Исследование состояния равновесия с положительными координатами одной системы уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:57

ИССЛЕДОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Е, Т. Софронов

1. В статье рассматривается одна система уравнений при изменении параметра p на знак ±. В первом случае получим модель отношения вида «конкуренции», а во втором случае — «хищник-жертвы». Итак, сначала рассмотрим систему трех уравнений вида

ж°1 = xi(l — x\ — bx± — ax^),

X = x(l — ax — x — CX3), (1)

X = px3(l — ax\ — 0x2 — X3),

где a,b, о — положительные постоянные, p = 1.

Ставится вопрос: при каких параметрах состояние равновесия M(xl,xi,,x%) с положительными координатами будет устойчиво или неустойчиво?

Найдем состояние равновесия M из системы

x + bx2 + a,xg = 1,

ax± + x + 0x3 = 1, (2)

ax± + 0x2 + щ = 1 •

Тогда

x* = ^ (¿=1,2,3), где A = (1 - c)(l + c- a2 -ab), — 0 0— a— b , — 0 — a •

© 2008 Софронов E. T.

Учитывая эти равенства при сф\, получим

1 + с- а -Ь 1-а

гу* - --гу* - гу* I _

11 9 т> 2 3 ^ 1 I 9 7,-

с - а - аЬ с - а - аЬ

Параметры а, Ь с таковы, что х*1 > 0. Сделаем замену переменных

хн = Уг + х* (г = 1, 2,3).

Тогда получим систему уравнений

Ш = Ы+ х*х){-Ш - Ьу2 - ау3),

Уз = (уз + х*ъ)(-ауг - су2 - уз).

Характеристическое уравнение для данной системы уравнений первого приближения равно

^ = х\ + 2х1, = (1 - аЬ)х\х% + (1 - а?)х\х^ + (1 - с2)х^2

= [(2 - а2 - аЬ)х^ + (1 - х^, аз = Ах^х^.

Заметим, что если А < 0, то состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому предположим, что

Д>0, (1 + с - а - Ь)(1 + с - а2 - аЬ) > 0, (1-а)(1 + с - а2 - аЬ) > 0. (5)

Теорема 1. Если 1 + с - а - Ь<0, 1- а < 0 н выполнены неравен-

М

неустойчиво.

с- а -

аЬ < 0 и 1- с < 0. Тогда а? < 0, ^ > 0, аз > 0, а]а - аз < 0. М

у°2 = у + х^{-аух - у2 - су3),

(4)

где

Теорема 2. Если 1 + с — а — Ь > О, 1 — а > О н выполнены неравенства (5), то состояние равновесия М с положительными координатами асимптотически устойчиво.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что

1 + с — а — аЬ > 0, 1 — с > 0, ^ > 0, а2 > 0, аз > 0.

Тогда а]_а2 — аз

= х2 [(2 — а — аЬ)х\2 + (4 — а — аЬ — а?с — аЬс)х2х2 + 2( 1 — с2)^2]. Так как

4 — а2 — аЬ — ас — аЬс = (2 — а2 — аЬ) + [2 — (а2 + аЬ)с] > 0,

то

а!а2 — аз > 0.

Следовательно, если все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения выпол-

М

Теорема 3. Если 1 + с — а — Ь > 0, 1 — а>0, с = 1, то состояние М

Доказательство. Так как с = 1, то Д = 0 и а3 = 0. Но ^ > 0, — а — аЬ > а > корни

= 0, Т1е А2,з < 0.

Кроме того, если имеем состояния равновесия, определяемые из системы

У1 + Ьу2 + ау3 = 0, аух+ у2 + Уз = 0, то по теореме А. М. Ляпунова состояние равновесия устойчиво.

Замечание. Если с = 1, а > 1, 1 + с — а — Ь < 0, то состояние равновесия М неустойчиво, ибо а2 < 0.

2. Теперь рассмотрим систему уравнений (1) при р = -1 и поставим такой же вопрос, как в первом случае. Координаты состояния равновесия определяются из системы уравнений (2) и имеют вид (3). После аналогичного преобразования получим систему уравнений

у°1 = Ы + х*г)(-у! - Ьу2 - ау3),

у'2 = у + х*2)(-ауг - у2 - су3),

уз = (уз + х*3) (ау! + су2 + уз).

Характеристическое уравнение для системы первого приближения равно

А3 + ах\2 + а2А + а3 = О,

где

о,1 = х±, а2 = [(а2 - аЬ)х\ + (с2 - 1 )х2\х2, а3 = - Ах\х*2 .

Заметим, что если Д > 0, то аз < 0 и состояние равновесия М неустойчиво. Поэтому в дальнейшем предположим, что

Д<0, (1 + с - а - Ь)(1 + с - а2 - аЬ) > О,

(7)

- а с - а - аЬ > . Теорема 4. Пусть 1 + с - а - Ь < 0, 1- а < Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнено одно пз соотношений:

1) а < Ь,

2) а > Ь, (а + Ь - 2) (Ь - ас) > О,

М

чиво.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что 1 - с > О, с - а - аЬ < а < а > а а - а <

а > а >

а1а2 - аз = х\х2[(а2 - аЬ)х\ + (с - 1)(о? + оЬ)х2)\

= а(а1+6-2)р-а;)х^< 0. (8) с - а - аЬ

М

Теорема 5. Пусть 1 + с — а — Ь < 0, 1— а < Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнены неравенства

а > Ь, (а+Ь — 2) (Ь — ас)<0, (9)

М

тотнческп устойчиво.

а > а >

(а+Ь-1)(Ь-ас) „

а1а2 — аз = —-----—Ж! ж, > и

с — а — аЬ

в силу неравенств (9) и условий теоремы. Тогда состояние равновесия М асимптотически устойчиво. Здесь с < 1 в силу неравенства (7).

Теорема 6. Пусть 1 + с — а — Ь > 0, 1— а > Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнено одно пз соотношений:

1) а ^ Ь;

2) а < Ь, (а + Ь — 2) (Ь — ас) > О,

М

тотически устойчиво.

а > а >

неравенства (8) при а ^ Ь выполняется неравенство а]а — аз >0. Если же а < Ь, но (а + Ь — 2) (Ь — а^ > 0, то также а^ — аз > 0. Таким образом, все условия Рауса — Гурвица отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения выполнены. Следова-

М

Теорема 7. Пусть 1 + с — а — Ь > 0, 1— а > Он выполнены неравенства (7). Тогда если выполнены неравенства

а < Ь, (а+Ь — 2)(Ь — ас)<0,

М

чиво.

Доказательство. При выполнении условий теоремы выполняется неравенство — аз < 0, следовательно, состояние равновесия М неустойчиво.

Теорема 8. Пусть выполнены неравенства (2- а - Ь)(2 - а2 - аЬ) > 0, (1 - а)(2 - а2 - а^ > 0, а > Ь, с=1.

М

чпво.

Доказательство. Так как а > Ь, то а2 > 0 и характеристическое уравнение имеет корни

А = 0, Т1е А,з < 0.

Кроме того, есть состояния равновесия, определяемые из системы уравнений

ах± + х2 + хз = 1, х + Ь^2 + ах% = 1.

Отсюда, применяя теорему А. М. Ляпунова [1], доказываем нашу теорему.

Теорема 9. Пусть 1 + с - а - Ь < 0, 1- а < Он выполнены

а Ь М

положительными координатами устойчиво.

Доказательство. При выполнении условий теоремы имеем

са

Х1 ~ 1 , „ о > Х2 —

с- а с- а

а2 = (с - 1)(1 + с - 2а)х22, ^^ - аз = 0. Отсюда следует, что характеристическое уравнение имеет корни

А = -х2, А,з = в = (с - 1)(1 + с - 2а)х\.

Для системы уравнений (6) введем преобразование

х = у1+у2 + уз, у = у-2, г = 1гу2 + 12у3,

где

(1 - а,)х2 (с - а,)х2

¿1 = -~-1-9, =

в ' ^ в

Тогда получим следующую систему уравнений:

2

х = Xix — х" + —x(z — l\y), '2

я * i а~с

у = —pz — ах2х — аух Н---—yz,

'2

z = fiy + a(l2 — h)x2 x + [—li(l + a)y + az\x

l + c-2a

У — zJ) + dyz, d — const.

c— a

x

которой лежат замкнутые траектории [2]. Отсюда следует доказательство теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л. : Гостехиздат, 1950.

2. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

г. Якутск

21 мая 2007 г.