CC BY
10
УДК 514.75
А. В. Кулешов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ
КОМПОЗИЦИОННЫМ ОСНАЩЕНИЕМ СЕМЕЙСТВА ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Исследуются связности на произвольном гладком семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве. Показано, что композиционное оснащение такого семейства индуцирует трехпараметрическую связку многопараметрических пучков фундаментально-групповых связностей. Из каждого пучка выделено по одной индуцированной связности. Приведены условия совпадения полученных связностей, а также дана их геометрическая интерпретация при помощи параллельных перенесений и центральных проектирований.
Ключевые слова: проективное пространство, семейство центрированных плоскостей, композиционное оснащение, фундаментально-групповая связность, параллельное перенесение, центральное проектирование, метод Картана — Лаптева.
§ 1. Уравнения семейства Вг центрированных плоскостей
Отнесем «-мерное вещественное проективное пространство Рп к подвижному реперу (Л,Л1}, инфинитезимальные перемещения которого определяются деривационными формулами
ёЛ = 0Л + ю1Л1, ёЛ1 =вЛ1 + +ю1Л, 1,3,... = 1,п ,
где форма в играет роль множителя пропорциональности, а структурные формы со1, соС, со1 проективной группы ОР(п) удовлетворяют уравнениям Картана [10, с. 121] Вт1 = о/ л ю1} , Вс1 = С л соК , ВСК =Ск лС + С л (-дК со3 - ЗСк ).
Центрированной га-мерной плоскостью Ьт (1 < т < п) проективного пространства Рп размерности п будем называть т-мерную плоскость Ьт с выделенной на ней точкой (называемой центром плоскости). Гладкое г -мерное многообразие, образующий элемент которого — центрированная плоскость, назовем семейством центрированных плоскостей и будем обозначать Вг , где 1 < г < т(п - т) + п (см. [1; 3; 4; 8]). Такое семейство можно рассматривать как образ произвольного г -мерного многообразия Уг при гладком регулярном отображении в пространство всех центрированных т-плоскостей В(т,п) проективного пространства Рп. Многообразие Уг будем называть пространством параметров семейства Вг .
Произведем специализацию подвижного репера {А, Ла,Ла }, помещая вершину А в центр плоскости Ьт, а вершины Аа — на плоскость ¿*т . Система уравнений семейства Вг центрированных плоскостей Ьт в параметрической форме имеет вид [3; 8]:
с = л в1, с = л1 вг, с = лу,
а,Ъ,... = 1,т; а,р,... = т + 1,п ; 1,],... = 1,г ,
где формы Пфаффа в1 являются структурными формами г-мер-ного гладкого многообразия Уг и удовлетворяют уравнениям
В в1 =в лвв, а совокупность функций Л = {Л,Л,Лаг} образует фундаментальный тензор многообразия Вг , содержащий три подтензора: Л,{ЛЛ},{Л,Ла} .
C многообразием Br ассоциировано главное расслоение Gs(Br) со структурными уравнениями, полученными в [8]. Базой этого расслоения выступает само многообразие Br, а типовым слоем — s -членная подгруппа стационарности Gs плоскости L*m, где s = n(n +1) - m(n - m) . Расслоение Gs(Br) имеет два простейших и два простых фактор-расслоения [3]. По отношению к расслоению Gs(Br) формы в' являются базовыми, а О , °}Ср , 03а , О , 03а — слоевыми [2, с. 52].
§ 2. Ассоциированные связности на многообразии Br
Фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву в главном расслоении Gs(Br) задается с помощью форм
С = °-ОЛ c -^-ф. S. = ». -rj. (2Л)
О =0аа -ГССв. 0а=Оа-Гтв\
причем компоненты объекта групповой связности
Г = {ГаГСГ.ГС.ГС} удовлетворяют дифференциальным
уравнениям [8], полученным с использованием теоремы Кар-тана — Лаптева [2, с. 81—83]:
Г +< «Гв, Аг;+оС=гав,
Г + гС + о = j, Ага - гО + гО + < = Г,,
АГ + Го + Г- ГаС = Г,, где формы О, С, о ai, С являются линейными комбинациями слоевых форм с коэффициентами АС .А. А^ .
Замечание. Дифференциальный оператор А действует следующим образом, например, на компоненты Г :
Ага=г+го-го -j.
Объект Г содержит два простейших и два простых по-добъекта:
1) Г — объект плоскостной линейной связности;
2) Г — объект нормальной линейной связности;
3) Г = {Г, Г'я1} — объект центропроективной связности;
4) Г2 = {Гь", Г^ ,Г} — объект аффинно-групповой связности.
§ 3. Композиционное оснащение семейства Вг
Композиционным оснащением (ср. [7, с. 83]) семейства Вг
т*
называется присоединение к каждой плоскости Ьт:
1) (т-1)--плоскости Ыт-1, лежащей в плоскости Ьт и не проходящей через ее центр А (аналог нормали 2-го рода А. П. Нордена);
2) (п-т-1) -плоскости Сп-т-1, не имеющей общих точек с
плоскостью 1**т (аналог плоскости Э. Картана).
Замечание. Композиционное оснащение является аналогом сильной нормализации, введенной А. П. Норденом для поверхности в проективном пространстве [5, с. 206].
Оснащающие плоскости Сп-т-1, Ыт-1 определяются системами базисных точек
Ва = Аа + К А , В а = Аа + Л°а Аа + 4 А , (3.1)
где компоненты оснащающего квазитензора К = {Ка ,4, 4 } удовлетворяют уравнениям [8]
ДКа+аа=40в,
+ < = 4. &, (3.2)
АКа +4>а +Са = 4& ,
которые обеспечивают инвариантность плоскостей Сп_ т _1 и Ыт_1 при фиксации образующего элемента Ьт семейства Вг. Плоскость Ып_т, натянутая на плоскость Сп_т_1 и точку А, является аналогом нормали 1-го рода Нордена, порожденной плоскостью Картана, а плоскость Рп_1, натянутая на плоскости Ыт_1 и Сп_ т _1, — аналогом гиперплоскости Бор-толотти, натянутой на плоскость Картана и нормаль 2-го рода.
Обозначим А = {Аа1, Асй, Асй } объект из пфаффовых производных оснащающего квазитензора А, тогда {А, А} — продолженный оснащающий объект (ср. [7, с. 50]). Он образует геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным тензором семейства В* .
Дифференциалы точки А и базисных точек (3.1) оснащающих плоскостей запишем в виде [4]:
ёА = (в _ФаАа _Фаца)А + (МаВа + АаВа)в1, (3.3)
йВа = вВа + (оьа +Аатъ)Въ + (Маа1Ва+ (а1А)в1, (3.4)
ёВа = вВа + (^а+АаУа+АУ )В0 + (1ашВа + 1шА)в, (3.5)
где совокупность величин
tai = Aai - А-М,
taa = Aaa + КМа - AA Ai , (3.6)
a a a г p a bi ' v '
ta = Aai - AaiAAa Ap - AApAa - Aata
образует тензор t = {ta, tai, tai} , содержащий три простейших подтензора: {ta}, {tcá}, {tai}. При этом Maai = Aaa+AaA, Ma = A - AAp — тензоры, а величины ¡ua имеют вид
Мa=Aa - Aa Ab .
Из (3.3) видим, что обращение тензора М° в нуль характеризует такие оснащенные семейства Вг, у которых центры
„ Т*
плоскостей Ьт смещаются вдоль соответствующих нормалей первого рода Ып_т, а обращение в нуль тензора М^ выделяет семейства Вг, у которых нормали Ыт_1 смещаются в соответ-
т*
ствующих плоскостях Ьт.
Случаи обращения в нуль подтензоров тензора ^ геометрически характеризуются соответствующими специальными смещениями оснащающих плоскостей (см. табл.), при этом никаких ограничений на семейство Вг не накладывается. Таким образом, вырождение тензора ^ ограничивает подвижность оснащающих плоскостей, поэтому назовем его тензором подвижности.
Классификация специальных типов композиционного оснащения для произвольного семейства Вг
Аналитическое условие Геометрическая интерпретация
1. Ъ = 0 Сп_т_1 смещается в Рп_1
2. Ъ = 0 Сп-т_1 смещается в т
3. ъ = 0 Ыт_1 смещается в Рп_1
4. Ъ = 0, С = 0 Сп_ т _1 неподвижна
5. Ъ = 0, Х„ = 0 Рп_1 неподвижна
6. Ъ = 0, ^= 0 Сп_т_1 смещается в т , Ыт_1 смещается в Рп_1
7. Ъ = 0, Ъ = 0, ¿ж= 0 Сп_ т_1 и Рп_1 неподвижны, Nт_1 смещается в Рп_1
§ 4. Связки и пучки индуцированных связностей
Внося формы связности (2.1) в уравнения (3.2), получим следующие равенства:
у Л = у лв, Ула = У Лавг, У^а = У а. (4.1)
В их левых частях стоят ковариантные дифференциалы компонент оснащающего квазитензора Л относительно групповой связности Г (см. в [1; 3]):
УЛа = ёЛа -Льфьа + , (4.2)
ула=ёла+Ла~ьа - л+ к, (4.3)
УЛ„ = йЛа - + Лаа~а + К . (4.4)
Ковариантные дифференциалы (4.2) компонент квазитензора Ла, задающего нормаль 2-го рода, определяются в цен-тропроективной связности Г1. Ковариантные дифференциалы (4.3) компонент квазитензора ЛЛа, задающего нормаль 1-го рода, определяются в аффинно-групповой связности Г2 . Ковариантные дифференциалы (4.3, 4.4) компонент квазитензора {ЛЛа, Ла}, задающего плоскость Картана, определяются в групповой связности Г . Введем линейную комбинацию кова-риантных дифференциалов:
Па=УЛа-ЛаУЛаа . (4.5)
В правых частях равенств (4.1) перед базисными формами стоят ковариантные производные
У Ла = Ла + Ль Гаь - Га ,
У Ла = ла - Ла Г + ЛГ - Г, (4.6)
УгЛа = Ла - ЛГаг + ЛрГЛ - Га ,
которые удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям по модулю форм в1 [3]:
AV X = 0 , AV Л = 0 , АУ,Ла + VX>a = 0 . (4.7)
Таким образом, совокупность ковариантных производных {VjÁa,VjÁa^,VjÁa} компонент оснащающего квазитензора Л образует тензор VЛ, содержащий три подтензора: V,Ла, VЛ, {ViAa,VЛа} . Из сравнений (4.7) и уравнений (3.2j) на компоненты Ла следует, что величины
Ta=V1Лa-ЛaV1Лaa (4.8)
также образуют тензор, который можно назвать тензором линейных комбинаций ковариантных производных объекта
{ЛаЛа} .
Зададим три вещественных числа . Тогда равенства
V^a , VX = , ТШ=С(Ш (4.9)
являются инвариантными в силу тензорного характера всех входящих в них объектов. Подставляя в эти равенства соотношения (4.6) и (4.8), получим систему линейных уравнений относительно компонент Га,, г*, Га объекта фундаментально-групповой связности Г . Решая полученную систему, находим выражения этих величин через объекты плоскостной и
aa
нормальной линейных подсвязностей Г ы , Г ^ , оснащающий квазитензор Л = {Ла, ЛХа, Ла } и тензор подвижности t:
Га1(4) = Ла1 +ЛГЫ-%tai, (4.10)
гаа(л)=л - лъа г+Л г а, (4.11)
Га (£, = Ла+ ЛрГ - XГа, (%) - ф* - ЛаЛ С . (4.12)
В свою очередь компоненты тензора подвижности выражаются через объекты Л, Л' и А по формулам (3.5). Таким образом, объект связности Г охватывается подобъектами Г,
Га, фундаментальным тензором Л, оснащающим квазитензором Л и его пфаффовыми производными Л . Также говорят, что связность Г сводится к подсвязности {Г , га} с помощью продолженного оснащения (ср. [7, с. 51]). При этом в зависимости от конкретных значений параметров г], С выделяется соответствующий пучок индуцированных связно-стей, который кратко обозначим как Г = Г() . Параметры г], С назовем параметрами связки, а компоненты Г, Г а — параметрами многопараметрических пучков. Таким
образом, справедлива
Теорема 4.1. Продолженное композиционное оснащение семейства Вг индуцирует в главном расслоении Ох(Вг) трехпараметрическую связку пучков фундаментально-групповых связностей
Г(4, г], С) = {Гьа, Гаг, Гаг(^), Г«]), Г*( %, ], С)} .
Замечание. Если в охвате присутствуют пфаффовы производные Л оснащающего объекта Л, то обычно, допуская вольность речи, говорят об индуцировании связности или пучка связностей с помощью оснащения.
Например, пучок связностей Г(0,0,0) выделяется, если потребовать, чтобы
ула=о, угл=о, та = о.
г а ' га 'а
Тогда
Гаг(0) = Лаг+ ЛГ , П(0) = Ла - Л^Г" + Л}Г} , Га(0, 0, 0) = Ла +Л}Г}-ЛаГа.
Отметим, что компоненты тензора Л не присутствуют в правых частях полученных равенств.
Выделим другой пучок Г( 1,1,1):
V к = ^ V к = t Т = t
у 1Ла ~ а!' ¥ 1Ла ~ 1а! > 1 ей ~ 1 а! ■
Подставляя выражения (3.5) компонент тензора подвижности в формулы (4.10—4.12), получим следующие равенства для пучка Г( 1,1,1):
га(1) = +Л\к + м а а
г(1)=яг - кг+яма+АаЛЛР, (4.13)
Г (1, 1, 1) = ЯГ - 4 Га! + АК Лр + А Ярка .
Видно, что в правых частях отсутствуют пфаффовы производные к оснащающего квазитензора к. Таким образом, пучки связностей Г(0,0,0) и Г( 1,1,1) занимают особое место среди всего трехпараметрического семейства.
Равенства (4.10) сводят центропроективную связность
Г = {Га,Гш} к линейной подсвязности Гьа, т. е. выделяют центропроективную связку Г1(%) = {Г, Га!(%)}. Равенства (4.11) сводят аффинно-групповую связность Г2 = {Гьа, Г С, ГС } к линейным подсвязностям Г и Г^С, т. е. выделяют аффин-
но-групповую связку Г2(Ч) = {Гьа ,ГГС,ГСа(Л)} .
Замечание. В работе [3] были выделены шесть пучков индуцированных фундаментально-групповых связностей:
Г(0,0,0), Г(0, 0,1) , Г(1, 0,1) , Г(0,1,0) , Г(0,1,1) , Г(1,1,1) .
Их аналоги на распределении плоскостей получены в работе [6]. § 5. Индуцированные связности
Из связки пучков Г = Г() можно выделить связку
0
индуцированных связностей Г() при помощи подстановки в формулы (4.10—4.12) следующих охватов компонент
Гьа и ГР [8]:
о
Га = - SabA Ла - MC(SbaÄc+sc%), (5.1)
о
га, = -;р -4 хр- s; (M?\ + 4 Лг ) . (5.2)
Теорема 5.1. Продолженное композиционное оснащение семейства Br индуцирует в главном расслоении Gs(Br) трех-параметрическую связку фундаментально-групповых связ-ностей.
В общем случае формулы охватов для компонент объектов этих связностей будут содержать:
1) компоненты фундаментального тензора А ;
2) компоненты оснащающего квазитензора Л;
3) пфаффовы производные Л .
Значит, связность индуцируется продолженным композиционным оснащением семейства Br. При этом в формулах охватов
о
(4.10—4.12, 5.1, 5.2) для связности Г(1,1,1) пфаффовы производные Л отсутствуют. Таким образом, эта связность особенна тем, что индуцирована самим композиционным оснащением без привлечения продолженного оснащающего объекта.
Замечание. Выражения для компонент объектов связно-оо
сти Г(0,0,0) и Г( 1,1,1) впервые были получены в работах [3] и [8].
Из равенств (4.6) и таблицы (с. 64) вытекают следующие теоремы:
Теорема 5.2. Смещение нормали 2-го рода Nm-1 в гиперплоскости Бортолотти Pn-1 влечет совпадение следующих связностей и связок связностей:
Г г ) = Г1(Ъ), Г($1 ,V,£) =°Г(Ь,ч,£) ,
Теорема 5.3. Смещение плоскости Картана Сп-т-1 в нормали 1-го рода Ып_т влечет совпадение следующих связно-стей и связок связностей:
Г2(щ) = Г2(Г,2), Г(4, тХ) = Г(4, т О),
Теорема 5.4. Для совпадения двух связностей (связок связ-
0 0
ностей) вида Г (т,О1) и Г (т,О2), где а % и т
— любые числа, достаточно смещения плоскости Картана Сп- т-1 в гиперплоскости Бортолотти Рп_1.
Эти теоремы позволяют находить достаточные условия совпадения любых двух заданных связностей из трехпарамет-рической связки.
§ 6. Геометрическая интерпретация плоскостной и нормальной линейных подсвязностей при помощи центральных проектирований
0 0 0 0 Внесем формы связности С, =тъ - Га О1 , ®ар =а<Хр - О1
в формулы (3.4, 3.5):
йЕа = (О-САс - аррр)Ва + СаВъ + (ИааВа + 1саЛ)О,
ёВа= (О-асЯс-с^р)Ва+~а Вр + (СВ, + ГаЛ)О<
откуда следуют теоремы (ср. [7, с. 105]):
Теорема 6.1. Индуцированная плоскостная линейная связ-
0
ность Г, характеризуется проекцией на нормаль 2-го рода Nт-1 смежной с ней нормали Ыт-1 + dNm-1 из центра — нормали 1-го рода Nn
п-т
0
Га ■ N + dN ___ > N
1 Ы ■ т-1 -1 т-1 ■
Теорема 6.2. Индуцированная нормальная линейная связ-
0
ность ГЩ интерпретируется проекцией на плоскость Кар-тана Сп_т_1 смежной с ней плоскости Сп_т_1 + йСп_т_1 из центра — плоскости Ьт:
о
га с + dC __ > C
1 • m-1 -m-1 -m-1 ■
§ 7. Тензор параллелизма
Найдем внешние дифференциалы от ковариантных дифференциалов (4.2—4.4):
DVXa = -V\ лёъа + Та1]в' лв, (7.1)
DVXa = -VXp л ёЦ + Vta л ё + j л в-1, (7.2)
DVAa = -VXp л + VAZ лё + ГШ]в л в1, (7.3)
ВПа=-Пвлёа+ Tai,ff лв , (7.4)
где
ТШ] = Каг] _\КЬо1] , (7.5)
ТЩ = _ ЛрЯЩ + , (76)
Тщ = _ + ЛаКу , (7.7)
Тщ = Тщ _ КТЩ + У[ЛаУ ]]Ла . (78)
Эти величины удовлетворяют следующим сравнениям:
АТа] - 0, АТЩ - 0, АТШ] + ТЩ&а - 0, АТШ] - 0 . Совокупность величин Т = {Тщ,ТС^Тщ} образует тензор, называемый тензором параллелизма (ср. [7, с. 95]). Он содержит три простейших подтензора:
{Тау } , {Тщ } , {Тщ } .
Расширенным тензором параллелизма будем называть тензор Т = {Тш]'ТЩ>Тщ,Т щ}. Он содержит один простой подтензор:
{ТТ ..}
( сау са.} •
Линия р на пространстве параметров Уг определяет од-нопараметрическое подсемейство семейства Вг и задается вполне интегрируемой системой уравнений
0' = р1а , (7.9)
где форма а удовлетворяет структурному уравнению Оа = а а 3 . Величины р удовлетворяют уравнениям
йр + рв\ - рз = р\а,
и образуют геометрический объект, определяющий касательный вектор линии р с Уг в образующей точке пространства параметров Уг.
Из (7.1—7.4) заключаем, что четыре системы уравнений:
VII = 0 ; (7.10)
р
V%\ = 0 ; (7.11)
р
VЛl\ = 0 , VЛaI = 0 ; (7.12)
р р
па I = 0 (7.13)
р
— интегрируемы.
Замечание. Уравнения (7.12) равносильны (7.10, 7.12).
§ 8. Интерпретация индуцированных центропроективных связностей при помощи параллельных перенесений нормали 2-го рода
Аналог нормали 2-го рода Нордена Ыт-1 задается квазитензором Ла. Параллельное перенесение данной плоскости в связке центропроективных связностей Г1(^) задается вполне интегрируемой системой вдоль линии р с Уг (ср. [7, с. 102]):
уК(%)\р = 0, (8.1)
где УЛа(%) — ковариантные дифференциалы компонент Ла в связке Г1(%). Они выражаются через компоненты тензора подвижности и типовой параметр % связки по следующей формуле:
УЛа(%) = . (8.2)
8.1. Параллельное перенесение нормали 2-го рода Мт1 в пучке связностей
Для пучка связностей Г1(0) значение типового параметра % равно нулю: % = 0, поэтому из (8.2) получим
УЛа(0) = 0 . (8.3)
Таким образом, вдоль любой линии р система (8.1) выполняется тождественно.
Определение 8.1. Свободно вырожденным параллельным перенесением нормали 2-го рода Мт_1 в пучке центропроективных связностей Г1(0) называется ее произвольное смещение.
Поскольку введенное параллельное перенесение не накладывает никаких ограничений на смещение нормали Nm_1, справедлива
Теорема 8.1. Свободно вырожденное параллельное перенесение нормали Nm_1 в пучке Г1(0) существует вдоль любой линии р .
8.2. Параллельное перенесение нормали Nт-1 в связке связностей
Для связки связностей Г1(%), % Ф 0 можно выразить линейные комбинации через ковариантные дифференциалы УЛа(%) , разделив равенства (8.2) на число % :
tj' =7 W7 - (8.4)
Подставляя (8.4) в (3.4), получим:
dBa = вва + (о>ъа +ЛУ)ВЬ + MaaffBa + -УЛа(7)Л . (8.5)
7
Формула (8.5) позволяет дать
Определение 8.2. Параллельным перенесением нормали 2-го рода Nm_7 в связке центропроективных связностей Г1(7), 0, называется ее смещение в гиперплоскости Бортолотти Pn_1.
Выясним условия существования введенного параллельного перенесения. Подставляя (8.2) в (8.1) с учетом (7.9) и 7 ^ 0, получим однородную систему m уравнений относительно r переменных р1:
tp = 0 . (8.6) Обозначим R7 = rank(ta1) , где (ta1) — матрица размера m х r , составленная из компонент тензора tcä, причем индекс а нумерует строчки, а индекс i — столбцы. Возможны следующие случаи.
1. R7 < r, тогда система (8.6) имеет нетривиальные решения и параллельное перенесение нормали Nm_7 существует вдоль линий, соответствующих этим решениям; при этом в касательном пространстве Tr выделяется подпространство параллельности nr-Rl, состоящее из всех касательных векторов ко всем линиям р с Vr, вдоль которых параллельное перенесение существует.
2. R7 = r, тогда система (8.6) нетривиальных решений не имеет и соответствующего параллельного перенесения нормали Nm_1 не существует.
Теорема 8.2. Параллельное перенесение нормали Nm-1 в связке связностей Г1(#), # Ф 0, существует лишь при условии, что ранг матрицы (tai) меньше размерности семейства Br, при этом линии рс Vr, вдоль которых данное параллельное перенесение существует, определяются из системы уравнений (8.6).
В общем случае матрица (tai) имеет максимальный ранг R1 = min{m,r }. При этом:
1) если r > m , то R1 = m, параллельное перенесение нормали Nm-1 существует и подпространство параллельности имеет размерность r - m ;
2) если r < m , то Rl = r и подпространство параллельности является нулевым, поэтому параллельное перенесение существовать не будет.
§ 9. Интерпретация индуцированных аффинно-групповых
связностей при помощи параллельных перенесений нормали 1-го рода Нордена
Аналог нормали 1-го рода Нордена Nn-m задается квазитензором ЛЛ. Параллельное перенесение данной плоскости в связке аффинно-групповых связностей Г2(ц) задается интегрируемой системой вдоль линии рс Vr:
где УЛаа ()) — ковариантные дифференциалы компонент Ла в связке Г2(ц) . Они выражаются через компоненты Щ тензора подвижности и типовой параметр г) связки по следующим формулам:
(9.1)
УЛаа(Л) = Vfaff.
(9.2)
9.1. Параллельное перенесение нормали 1-го рода в пучке связностей
Для пучка связностей Г2(0) из (9.2) получим
УЛаа(0) = 0 . (9.3)
Таким образом, вдоль любой линии р система (9.1) обращается в тождество.
Определение 9.1. Свободно вырожденным параллельным перенесением нормали 1-го рода Мп_т в пучке аффинно-груп-повых связностей Г2(0) называется ее произвольное смещение.
Поскольку введенное параллельное перенесение не накладывает никаких ограничений на смещение нормали Ып_т, справедлива
Теорема 9.1. Свободно вырожденное параллельное перенесение нормали Ып_т в пучке Г2(0) существует вдоль любой линии р .
9.2. Параллельное перенесение нормали №пт в связке связностей
Для связки связностей Г2()), ) Ф 0 можно выразить линейные комбинации (^¡О1 через ковариантные дифференциалы УЛаа(Л) :
(аО =)УЛаа(Л). (9.4)
)
Подставляя (9.4) в (3.5), получим:
йБа =ОБа + (...}раВр+)УгЛ1Ба + (ОА . (9.5)
Формула (9.5) позволяет дать 76
Определение 9.2. Параллельным перенесением нормали Мп—т в пучке аффинно-групповых связностей Г2(ц), 7]Ф 0, называется такое ее смещение, при котором плоскость Кар-тана Сп_т—1 является фокальной плоскостью этой нормали.
Выясним условия существования введенного параллельного перенесения. Подставляя (9.2) в (9.1) с учетом (7.9) и 7]Ф 0 , получим однородную систему т(п — т) уравнений относительно г переменных р1:
= 0. (9.6)
Обозначим Я2 = гапк(¡а), где (¡а) — матрица размера т(п — т) х г, составленная из компонент тензора ¡а . Возможны следующие случаи.
1. Я2 < г, тогда система (9.6) имеет нетривиальные решения и параллельное перенесение нормали Ып—т существует вдоль линий, соответствующих этим решениям; при этом в касательном пространстве Тг выделяется подпространство параллельности Пг—К, состоящее из всех касательных векторов ко всем линиям р с Уг, вдоль которых параллельное перенесение существует.
2. Я2 = г , тогда система (9.6) нетривиальных решений не имеет и соответствующего параллельного перенесения нормали Ып—т не существует.
Теорема 9.2. Параллельное перенесение нормали Ып—т в связке связностей Г2(ц), 7]Ф 0, существует лишь при условии, что ранг матрицы (¡а^) меньше г, при этом линии рс ¥г, вдоль которых данное параллельное перенесение существует, определяются из системы уравнений (9.6).
В общем случае матрица (¡а ) имеет максимальный ранг Я2 = тт{т(п — т),г} . При этом:
1) если г > т(п - т), то Я2 = т(п - т) и параллельное перенесение нормали Шп-т существует, причем подпространство параллельности имеет размерность г - т(п — т);
2) если г < т(п - т), то Я2 = г и подпространство параллельности является нулевым, поэтому параллельного перенесения не существует.
Замечание. В работе [7] рассмотрено параллельное перенесение плоскости Картана в аффинно-групповой связности.
§ 10. Параллельное перенесение плоскости Картана в линейной комбинации связки фундаментально-групповых связностей
Параллельное перенесение плоскости Картана в линейной комбинации Г(С ) связки Г() пучков фундаментально-групповых связностей задается вполне интегрируемой системой вдоль линии рсУг (ср. [7, с. 103]):
— линейные комбинации ковариантных дифференциалов в связке Г() .
Замечание. Линейная комбинация Г(С) связки связностей Г(%,ц,С ) вводится для описания параллельного перенесения, задаваемого системой уравнений (10.1). В обозначении Г(С) в скобках указан параметр С связки, поскольку рассматриваемое параллельное перенесение фактически зависит только от него. Параллельное перенесение фигуры в линейной комбинации связности введено в работе [9].
(10.1)
где
па(С) = УЛа(V, С) - Ла УЛаа(Л) = СО (10.2)
10.1. Параллельное перенесение плоскости Сп-т-1 в линейной комбинации пучка Г(0)
Для пучка связностей Г(0) из (10.2) получим
Я (0) = 0 . (10.3)
Таким образом, вдоль любой линии р система (7.1) выполняется тождественно.
Определение 10.1. Свободно вырожденным параллельным перенесением плоскости Картана Сп_т_1 в линейной комбинации пучка Г(0) подсвязки Г(ц,0) называется ее произвольное смещение.
Поскольку введенное параллельное перенесение не накладывает никаких ограничений на смещение плоскости Сп_ т_1, справедлива
Теорема 10.1. Свободно вырожденное параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 в линейной комбинации пучка Г(0) подсвязки Г( 7,^,0) существует вдоль любой линии р.
10.2. Параллельное перенесение плоскости Картана Сп-т-1 в линейной комбинации связки Г (С)
Для линейной комбинации Г(С ), С Ф 0 можно выразить линейные комбинации tcdв1 через ковариантные дифференциалы УЛ"а(ц) и VЛа(ц,С) , используя равенства (10.2):
taв1 =СС ^Ла (Л,С) _Л^Лаа(Л}). (10.4)
Подставляя (10.4) в (3.5), получим:
dBa =вБа + (... faBp + tam&Ba +
ц ч (10.5)
Формула (10.5) позволяет дать
Определение 10.2. Параллельным перенесением плоскости Картана Cn—m—1 в линейной комбинации Г(С), Сф 0, связки Г() называется ее смещение в гиперплоскости Борто-лотти Pn-1.
Выясним условия существования введенного параллельного перенесения. Подставляя (10.2) в (10.1) с учетом (7.9) и С Ф 0, получим однородную систему n - m уравнений относительно r переменных р1:
tap' = 0. (10.6)
Обозначим R3 = rank(t ^ ), где (tоЛ) — матрица размера (n — m) х r , составленная из компонент тензора t01. Возможны следующие случаи.
1. R3 < r, тогда система (10.6) имеет нетривиальные решения и параллельное перенесение плоскости Cn—m—1 существует вдоль линий, соответствующих этим решениям; при этом в касательном пространстве Tr выделяется подпространство параллельности П г—Кз.
2. R3 = r, тогда система (10.6) нетривиальных решений не имеет и соответствующего параллельного перенесения плоскости Cn—m—1 не существует.
Теорема 10.2. Параллельное перенесение плоскости Cn—m—1 в линейной комбинации Г (С), Сф 0, связки Г() существует лишь при условии, что ранг матрицы (tсй) меньше r, при этом линии рсVr, вдоль которых дан-
ное параллельное перенесение существует, определяются из системы уравнений (10.6).
В общем случае матрица (^^ ) имеет максимальный ранг Я3 = тт{п _ т,г}. При этом:
1) если г > п _ т, то Я3 = п _ т , параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 существует, и подпространство параллельности имеет размерность г _ п + т;
2) если г < п _ т, то Я3 = г и подпространство параллельности является нулевым, поэтому параллельного перенесения не существует.
§ 11. Параллельное перенесение плоскости Картана в фундаментально-групповой связности
Параллельное перенесение плоскости Картана в связке Г(7,Л, С) фундаментально-групповых связностей по определению задается вполне интегрируемой системой вдоль линии рс Кг (ср. [7, с. 103]):
vлaa(л)\p= 0, vлa (л,С)\р= 0; (11.1)
где
vлaa(v) = псар, vлa (Л,С) = (Сс + лло&. (11.2)
11.1. Параллельное перенесение плоскости Картана Сп-т-1 в связке Г(^,0,0)
Для подсвязки связностей Г(7,0,0) из (8.2) получим
VЛa(0) = 0 , VЛa(0,0) = 0 . (11.3)
Таким образом, вдоль любой линии р система (11.1) обращается в тождество.
Определение 11.1. Свободно вырожденным параллельным перенесением плоскости Картана Сп_т_1 в связке фундаментально-групповых связностей вида Г(с;,0,0) называется ее произвольное смещение.
Поскольку введенное параллельное перенесение не накладывает никаких ограничений на смещение плоскости Сп_ т_1, справедлива
Теорема 11.1. Свободно вырожденное параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 в связке связностей Г(с;,0,0) существует вдоль любой линии р .
11.2. Параллельное перенесение плоскости Картана Cn-m-1 в связке Г(£,ц,0), - Ф 0
Для связки связностей Г(%-,0) , - Ф 0 , из (11.2) получим: УГа(-) —в, УЛа(-,0) = —в . (11.4)
Выразим линейные комбинации 1сйв1 через ковариантные дифференциалы УЯаа (-), используя полученные равенства (11.4):
№ = -™а-) . (11.5)
-
Подставляя (11.5) в (3.5), получим:
(I }
dBa=вBa+ (...)раБр + -ЧХ(ч)Ба + ГсаЛ в1. (11.6)
и )
Формула (11.6) позволяет дать
Определение 11.2. Параллельным перенесением плоскости Картана Сп_т_1 в подсвязке Г(-,0), - Ф 0, называется ее смещение в нормали 1-го рода Ып_т .
Условия существования введенного параллельного перенесения такие же, как в пункте 6.2. Действительно, подставляя (11.4) в (11.1), получим систему уравнений
^ар = 0, л^ср = 0, (11.7)
равносильную (9.6) в силу г Ф 0 . Тогда справедлива
Теорема 11.2. Параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 в подсвязке Г(7,г,0) , )Ф 0, существует лишь при
условии, что ранг матрицы (^ ) меньше г, при этом линии рс Уг, вдоль которых данное параллельное перенесение существует, определяются из системы уравнений (9.6).
В общем случае матрица (^ ) имеет максимальный ранг Я2 = т1п{т(п _ т),г} . При этом:
1) если г > т(п _ т), то Я2 = т(п _ т), параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 существует и подпространство параллельности имеет размерность г _ т(п _ т);
2) если г < т(п _ т), то Я2 = г и подпространство параллельности является нулевым, поэтому параллельного перенесения не существует.
11.3. Параллельное перенесение плоскости Картана Сп т1 в подсвязке Г(4,0,С), С Ф 0
Для пучка связностей вида Г(7,0, С), Сф 0 из (11.2) получим:
vлaa(г) = 0, vлa(г,С) = . (11.8)
Тогда
(У =С vлa (0,С),
что при подстановке в (3.5) дает
ёБ а = вБа + (.../аБр + (аав'Ба + С^ла(0, С)А . (11.9)
Формула (12.8) позволяет дать
Определение 11.3. Параллельным перенесением плоскости Картана Сп_т_1 в пучке Г(7,0,С), Сф0, называется ее смещение в гиперплоскости Бортолотти Рп_1.
Условия существования введенного параллельного перенесения такие же, как в пункте 7.2. Действительно, подставляя (11.8) в (11.1), получим систему
С Р = 0,
которая с учетом С Ф 0 равносильна (10.6). Тогда справедлива
Теорема 11.3. Параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 в связке Г(7,0, С) , С Ф 0, существует лишь при условии, что ранг матрицы ((^) меньше г, при этом линии рс Уг, вдоль которых данное параллельное перенесение существует, определяются из системы уравнений (10.6).
В общем случае матрица (С ) имеет максимальный ранг Я3 = т1п{п _ т,г}. При этом:
1) если г > п _ т, то Я3 = п _ т и параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 существует, причем подпространство параллельности имеет размерность г _ п + т;
2) если г < п _ т, то Я3 = г и подпространство параллельности является нулевым, поэтому параллельного перенесения не существует.
11.4. Параллельное перенесение плоскости Картана Сп-т-1 в связке Г(7,г,С), г ф 0, С Ф 0
Для связки связностей Г(7, г, С), г Ф 0 , С Ф 0 из (11.2) получим:
Свг =1 , ¡в1 = £^К(^). п £
Подставляя в (3.5), будем иметь
+ 1 п
1
йва=вва + (... а в 0 + -УЛа(ц)Ва +
(11.10)
Формула (11.10) позволяет дать
Определение 11.4. Связанно вырожденным параллельным перенесением плоскости Картана Сп—т—1 в связке Г(£,ц,£), ц Ф 0, £ Ф 0 называется ее неподвижность.
Выясним условия существования введенного параллельного перенесения. Подставляя (11.2) в (11.1) с учетом (7.9) и £ Ф 0, получим однородную систему п — т уравнений относительно г переменных р1:
(аРг=о, га,р = о. (11.11)
Обозначим Я4 = гапкМ, где М — матрица системы (11.11). Эта матрица имеет размер (т + 1)(п — т) х г, причем в ней первые п — т строк занимает матрица (Iа1), а остальные т(п — т) строк — матрица (tаl) . Возможны следующие случаи
1. Я4 < г, тогда система (11.11) имеет нетривиальные решения и связанно вырожденное параллельное перенесение плоскости Сп—т—1 существует вдоль линий, соответствующих этим решениям; при этом в касательном пространстве Тг выделяется подпространство параллельности Пг—К4 .
2. Я4 = г , тогда система (11.11) нетривиальных решений не имеет и соответствующего параллельного перенесения плоскости Сп—т—1 не существует.
Теорема 11.4. Связанно вырожденное параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 в связке Г(7, г, С), г Ф 0, С Ф 0, существует лишь при условии, что ранг матрицы М меньше г, при этом линии р с Уг, вдоль которых данное параллельное перенесение существует, определяются из системы уравнений (11.11).
В общем случае матрица М имеет максимальный ранг Я4 = т1п{(т +1)(п _ т),г} . При этом:
1) если г > (т + 1)(п _ т), то Я4 = (т + 1)(п _ т) и параллельное перенесение плоскости Сп_т_1 существует, причем подпространство параллельности имеет размерность г _ (т + 1)(п _ т);
2) если г < (т + 1)(п _ т), то Я1 = г и подпространство параллельности является нулевым, поэтому параллельного перенесения не существует.
Замечание. Теоремы, сформулированные в настоящей работе, обобщают соответствующие результаты, полученные в [7] для случая поверхности в проективном пространстве.
Список литературы
1. Бондаренко Е. В. Связности на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 31. Калининград, 2000. С. 12—16.
2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.
3. Кулешов А. В. Шесть типов индуцированной групповой связности на семействе центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 40. Калининград, 2009. С. 72—84.
4. Кулешов А. В. О совпадении и интерпретации связно-стей, индуцированных на семействе центрированных плоскостей // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 10. С. 112—119.
5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
6. Омельян О. М. Классификация пучков связностей, индуцированных композиционным оснащением распределения плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 119—127.
7. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
8. Шевченко Ю. И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 9. Калининград, 1978. С. 124—133.
9. Шевченко Ю. И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Там же. 1987. Вып. 18. С. 115—120.
10. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937.
A. Kuleshov
CONNECTIONS, INDUCED BY COMPOSITE CLOTHING OF A FAMILY OF CENTERED PLANES IN PROJECTIVE SPACE
This paper is dealing with connections on a smooth family of centered planes in projective space. It is shown that composite clothing of such a family induces three-parameter bunch of bundles of fundamental-group connections. One induced connection is allocated from each of this bundles. Coincidence conditions of the received connections and geometrical interpretation of them by means of parallel transport and central projections are given.
