CC BY
5131. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). С. 327-342.
32. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrices. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Physics, chemistry, mathematics, 11:2 (2020). С. 138-144.
33. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотик дискретного спектра // ТМФ. 205:3 (2020). С. 368-390.
34. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. The Efimov effect for a model operator associated with the Hamiltonian of a non conserved number of particles // Methods Funct. Anal. Topology, 13:1 (2007). С. 1-16.
35. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the spectrum of an Hamiltonian in Fock space. Discrete spectrum asymptotics // J.Stat.Phys. 127:2 (2007). P.191-220.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИСТОРИИ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ Шарипова И.Ф.1, Марданова Ф.Я.2
'Шарыпова Икбол Файзилоевна — ассистент, кафедра теории начального образования, факультет дошкольного и начального образования;
Марданова Феруза Ядгаровна — ассистент, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье даны методические рекомендации по использованию истории возникновения и изучения определенных интегралов, в частности, в преподавании тем «Первоначальная функция», «Неопределенный интеграл» и «Определенный интеграл», в преподавании математики в педагогических учебных заведениях. Перечислена важная информация о великих ученых, занимающихся изучением определенных интегралов, и их вкладе в науку. Анализируются методы вычисления определенных интегралов и некоторые их приложения. Причем раскрыта роль образовательных технологий.
Ключевые слова: определенный интеграл, первоначальная функция, история математики, образовательные технологии.
УДК 37.02
Известно, что определённый интеграл есть одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. По определению определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм). Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции.
Сначала коротка об истории определенных интегралов. Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Подчеркнем, что первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. - ок. 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Затем указанный метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. - 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 - ок. 280), который с их помощью находил площадь круга. Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский математик, астроном, механик, писатель Цзу Чунчжи (429 - 500) вместе со своим сыном, также математиком и астрономом, правителем области и государственным казначеем, Цзу Гэном.
Кроме этого, следующая информация может быть использована для обучения студентов элементам интегрального исчисления. Большой шаг вперед в развитии интегрального исчисления был предпринят в 11 веке в Ираке арабским ученым-универсалом, математиком, механиком, физиком и астрономом аль-Басри (965-1039), который в своей работе «Об
измерении параболического тела» приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов. Видно, что эту информацию также можно использовать при обучении теме «Суммы числовых рядов».
Следует отметит, что используя математическую индукцию, аль-Басри смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.
Теперь о современном интегральном исчисления. Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Б.Ф. Кавальери (1598 - 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 - 1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова И. Барроу (1630 - 1677) и итальянского математика и физика, ученика Г.Э. Торричелли (1608 - 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.
Как известно, выбор переменной интегрирования в определенном интеграле не имеет значения. Но у него также есть история возникновения. За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Ньютон (1643 - 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Г.В. Лейбницем (1646 -1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы «длинная s» (от первой буквы слова Summa - сумма). Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Ж. Фурье (17681830) в 1819-20 годах. Сам термин «интеграл» придумал швейцарский математик Я. Бернулли (1654-1705) в 1690 году.
Следует отметить, что студенты могут быть более заинтересованы в математической науке, если мы своевременно используем приведенные выше факты в процессе обучения определенным интегралам и методам их вычисления, а также их основным свойствам. Например, такие как перестановка пределов интегралов, аддитивность интеграла, первая теорема о среднем значении, обобщенная первая теорема о среднем значении, вторая теорема о среднем значении, интегрирование посредством разложения в ряд и интегрирование по частям. В процессе их применения в классе могут использоваться самые разные интерактивные методы [1-26]. При этом использование методов «Работы в небольших группах», «Бумеранг» и компьютерных технологий обучения особенно эффективно. Вычисление сложных определенных интегралов с использованием таких приложений, как MathCad, Maple, Matematika, создает ряд удобств для студентов. Эти приложении также важны при демонстрации геометрическое интерпретации определенного интеграла в многомерных случаях.
Талантливые студенты сталкиваются с множеством применений определенных интегралов во внеклассной деятельности, особенно при подготовке к кружкам и олимпиадам, а также при проведении исследований. При этом они часто используют критерий интегрируемости Римана и классы функций, для которых интеграл Римана всегда существует. Более того, при доказательстве конечности или бесконечности кратных определенных интегралов используются аддитивность интеграла, а также переход к полярным (в двумерном случае) и сферическим (в трехмерном случае) системы координат [27-35]. Например, при вычисления интеграла
удобно использовать переход к полярным системе координат, а при изучении интеграла
удобно использовать переход к сферическим системе координат.
Заключение. Таким образом, по математике, особенно при преподавании темы определенные интегралы, если используется информация, представленная в этой статье,
гее
студенты достигнут целостного владения этой темой. Применение определенных интегралов
развивает мышление учащихся, обучая их мыслить самостоятельно, творчески.
Список литературы
1. Шарипова И.Ф., Марданова Ф.Я. Преимущества работы в малых группах при изучении темы первообразной функции // Проблемы педагогики. 50:5 (2020). С. 29-32.
2. Jamilova B.S., Sharipova I.F. Important itegration principles in integration of literature and mathematics // Middle European Sci. Bulletin. 10 (2021). С. 69-76.
3. Sayfullaeva N.B., Sharipova I.F. Problems of teaching Mathematics in primary grades and some ways to solve them // Academicia. 10:10 (2020). С. 394-398.
4. Шарипова И.Ф. Суть обучения компьютерным технологиям учащихся начальной школы // Материалы конф. «Инновационные методы обучения воспитания». 2020. С. 55-56.
5. Сайфуллаева Н.Б., Саидова Г.Э. Повышение эффективности занятий, используя интерактивные методы в начальном образовании // Научный журнал. 40:6, 2019.
6. Сайфуллаева Н.Б., Мурадова Я.М. Пути эффективного использования методов обучения математике в начальных классах // Материалы конф. European Research. 2020.С. 121-123.
7. Сайфуллаева Н.Б. Важные особенности дидактических игр в процессе обучения математике в начальных школах // Материалы конф. Инновационные методы обучения и воспитания. 2020. С. 60-62.
8. Saidova G.E., Sayfullayeva N.B. Modern teaching technologies in teaching mathematics in elementary grades // European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences. 7:10 (2019). С. 94-98.
9. Сайфуллаева Н.Б. Развитие ментальной арифметики у детей // Учёный XXI века. 51:4 (2019). С. 63-64.
10. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.
11. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48-51.
12. Бобокулова С.Б., Бобоева М.Н. Использование игровых элементов при введении первичных понятий математики // Вестник науки и образования. 99:21 (2020), часть 2. С. 85-88.
13. Бобоева М.Н., Шукурова М. Ф. Обучение теме «множества неотрицательных целых чисел» с технологией «Бумеранг» // Проблемы педагогики. 51:6 (2020). С. 81-83.
14. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.
15. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // Вестник науки и образования, 95:17 (2020), Часть 2. С. 83-86.
16. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.
17. Марданова Ф.Я. Использование научного наследия великих предков на уроках математики // Проблемы педагогики. 51:6 (2020). С. 40-43.
18. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 74-76.
19. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный, 90:10 (2015). С. 16-20.
20. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса // Молодой учёный. № 9 (2015). С. 17-20.
21. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject // Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6:10 (2019). С. 43-45.
22. Марданова Ф.Я. Нестандартные методы обучения высшей математике // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 19-22.
23. Бобоева М.Н. Обучение теме «Множества неотрицательных целых чисел» // Проблемы педагогики. 53:2 (2021). С. 23-26.
24. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики № 53:2 (2021). С. 7-10.
25. Бобоева М.Н., Меражов Н.И. Поля значений 2х2 операторной матрицы с одномерными интегральными операторами // Вестник науки и образования. 95:17-2 (2020).
26. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020). С. 29-32.
27. Boboyeva M., Qutliyeva Z. Formation of elementary mathematical concepts in preschool children // J. Global Research in Math. Archives. 6:11 (2019). С. 10-12.
28. Меражова Ш.Б., Марданова Ф.Я. Эквивалентность задачи для уравнения смешанного типа и задачи Коши для уравнений симметрической системы // Учёный XXI века 53:6-1 (2019). С. 20-22.
29. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). С. 273-281.
30. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). С. 616-622.
31. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). С. 327342.
32. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Analysis of the spectrum of a 2х2 operator matrices. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Physics, chemistry, mathematics, 11:2 (2020). С. 138-144.
33. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотик дискретного спектра // ТМФ. 205:3 (2020). С. 368-390.
34. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. The Efimov effect for a model operator associated with the Hamiltonian of a non conserved number of particles // Methods Funct. Anal. Topology, 13:1 (2007). С. 1-16.
35. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the spectrum of an Hamiltonian in Fock space. Discrete spectrum asymptotics // J.Stat.Phys. 127:2 (2007). P.191-220.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧЕНИКОВ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ ЛОГИЧЕСКОМУ МЫШЛЕНИЮ С ПОМОЩЬЮ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Хасанова Г.К.
Хасанова Гульшод Касимовна — магистр, специальность: теория и методика обучения (начальное образование), Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье анализируются основные дидактические основы инновационных технологий в развитии навыков логического мышления у младших школьников. Ключевые слова: технологии, структурный подход, логическое мышление, инновации.
В практике педагогической науки используются разные подходы. Среди них традиционный подход, системный подход, технологический подход. Основная особенность традиционного подхода в том, что учитель передает информацию, а ученик запоминает эти знания. Понятие «знания» считается информацией, хранящейся в памяти. Знания студента определяются заученным ответом на вопрос об информации. Знания - это в основном результат запоминания. Такие знания хранятся в памяти недолго. В настоящее время накоплен большой опыт в области традиционного образования, и проводятся исследования по совершенствованию традиционных методов обучения, но его объективные возможности ограничены. Продолжающиеся реформы в сфере образования, стремительно меняющиеся научно-технические требования создали разрыв между методом обучения и потребностью общества в подготовке высококвалифицированных кадров, для формирования гармонично развитого поколения. Ее необходимо решать путем применения других новых подходов в образовании.
При проектировании образовательных процессов уделяется внимание правильному определению содержания обучения, целей обучения, ожидаемых результатов, правильному выбору методов, форм и инструментов обучения, разработке четких критериев оценки знаний, навыков и умений обучающихся, их реализации и гармонизации. Рекомендуется сосредоточиться. Современные технологии обучения - это основа для последовательной постановки целей и быстрый источник обратной связи по предмету. В этом случае цели обучения определяются максимально. Учитывая современные требования, желательно организовывать занятия с помощью технических средств.
