МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КОНТАКТА ВАЛОК Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

MEXANIKA

УДК 675.055

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КОНТАКТА ВАЛОК

Хуррамов Ш.Р.

Ташкентский архитектурно строительный университет, профессор, Д.т.н., доцент, E-mail:savkat- xurramov59@mail.ru

Аннаев Н.У.

Каршинский инженерно-экономический институт, ассистент, E-mail: nuriddin.annayev. 91@mail. ru

Хуррамов Ш.И.

Ташкенсткий университет прикладных наук, ассистент, E-mail: khurramov86sh@gmail. co m

Алибоев К. Ю.

Институт механики и сейсмостойкости сооружений АН.РУз, ст. иссл.

E-mail: qaxramon.aliboyev@gmail.com

Аннотация. Разработаны математические модели кривых контакта валок симметричного двухвалокого модуля. Установлено, что математические модели кривых контакта валок не зависят от направления деформации контактирующих тел в зоне контакта. Выявлено, что на математическую модель кривою контакта валка влияет в основном геометрические и деформационные параметры контактирующих тел, среди которых наиболее влияющим является параметр, определяющей отношение скорости деформирования эластичного покрытия к скорости деформирования обрабатываемого материала при сжатии.

Annotatsiya. Simmetrik ikki valli modul vallar kontakt egri chiziqlarining matematik modellari ishlab chiqilgan. Vallar kontakt egri chiziqlarining matematik modellari kontaktlashayotgan jismlar deformatsiyasining yo'nalishiga bog'liq bo'lmasligi o'rnatilgan. Vallar kontakt egri chiziqlarining matematik modellariga asosan kontaktlashayotgan jismlarning geometrik va deformatsiyaviy parametrlari ta'sir qilishligi, ular orasida ko'proq ta'sir qiluvchi elastik o'rama deformatsiyalanish tezligining ishlov berilayotgan material deformatsiyalanish tezligiga nisbatini anqlovchi parametr bo'lishligi aniqlangan.

Abstract. Mathematical models of roll contact curves for a symmetrical two-roll module were developed. It was stated that mathematical models of roll contact curves do not depend on the direction of deformation of the contacting bodies in the contact zone. It was revealed that the mathematical model of the roll contact curve is influenced mainly by the geometric and strain parameters of the contacting bodies, among which the most important is the parameter that determines the ratio of the strain rate of the elastic coating to the strain rate of the processed material under compression.

Ключевые слова: валковый модуль, кривые контакта валок, моделирование кривых контакта валок, эластичное покрытия валок, обрабатываемый материал, скорости деформирования, геометрические параметры, деформационные параметры, абсолютно упругий материал, упруго-вязкий материал, пластичный материал.

Kalit so'zlar: valli modul, vallar kontakt egri chiziqlari, vallar kontakt egri chiziqlarini modellashtirish, vallar elastik o'ramalari, ishlov beriluvchi material, deformatsiyalanish tezligi, geometrik parametrlar, deformatsiyaviy parametrlar, ablolut- egiluvchan material, egiluvchan-yopishqoq material, plastik material.

Keywords: roller module, roller contact curves, modeling of roller contact curves, elastic coating of rollers, processed material, deformation rates, geometric parameters, deformation

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son

MEXANIKA

parameters, absolutely elastic material, elastically viscous material, plastic material..

Введение

Любой технологический процесс в валокых машинах осуществляются в их основном рабочем орган в двухвалоком модуле, в результате контактного взаимодействия обрабатываемого материала с парами валок. Поэтому проблемы совершенствования действующих и разработки новых валковых технологических машин тесно связаны с решением задачей контактного взаимодействия в двухвалокых модулях.

Основными задача контактного взаимодействия в двухвалокых модулях являются

[1]:

- математическое моделирование углов контакта валок. Эти углы являются основными величинами, определяющими начальные и граничные условия в задачах контактного взаимодействия;

-математическое моделирование кривых контакта валок. Эти модели имеют важное значения при определении закономерностей распределения контактных напряжений в двухвалокых моделях с валками, имеющими эластичное покрытие;

- математическое моделирование напряжений трения валок. Эти модели устанавливают связь между нормальными и касательными контактными напряжениями;

-математическое моделирование распределения нормальных и касательных напряжений по кривым контакта валок. Эти модели позволяют произвести расчет энергосиловых параметров двухвалокого модуля.

Работа посвящена к решению одной из задач контактного взаимодействия в двухвалокых модулях - к математическому моделированию кривых контакта валок.

Математическое моделирование кривых контакта валок представляет собой одну из сложных задач контактного взаимодействия, так как при ее решении приходится учитывать множества деформационных, геометрических, кинематических и силовых параметров двухвалокого модуля.

Явление контактного взаимодействия покрытия валка и обрабатываемого материала аналогично явлению качения эластичного колеса по грунту [2].В теории качении колеса формы контакта колеса с грунтом изображается различными линиями, соответственно, описывается различными формулами, однако область применения этих формул остается невыясненной [3-5]. Преобладающее применение нашла теория взаимодействия эластичного колеса с грунтом, основанная на представлении переднего участка линии контакта частью окружности и использовании классической теории качения жесткого колеса, имеющего диаметр больший, чем заменяемого эластичного [1].

Решению контактных задач в двухвалоком модуле при наличии эластичных покрытий и обрабатываемого материала посвящены работы [6-7]. В них важная, в прикладном отношении задача моделирования распределения контактных напряжений решается на основе предварительного выбора формы кривых контакта валок. Обычно применяют дуги окружности, параболу, эллипса и др. [2].

Материалы и методы

Моделируем кривых контакта валок симметричного двухвалокого модуля.

На рис. 1. представлена верхняя часть двухвалокого модуля относительно линии симметрии. Кривая контакта валка состоит из зоны сжатия и восстановления, разделенной точкой K, лежащей на линии, соединяющей центры валок.

В каждой точке зоны сжатия на обрабатываемый материал со стороны валок действуют элементарные нормальные и касательные силы. Нормальные силы при этом действуют по направлению n - n (рис. 1). Следовательно, деформация контактирующих

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son

MEXANIKA

тел происходят по направлению n - n [1].

Рис.1. Схема контактного взаимодействия в двухвалоком модуле

В зоне сжатия возьмем точку M, определяемой полярными координатами Г и вх, где — ç <d < 0, ç — угол захвата (рис. 1).

Согласно рис.1 в точке M толщины обрабатываемого материала и покрытия валка изменяются как

К =

Г cosd — R cosç

R cosd — r cosd

h,„ = ■ 1 1 1

где Я - радиус валка, ^ - угол между направлениями п - п и г — г . Сделаем обозначения

йК к - йг

к -

йг

Тогда с учетом выражения (1) получим

(1)

(2)

d_ dt

f

R cosd — Г cosd cos(d — wx )

Л

= К — 1 dt

d (r cosd — R cosç ^

cos(d — щ )

или

d

R cosd — Г cosd

dd l cos(d — Wi )

= k

d

Г cosd — R cosç

dd l cos(d — щ )

(3)

к - отношения скорости деформирования покрытия валка к скорости деформирования обрабатываемого материала при сжатии.

Результаты

После преобразования равенства (3) получим

d

(1 + k) — (rcosd) + R sind!

— tg(d, — W, ) — (d1 — w1 ) =-dd-

dd ( 1 + k )r cosd — R(cosd + k cosç )

или после интегрирования

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son

MEXANIKA

(1 + к (r cos9) + R sin 9

ln C cos(9 - w) = Í-—-d9,, (4)

J (1 + к )r cos9 - R(cos9 + к cos^)

где C — постоянная интегрирования, определяемая по граничному условию:

Г = R, когда 9 = —9 . (5)

Интегрирование правой части равенства (4) зависит от выражения к, которая в своей очереди является функцией времени, следовательно, угла 9 •

В зоне сжатия взаимодействия обрабатываемого материала с покрытием валка происходит в малой промежутке времени. Поэтому можно считать к постоянным [1]. Перепишем равенства (4) для случая к = const

d((1 + к )(r cos9) -R(cos9 + к cos^)

ln C cos(9 - w ) = J"

(1 + к СОБ^ - R(cos0 + к СОБ^ ) После интегрирования получим

Ссоб^ - ^)= (1 + к)Г СОБ9 - R(cos91 + к СОБ^). (6)

С учетом условия (5) из равенства (6) следует, что С = 0. Тогда имеем

r =

R

1 1 + к

\ + к

1 cos9 j

— 9 <9 <0. (7)

По аналогии (7) находим для зоны восстановления

R

1 + к

+к2 V cos92 j

о<92 <92 , (8)

где (р2 - угол, определяющий конечную точку кривой контакта, k2 - отношения скорости деформирования покрытия валка к скорости деформирования обрабатываемого материала при восстановлении.

Обобщая формулы (7) и (8) получим

- 1 + к-— \, -( < 0 < 0,

+ k1 у cosO J /m

r = { ^ \ (9)

R ( , cos( ^ Л „

-— 1 + k2-0 <0<(

1 + k2 у cosO J

Система уравнений (9) получена при условии, когда деформация контактирующих тел в каждой точке зоны контакта происходят по направлению действия элементарной нормальной силы.

Некоторые исследователи считают, что деформация контактирующих тел в каждой точке зоны контакта происходят по направлению перпендикуляной направлению движения обрабатываемого материала (по оси Oy), а другие - по радиальному направлению к оси валка (по радиусу r ) [8].

Анализируем моделей кривых контакта валок симметричного двухвалокого модуля в вышеуказанных двух случаях.

Пусть изменение толщины контактирующих тел в каждой точке зоны контакта происходят по оси Oy . В этом случае = 0 ■

Тогда из (6) получим

C = (1 + к)r cosO - R(cos0 + к cos().

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son

Г2 =

MEXANIKA

Применив условию (5) получим формулу, совпадающую с формулой (7).

Пусть изменение толщины контактирующих тел в каждой точке зоны контакта происходят по радиусу г . В этом случае — 0.

Тогда из (7) получим

ССОБ0 — (1 + к)г СОБ0 - Я(СОБ0 + к СОБ®).

Применив условию (5) также получим формулу, совпадающую с формулой (7).

Таким образом, математические модели кривой контакта валка, полученные в условиях, когда деформация контактирующих тел в каждой точке зоны контакта происходят по оси Оу, по радиусу г и по направлению действия элементарной нормальной силы, совпадают. Исходя из этого, можно сделать вывод, что математическая модель кривой контакта валка не зависит от направления деформации контактирующих тел в зоне контакта.

Для сопряжения кривых на входной и выходной частей кривой контакта валка полученная система (9) должна соблюдаться при условии:

Я Я

г(0) — -—— (1 + к СОБ®) — -—— (1 + к2 СОБ^) .

1 + к 1 + к

Отсюда имеем

к -_к1(1 - СО5^1)_. (10)

(1 - СОБ® ) - к (1 - СОБ® - (1 - СОБ® ))

Из рисунка 1 следует

& & СО

Я СОБ® +--1 — Я + -0-, Я СОБ® +--2 — Я + -0,

2 2 2 2

где — - расстояние между валками.

Отсюда имеем

1 - СОБ®—, 1 - СОБ®—(11)

или в первом приближении

* -Г?■ °2>

С учетом выражений (11) из равенства (10) находим

к2 ---. (13)

Система (9) определяет математическую модель кривой контакта валка симметричного двухвалокого модуля. При этом первая уравнения описывает входную часть кривой контакта, соответствующей зоны сжатия, а вторая - выходную, соответствующей зоны восстановления.

Из системы (9) и равенства (13) следует, что на математическую модель кривой контакта валка влияют в основном геометрические и деформационные параметры контактирующих тел, среди которых наиболее влияющим является параметр k , определяющей отношению скорости деформирования эластичного покрытия к скорости деформирования обрабатываемого материала при сжатии.

Параметр k в зоне контакта двухвалокого модуля принимает не отрицательные значения, т.е. к - 0.

dh

В предельном случае, т.е. при к = 0, —- - 0, следовательно, hl6 - const, т.е.

1 dt 1 в

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son

MEXANIKA

покрытие валка при этом не деформируется.

При к = 0 из равенства (13) имеем, что к = 0. Тогда из системы (9) следует

г = R, -р<в<р2. (14)

При этом угол р2 в зависимости от характера деформации обрабатываемого материала может принимать значения от нуля до рх.

В двухвалоком модуле обрабатываемый материал может быть абсолютно-упругим, упруго-вязким и пластичным [9].

В первом случае обрабатываемый материал при выходе из жала валок полностью восстановит свою форму, поэтому 82 = 3, следовательно из выражения (12) следует, что (р2 = р. Тогда из равенства (14) получим

г = R, -р<в<р . (15)

Во втором случае обрабатываемый материал при выходе из жала валок частично восстановит свою форму, поэтому д2 <3, следовательно, р2 <р. Тогда из равенства (14) имеем

г = R, -Р <в<Р2, Р2 <Р . (16)

В третьем случае обратной деформации обрабатываемого материала не будет, поэтому 52 =\, следовательно, р2= 0 . Тогда из равенства (14) следует

г = R, р<в< 0 . (17)

При значениях к > 0, входная часть кривой контакта описывается первым уравнением системы (9), т.е. уравнением (7). Уравнения, описывающей выходной части зависит от характера деформации обрабатываемого материала.

Если обрабатываемый материал абсолютно-упругий, то 82 = 3, следовательно, р2 = р и к2 = к (согласно выражениям (12) и (13)). Тогда из уравнения (8) следует

R

( Л

Г2 =

1 + к

cos(

1 + к v cos02 J

0<02 <( . (18)

Если обрабатываемый материал упруго-вязкий, то р2 < р, следовательно, к ^ к . Тогда к определяется по выражению (13) и выходная часть кривой контакта описывается уравнением

R

Г2 =

1 + k 2

+к

v cos02J

0<02 <(2 . (19)

Если обрабатываемый материал пластичный, то ш2 ^ да. Тогда из уравнения (8) получим

R собр

cos02

0<02 <(2 . (20)

к имеет положительное и конечное значение. Поэтому, согласно равенство (13) должно выполняться условие

¿2 -3, - ВД = 0 .

Отсюда имеем

¿2 =

¿0 + kA

1+k

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son

MEXANIKA

Тогда из равенства (15) получим

=

(21)

(1+к )R

Таким образом, кривая контакта валка при положительном значении параметра к состоит из двух частей: входной из кривой, описываемой формулой (7) и выходной из кривой, описываемой по одной из формул (18), (19) и (20).

Выводы

Разработаны математические модели кривых контакта валок симметричного двухвалокого модуля.

Установлено, что математические модели кривых контакта валок не зависят от направления деформации контактирующих тел в зоне контакта.

Анализ полученных математических моделей показал, что кривая контакта валка состоит из двух частей: входной из кривой, описываемой формулой (7), и выходной из кривой, описываемой по одной из формул (18), (19) и (20).

Выявлено, что на математическую модель кривой контакта валка влияют в основном геометрические и деформационные параметры контактирующих тел, среди которых наиболее влияющим является параметр, определяющей отношению скорости деформирования эластичного покрытия к скорости деформирования обрабатываемого материала при сжатии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хуррамов Ш.Р. Теоретические основы контактного взаимодействия в двухвалокых модулях и ее использование в совершенствовании процессов механической обработки: Дисс. ... докт. техн. наук. - Ташкент, 2021, 192 с.

2. Кузнецов Г.К. Исследование и методика проектирования валокых отжимных устройств текстильных машин: Дисс. ... докт. техн. наук. - Кострома, 1970, 287 с.

3. Ким Ю.А., Бобрович В.А., Войтеховский Б.В., Исаченков В.С. Влияние величины давления в шинах колес на геометрические параметры пятна контакта при взаимодействии с опорной поверхностью. Труды Белорусского ГТУ, №32, 2018, С.308-312.

4. Соловьев В.И., Шухман С.Б., Капралова М.А. Форма контакта эластичного колеса с деформируемым грунтом и расчет глубины колеи. Известия МГТУ «МАМИ»», Т.1, №2(14), 2012, С.348-355.

5. Пелевин Л.Е., Абрашкевич Ю.Д., Балака М.Н., Аржаев Г.А. Моделирование процесса взаимодействия эластичного колеса с деформируемой опорной поверхностью. Горное оборудование и электромеханика, №7, 2013, С.10-16.

6. Khurramov Sh.R. Some questions of the interaction theory in two-roll module. IOP Publishing Journal of Physics: Conference Series 1546 (2020) 012132

7. Khurramov Sh.R. Modeling the Shape of he Roll Contact Curves in Two-Roll Modules. Journal of Physics: Conference Series1889(2021)042036

8. Хуррамов Ш.Р., Холтураев Ф.С.,Курбанова Ф.З.,Мусиров М.У. К решению некоторых контактных задач двухвалокых модулей. Вестник Тамбовского ГТУ, 2019, №3, С. 486-500.

9. Кузнецов Г.К., Фарукшин В.В., Красовская М.С. Распределение давления по дуге контакта валок, как функция свойств прокатываемого материала. Известия высших учебных заведениях, Технология текстильной промышленности, 2007, 2 (297), С.87-89.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 1-son, 2024 Maxsus son