Кросс-корреляции в живых системах: анализ нейромагнитных сигналов коры головного мозга человека Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

3

БИОМЕДИЦИНСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

И ТОМОГРАФИЯ

КРОСС-КОРРЕЛЯЦИИ В ЖИВЫХ СИСТЕМАХ: АНАЛИЗ НЕЙРОМАГНИТНЫХ СИГНАЛОВ КОРЫ ГОЛОВНОГО

МОЗГА ЧЕЛОВЕКА

С.А. Дёмин, Р.Р. Зарипов, О.Ю. Панищев (Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, Казанский государственный университет) Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Р.М. Юльметьев (Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, Казанский государственный университет)

В данной работе мы представляем новый метод анализа кросс-корреляций в сложных системах живой природы, основанный на статистической теории дискретных немарковских случайных процессов. Были изучены кросс-корреляции в нейромагнитных сигналах коры головного мозга здорового человека и пациента с фоточувствительной эпилепсией (ФЧЭ). Полученные результаты (1) указывают на сильную кор-релированность между сигналами коры головного мозга здоровых людей, (И) позволяют выявить механизм возникновения ФЧЭ и (ш) идентифицировать области, взаимодействие между которыми нарушается при данном заболевании.

1. Введение. Кросс-корреляции

Изучение свойств и особенностей динамической эволюции сложных систем разной природы является одной из наиболее важных и актуальных задач современной статистической физики. Как известно, любая сложная система состоит из большого числа взаимодействующих компонент и имеет огромное (порой бесконечное) число степеней свободы. Кроме того, все природные объекты являются открытыми диссипативными системами, которые взаимодействуют с окружающей средой, обмениваются веществом, энергией и информацией. В связи с этим процессы, происходящие в реальных объектах, часто характеризуются нелинейностью, нестационарностью и неравновесностью.

Исследование динамических особенностей поведения сложных систем, как правило, базируется на анализе временной эволюции какого-либо параметра, представляющего собой сигнал, продуцируемый сложной системой. Среди огромного многообразия методов анализа временных серий можно выделить следующие: 1) анализ корреляционной зависимости между случайными величинами, измерение тесноты и направления связи между этими величинами или признаками - корреляционный и регрессивный анализы [1, 2]; 2) оценка влияния одной или нескольких независимых переменных на одну исследуемую переменную (одномерный анализ) или на несколько зависимых переменных (многомерный анализ), поиск фиксированных или переменных ковариантов - дисперсионный факторный и ковариационный анализы [3, 4]; 3) поиск эффективного метода описания сложных систем на основе их фрактальной природы (самоподобия) -фрактальный и мультифрактальный анализы [5, 6]; 4) анализ структуры и динамики сложных систем в рамках теории детерминированного хаоса и нелинейной динамики [7, 8]; 6) представление временного сигнала в виде совокупности периодических (базисных) функций и спектральный анализ локальных возмущений - классический Фурье-анализ и вейвлет-анализ [9, 10].

В последние годы также осуществляется поиск и разработка альтернативных и дополнительных методов извлечения информации о закономерностях и динамических особенностях взаимодействия между отдельными составными частями и элементами сложных систем. Необходимость такого анализа часто связана с тем, что поведение системы определяется коллективными явлениями и процессами. Другим примером яв-

ляется случаи, когда динамическая эволюция отдельной части сложной системы зависит от большого числа внешних или внутренних факторов. В этом случае в статистической физике применяют методы выявления и анализа кросс- и мульти-корреляций: кросс-спектральный анализ [11, 12], метод случайных матриц [13] и т.д.

В данной работе мы представляем новый метод анализа и кинетического описания кросс-корреляций, базирующийся на статистической теории дискретных немарковских случайных процессов. Данная теория оказалась весьма полезной при анализе свойств и динамических особенностей сложных систем в биологии [14, 15], физике [16, 17], сейсмологии [18, 19] и медицине [20-23]. Полученные в рамках данной теории численные параметры и качественные характеристики предоставляют детальную информацию о перекрестных корреляциях, возникающих в хаотических сигналах, продуцируемых отдельными частыми или компонентами сложных систем. В качестве примера в работе представлен анализ кросс-корреляций, возникающих в нейромагнитных откликах, продуцируемых различными областями коры головного мозга здорового человека и пациента с ФЧЭ [24, 25].

2. Статистическая теория дискретных немарковских случайных процессов.

Основные положения и понятия

Представим стохастическую динамику исследуемых процессов в виде дискретных временных серий xj, yj некоторых случайных величин X, Y :

X = {x(T), x(T + т), x(T + 2т),..., x(T + (N - 1)т)}

Y = {y(T),y(T + т),y(T + 2т),...,y(T + (N- 1)т)Г ( )

где T - начальный момент времени, (N - 1)т - общее время регистрации сигнала, т -временной шаг дискретизации.

Средние значения, флуктуации, абсолютные и относительные дисперсии для случайных величин X, Y определяются в следующем виде:

1 N-1 1 N-1

<X> = NZx(T + jт), xj = x(T + jт), 5x; = xj-X, a2 = -£5x;2;

N j=0 N j= 0

1 N-1 1 N-1

Y=N Z y(T+jт), У] = y(T+jт), 5yj = У] - Y, =N Z5y2.

iV j=0 N j=0

Нормированную кросс-корреляционную функцию (ККФ), описывающую вероятностную связь между двумя случайными величинами X и Y, можно записать в следующем виде:

1 N - m-1

c(t) = 7^7-Ч- Z 5x(T + j)5y(T + (j + т)т), (2)

(N - m)oxoy j=0

t = тт, 1 < m < N -1.

Функция c(t) удовлетворяет условиям нормировки и ослабления корреляций:

lim c (t) = 1, lim c(t) = 0.

t ^ 0 t ^O

Представим набор флуктуаций 5xj = 5x(T + jx), 5yj = 5y(T + jx), где j = 0,1,...N -1, в виде к -компонентных векторов начального состояния в фазовом пространстве векторов состояния:

A0 = A0 (0) = {5 x0,5 *!,..., 5 xw} = {5 x(T), 5 x(T + т),..., 5 x(T + (к - 1)т)}

B0 = B0 (0) = {5 y0, 5 y1,..., 5 yk-1} = {5 y (T), 5 y(T + т),..., 5 y (T + (к - 1)т)},

где к = N -1 - т. к -компонентные векторы состояния в момент времени t -Ат+к = Ат+к ^), вт+к = вт+к ^) образуются путем сдвига на интервал t = тт по дискретной временной шкале:

Ат+к = Ат+к (t) = {{^Хт, $Хт+1> ^Хт+2>...£Хт+к-1}

С+к = С+к (t) = {5Ут , 5Ут+1, 5Ут + 2>...,5Ут + к-1}

} (3Ь)

т+к = вт+к (') = {иут ,иут+1, ЧУт+2'."'ЧУт+ кЭти векторы состояния также могут быть получены путем многократного действия эволюционных операторов их ^ + т, t) и иг ^ + т, t) на векторы начального состояния:

Ат+к (0 = их (Т + тт,Т)А0(0)

. (3 с)

Вт+к ^) = иг (Т + тт,Т )В0(0)

Воспользуемся выражением для скалярного произведения векторов:

(ао вт+^=£ АО вт+г.

I=0

Используя соотношения (2), (3а)-(3с), получаем нормированную ККФ с(1) как скалярное произведение векторов начального А °(0) и некоторого текущего в т+к ^)

состояний:

= (Ар в:+к) = (Арг (Т + тт,Т }вр) = (А^в^ (t))

(А0 в^ (А0 в^ " (^(0^(0)) . ()

Запишем конечно-разностное уравнение Лиувилля для векторов состояния (см. (3Ь)):

А вт+к (t)=ф, т)вт+к (t). (5)

Введем операторы проектирования П и Р для евклидова пространства векторов состояния:

0 (0))( А0 (0)|

П =

в0'

П2 = П , Р = 1 -П, Р2 =Р, ПР = РП = 0. (6)

(А0 (0)в0 (0))

Исходная ККФ (см. (4)) может быть получена путем проектирования вектора конечного состояния в т+к ^) на вектор начального состояния в °(0) :

пв:+к«))=вг(0>) % =в; (0^ «'). (7)

Проекционные операторы П и Р расщепляют Евклидово пространство векторов состояния размерностью к на два взаимно ортогональных подпространства:

в (к) = в'(к) + в''(к), в'(к) = Пв(к), в''(к) = Рв(к), в:+k(t) е в(к).

В результате уравнение Лиувилля (6) расщепляется на два уравнения в соответствующих ортогональных подпространствах:

= ) + /L€2B''(t), (8а)

^вр = ^в ' (t) + 1§22в'' ^). (8Ь)

Здесь — =Пг—П j, /, ] = 1,2, П1 = П, П2 =Р представляют собой матричные элементы квазиоператора Лиувилля:

— = + -12 + -21 + -22 .

Операторы Ёу действуют следующим образом: Ёп - из В' в В', Ё12 - из В" в В',

Ё21 - из В' в В", Ё22 - из В'' в В".

Решая уравнение (8Ь) и подставляя полученное решение в правую часть (8а), получаем замкнутое конечно-разностное уравнение для исходной ККФ:

= ^^ ф) - ТЛГ § М, (/*(' - ут). (9)

Ш у=о

Здесь Л^ - собственное значение квазиоператора Лиувилля §, Л^ - релаксационный параметр размерности квадрата частоты, М^^ут) - нормированная кросс-корреляци-онная функция памяти первого порядка:

(ло (о) ёв 0(о^ хг (л 0(о) §в 0(о)^

Л = '—;-;—, Л, = '■

1 / . П _' 1

МX (у т) = -;-г-, МХ (о) = 1 . (1 о)

1 ) (о)В 0ксЛ , 1 () ( )

(л о(о)в Ю(о)) ' 1 (л о (о)в о (о)) ' (л о (о)4 {+1Ё2 }} о (о)) (л о (о)в о (о))

Пользуясь представленным выше алгоритмом, мы можем ввести последовательность проекционных операторов П п и Рп. Используя технику проекционных операторов для новых ортогональных векторов состояния, получаем цепочку связанных немарковских конечно-разностных кинетических уравнений для нормированных кросс-корреляционных функций п -1-го порядка: ДМХГ (?) т-1

= ЛХМХ (?) - тЛХТ § МХ (Л)МХ (? - ут). (11)

Д? 1 =о

Воспользуемся процедурой ортогонализации Грамма-Шмидта:

,Wrm) = 5пДWfWY) (где бпт - символ Кронекера) для более компактной записи полученных соотношений:

=ло(о), = (Ё-лТЖ, W2X = (ё-Л)^1Х ^W0X, ...,

= (Ё-Л? Жпх1 -ЛХ-^ -...;

= во (о), WlY = (Ё -л^ ^, W2Y = (Ё -лх ^ WоY, ...,

WnY = (Ё -лХТ ^ -л,^ -...,

тогда собственные значения ЛХ квазиоператора Лиувилля и релаксационные параметры ЛХ в (11) принимают вид:

^ХЖ-) {wiЁ2 wIч)

п К-х-,} ' Лп =' К^,}

Нормированные кросс-корреляционные функции памяти в (11) в новых ортогональных динамических переменных могут быть представлены в следующем виде:

{1 + 'ТЁ22 }т WnИ

{Ш >

МХ (?) =

п ~ (WnXwTя)

Время релаксации исходной ККФ и функций памяти п -го порядка определяются следующим образом:

N-1 N-1

тс = Д§ с(?1), ..., Тм„ =Д?§МХ ). (12)

1=о п 1=о

Множество безразмерных чисел определяет статистический спектр параметра немарковости:

8 } = К

ХУ ХУ

К ,

8х7 }

> йп—1 / :

8Х7 =

м X

ху ТмХ В2 = 1" ТмХ

в ХУ = Хмх1 п—1 _

ТмХУ

(13)

Таким образом, величина 8—7 характеризует отношение времен релаксации для функций памяти мп— и мХ. С помощью параметра немарковости можно разделить все стохастические процессы на марковские, немарковские и квазимарковские. Спектр параметра немарковости определяет стохастические особенности ККФ.

В данной работе будет использоваться частотно-зависящий случай параметра немарковости:

вХ7 =

мХ»

Ч—1 .ХУ

мХ (V)

(14)

Здесь мХ7^) - Фурье-образ / -й функции памяти:

мХУ (V) =

N —1

Лt 2 е(г]

1 = 0

N—1

мХУ(V)=

At ^ мХ7

1=0

мХ7 (V) 2 мХ7 (^

1=0

Значение первой точки параметра немарковости на нулевой частоте определяется следующим образом:

вХ7 (V = 0) = вГ (0) =

мХ7 (0)

(15)

< (0) ]

Используя первую точку параметра немарковости в^ (V), можно детально рассмотреть поведение исходной ККФ и функции памяти первого порядка.

Представленная выше цепочка немарковских конечно-разностных кинетических уравнений (11) представляет обобщение известной в статистической физике кинетической теории Цванцига-Мори на случай кросс-корреляций в дискретных негамильтоно-вых сложных системах. Статистическая теория дискретных немарковских случайных процессов позволяет выявить в исходных временных сериях эффекты марковости и немарковости, эффекты долго- и кратковременной статистической памяти, эффекты случайности и периодичности, эффекты динамической перемежаемости релаксационных режимов.

3. Коэффициент корреляции

Для оценки степени коррелированности двух случайных величин в математической статистике используется понятие коэффициента корреляции. Коэффициентом корреляции к(Х,У) двух случайных величин Х и У, дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число:

к (Х ,7) = СОХ^,

а х Оу

где соу(Х,У) есть ковариация случайных величин Х и У; аХ, аУ - их среднеквадра-тические отклонения [26]. Коэффициент корреляции обладает следующими основными свойствами:

х

с

2

2

N —1

2

1. Если случайные величины X и Y независимы, то к(X, Y) = 0. Обратное утверждение в общем случае не верно.

2. к(X, Y)| < 1.

3. Говорят, что X и Y являются положительно коррелированными, если к(X,Y) > 0; отрицательно коррелированными, если к(X,Y) < 0; некоррелированными, если к (X, Y) = 0.

Смысл знака коэффициента корреляции состоит в том, что при к(X, Y) > 0 возрастанию значений случайной величины X соответствует увеличение значений Y ; при к(X, Y) < 0 увеличению одной случайной величины соответствует уменьшение другой.

Если |к(X, Y)| < 0.5, то говорят, что X и Y слабокоррелированны; случай |к(X,Y)| > 0.5 соответствует сильной корреляции между двумя случайными величинами.

4. Экспериментальные данные.

Нейромагнитные отклики коры головного мозга человека

В данной работе мы представляем анализ перекрестных корреляций, проявляющихся в динамике визуально вызванных нейромагнитных откликов затылочной и височной областей коры головного мозга здоровых людей (группа из 9 человек) и пациента с ФЧЭ. Фоточувствительная эпилепсия представляет собой разновидность эпилепсии, при которой эпилептические приступы провоцируются ритмическими световыми вспышками. Медицинские исследования показывают, что наиболее опасным стимулом, вызывающим эпилептический приступ, является комбинация мерцающих всплесков голубого и красного цветов с частотой 10-30 Гц.

Исходный сигнал представляет собой изменение во времени тангенциальной составляющей переменного магнитного поля, генерируемого различными участками коры головного мозга человека. Регистрация экспериментальных данных осуществлялась при помощи 61 SQUID-датчиков (SQUID, Superconducting QUantum Interference Device - сверхпроводящий квантовый интерференционный детектор), расположенных на поверхности головы. Разрешающая способность датчиков очень высока. SQUID-сенсоры способны регистрировать магнитные поля с точностью до 10-15 Тл [24, 25]. Во время эксперимента перед волонтером устанавливался экран, на который с помощью двух видеопроекторов проецировался мерцающий красно-голубой стимул (частота 30 Гц). Экран расположен таким образом, что восприятие стимула сопровождалось минимальными движениями глаз [24, 25].

Затылочная и височная области головного мозга человека выбраны согласно их физиологическим функциям. В затылочной области коры головного мозга расположен зрительный центр (сенсоры с номерами 51, 52, 53). Нервные пути, передающие визуальную информацию в зрительный центр, проходят вблизи височных долей мозга (30-й, 34-й - датчики расположены в лево-височной области, 56-й, 57-й - в право-височной).

5. Анализ и обсуждение полученных результатов

На рис. 1 представлены исходные временные серии, зарегистрированные SQUID-детекторами, расположенными в височной (56-й сенсор, правый висок) и затылочной (51-й сенсор) областях коры головного мозга здорового человека (рис. 1а) и пациента с ФЧЭ (рис. 1б). Динамика сигналов, продуцируемых корой головного мозга здорового человека, характеризуется более крупномасштабными флуктуациями. Квазипериодический характер динамики сигнала, представленного на рис. 1 а, непосредственно связан с

нормальными физиологическими ритмами, проявляющимися в биоэлектрической активности мозга. Первые 200 мс регистрируется «контрольный» сигнал, т.е. в это время на экран не подается мерцающий стимул. На исходных сериях этот период характеризуется меньшей амплитудой колебаний величины магнитного поля. У здорового человека, при включении мерцающего стимула, отмечается резкое увеличение среднего значения регистрируемого параметра, у пациента - появление более значительных флуктуаций в исходном сигнале.

ю

70 60 50 40

о 30 ' ' 20

10 0

Healthy Subject

X

SQUID numbers 51, 56

Patient

LO

60

0

О

X 20 0

SQUID numbers 51, 56

0

70 60

I— 50

Ю

t- 40

О 30 ' 20 10 0

О >- 20

0

600 800 Time [2x10-3 sec]

0

Пте [2x10 3 sec]

(а)

(б)

Рис. 1. Исходные временные серии величины магнитного поля, генерируемого затылочной (51-й датчик) и височной (56-й датчик) областями коры головного мозга, (а) -здорового человека (6-й испытуемый) и (б) - пациента с ФЧЭ

На рис. 2 представлены четыре плоские проекции фазовых портретов для различных комбинаций ортогональных динамических переменных. Из большого числа возможных проекций фазовых облаков (всего шестнадцать) мы представили лишь некоторые. Фазовые портреты, построенные для сигналов, продуцируемых височной и затылочной областями коры головного мозга здорового человека и пациента с ФЧЭ, имеют заметные структурные различия.

Healthy Subject

SQUID numbers 51, 56

-40 -20

60 40 ^ 20 0 -20

Patient

SQUID numbers 51, 56

WX [t]

-40 -20

WX [t]

0 20 WX [t]

WX [t]

-40 -20

WX [t]

-40 -20

WX [t]

WX [T]

WX [t]

(а)

(б)

Рис. 2. Четыре плоские проекции фазовых облаков для различных комбинаций ортогональных динамических переменных для нейромагнитных откликов коры головного мозга (а) - здорового человека и (б) - пациента с ФЧЭ

Фазовые портреты для сигналов мозга здорового человека (рис. 2а) разделены на две сходные по структуре неравные части, меньшая из которых (показана стрелкой) соответствует динамике величины магнитного поля до мерцающего стимула. В момент

80

200

400

600

800

1000

200

400

600

800

1000

80

60

200

400

600

800

1000

200

400

1000

40

20

>-о 0

20

40

20

40

40

40

20

20

40

20

40

20

40

ответствует динамике величины магнитного поля до мерцающего стимула. В момент включения стимула можно обнаружить «фазовый переход», отчетливо различимый в изменениях величины магнитного поля (рис. 1а).

Совершенно другая картина наблюдается в фазовых портретах для больного человека (рис. 2б). Фазовые облака отличаются стратификацией (обратите внимание на масштаб). Однородность концентрации фазовых точек свидетельствует о том, что при включении стимула не происходит «фазовых изменений» в динамике величины магнитного поля.

Таким образом, можно предположить, что в функционировании головного мозга здорового человека обнаруживается некий защитный механизм, активизирующийся при неблагоприятных внешних воздействиях и блокирующий развитие высокого коллективного возбуждения нейронов в коре и подкорковых областях (эпилептический приступ). При ФЧЭ действие этого механизма нарушается или угнетается.

На рис. 3 представлены спектры мощности исходной ККФ и трех функций памяти более высокого порядка, вычисленных для динамики сигналов мозга здорового человека (рис. 3 а) и пациента с ФЧЭ (рис. 3б). Спектр мощности исходной ККФ для сигналов мозга здорового человека имеет ярко выраженную фрактальную структуру. На спектре заметен всплеск на частоте 1о Гц, который можно отождествить с а-ритмом (затылочная область) и т-ритмом (право-височная область).

Healthy Subject

X3 4000

2000 0

5000

^ 4000

>- 3000 X см

2000 1000 0

0.2 0.3 0.4 0.5

V [1 / т]

V [1 / т]

>- 4000 X со i

0.2 0.3 0.4 0.5

12 10 8 6 4 2 0

(

3500 3000

^ 2500 >

2000 X^ 1500 1000 500 0

x 104 Patient

0.2 0.3

V [1 / т]

V [1 / т]

V [1 / т]

0.2 0.3

V [1 / т]

0 10000 0 0. 0.2 0.3 0.4 0 V [1 / т]

8000 I

6000

34000 II II I

2000 0 J Ж Мл,

0.2 0.3

V [1 / т]

(а) (б)

Рис. 3. Спектры мощности исходной ККФ и функций памяти старшего порядка, вычисленные для нейромагнитных откликов затылочной и височной областей коры головного мозга: (а) - здорового человека и (б) - пациента с ФЧЭ

Спектры мощности функций памяти старшего порядка характеризуются наличием нескольких значительных пиков в области низких частот (до 50 Гц) и сильной фрак-тальностью в других областях.

При ФЧЭ поведение спектров мощности исходной ККФ и функций памяти кардинально меняется. Заметно нарушение фрактальной структуры спектра мощности исходной ККФ, увеличение в 100 раз (!) пика, связанного с а(т)-ритмами, возникновение группы всплесков на частоте 50 Гц. На спектрах мощности кросс-корреляционных функций памяти появляются значительные всплески, перекрывающие область средних и высоких частот. Амплитуда некоторых пиков сравнима с высотой всплеска, связанного с а(т)-ритмами. Таким образом, при ФЧЭ в биоэлектрической активности головного мозга человека появляются дополнительные квазипериодические процессы.

Частотные спектры первых трех точек статистического параметра немарковости, построенные для динамики магнитоэлектрической активности затылочной (зрительной) и височной областей коры головного мозга здорового человека и больного с ФЧЭ,

x 10

8000

6000

2000

0.5

представлены на рис. 4. Осциллирующая низкоамплитудная структура в частотной зависимости первой точки параметра немарковости, вычисленной для сигналов мозга здорового человека, при ФЧЭ сменяется значительными амплитудными всплесками. Полностью изменяется частотное поведение второй точки параметра немарковости: значительный амплитудный всплеск из области низких частот смещается в область более высоких частот. В частотном спектре третьей точки параметра немарковости сильные всплески в области средних и высоких частот при ФЧЭ пропадают.

Значение первой точки параметра немарковости на нулевой частоте (далее - «параметр немарковости») позволяет количественно оценить проявление эффектов долго-и кратковременной памяти в исследуемой стохастической динамике. Большое значение данного параметра соответствует случаю кратковременной памяти (марковский процесс), значение порядка единицы свидетельствует о наличии в изучаемой стохастической динамике сильных немарковских эффектов. Для сигналов мозга здорового человека (6-й испытуемый) и больного с ФЧЭ, зарегистрированных с 51-го и 56-го сенсоров, значения данного параметра различаются в 4.5 раза. Отношение среднего значения параметра немарковости для группы здоровых людей к величине данного параметра, вычисленного для нейромагнитных откликов коры головного мозга больного человека, составляет 23.25 (!) (сенсоры 51-й - 56-й).

Healthy Subject

SQUID numbers 51, 56

Patient

eXY (0)=2.1866

SQUID numbers 51, 56

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

v [1 / t]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

v [1 / t]

(а)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

v [1 / t]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

v [1 / t]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

v [1 / t] (б)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

v [1 / t]

Рис. 4. Частотные зависимости первых трех точек статистического параметра немарковости для динамики магнитного поля, продуцируемого затылочной и височной областей коры головного мозга (а) - здорового человека и (б) - пациента с ФЧЭ

Анализ значений параметра немарковости для группы здоровых людей (среднее значение) и пациента с ФЧЭ позволяет разделить все комбинации сенсоров на 3 группы:

1) пары сенсоров (51-57), (52-57), (53-57), (53-30), (53-34) - значения параметра немарковости для сигналов, продуцируемых этими участками, для здоровых людей и пациента с ФЧЭ сопоставимы. Таким образом, взаимодействие между перечисленными участками коры головного мозга человека при возникновении ФЧЭ сильно не изменяется;

2) комбинации сенсоров (51-56), (51-34), (52-56), (53-56) - в коллективной активности данных участков эффекты долговременной статистической памяти у пациента с ФЧЭ проявляются значительно сильнее (~ 10 раз) чем у здоровых людей. Взаимодействие между сигналами, генерируемыми этими участками, при ФЧЭ критическим образом нарушается. Полученные результаты позволяют определить направление распространения аномального коллективного возбуждения нейронов коры головного мозга человека;

3) комбинации сенсоров (51-30), (52-30), (52-34) - в данном случае наблюдается обратная, по сравнению с предыдущим случаем, картина - небольшие значения параметра немарковости для группы здоровых людей. Коллективная динамика сигналов в этом случае у больного человека характеризуется снижением эффектов долговременной памяти, что указывает на ослабление синхронизации в деятельности этих участков при ФЧЭ.

8

6

4

2

Сопоставление значений коэффициентов корреляции показывает, что для всех комбинаций сенсоров у здоровых людей проявляется более сильная коррелированность между сигналами коры головного мозга (к ~ 0.4-0.5), чем у пациента с ФЧЭ (к ~ 0.10.3). Таким образом, при ФЧЭ наблюдается снижение коллективной синхронизации между сигналами затылочной и височной областями коры головного мозга.

5. Заключение

В работе представлен новый метод анализа и кинетического описания кросс-корреляций между сигналами, генерируемыми отдельными частями или компонентами сложных составных систем. Данный метод основан на теории дискретных немарковских случайных процессов. С помощью техники проекционных операторов Цванцига-Мори определен широкий спектр динамических и статистических параметров и характеристик, предоставляющих детальную информацию о перекрестных корреляциях.

В работе выполнен анализ временных серий магнитной составляющей визуально вызванной биоэлектрической активности затылочной и височной областей коры головного мозга здоровых людей и пациента с ФЧЭ. Регистрация сигналов осуществлялась при помощи SQUID-сенсоров.

Сопоставительный анализ исходных временных серий был проведен на основе фазовых портретов различных комбинаций ортогональных динамических переменных, спектров мощности исходной кросс-корреляционной функции и функций памяти, частотной зависимости первых трех точек параметра немарковости, а также значений коэффициента корреляции.

Полученные результаты свидетельствуют: (i) о более сильной коррелированности между сигналами нейромагнитных откликов, продуцируемых различными участками коры головного мозга здоровых людей, (ii) о наличии в деятельности головного мозга здорового человека защитного механизма, предотвращающего коллективное возбуждение нейронов, свойственное для ФЧЭ, (iii) о возможности идентификации областей, взаимодействие между которыми заметно нарушается при ФЧЭ.

Полученные результаты позволяют существенно расширить представления о кросс- и мульти-корреляциях, проявляющихся в сложных временных сериях.

Настоящая работа поддержана фондами: грант Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ № РНП.2.1.1.741, грант РФФИ № 05-02-16639-а. Авторы выражают благодарность Dr. S. Shimojo (CalTech, USA), Dr. J. Bhattacharya (Austrian Academy of Sciences, Austria; University of London, UK) за предоставленные экспериментальные данные и плодотворную научную дискуссию, Хус-нутдинову Р.М. (ТГГПУ, Россия) за помощь в проведении численных расчетов.

Литература

1. Altmann E.D., Kantz H. Recurrence time analysis, long-term correlations, and extreme events. // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. P. 056106-1-9.

2. Rigozo N.R., Echer E., Nordemann D.J.R et al. Comparative study between four classical spectral analysis methods. // Appl. Math. Comput. 2005. Vol. 168. No. 1. P. 411-430.

3. Bickel D.R., Verklan M.T., Moon J. Detection of anomalous diffusion using confidence intervals of the scaling exponent with application to preterm neonatal heart rate variability. // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. No. 5. P. 6440-6448.

4. Javors'kyj I., Isayev I., Zakrzewski Z., Brooks S.P. Coherent covariance analysis of periodically correlated random processes .// Signal Process. 2007. Vol. 87. No. 1. P. 13-32.

5. Liebovitch L.S., Yang W. Transition from persistent to antipersistent correlation in biological systems. // Phys. Rev. E, 1997. Vol. 56. No. 4. P. 4557-4566.

6. Stanley H.E., Meakin P. Multifractal phenomena in physics and chemistry. // Nature. 1988. Vol. 335. P. 405-409.

7. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series. // Physica D. 1985. Vol. 16. P. 285-317.

8. Schreiber T., Schmitz A., Classification of time series data with nonlinear similarity measures. // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79. P. 1475-1478.

9. Timmer J., Lauk M., Deuschl G. Quantitative analysis of tremor time series. // Electroen-cephalogr. Clin. Neuro. 1996. Vol. 101. No. 5. P. 461-468.

10. Ivanov P.Ch., Rosenblum M.G., Peng C.K. et al. Scaling behaviour of heartbeat intervals obtained by wavelet-based time-series analysis. // Nature. 1996. Vol. 383. P. 323-327.

11. Timmer J., Lauk M., Pfleger W., Deuschl G. Cross-spectral analysis of physiological tremor and muscle activity. I Theory and application to unsynchronized electomyogram. // Biol. Cybern. 1998. Vol. 78. P. 349-357.

12. Timmer J., Lauk M., Pfleger W., and Deuschl G. Cross-spectral analysis of physiological tremor and muscle activity. II Application to synchronized electromyogram. // Biol. Cybern. 1998. Vol. 78. P. 359-368.

13. Wigner E.P. On a class of analytic functions from the quantum theory of collisions. // Ann. Math. 1951. Vol. 53. P. 36-67.

14. Goychuk I., Hanggi P. Stochastic resonance in ion channels characterized by information theory. // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. No. 4. P. 4272-4280.

15. Goychuk I., Hanggi P. Non-Markovian stochastic resonance. // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol 91. P. 070601-1-4.

16. Yulmetyev R., Mokshin A., Hanggi P. Diffusion time-scale invariance, randomization processes, and memory effects in Lennard-Jones liquids. // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. P. 051201-1-5.

17. Yulmetyev R., Mokshin A., Scopigno M., Hanggi P. New evidence for the idea of time-scale invariance of relaxation processes in simple liquids: the case of molten sodium. // J. Phys.: Condens. Matter. 2003. Vol. 15. P. 2235-2257.

18. Yulmetyev R., Gafarov F., Hanggi P., Nigmatullin R., Kayumov S. Possibility between earthquake and explosion seismogram differentiation by discrete stochastic non-Markov processes and local Hurst exponent analysis. // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 066132-1-14.

19. Yulmetyev R.M., Mokshin A.V., Hanggi P. Universal approach to overcoming nonsta-tionarity, unsteadiness and non-Markovity of stochastic processes in complex systems. // Physica A. 2005. Vol. 345. P. 303-325.

20. Yulmetyev R., Hanggi P., Gafarov F. Stochastic dynamics of time correlation in complex systems with discrete current time // Phys. Rev. E, 2000. Vol. 62. P. 6178-6194.

21. Yulmetyev R., Hanggi P., Gafarov F. Quantification of heart rate variability by discrete nonstationary non-Markov stochastic processes. // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 046107-1-15.

22. Yulmetyev R.M., Demin S.A., Panischev O.Yu., Hanggi P. Age-related alterations of relaxation processes and non-Markov effects in stochastic dynamics of R-R intervals variability from human ECGs. // Physica A. 2005. Vol. 353. P. 336-352.

23. Yulmetyev R.M., Demin S.A., Panischev O.Yu., Hanggi P., Timashev S.F., Vstovsky G.V. Regular and stochastic behavior of Parkinsonian pathological tremor signals. // Physica A. 2006. Vol. 369. P. 655-678.

24. Watanabe K., Imada T., Nihei K., Shimojo S. Neuromagnetic responses to chromatic flicker: Implications for photosensitivity. // Neuroreport. 2002. Vol. 13. P. 2161-2165.

25. Bhattacharya J., watanabe K., Shimojo Sh. Nonlinear dynamics of evoked neuromagnetic responses signifies potential defensive mechanisms against photosensitivity. // Int. J. Bif. Chaos. 2004. Vol. 14. P. 2701-2720.

26. http://ru.wikipedia.org