимости от конкретных значений £о, По, Со параметров £, п, £ выделяется соответствующий пучок Г(£о, по, Со) индуцированных связностей, а все вместе эти пучки образуют связку, обозначаемую Г(£, п, С). Параметры

га

Ы в

Таким образом, справедлива

£, п, С назовем параметрами связки, а компоненты Гаі, Г% - параметрами многопараметрических пучков.

Теорема 1. Продолженное композиционное оснащение семейства Вг индуцирует в главном расслоении 08(ВГ) трехпараметрическую связку пучков фундаментально-групповых связностей

г(с, п, С) = {гаы, г%, гаш Г^(п), ГаМ, п, С)}.

Замечание. В работе [9] были выделены шесть пучков индуцированных фундаментально-групповых связностей:

Г(0, 0, 0), Г(0, 0, 1), Г(1, 0, 1), Г(0, 1, 0), Г(0, 1, 1), Г(1, 1, 1).

Их аналоги на распределении плоскостей получены в работе [11].

5. Индуцированные связности

о

Из связки пучков Г = Г(С, п, С) можно выделить связку индуцированных связностей Г (С, П, С) при помощи подстановки в формулы (24) следующих охватов компонент ^ и Г^ [12]:

г\= кха - 5ылаха - Ы?(ёЫХс + 5ЫХЪ), (23)

Г“ = -ЛааіЛав - Л«Лв - 6%(МаЛа + Л1 Лу). (24)

Теорема 2. Продолженное композиционное оснащение семейства Вг индуцирует в главном расслоении 08(ВГ) трехпараметрическую связку фундаментально-групповых связностей.

В общем случае формулы охватов для компонент объектов этих связностей будут содержать 1) компоненты фундаментального тензора Л, 2) компоненты оснащающего квазитензора Х, 3) пфаффовы производные Х'. Значит, связность индуцируется продолженным композиционным оснащением семейства Вг.

о о

Замечание. Выражения для компонент объектов связности Г (0, 0, 0) и Г (1, 1, 1) впервые были получены в работах [8] и [12].

6. Тензоры кривизны индуцированных связностей

Найдем выражения компонент тензоров кривизны индуцированных связностей, построенных в п. 5.

О 0 0 о

Обозначим: (С) - тензор кривизны связности Г1 (С), Й2 (п) - тензор кривизны связности Г2 (п),

о о

К (С, п, С) - тензор кривизны связности Г (С, п, С), тогда

о 0 0 о 0 0 0

Щ (С) = №;, Кагз (С)}, К2 (п) = {Щц, ЩОц, Щц (п)}, (25)

о 0 0 0 0 0

к (С, п, С) = {Щц, ЩОц, Кац (С), яаац (п), Ясц (С, п, С)}. (26)

Проальтернируем выражения (18)с учетом равенств (5) и симметричности величин Хац, Х^ц, Хац

по индексам г, у:

Ъа[ц] = (-Л-Ъ{ЛаЦ] Ха + Л<\1ХаЦ])Иа + М^^Оц]^ + ХО ХЦ] - ХаЦ]) - ЛЪ{ХаЦ]ХЪ - Л\iХaХЪj],

Іаа[іі] = ЛаЛа]] + Л\іЛЬі]Л<ааЛа - Л[іЛві]Ла - Л[іЛ%Ла]] - ЛЬ\іЛ1зі]ЛЬа - ЛЬ[іЛвЛаі], (27)

Ьа[і]] = -Ла[іЛааі]Лв - Ла[іЛаЛвз] + Л[іЛЬ]]ЛвЛа - Л[іЛаІ]Лв - Л[1ЛаЛ/3]] - ^[іК]] - Ла^а[]].

Из формул (14 - 16) выразим величины Лаі, Л^, Лаі через компоненты тензора подвижности и подставим в (27). Тогда все слагаемые, в которые не входят компоненты тензора і, сократятся, и равенства (27) примут вид

_ \іЬа]]^а + Ма[і(ЛаЬЬ]] - Ьа]]) - Л[іЬа]]ЛЬ - Л[іЛаЬ

ta[ij] = A-fitaj]^a + MalÁ^bj] - taj]) — А^а^\ь — A^ahj],

tl[ij] = ^paj] - Л[^М]Ха - А^Хрtaj] - A^j^a - А^Хрtbaj],

ta[ij] = -Ла[^а]Хв - ^aliKt-ej] - Лl[ítaj]Xe - Л[1Х^М - ^[iKj] -Группируя слагаемые и применяя формулы (25) и (26), получим

Утверждение 2. Альтернированные пфаффовы производные тензора подвижности выражаются через

о о

охваченные объекты ^ и Г^ индуцированных линейных подсвязностей, тензоры М®, МЩ и компоненты самого тензора подвижности по следующим формулам:

о о о о

ta[ij] =rba[i tbj] - Ma[itaj], taa[ij] = ^а[i T<aj] + Yt[i j] - M[itaj], ta[ij] = ta[it<1aj]+ Yt[i tPj]. (28)

Если компоненты тензора tai обращаются в нуль, то их пфаффовы производные также обратятся в

нуль. Тогда справедливы равенства tai = 0, ta[ij] = 0. Подставляя их в (28), получим M^tj = 0. Таким образом,

tai = 0 ^ Ma[itaj] = °. (29)

Аналогично можно показать, что

С = 0 ^ Mataj] = 0, (30)

tai = 0 ^ t0,.[itaj] = 0. (31)

Найдем пфаффовы производные компонент объекта индуцированной фундаментально-групповой

о

связности Г (£, п, Z). Для этого подставим формулы (24 - 26) в уравнения (7) на компоненты объекта связности Г. Тогда, используя линейную независимость форм вг, получим следующие формулы:

rbij — К + Лыха - ха + AfXaj) - (А- - АаXса - АаXcaj)(5bXc + S^Xb) - Mtc(Sb¡Xcj + S^Xj),

— -Ñij Xe - ÑiX°3j - Лij Xe - ЛiXej - tpWj Xa - Ñ, Xjj Xa + Mi Xaj + Ñj XY + Ñ, XYj ).

о Ъо оЪ

Гaij (С) = Хац + Гац ХЪ+ Гаг ХЪЦ - &ац , (32)

0 0 0 0 а

ра ( \ _ \а ра \ Ъ ра \Ъ , рР л а , рР ла .а

Г ац (п) = Хац — Г Ыц Ха- Г Ы Хац + Г ац Хв + Г агХвз — Фац,

0 0 в 0 0 Га.ц (С, п, С) = Ха.ц + Гац Хв + Гаг ХвЗ - Гац (С)Ха- Гаг (С)ХОц - &ац - паХа] - пХа^°ац ■

Проальтернируем формулы (32), учтем равенства (5) и симметричность величин Хац, Хаац, Хац по индек-

сам г, у и подставим (28). Таким образом, получим

Г<аМ= ЩгКц] - дь(-ЛСАац]Ха + Щ Хац]) - (Л[гЛ<ац]Ха - Щ^а^^Х с + ^ХЪ) - М[г ($Ь Хц] + дCХЪj]),

Г°аШ= -Л<а[гХМ + ЛагЛ°ац]Хв - Л<[гХвц] - 513(-Л^[гХ<ац]Ха + ЩХац] - ЦА^ц]^ + Л^[гХ7ц]).

0 0 0 0 ^а[гц] (С) =Г'Ьа[гц] ХЪ+ ^[1 ХЪц] - С(Га[г 1Ъц] - Ща[г1ац]), (33)

0 0 0 0

Ya[ij] (п) = - ТШ Xba- Tb[i Xbaj]+ Ta[ij] Хв + Га[іХМ - '^.[^Щ + Г[[Sj] - М[іtaj]),

a[ij] VI)- - *- b[ij] ла- b[i ^aj]' L a[ij] 1 а[іЛвЗ] - ^ia[ii bj] f ^ а[іІpj]

0 в0 0 о 0

ra[ij] (€, V, С) =Га[Ц] Хв + ra[i XPj]- Ta[ij] (0K- Гь[і (0Kj]-

-С ^^3] + Г^[г *1в3]) - ЛаЦ] - ГЪ]] + ^ ^ц] - Щ ).

Из формул (8) имеем:

00 00 0 0 00 ръ ра т^с -ра ра ла -р^ т^а

КЪЦ =Г ЪЦ - Г Ъ\гГ сц], КвЦ =Г в\Ц] - Г вГ 13],

0 0 00 0 0 0000

Яагз (0) =Га\Ш] (0)- ^Гц] (0), Кц (п) =КМ (пУ ^ (п) Пщ] - ^Гвз] (п),

0 0 0 0 0 0 Я*Ш (0, п, С) =гаМ (0, п, С)-^ (п) Газ] (О- га^вз] (0, п, С),

0

Подставляя (33) и упрощая правые части, получим выражения компонент тензора кривизны К (0, п, С)

0

(26) индуцированной групповой связности Г (0, п, С) через тензоры кривизны линейных подсвязностей, оснащающий квазитензор Л, тензор подвижности Ь, а также параметры 0, п, С:

0

МЪ[1 °аЦ] °Ъ л\11аз] М1^(ис

0

Л^а\1ьв3\ - Л Ьв3\ - °в (М\г Ьа3

Rbij = маiaaj] - Stkpaj - M[i(Sactbj] + 5btCj]), (34)

R<i3ij = -Ma\itej] - ЩЫ - $0(M[itaj] + ^Jii7j}), (35)

0

0

Raij (0 =Raij ^b + ^Ma[i'iaj], (36)

0 0 0

0

R“ij (n) =Riij - Rabij xi + vM$, (37)

0 0

Raij (i, r), Z) =Riij - Rbaij - ^Ma[itej]Xa + (Z - [itaj] + VKM[i taj]. (38)

Компоненты тензора кривизны (27i) выражаются по формулам (34 - 36), а компоненты тензора (272) -по формулам (34 - 35), (37). Анализируя полученные формулы (34 - 38), находим условия совпадения тензоров кривизны для различных индуцированных связностей.

Утверждение 3. Для совпадения тензоров кривизны любых двух центропроективных связностей достаточно обращение в нуль выражения Mi^tj.

Утверждение 4. Для совпадения тензоров кривизны любых двух аффинно-групповых связностей достаточно обращение в нуль выражения MЦtaj].

Утверждение 5. Для совпадения тензоров кривизны двух любых индуцированных фундаментальногрупповых связностей достаточно одновременное обращение в нуль выражений M^[itaj], M[itaj], t^taj].

Используя (29 - 31) и геометрическую характеристику обращения в нуль тензоров tai, tai, taj, M“, A“, Mbi, приведенную в п. 3, получим

Теорема 3. Для совпадения тензоров кривизны любых двух центропроективных связностей вида (27i) достаточно выполнение одного из следующих условий:

1) нормаль 2-го рода Nm-i смещается в плоскости Lm (Mi = 0);

2) плоскость Cn-m-i смещается в гиперплоскости Pn-i (taj = 0);

3) нормаль 2-го рода Nm-i смещается в гиперплоскости Pn-i (tai =0).

Теорема 4. Для совпадения тензоров кривизны любых двух аффинно-групповых связностей вида (272) достаточно выполнение одного из следующих условий:

1) центр A смещается в плоскости Lm (Mi“ = 0);

2) плоскость Cn-m-i смещается в гиперплоскости Pn-i (taj = 0);

3) плоскость Cn-m-i смещается в нормали 1-го рода Nn-m (t“i = 0).

Теорема 5. Для совпадения тензоров кривизны двух любых индуцированных фундаментально-групповых связностей вида (26) достаточно смещение плоскости Cn—m—i в гиперплоскости Pn—i (tai = 0).

7. Плоские связности

о

Связность Г (£, п, Z) называется плоской, если ее тензор кривизны равен нулю. Выясним, при каких условиях, наложенных на композиционное оснащение семейства Br и, быть может, на само семейство, индуцированные связности окажутся плоскими. Заметим, что правые части формул (34 - 38) представляют собой линейные комбинации следующих выражений:

Mb[it0aj], Л'[itaj], Щ tbj], Ma[itej] , (39)

M&ajb Щ j tl[itaj]. (40)

Для того, чтобы все выражения (39) обратились в нуль, достаточно одновременное выполнение следующих трех условий:

1) Mia = 0 или taj = 0,

2) ЛЦ = 0 или taj = 0,

3) Ма = 0 или taaj = °.

Анализируя эти условия, заключаем, что обращение в нуль всех выражений (39), (40) произойдет, если будет иметь место один из следующих пяти случаев:

1) tai = 0, tai = 0, taaj = 0;

2) Ma = 0, taj = 0, tlj = 0;

3) tai = 0, Лаа = 0, taaj = 0;

4) tai = 0, tai = 0, Ma = 0;

5) Ma = 0, taj = 0, Ma = 0.

Используя геометрическую характеристику случаев обращения в нуль тензоров tai, tai, taj, Mia, Ла, Mbi, приведенную в п. 3, сформулируем этот вывод на геометрическом языке:

Теорема 6. Для того, чтобы индуцированная фундаментально-групповая связность любого типа являлась плоской, достаточно выполнение одного из следующих пяти условий:

1) плоскость Cn—m—i неподвижна, а нормаль 2-го рода Nm—i смещается в гиперплоскости Pn—i;

2) плоскость Cn—m—i неподвижна, а центр A плоскости L*m смещается в нормали 1-го рода Nn—m;

3) плоскость Cn—m—i смещается в нормали 1-го рода Nn—m, центр A смещается в плоскости Lm,

а нормаль 2-го рода Nm—i смещается в гиперплоскости Pn—i;

4) нормаль 2-го рода Nm—i неподвижна, а плоскость Cn—m—i смещается в гиперплоскости Pn—\.

5) плоскость Cn—m—i смещается в гиперплоскости Pn—i, центр A смещается в нормали 1-го рода Nn—m, а нормаль 2-го рода Nm—i смещается в плоскости Lm.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бондаренко Е.В. Связности на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. № 31. С. 12-16.

2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 9. С. 5-247.

3. Кулешов А. В. Шесть типов индуцированной групповой связности на семействе центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2009. № 40. С. 72-84.

4. Кулешов А. В. О совпадении и интерпретации связностей, индуцированных на семействе центрированных плоскостей // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Выпуск 10: Сер. Физико-математические науки. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009. С. 112-119.

5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.

6. Омельян О. М. Классификация пучков связностей, индуцированных композиционным оснащением распределения плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. № 37. С. 119-127.

7. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000. 113 с.

8. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. № 9. С. 124-133.

9. Cartan E. Leçons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937. 308 p.