CC BY
10УДК 517.958:57
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ
А. В, Кириллина, Е, Т. Софронов
В статье рассматривается система уравнений
Ж1 = Ж1 (1 — х — Ьх — ах),
X = х(1 — Ьх — х — ахз), (1)
Хз = —х(г — Ьх — Ьх 2 — х),
которая является математической моделью отношения «хищник-жертвы». Здесь а, Ь, г — положительные постоянные. Изучается устойчивость состояния равновесия с положительными координатами, которые определяются из системы уравнений
х Ьх ах , Ьх х ах , Ьх + Ьх2 + х = г.
Координаты состояния равновесия М равны
*_ 1-аг „ _ (1 + Ъ)г - 26
Х1~Х2~ l + b-2ab, Xз~l + b-2ab, (2)
— Ь Ь — аЬ ,
аЬ
М
М
х! = + уь х2 = х£ + у2, хг = х% + у3.
© 2006 Кириллина А. В., Софронов Е. Т.
Тогда получим следующую систему уравнений:
УХ = (х^ + у{)(-У! - Ъу2 - ау3), Ш = (х2 + у2)(-Ъу! - у2 - ау3), (3)
Уз = (хз + уз){Ъу\ + Ъу2 + уз). Характеристическое уравнение соответствующей линейной системы уравнений имеет вид
А3 + ^А2 + а2Л + аз = О,
где ^ = 2х\ - а2 = (1 - Ъ2)х^2 + 2(аЪ - 1 а = -Ах\2
В случае, когда А > 0, аз < 0, состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому в дальнейшем будем предполагать А ^ 0.
Теорема 1. Пусть выполнены неравенства
1, 1 + 6 — 2аЪ > 0, ——у < г < —. (4)
Ъа
М
Доказательство. Из неравенств (4) следует, что координаты точки М, определяемые условиями (2), положительны и аз > 0. При условиях теоремы выполняются неравенства
ЪЪ < -;-;г" <
1 + Ъ 1 + Ъ + 2а а
Если
Ъ
- < г <
Ъ а а
то а ^ 0 и состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому предполо-а>
ЪЪ ТТб<Г<1 + Ь+2а- (5)
Если аЪ - 1 ^ 0, то а2 < 0 и состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому предположим, что
ЪЪ аЬ - 1 > 0, 1 + Ь - 2аЬ > 0, --- < г <
1 + Ъ 1 + Ъ+2а
Тогда покажем, что а2 < 0, т. е.
[а(Ь2 — 1) + 2(1 + Ь){аЬ — 1)]г — (Ь2 — 1) — 4Ь(аЬ — 1) < 0.
Последнее неравенство следует из неравенства (5). Действительно, мы можем показать выполнение неравенства
2 + 26 б2 - 1 + 46(а6 - 1)
1 + Ь + 2а [а(Ь2 — 1) + 2(1 + Ь)(аЬ — 1)]
или
Ь а Ь — Ь аЬ — — Ь а Ь — Ь аЬ —
— Ь Ь — аЬ аЬ — Ь — аЬ
Ь — аЬ — — Ь — Ь — аЬ < .
Так как не выполняется условие Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения, то соМ
Теорема 2. Пусть выполнены неравенства
6 < 1, 1 + 6 - 2аЪ < 0, - < ——1 ^^ , ч < г < 2Ъ
а (1 + а)(1 + Ь) 1 + Ь'
М
датами и оно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Покажем справедливость неравенства
2 + 26 1 + 36
1 + 6+2а < (1 + а)(1 + 6)' ^ }
Действительно,
Ь а — Ь Ь а — Ь Ь — аЬ < .
Из неравенства (6) следует, что а^ > 0. Рассмотрим неравенство а^ — а3 > 0:
а1а2 — а3 = 2х^[(1 — Ь2)х^2 + (1 — аЬ)х^2 + (—2 + аЬ + аЬ2)х^ х^] = 2х£[(1 + Ь)х\ — хЩ1 — Ь)х\ + (аЬ — 1> 0,
если (1 + Ъ)х1 - хд > 0, аЪ - 1 > О.
Но неравенство (1 + Ъ)х^ - хд >0 следует из условий теоремы. аЪ - <
(1 - Ь)х1 + (аЪ - 1)х*3 = ^[(1 - Ъ2)хл + 2(аЪ - 1)ж3 + (1 - б)2^] > 0 а>
а>
[а(1 - Ъ2) + 2(1 + Ъ)(1 - аЪ)]г >\ - Ъ2 + 4Ъ(1 - аЪ).
Это неравенство справедливо, если выполняется неравенство 1 -Ъ2 +46(1 -аЪ) (1 + 36)
а - Ъ Ъ - аЪ а Ъ
Действительно,
Ъ а - Ъ Ъ - аЪ - а Ъ - Ъ - аЪ
- Ъ - - Ъ аЪ - аЪ Ъ - аЪ Ъ
Ъ - аЪ Ъ > .
Тогда
ахаъ - а3 = [(1 + Ъ)х\ - х£] [( 1 - Ъ2)хд2 + 2(аЪ - 1(1 - Ъ)2хд2] > 0.
Отсюда следует результат теоремы 2.
Теорема 3. Пусть Ъ ^ 1,1 + Ъ - 2аЪ < 0,
Ъ
- < г <-. (7)
а (1 + а)(1 + 6) 1 ;
М
Доказательство. Если
Ъ
г ^
Ъа
то а1 < 0. Пусть а1 > 0. Если а2 > 0, то го выражения а^ - аз следует, что при
Ъ
г <
аЪ Ъ хд - хд < а а - а <
М
Теорема 4. Пусть 6 = 1, о > 1, < г < 1. Тогда существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно устойчиво.
Доказательство. Как при доказательстве теоремы 2, мы можем показать, что ^ > 0, а2 > 0. Так как а3 = 0, характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, а два корня имеют отрицательные
М
прямой, определяемой из системы уравнений
X + х + ах = 1, X + х + X = г.
Каждая точка этой прямой есть состояние равновесия. Тогда, применяя результаты работы А. М. Ляпунова [1], можно доказать, что М
Теорема 5. Пусть
, , 1 1 + 36 26
6 < 1 — < г = - < -
' а (1 + а)(1 + 6) 1 + 6'
М
датами и оно устойчиво.
Доказательство. В условиях теоремы
* _ * _ ^ * _ ^
(1 + а)(1 + 6)'
— 1 — 6 + 2а6
а1 = (1-6)х, «2= (1 + а)(1 + ь)-
Так как а^2 — а3 =0, характеристическое уравнение имеет корпи
А1 = —а,1, А2;3 = ±1/02« = ±/Зг. Тогда с помощью преобразования
Х = У1 — у2, у = у2, г = Уз
приводим систему уравнений (3) к следующему виду: х = (Ь — 1 )х\х — хХ — 2 ху — ахг, у=(х1 + у) [—Ьх — (1 + Ь)у — аг)], (8)
г = (хд + г)(Ьх + 2Ьу + г).
х
торой лежат замкнутые траектории. Действительно, если в системе х
1 + 6 /3 и = -У + г, у =---у,
а ах
то получим систему уравнений
а(1 — Ь) + 2(1 + Ь)
й = — + й
(1 + а)(1 + Ь)в ' (9)
V = в'и — а'йо.
Для этой системы уравнений выполняется достаточные условия центра [2] в точке и = О, V = 0, т. е. траектории системы уравнений (9) замкнутые. Тогда, применяя результаты работы А. М. Ляпунова [1], доказываем теорему 5.
Теорема 6. Пусть
1 2
6=1, -<г=- < 1.
аа
Тогда существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно устойчиво.
Доказательство. При выполнении условий теоремы имеем
а—
Х1 = х2 = Т^Г,—7> жз = —, «1=0 а2 = ———а3 = 0. а а а
Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений имеет один нулевой и два чисто мнимых корня
А2 з = ¿л/а^г =
Для системы уравнений (3) сделаем преобразование:
Х=-(У1 + У2) + Уз, У=--^ , \д(У1 +У2), z = y1-y2.
a a(l + a)p
Тогда получим систему уравнений вида
х = -/Зу + х2 + -pL=ху - у2, у a — 1
y = px — axy, z = —axz.
Так как первые два уравнения не зависят от z и для них выполняются достаточные условия центра, то существует голоморфный интеграл вида
x2 + y2 + F(x, y) = cb F(x,y) еГз.
Кроме того, имеем второй голоморфный интеграл
z
75-= С2'
Р — ay
Поэтому [3] состояние равновесия M — центр и оно устойчиво. Теорема доказана полностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
2. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.
3. Софронов Е. Т. Устойчивость автономных систем в критических случаях. Новосибирск: Наука, 2000.
г. Якутск
13 января 2006 г.
