Об одном примере асимптотической устойчивости состояния равновесия в случае двух чисто мнимых корней Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

ОБ ОДНОМ ПРИМЕРЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В СЛУЧАЕ ДВУХ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ

Е, Т. Софронов

В статье рассматривается один пример для системы уравнений вида [1]

ж°1 = #1(1 — х\ — Ъх2 — ах%), X = х(1 — ах — X — Ъх%), (1)

х'з = —щ{к — ах — Ъх2 — хз),

где а, Ъ, к — положительные постоянные. Исследуется состояние равновесия с положительными координатами на устойчивость по Ляпу-

аЪк

М(х\,х2,х%) имеет следующие координаты:

х* = ^ (¿=1,2,3), где А = (а — 1)(Ь — 1)(1 + а + 6),

а — Ъ — Ъ — а к — , а — Ъ — а — Ъ к — , Д3 = (а — 1) (Ъ — 1) + (1 — аЪ)(к — 1). С помощью замены

хг — х* + уг (г = 1, 2, 3)

© 2008 Софронов Е. Т.

приведем систему уравнений (1) к виду

У! = {х* + ух)(-уг - Ъу2 - ау3),

У2 = (х* + у2)(-ау1 - у2 - Ъу3), (2)

Уз = (х^ уз)(ау1 + Ъу2 + уз)-Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений представим в виде

Л3 + ^Л2 + а2\+а3 = 0, (3)

где

а± = х* + х* - х*, а2 = (1 - а,Ъ)х*х* + (а2 - 1 )х*х* + (Ъ2 - 1 )х*х*,

__Д * * *

^ — —¿X х^х2хз-

Для системы уравнений рассмотрим тот случай, когда

к < 1, а1 > 0, аз > 0, а^ - аз = 0.

При таких условиях характеристическое уравнение (3) имеет один отрицательный корень и два чисто мнимых корня. Изучаем данный случай при конкретных значениях параметров системы уравнений (1). Пусть к = Щ-, а = 4, Ъ = Тогда

* _ 10 * _ 20 „ _ £ Ж1"63' Ж2"63' Хз ~ 21 Характеристическое уравнение (3) имеет корни

Л'=4

С помощью замены переменных

5а/7

ж = 2у1 + 2у2 + Зуз, у=-у/7у2--—Уз, ^ = у2 - уз

можно привести систему уравнений (2) к виду

\ 2 \ +

= _7' ,3 =

9а/7 /ЗЗА/7 105 \ 1

2

х = ——х--—ух — -тху Н--г х--х

7 14 V 224 32 ) 2

. „ 15л/7 , 9ч 237 (\ 5л/7 \ ...

у = + ~ ^ + ~64~у2: + V 2У+^2~г)Х' ^

64 45 2 2 57а/7 ( За/7 1 N 2; = — ру--ж Н--(у —г )--уг + -у--г }х.

1У 63 128^ ; 7-64 V 14 2

Чтобы уничтожить выражение — стоящее в третьем уравнении системы (4), сделаем следующую замену переменных:

320а/7 _ 128

у = у + ~бзГх> " =

и опустим черточки у новых переменных у и г . Тогда получим систему уравнений

2 9 а/7 ( 11469А/7 37515 \ , 9 х =--х--уг + -у--г \х + ал х",

7 14 V211'214 32-211

■ д ^ 15^7, 2 2 19297

277131 626685л/7 \ , 9

;У+ он хоо 2 д + (5)

211-422^ 211 -422 45 9 9ч 24837а/7 /67065^7 11949 \ , 9

Для этой системы уравнений ищем интегральную поверхность [3]

х = Г(у,г) = ^Рк(у, г), (6)

к=2

где Гк(У, г) суть однородные многочлены к-го порядка. Если Щу, г) = Ьу2 + Ъ2уг + Ъгг2,

то из уравнения

-1 ^ *) - тг^ + - Шкг)+ ^^г)2

ЪЪЪ

7-135 , -81а/7

Ол = —Ья = --7—, Оо =

8-184' " 2-368

Остальные члены Р3, нам не нужно находить. Теперь найден-

ный интеграл (6) подставляем в систему уравнений (5). Тогда два последние уравнения системы (5) не зависят от х. Для этих двух уравнений ищем функцию Ляпунова [2] У {у, г) в виде

оо

у = у2 + г2 + ^Ук{у, г),

к=3

где Ук(у, г) суть однородные многочлены порядка к. Производная этой функции, взятая в силу данной системы уравнений, будет обладать либо свойством ^ = 0, либо свойством ^ = дв{у2 + -г2)я + • • •, где — сош!;, дв ф 0. В первом случае состояние равновесия А(0,0), лежащее на интегральной поверхности (6) системы уравнений (5), есть центр, а во втором случае — фокус, устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака д3. Найдем последовательно Уз,У4. Пусть

У = С1у3 + с2у2г + с3уг2 + с4г3.

Тогда постоянные с^ находятся из уравнения

(Зс1у2 + 2с2уг + сзг2)[3г + 2у

15а/7 . 9 9ч 19297

(у - г") + — ——yz

^ 128 4 7 64-211

_ Су2 + 2^yz + Zc±z2)py + 2z Отсюда

45 9 9ч 24837а/7

-(у — z") Н--уz

128 ; 448-211

= 0.

—29099а/7 63 27 л/7 71829

С1 = г., > с2 = ТГГ; с3 = ———, С4 =

64-211 " 64 64 ' 320-211

х

теграл [4]

F = уу2 + z2+ y,z) =

z + y,z) = c

s=3

т. е. производная этой функции F(y,z), вычисленная в силу системы уравнений (5) при x = 0, тождественно равна нулю. С учетом этого мы можем найти функцию

V4 = hy4 + U_yZz + l3y2z2 + hyz3 + l5zA

аналогично случаю нахождения Сравнивая коэффициенты при у4,

4 2 2 1 1

г , г у и исключая Ь, ч> получим уравнения

45 15ч 7 277131

рЬ = —09 Н--С9 Н--3с1--61,

128 128 211 '

15\ 7 45 0 11949 ,

Рк =9, + Жс3 + ^Зс4 -

11949 -3-277131, 7-626685 + 67065 892 =-21Г2П-61 + 7-211-211 ^

3- 11949 — 277131,

Н--Ьч.

211-211 ^

Подставляя значения Ъ\, Ъг, Ъз, найдем значение 8^2: оно отрицательно. Таким образом, состояние равновесия А(0,0) — устойчивый фокус.

М

во [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Софронов Е. Т. Исследование на устойчивость одной системы с тремя параметрами // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 82-88.

2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

4. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

г. Якутск

10 декабря 2007 г.