Абсолютная устойчивость одной системы прямого управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.К. Поливенко, 2006

УДК 517.925

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ПРЯМОГО УПРАВЛЕНИЯ

В.К. Поливенко

В работе решается задача абсолютной устойчивости системы регулирования на плоскости с прямым управлением. Найдены области изменения значений параметров управлений и свойства двух исполнительных органов (нелинейных функций), при которых система абсолютно устойчива.

Рассмотрим математическую модель объекта управления в виде системы

где {х$), х2{1)} — вектор состояния объекта, {и\{х\,х2), щ(х1,#2)} — вектор управления.

Будем предполагать:

I) движения хь(1:^0,х0),к = 1,2, ж0 = е ^ — 0х\х2 наблюдаются на

промежутках /(£0) = [£0, +оо)У£0 при управлении вида:

II) в В? функции Д непрерывны и таковы, что система (А):

1. Не имеет линейной части, то есть матрица А = О — нулевая.

2. Имеет единственное решение задачи Коши сс*.(£) = хк^,ь0,х°),к = 1,2, каковы бы ни были допустимые управления ик.

В теории автоматического управления (регулирования) (ТАУ) (А), (В) — называют системой прямого управления (регулирования) с двумя исполнительными органами ^(щ) и /2(162).

Для системы (А) с (В) решаем задачу анализа ТАУ: найти область Э изменения значений параметров а,Ь,с,с1 в управлениях щ, для которых система возмущения (А) асимптотически устойчива при любых начальных возмущениях х° и любом выборе /*,, удовлетворяющих обобщенным условиям Рауса — Гурвица, то есть система (А) абсолютно устойчива.

Если множество Б не пусто, то управления (В) называют законом обратной связи или законом регулирования. Его реализация осуществляется с помощью совокупности измерительных приборов, усилителей, преобразователей и исполнительных © устройств, называемых регулятором.

Хк = 1к(ик), /*(0) = 0, к = 1,2,

(Л)

и\ = ахі + Ьх2, и2 = сх і + сЬ2;

Д = асі — Ьс Ф 0;

(В)

В силу предположения II. 1 мы не можем использовать методику исследования абсолютной устойчивости работы [1, гл. III, IV]. Поэтому определение области Б осуществляем на основании прямого метода Ляпунова и некоторых качественных приемов исследования динамических систем на плоскости, которые приведены в работе [2] и других.

В системе (А) перейдем от координат (х1,х2) к координатам («1,1x2). преобразование (В), осуществляющее этот переход, согласно Д Ф 0 является невырожденным. Новая система будет иметь вид

Гй1= а/^их)+ 6/2(и2),

\й2 = 0/1(161) + сг/2(и2).

Система (1) является системой непрямого регулирования.

Пусть всюду в дальнейшем функции

Ьк{ик) = при щ ф о, к = 1, 2,

'У'к

удовлетворяют обобщенным условиям Рауса — Гурвица системы (1):

ак 1(161) + 6Ь2{и2) < 0, (2)

(ас/ — Ьс) х /г1 (161)к2{и2) = Дх {и1)К2{и2) > .0 (3)

Будем считать, что А = ас1 — Ьс > 0, тогда из (3) следует, что

Ь\(и\)}12{и2) >0, ик ф 0,

/к{ик)ик > 0, к = 1,2. (4)

и пусть ради определенности:

М^1) >0, ихф 0,

Ь2(и2) >0, и2ф 0

Тогда вследствие (2) и (4) случай а > 0, с/ > 0 невозможен.

Поэтому возможны следующие случаи:

1) ас! < 0, при этом из Д > 0 следует, что Ьс < 0;

2)а<0ис1<0, в этом случае произведение Ьс знаконеопределено.

В случае 1), не умаляя общности, будем считать:

а > О, с! < О

(если а < 0, (I > 0, то, переименовав переменные щ на и2 и и2 на щ, придем к тому же случаю.)

В рассматриваемом случае 1) из (2) следует, что функция щ ф 0 огра-

ничена сверху, а функция Н2(и2),и2 ф 0 — снизу.

Положим:

С1 = вир /11(111); 4 = Ьк{ик), к = 1,2,

тогда вследствие (2)-(4) при и\и2 ф 0 имеют место неравенства:

акг(щ) + с1с*2 <0, с*2 < /12(^2); (61)

к^щ) < сг, асг + (1к2{и2) < 0, (52)

причем в каждом из условий (5х) и (5г) хотя бы одно из неравенств является строгим, где сх > 0, с2 > 0.

Таким образом, в рассматриваемом случае 1):

а > 0, (I < 0, Сх > 0, с, > 0

(5’)

Введем в рассмотрение условия:

а [ЛЮ - ЛК')] + Лс*2(и\ - и") >0 и[< и",

/гЮ - с*2и2 < /зЮ - с2и2 щ < и2.

(6)

(7)

Теорема 1. Пусть Ь < О и имеет место с л у ч а й 1): (5*). Если выполнены условия (2), (4) и (6), (7), то для абсолютной устойчивости системы (А) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Нт

и\—>+оо

их

J - (акх (их) + йс*2)и1

_о

1

Дс2 М2—*+0°

Нт [асх + ^/12(и2)]«2 =+оо, (8)

Нт

и\—»—оо

и\

J + (ак^т) + <1с2)щ

Дс2

Нт \aci-\-dk2(м2)]и2 =+оо. (9)

42—*—ОС

Доказательство. Достаточность. Покажем, что неограниченные траектории системы (1), если они существуют, при возрастании t образуют раскручивающиеся против часовой стрелки спирали.

Рассмотрим функцию

их

Д Г I

У(щ;и2) = — J Ь(и,)Лщ + -Чщ - Ьи2) .

(10)

В силу (5х) либо ак^щ) + &с*2 < 0,щ ф 0; либо /12(м2) > с2,и2 ф 0. Поэтому производную функции У(щ,и2) в силу системы (1) можно представить в виде

У(щ,и2) = ^ (/гх(мх)[а^1(и1) + ^с2]и! + Ь/г1(м1)[Л'2(и2) ~ с2]щи2).

С2

Вследствие Д > 0, (5х), с2 > 0 и Ь < 0 (из Ьс < 0 —► с > 0)

У(«х,м2)<0, ихи2 > 0,

ТО есть В первой И третьей четвертях ПЛОСКОСТИ 0и1У,2, причем У(0, и2) = 0 (на оси 0и2).

Если

±00

J = +00, (11)

О

то функция У{и\ , и2) является бесконечно большой и ее линии уровня У'(г/1, г42) = С в первой и третьей четвертях пересекают оси координат фазовой

ПЛОСКОСТИ 011x112.

Поэтому неограниченная положительная полутраектория Г*"(р, 1),р € I четверти должна покинуть эту четверть. Из

«2|и2=о = сНхих > 0, их > 0, йх\и1=0 = Ък2и2 < 0, и2 > О

и рассмотрения поля направлений системы (1) ясно, что это может произойти только через положительную полуось ординат 0и2-

Пусть условие (11) нарушается и пусть ради определенности сходится интеграл

+оо

J Ь{их)(1их.

О

Тогда вследствие (8) /+(??,£) не уходит в бесконечность в I четверти. Покажем это.

Заметим, что в рассматриваемом случае линии уровня У(«1,и2) = С функции

(10) при достаточно больших С состоят из двух ветвей, расположенных по обе

стороны прямой с1их — Ьи2 — 0 и лежащих внутри полосы вида

\diux — Ъи2| < С. (12)

Очевидно, полутраектория Г*"(р,1;) может уходить в бесконечность только внутри этой полосы.

В силу (8) либо

Цщ [акх(их) + сЩг*! = —с» (13)

их—>+оо

либо

Ит [й/г2(г42) + асх]и2 = —оо. (14)

«2—>+0О

Если выполняется (13), то вдоль £+(р,1;) = {г^х(^),г*2(^)},^ > 0 при достаточно больших их

йх = [а/г-1 (их) + б?с2]и1 + Ь[/г.2(и2) — — сЦсЬих — 2ш2) <,

< [аЛх{их) + <1с*^их + с*2\(1их — Ьи2\ < [аИ,х(их) + с2с2]и1 + С < О, то есть их{Ь) убывает вдоль (р, 1).

Кроме того,

Й2|и2=о = с/&1 (щ)и1 >0 с > 0, к\(и{) > 0, щ Ф 0,

то есть Г+(р, 1) пересекает ось 0«х в первой четверти снизу вверх.

Пусть теперь (13) не выполняется. Это возможно только при

асх -I- с?е2 = 0.

Поэтому при больших щ > 0 в полосе (12) в силу Ь < 0, й < 0 и (52) имеем

щ = (аЛ-х + с1с2)щ + -.[(1112 — 6с2]гх2 — с2(с1и1 — Ьи2) <

а

ь ь

< (а/г-х + (1с*2)и1 + -[й/г2 + ас]и2 + сЦс1щ — £ш21 < — [с?/г2 + ас]и2 + с*2С < 0.

(л (X

Из этих рассуждений следует, что траектория Г^р,*;) не может уходить в бесконечность в I четверти вдоль прямой с1щ — Ьи2 = 0. Следовательно, траектория Г+(р, 1) должна покинуть I четверть только через полуось 0и2,и2 > 0.

Во II четверти и2(£) вдоль траектории Г^р^) убывает, поскольку в силу (4) с > 0 и с1 < 0,

1 с1ъ1?

= 2 + (И12(и2)и\ <0 Их < 0.

При дальнейшем возрастании t Г^р^) пересекает отрицательную полуось 0щ. Покажем это.

С этой целью введем в рассмотрение функцию

Ух (их, иг) = \щ\ - ~~ |и2| = и^пгхх + зг^пи2 ф 0.

а а

В силу системы (1)

Ух(«1,м2) = Л1«х ^с^пих + + МгМг^пмх + sgnг^2).

При мх«2 < 0 имеем sgn м2 = ~sgnг^x и

Д

Ух = ~/гхг«,18§пгбх < 0 при щ ф 0. (15)

* й

Поскольку Ух(г1х,г12) бесконечно большая функция, то ее линии уровня Ух(мх,м2) = С пересекают ось Омх- Поэтому во II четверти вследствие (15) Г^р, 1) пересекает ось 0их,их < 0.

В нижней полуплоскости рассуждения аналогичны. Отсюда видно, что уходящая в бесконечность (по предположению) положительная полутраектория Г^р, <;) должна образовывать раскручивающуюся против часовой стрелки спираль.

Далее, дословно повторяя соответствующие рассуждения из доказательства теоремы 3.2 гл. I работы [2], можно показать, что вследствие (6) и (7) ни одна траектория системы (1) при возрастании времени t не может раскручиваться против часовой стрелки. Полученное противоречие показывает, что в условиях теоремы все положительные полутраектории f+(p,t) ограничены.

Затем, ссылаясь на лемму 3.1 из [2], завершаем доказательство достаточности условий (8) и (9).

Необходимость этих условий доказывается от противного, как в теореме 3.2. [2]. Теорема доказана.

Замечание. Если aci + dc£ < 0, то условия (8) и (9) выполняются автоматически.

Это неравенство следует из неравенства (2) в том случае, когда точные границы Ci и с2 функций hi(ui) и h2{u2) достигаются соответственно при каких-то u'f Ф 0 и и'2 ф 0, то есть

cr= sup hi(ui) = hi{u\), с2 = inf /*i(ii2) = h2(u2).

Ul^o “2^0

Для случая 2): a < 0, d < 0 имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (2), (4) и имеет место случай 2). Тогда для абсолютной устойчивости системы (А) достаточно выполнения неравенства

inf h(u2) — с*2 > 0, Ъс < —ad. (16)

U2#0

Доказательство. Заметим прежде всего, что в случае 2) при выполнении (2) и (3) имеем Д = ай — Ьс > 0. Введем в рассмотрение определенно положительную функцию

Щ U2

У2(щ,и2) = |с| J Л(«1)^1 + |Ь| J /2(и2)(1и2.

о о

В силу системы (1)

у2(щ,и2) = а\с[$1(и\) + [Ъ\с\ + |&|с]/1(и!)/2(и2) + (1\Ъ\^(и2) < 0, (17)

согласно критерию Сильвестра:

А = а\с\ <0, В = Ъ\с\ + |Ь|с, К — в\Ъ\ < 0

и

„ „о , , г.:. Iг17 I , п г | —4ЬсД < 0 Ьс> 0,

И — В — 4АК = 2 Ьс [ Ьс + Ьс — 2ас1] = < .

1 111 1 ] [АЬса(1<0 Ьс < 0

то есть У2 = ^(/11/2) — определенно отрицательная квадратичная форма относительно fk, к = 1,2.

Поэтому, если функция У2 является бесконечно большой, то вследствие I теоремы Барбашина — Красовского [1] нулевое решение щ = «2 = 0 системы (1) устойчиво в целом, а система (А) абсолютно устойчива.

Пусть У2(и\,и2) не является бесконечно большой. Вследствие (17) для любой точки р фазовой плоскости 0щи2

У2(/+(р,*))<У2(р).

Выберем С > 0 так, чтобы было У2(р) < С. Тогда согласно (17) 1:+(р, 1;) не покидает области У2{и\,и2) < С и при достаточно больших |и2| содержится внутри некоторой полосы |г/11 < к\, а при достаточно больших |гбх| внутри некоторой полосы

и21 < к2.

Но при 1^x1 < к\, вследствие (16), (1 < 0 и достаточно больших \и2\ имеет место неравенство

\—7Г ^ ФЫ)и2 + с1с*2и22 < 0.

I аг

Поэтому вдоль Г^р,^ |г12(*)| — ограничен.

Вдоль положительной полу траектории ограничен также и 1^1 (£)|. Покажем

это.

В зависимости от знака параметра Ь дальнейшее доказательство подразделяется на два подслучая.

Подслучай А: Ь < 0. При \и2\ <к2 и достаточно больших |гбх| имеем

1 (И'и?

—г— = ак\и2Л + Ьк2щи2 < 0 щи2 > 0, (18)

2 си

причем знак «=» только при щ = 0, а функция У\{и1,и2) имеет полную производную (15) в силу системы (1)

У1(гц,г42),) < 0 щи2 < 0.

Вследствие (15), (17) и (18) линии уровня У1(«1,и2) = С, У2{щ,и2) = Си прямые

х — С пересекаются траекториями системы (1) в сторону начала координат. Поэтому в этом подслучае |глг(/:)| вдоль Г^р,*;) также ограничен.

Таким образом, ограниченность Г^р,^ доказана. Далее, рассуждая как в разделе 1.2 главы 1 работы [2], нетрудно показать, что любая полутраектория ^(р,!;) —> (0,0) и состояние равновесия щ = и2 = 0 системы (1) устойчиво по Ляпунову.

Подслучай Б: Ь > О. Рассмотрим функцию УДмьМг), которая в этом подслучае имеет вид

Ъ

У\{цъи2) - щщпщ - -?^пи2,

а

а ее полная производная в силу системы (1) и того, что Ь > О, Д > 0, (4) и (16)

< 0 ихи2 > 0.

— 2Ыь2и2$£а.и2 < 0 щи2 < 0.

К

Поскольку в рассматриваемом подслучае функция u2) является бесконеч-

но большой, то есть Vi («1, U2) —» +00 при IU1U2I +°°. а ее производная V\ < 0 при всех щ и и2, то по I теореме Барбашина — Красовского нулевое решение системы (1) устойчиво в целом.

Поэтому для этого подслучая в теореме введено дополнительное условие (16): ad + bc > 0. Теорема доказана.

Заключение. Итак, нами показано, что в случае 1):

Д = ad — be > 0, ad <0

при выполнении условий (2), (3), (4), (6) и (7) для абсолютной устойчивости системы (А), (В) необходимо и достаточно выполнения условий (8) и (9);

в случае 2): а < 0, d < О, Д > 0 при выполнении обобщенных условий Рауса — Гурвица (2), (4) и

inf h2(u2) = С2 > 0, ad + be > О

тфо

достаточно для абсолютной устойчивости системы (А), (В).

Summary

ABSOLUTE THE STABILITY OF THE ONE SYSTEM OF STRAIGHTS MANAGEMENT

V.K. Polivenko

We obtain the necessary and sufficient conditions of absolute the stability system or form

dis

— = f(u(x 1,х2)), x, /, и E R2-, и = Ax, A — const matrix type 2x2 under realization of Hurwitz type conditions:

{ahi(ui) + bh2(u2) < 0, det A hi(u{) h2[u2) > 0,

det A — ad — be, hk[Uk) = , ufe ф 0, к = 1,2.

ик

Список литературы

1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

2. Поливенко В.К. Глобальное поведение решений систем дифференциальных уравнений на плоскости. Волгоград, 1997. 236 с.