CC BY
3
УДК 624.01
doi: 10.48612/dnitii/2024_50_118-128
К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЙ МОДЕЛЕЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПРИМЕРЕ РАСЧЕТА КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ
М. В. Мозголов*
Г. Э. Окольникова** / ***
* Коломенский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Московский политехнический университет», г. Коломна
** Российский университет дружбы народов им. Патриса Лумумбы (РУДН), г. Москва
*** Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
(НИУ МГСУ), г. Москва
Ключевые слова
вычислительный комплекс SCAD, консольная балка, изгибающие моменты, напряжения, прогибы, сходимость результата
Дата поступления в редакцию
04.03.2024
Дата принятия к печати
07.03.2024
Аннотация
В учебном пособии к вычислительному комплексу 8САБ++ приводятся сведения о сходимости результатов вертикальных перемещений расчета консольной балки, модели которой состоят из разных типов объемных конечных элементов и различном конечно-элементном разбиении. Отклонения компьютерного расчета от аналитического метода составляют: -9%, -3%, -0,5%, -12%. Балочные конструкции в строительстве используются довольно часто, поэтому представленные сведения при создании компьютерных моделей являются важными. Следует отметить, что оценка качества конечно-элементных моделей исключительно на основании определения перемещений является не полной. Национальный стандарт Российской Федерации по численному моделированию требует
оценивать качество моделей на основании ряда критериев, основанных на изучении напряжений.
В работе рассматриваются четыре твердотельные модели консольной балки, созданные на основании схем, представленных в пособии комплекса 8САБ++, и одна стержневая модель. Балка выполнена из бетона класса В15 с размерами 2,5 х 0,5 х 0,5 м. Для изучения сходимости решения по изгибающему моменту определяются усредненные фибровые нормальные напряжения по нижней и верхней граням конструкции на расстоянии 0,5 м от опоры. Это обусловлено размером конечного элемента одной из моделей.
Отклонения по изгибающим моментам составляют: -1,44%, -0,25%, -0,44%, +1,06%. Полученные данные сходимости по прогибам существенно отличаются от представленных на схемах в учебном пособии 8САБ++ и составляют: -4,34%, -1,37%, -1,14%, -1,37%. При моделировании конструкций конечными элементами второго порядка КЭ № 37 из библиотеки вычислительного комплекса 8САБ++, даже с крупной сеткой конечно-элементного разбиения при изучении изгибающих моментов и прогибов получается результат с ошибкой, соответствующей нормативным требованиям—до 5%.
Введение
На современном этапе проектной деятельности расчеты строительных конструкций выполняются в программных комплексах, основанных на методе конечных элементов (МКЭ). С математической точки зрения МКЭ не является точным методом расчета [1 - 10]. Для обоснования правильности полученных данных необходимо предпринимать действия, оценивающие качество конечно-элементной модели (КЭМ) и доказывающие сходимость результата. Эти действия регламентированы национальным стандартом Российской Федерации [11]. В соответствии с п.п. 5.4.1 - 5.4.3 стандарта условием высокого качества КЭМ являются совпадения или близкие значения результатов по следующим критериям: основанным на геометрическом совершенстве элементов, основанным на исследовании изменения напряжений в узле в смежных элементах, основанным на исследовании зависимости напряжений от количества элементов. Перечисленные критерии являются минимально необходимыми, но недостаточными, разработчиками программного обеспечения могут вводиться дополнительные критерии оценки [11]. Как правило, при статических расчетах в литературе для оценки конечно-элементных моделей, применяются результаты сходимости на основании сравнения прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил [1 - 10]. Получаемый по МКЭ результат зависит от многих причин, главными из которых являются: тип конечного элемента; форма конечного элемента; размер сетки конечно-элементного разбиения; правильное сопряжение конечных элементов разной размерности. Возможные источники ошибок: настройки решателя, применяемое оборудование и операционные системы, ошибки программного обеспечения и др. [7, с. 169]. В соответствии с письмом Главгосэкспертизы России [12] для повышения качества проектирования расчеты строительных конструкций рекомендуется осуществлять не менее чем в двух программных комплексах. Нельзя не упомянуть и о том, что расчетная конечно-элементная модель с точки зрения строительной механики—это идеализированная модель, с определенными упрощениями, поэтому полученные данные могут отличаться от аналитического расчета или эксперимента. Ошибки могут быть заложены и в программах: «В программных комплексах могут встречаться конечные элементы, не имеющие сходимости. Поэтому при использовании какого-либо программного комплекса пользователь должен убедиться, что для всех КЭ этого комплекса проведены исследования и получены оценки порядка сходимости по перемещениям и напряжениям» [3, с. 130].
Методы и материалы
В учебном пособии к вычислительному комплексу 8САБ++ приводятся сведения о сходимости результатов вертикальных перемещений расчета консольной балки, модели которой состоят из разных типов конечных элементов и различном конечно-элементном разбиении [10, с. 52]. Из пособия неясно, какие параметры расчета анализируются, прогибы или напряжения. Данный пример заимствован из работы [4, с. 29, 84], в которой указывается, что сравнение моделей выполняется по вертикальным перемещениям. Сравнение производится с данными, полученными известным аналитическим методом расчета теории упругости и пластичности. Отклонения компьютерного расчета от аналитического метода составляют: = 9% (1 модель), = 3% (2 модель), = 0,5% (3 модель), = 12% (4 модель) (Рис. 1).
03
г
м О
-I
м
Э СО
га
о н
<и
<и
и *
8 ' I
5 щ
3
<и а
л
ц,
о *
о т
5 I-
и
0
1
т
0 н
X
1
ш
о >
и о а . с са о . а
2 *
са О
с; о
ГО
о 2
Рис. 1. Точность вычисления вертикальных перемещений консольной балки в зависимости от типа конечного элемента и сетки конечно-элементного разбиения [4, 10]
В строительстве балочные конструкции являются одними из самых распространенных, поэтому приведенные данные являются важными для принятия решения при создании конечно-элементной модели. Однако, как было отмечено выше, для оценки качества КЭМ необходимо рассматривать несколько критериев, одним из которых является сходимость по напряжениям, следовательно одних данных прогибов балок недостаточно. Тем более, что ошибка в перемещениях приводит к более грубой ошибке в моментах и еще более грубой в поперечных силах [6, с. 89]. В работах [13, 14] описывается метод изучения сходимости напряжений в твердотельных моделях балок при помощи сравнения изгибающего момента. Этот метод применяется при анализе конструкций в первом (номинальном) уровне детализации напряженно-деформированного состояния (НДС). При втором (конструктивном) и третьем (локальном) уровнях детализации для критических зон [15], качество КЭМ дополнительно следует оценивать в соответствии с критерием п.п. 5.4.2 [11]. Заключается он в том, что отношение разницы между максимальным и минимальным величинами напряжений к среднему в узле между смежными элементами не должно превышать 10 %. По причине отсутствия критических зон в изучаемой конструкции в данном численном эксперименте мы будем применять способ, предложенный в работах [13, 14].
Как в пособии к ВК 8САБ++, так и в первоисточнике, конкретные данные о геометрии консольных балок и их материале отсутствуют. Поэтому в вычислительном комплексе 8САБ++ версии 21 создаем модели, ориентируясь на масштаб чертежей. Изучается балка длиной 2,5 м с поперечным сечением 0,5 х 0,5 м, выполненная из бетона класса В15. С целью более точной оценки деформативности конструкции снижаем ее жесткость. Для этого, начальный модуль упругости бетона всех конечных элементов умножаем на коэффициент редуцирования 0,2 [8, 9]. Во всех моделях вертикальная нагрузка Б = 8 Т прикладывается в торце балок к 8-ми узлам по 1 Т на узел. В каждом узле заделки установлено по 6 связей: X, У, Ъ, их, иу, Ш. Первая модель состоит из конечных элементов типа 36 библиотеки ВК 8САБ++ (пространственный изопараметрический 8-узловой конечный элемент первого порядка) с размерами вдоль осей X, У, Ъ в мм: 125 х 250 х 125. Коэффициент формы элементов 1,25. Вторая модель состоит из конечных элементов типа 37 (пространственный изопараметрический 20-узловой конечный элемент второго порядка) с размерами вдоль осей X, У, Ъ в мм: 125 х 500 х 500. Коэффициент формы элементов 2,13. Третья модель состоит из конечных элементов типа 37 с размерами: 250 х 500 х 250. Коэффициент формы элементов 1,25. Четвертая модель состоит из конечных элементов типа 37 с раз-
мерами: 500 х 500 х 125. Коэффициент формы элементов 2,13. Коэффициенты формы конечных элементов вычислены в комплексе 8САБ++, их значения удовлетворяют требованиям оптимальных форм [6, с.92]. С математической точки зрения МКЭ, наиболее точной моделью является стержневая [1 - 6]. Поэтому был выполнен расчет и стержневой КЭМ. Стержневая модель состоит из конечного элемента типа 6 — пространственный стержень со сдвиговой жесткостью.
Результаты и обсуждение
Данные вертикальных перемещений узлов моделей представлены на рис. 2 - 6. Поля нормальных напряжений вдоль оси X представлены на рис. 7 - 10. Расчет выполнялся многофронтальным методом со стандартными настройками, установленными в вычислительном комплексе 8САБ++.
03
г
м О
-I
м
Э
са
Рис. 2. Модель № 1. Вертикальные перемещения узлов [мм]
Рис. 3. Модель № 2. Вертикальные перемещения узлов [мм]
га
о н
<и
<и
и *
8 ' I
5 щ
3
<и а
л
ц,
о *
о т
5 I-
и
0
1
т о н
X X
ш
о >
и о а . с са о . а
са О
с; о
го о 2
Рис. 4. Модель № 3. Вертикальные перемещения узлов [мм]
Рис. 5. Модель № 4. Вертикальные перемещения узлов [мм]
Рис. 6. Прогибы стержневой модели [мм]
Рис. 7. Модель № 1. Напряжения CTx [Т/м2]
ГО
О H (U Z >s
<U
и
2 i s ' i
S Щ
3
<U
a
.a
с;
о *
о
OÍ
Рис. S. Модель № 2. Напряжения CTx [Т/м2]
s н
и
0
1
т о
H
s
X X
<u J
о >
и о a . с CÛ о . а
Z *
cû О
с; о
m о s
Рис. 9. Модель № 3. Напряжения СТх [Т/м2]
Рис. 10. Модель № 4. Напряжения СТх [Т/м2]
Для изучения сходимости решения по напряжениям изучаем поперечное сечение, расположенное на расстоянии 500 мм от опоры. Причиной этому является размер конечного элемента модели № 4 вдоль балки, равный 500 мм. Для определения усредненных фибровых напряжений по нижней и верхней граням конструкции сначала усредняются значения по звезде элементов узла, а затем по количеству узлов [5]. Полученные данные напряжений и прогибов представлены в таблице 1. После аналитического определения усредненных фибровых напряжений для контроля полученных данных на гистограмме полей напряжений «обесцвечивалась» зона, в которую входят вычисленные значения на-
пряжений ox в нижней и верхней зонах балки. Эти зоны отмечены черным цветом. Во всех твердотельных моделях зоны совпали с сечением, расположенным на расстоянии 500 мм от опоры. Распределение растягивающих и сжимающих напряжений во всех твердотельных моделях симметричное, об этом свидетельствуют поля и гистограмма напряжений Ox .
Таблица 1
Напряжения и прогибы конечно-элементных моделей консольной балки
Модель № Усредненные фибровые напряжения на расстоянии 0,5 м от опоры Изгибающий момент Отклонение изгибающего момента от Прогиб, Отклонение прогиба от
Верх 0xbt,max , [Т/м2] Низ 0xbt,max , [Т/м2] My, Тм теоретического значения, % мм теоретического значения, %
1 756,91 -756,91 15,77 -1,44 16,77 -4,34
2 766,11 -766,11 15,96 -0,25 17,29 -1,37
3 764,6 -764,6 15,93 -0,44 17,33 -1,14
4 776 -776 16,17 + 1,06 17,29 -1,37
Стержневая 16,0 0 17,51 -0,11
Изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении, вычисляем по формуле [13, 14]:
лд- _т ^хЬт.пмх'^хЬс.цтх
У У ъ '
(1)
Момент инерции Iy .
(2)
Модель № 1.
520833,3333 756,91+756,91 , __ „
.
У 10 Модель № 2
0,5
(3)
520833.3333 766,11+766,11 , г ^
.
У 10 Модель № 3.
0,5
(4)
. 520833,3333 764,6+764,6 1 , п. _
.
У ю= Модель № 4.
0,5
(5)
520833,3333 776+776
.
10°
0,5
(6)
и
Z м
О
-I
м
D CD
ГО
О н (U Z >s
(U
и
2 i § ' |
S щ = Э
■Q щ
с; а
О s ^ н
О g
mi
■ о i_ н
СО ^
О i
и
рз
Ц,
Г0 >
2 а
. с
са о
. а
Z *
Прогиб консольной балки в соответствии с правилами сопротивления материалов, с учетом действия изгибающего момента и поперечной силы, определяется по формуле [16].
„ РХЬ3 . „„ 8Х2,53Х(1000) . _„ „г,,--, /г,\
. (7)
' 3ХЕ1 3X2447,92 4 7
Все конечно-элементные модели консольной балки ВК 8САБ++ версии 21 показали хорошую сходимость результата как по прогибам, так и по нормальным напряжениям. При этом следует отметить, что модели № 2, № 3, № 4, состоящие из КЭ типа № 37 — пространственного изопараметриче-ского 20-узлового конечного элемента второго порядка имеют крупную сетку конечно-элементного разбиения. Отклонения от моделей, рассчитанных ранее (до 2003 г.) могут быть вызваны причинами, отмеченными в работе [7]: настройки решателя, применяемое оборудование, операционная система...
Выводы
1. Полученные данные сходимости по прогибам консольной балки, полученные в вычислительном комплексе 8САБ++ версии 21, существенно отличаются от представленных на схемах в учебном пособии ВК 8САБ++, рассчитанных до 2003 г. и составляют: -4,34%, -1,37%, -1,14%, -1,37%. Отклонения по изгибающим моментам составляют: -1,44%, -0,25%, -0,44%, +1,06%.
2. При моделировании консольной балки пространственным изопараметрическим 20-узловым конечным элементом второго порядка типа № 37 из библиотеки вычислительного комплекса 8САБ++ версии 21, даже с крупной сеткой конечно-элементного разбиения при изучении изгибающего момента и прогиба получается результат с ошибкой, соответствующей нормативным требованиям—до 5%.
3. Для решения пространственной задачи теории упругости при создании компьютерных твердотельных моделей следует использовать объемные конечные элементы второго порядка, как наиболее точные, по сравнению с элементами первого порядка.
4. Следующим этапом численного эксперимента может быть изучение сходимости результатов рассматриваемых твердотельных моделей по поперечной силе и опорным реакциям.
Библиографический список
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Перевод с английского под редакцией Б. Е. Победри. М.: МИР, 1975. 541 с.
2. Секулович М. Метод конечных элементов. Перевод с сербского Ю. Н. Зуева. Под редакцией В. Ш. Барбакадзе. М.: Стройиздат, 1993. 664 с.
3. Городецкий А. С., Евзеров И. Д. Компьютерные модели конструкций. К.: Факт, 2005. 344 с.
4. Каплун А. Б., Морозов Е. М., Олферьева М. А. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство. М.: УРСС, 2003. 272 с.
5. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. М.: ДМК Пресс, 2007. 600 с.
6. Перельмутер А. В. Беседы о строительной механике. М.: Издательство SCAD Soft, Издательский дом АСВ, 2016. 304 с.
7. Мельников Р. В. Использование метода конечных элементов в геотехнике. Москва; Вологда: Инфра-Инженерия, 2021. 188 с.
8. Мозголов М. В., Козлова Е. В. К вопросу создания верификационной модели для расчета кессонного железобетонного перекрытия в вычислительном комплексе SCAD. Вестник НИЦ «Строительство». 2022; 32(1): 128 - 140. https://doi.org/10.37538/2224-9494-2022-1(32)-128-140
9. Мозголов М. В., Козлова Е. В. Верификация моделей SCAD железобетонного кессонного перекрытия на основе аналитического метода расчета, учитывающего пролеты и жесткость конструкции // Вестник БГТУ им. В. Г. Шухова. 2023. №2. С. 29 - 40. DOI: 10.34031/2071-7318-2022-82-29-40
10. Карпиловский В. С., Криксунов Э. З., Маляренко А. А., Фиалко С. Ю., Перельмутер А. В., Перельмутер М. А. SCAD Office. Версия 21. Вычислительный комплекс SCAD ++. М.: Изд-во «СКАД СОФТ», 2015. 848 с.
11. ГОСТ Р 57700.10-2018 Численное моделирование физических процессов. Определение напряженно-деформированного состояния. Верификация и валидация численных моделей сложных элементов конструкций в упругой области. Москва; Стандартинформ; 2018.
12. Главгосэкспертиза России. О повышении качества расчетных обоснований проектных решений строительных конструкций». Письмо № 24-10-3/1281 от 28.06.04.
13. Мозголов М. В., Костюков В. В. О выборе места действия напряжений при анализе усилий в твердотельной модели вычислительного комплекса SCAD. Системные технологии. 2023. № 3 (48). С. 122 - 129. doi: 10.55287/22275398_2023_3_122
14. Мозголов М. В., Костюков В. В., Сидоренко Д. А. О сходимости решений моделей вычислительного комплекса SCAD из трехгранной призмы первого порядка. Системные технологии. 2023. № 4 (49). С. 144 - 153. doi: 10.55287/22275398_2023_4_144
15. Соколов С. А. Критерии работоспособности металлических конструкций машин. Проектирование с применением МКЭ. СПб.: Страта, 2023. 202 с.
16. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. 560 с.
ON THE ISSUE OF ASSESSING THE ACCURACY OF SOLUTIONS OF FINITE ELEMENT METHOD MODELS USING THE EXAMPLE OF CALCULATING A CANTILIZER BEAM
M. V. Mozgolov * G. E. Okolnikova ** 1 ***
* IKolomna Institute (branch) of the Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education "Moscow Polytechnic University", Kolomna ** RUDN University, Moscow
*** Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), Moscow
ID Z
H Û -I H
D
CÛ
re о
H
<U
z >s
<U
<u
2 Ï 8 ' i
s <U = Э
■Q щ Ç Q
О s ^ h
О g
«S
■ о
l_ H
«ï" s CÛ ^
О i
ç ®
s °
fO >
2 a . с
CÛ о
. a Z *
Abstract
The Keywords
SCAD computer complex, cantilever beam, bending moments, stresses, deflections, convergence of results
The training manual for the SCAD++ computer complex provides information on the convergence of the results of vertical displacements in the calculation of a cantilever beam, the models of which consist of different types of volumetric finite elements and different finite element partitions. Deviations of the computer calculation from the analytical method are: -9%, -3%, -0.5%, -12%. Beam structures are used quite often in construction, so the information presented is important when creating computer models. It should be noted that assessing the quality of finite element models solely on the basis of determining displacements is not complete. The national standard of the Russian Federation
Date of receipt in edition
Date of acceptance for printing
04.03.2024
07.03.2024
for numerical modeling requires assessing the quality of models based on a number of criteria based on the study of stresses.
The work examines four solid models of a cantilever beam, created on the basis of the diagrams presented in the SCAD++ manual, and one rod model. The beam is made of class B15 concrete with dimensions of 2.5x0.5x0.5 m. To study the convergence of the stress solution, the averaged fiber stresses are determined along the lower and upper faces of the structure at a distance of 0.5 m from the support. This is due to the size of the finite element of one of the models.
Deviations for bending moments are: -1.44%, -0.25%, -0.44%, +1.06%. The obtained convergence data for deflections differ significantly from those presented in the diagrams in the SCAD++ textbook and are: -4.34%, -1.37%, -1.14%, -1.37%. When modeling structures with second-order finite elements FE No. 37 from the library of the SCAD++ computer complex, even with a large finite element mesh, the result is obtained with an error that complies with regulatory requirements — up to 5%.
Ссылка для цитирования:
М. В. Мозголов, Г. Э. Окольникова. К вопросу оценки точности решений моделей метода конечных элементов на примере расчета консольной балки. — Системные технологии. — 2024. — № 1 (50). — С. 118 - 128.
