Исследование одной математической модели «Жертвы-хищник» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:57

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ «ЖЕРТВЫ-ХИЩНИК»

Е, Т. Софронов

В статье рассматривается система дифференциальных уравнений X = х(1 — х — Ьх2 — ах%),

где а, Ь, г — положительные постоянные, х^ рассматриваются в положительной области, т. е. х^ > 0. Такая система уравнений может быть математической моделью в экосистеме типа «жертвы-хигцник». В работе устанавливается существование устойчивого состояния равновесия при определенных условиях, налагаемых на параметры. Эти условия должны быть более простыми, чем условия Рауза — Гурвица, понятными для биологов, занимающихся данным вопросом.

Найдем состояние равновесия с положительными координатами из системы уравнений

х х — Ьх — х — Ьх , X = —х(г — ах\ — Ьх2 — хз),

(1)

х Ьх ах ,

Ьх х Ьх ,

ах1 + Ьх2 + х = г.

Это состояние равновесия М имеет координаты

+ (ь2 — а, х*2 =

г

— Ь .

(2)

1 + а — 2Ь2 + А

+

© 2008 Софронов Е. Т.

Возможны следующие случаи:

1) г= 1;

2) г > 1, а > 1, Ь < 1;

3) г < 1, а > 1, Ь < 1; г > , а < , Ь >

г < , а < , Ь >

Теорема 1. Если г = 1, а > 1, Ь < 1, то состояние равновесия М имеет положительные координаты и асимптотически устойчиво.

Доказательство. Из формул (2) видно, что координаты точки положительны. Сделаем замену переменных

хх=х\+ у1, х2 = х1+ у2, хг = х% + у3. Тогда получим систему уравнений

У1 = (х£ + У1)(-у! - Ьу2 - ау3), У2 = (х^ + у2) (-Ьу1 - у2 - Ьу3), (3)

уз = (хз + уз){аух + Ьу2 + у3), Характеристическое уравнение соответствующей линейной системы уравнений имеет вид

А3 + ^А2 + а2\+а3 = 0, (4)

где

*, з з /1 т2 \ з/ з з\ , / 2 1\зз

^ = х + х - х, а2 = (1 - Ь - хз) + (а - 1

а а - а - Ь хз хз хз .

При условиях теоремы

хз хз , а > , а! • а2 - аз = х^ (а2 - 1 )х^2 + А • х^ • х^ = (а - 1) • 2^х^ • хз > 0.

М

чиво.

Нетрудно доказать следующее предложение.

Теорема 2. Если г=1)а<1,Ь>1,то существует состояние М

гаЬ

М

Доказательство. Из формул (2) имеем

.1_ * = _±

2(1 + ^' х 1 + Ь'

Потому уравнение (4) для системы уравнений (3) имеет два нулевых корня, один отрицательный корень А = — ^фь • В системе уравнений (3) сделаем преобразование:

Ь

х= + Т^ЬШ' У = ш + Уз' г = Ь(У1+Уз) + У2.

Тогда получим следующую систему уравнений:

* * * * г\ г\

х = х3 = ——х2 = -——, = х2, = и, аз = и.

х = У ■

Ь "(г — ЬУ)

[(Ь2 — 1)У — Ьг] + ^-г(г — Ьу),

(5)

Ь—

У= [(1 — Ь2)у + Ьг] • [(1 — Ь)х + (1 + Ь2)у — Ьг], г = Аг + г(г — Ьу) + Ь[(1 — Ь2)у + Ьг][(1 — Ь)х + (1 + Ь2)у — Ьг]. Возьмем функцию

У(х, у, г) = х • у — г2 + Р(х) + 3(х) • г,

ее производную по времени 4 вычислим в силу системы уравнений (5). Функции Р(х), 3(х) выберем так, чтобы в функции V не было членов вида с(х)у, ¿(х)г, т. е. членов, линейных относительно у, г. Тогда эти функции должны удовлетворять уравнениям

ЯР

— [1 + (Ь2 — 1)х] + (1 — Ь)(1 — Ь2)х(х + Ь3) = О,

ах

ар

—Ьх — Ь(1 — Ь)х(х + Ь33) — А3 = 0. ах

Из этих уравнений найдем

щ2 — 1)х2 ар (Ь — 1+ —

4{х}~ 1 —(1 — Ь^ 3,х~{ Ь)х+ 1 —(1 — Ь^)х .

При таком выборе функций Р(х), ф(х) функция V имеет вид

V = -2Аг2 + у2 + Щх, у, г).

Она положительна и обращается в нуль только при у = г = 0. А функция V(x, у, г) при х = 0 отрицательна, Р(х) есть ряд, начинающийся с членов третьего порядка. Поэтому существует область V > 0, где V > 0. Теперь, применяя теорему Н. Г. Четаева [1], доказываем пашу-теорему.

г > а > Ь <

Теорема 4. Если

а > 1, Ь < 1, 0 < г -1 <а—I, (6)

Ь

М

еитами, которое асимптотически устойчиво.

хз >

хз >

1 + а - 2Ь (г - 1 )Ь(а - 1) 1 + а - 2Ь2 + (1 - а)(1 + а - 2Ь2)

1 + а - 2Ь Ь(а - I)2

> 2^ + (1 - а)(1 + а - 2Ь2)(1 + Ь)

_ (1 + Ь)(1 + а - 2Ь) - Ь(а - 1) _ 1 " (1 + а - 2Ь2)(1 + Ь) " Т+Ь

Итак, все х* больше 0. Нетрудно показать, что ^ > 0, аз > 0. Выражение ^ • а2 - аз можно представить в виде

^ • а2 - аз = (1 - Ь2)хз(хз - х^)2 + [(1 - Ь2)х^2 + (а2 - 1 )хзх^ (хз - х^)

+ 2(а -1)^хЗх^. (7)

Так как хз - х^ = > 0, то ^ • а2 - аз > 0. Следовательно, состояние равновесия М асимптотически устойчиво. Рассмотрим теперь г < 1, а > Ь <

Теорема 5. Пусть г<1,а>1,6<1. Тогда существует положительное число г о такое, что при —го < г — 1 <0 состояние равновесия М с положительными коэффициентами асимптотически устойчиво.

Доказательство. При условиях теоремы х* > 0, х* > 0. Из неравенства х* >0 следует, что

(1 — 6)(1 — а)

а — 62

г—

< г - 1 < 0.

1 + а — 26 г — 1

а1 = ТТ7—Р + —(6 —1)(1 + а + 26)

1 + а — 26 (1 — 6)2(1 + а+26) > 1 + а — 262 — (а — 62)(1 + а — 262) > '

а а — а

а

а!а2 — аз = (1 — 62)х*(х* + х* — х*) ' * *

(1 —

+ (1 — а)(1 + а — 262)х* х*х*. а а — а

рицательных значения: (х* — х*) и а^ — аз > 0 при (х* — х*) = 0. Поэтому существует положительное число г\ такое, что а^г — аз > 0 —г < г — <

а а — а > —г < г — <

. Г (1— 6)(а — 1) ■ г0 = тт \ г;-——

а — 6

Теорема доказана.

г > а < 6 > г > а < 6 >

г

6 — — а

0 < г0 < г — 1 < ^--

6г — а

М

чески устойчиво.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что

>0, Жд >0.

Координата х\ больше 0, если

(Ъ -1)(1- а)

0 < г - 1 <

Ъ2 — а

и

1 + а — 26 г — 1 ^ = -- + -1)(1 + а+2Ъ)

1 + ^ — 262 А

1 + а - 26 (Ъ -1)2(1 + а + 2Ъ) > 1 + а - 2Ъ2 + (1 + а - 2Ъ2)(Ъ2 - а)

при а < 1, 1 + а - 2Ъ2 < 0. Если а2 представить как квадратный многочлен относительно т-т. е.

1 — а '

(1 + а - 2Ъ2)2а2 = С0 (Г^) +С,

- а - а

где С > 0, С > 0, С < 0, то а2 = 0 имеет один отрицательный, один положительный корни. Далее, имеем

а2 > 0, а!а2 - аз > 0

при

гЪ

- а Ъ - а г>

а а - а >

при

Ъ - - а

0 < г0 < г - 1 <

Ъ2 - а

Отсюда следует, что состояние равновесия М асимптотически устойчиво при условиях

а < 1, Ъ > 1, 0 < го < г-1 <(Ъ "1)(1- а).

Ъ2 - а

Теорема доказана.

г - < а < Ъ > а а - а < М

положительными координатами неустойчиво.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. Г. Четаев. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955.

г. Якутск

20 мая 2004 г.